Diskussion:Gradient (Mathematik)/Archiv

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Jacobi-Matrix

Fraghe zu: Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes und Vektorgradient. Ich habe es nachgeschlagen und wiedersprüchliche Literatur dazu gefunden. Ist Vektorgradient:

1. Jakobi-Matrix mal Vektor ${\vec {a}}\cdot \operatorname {grad} {\vec {F}}$
2. $\operatorname {grad} {\vec {F}}$

Da muss ich passen. Habe dazu auch keine Literatur zur Hand. Aber 1. verstehe ich nicht. Was soll denn ${\vec {a}}$ sein? Und Jakobi-Matrix mal Vektor wäre ein Vektor, aber der Vektorgradient ist eine Matrix. Irgendwas verstehe ich da nicht. Wolfgangbeyer 22:09, 25. Feb 2004 (CET)

OK, vielleicht versuche ich das etwas ausfürlicher zu beschreiben. Im Bronstein steht $\operatorname {grad} {\vec {F}}$ heißt Vektorgradient. Im Merzinger, Mühlbach, Wille, With; Formeln und Hilfen zur Höheren Mathematik steht: Vektorgradient = Jakobi-Matrix mal Vektor. In mathematischer schreibweise sieht das so aus $({\vec {a}}\operatorname {grad} ){\vec {F}}({\vec {x}})={\mathcal {J}}_{\vec {F}}({\vec {x}})\cdot {\vec {a}}$ wobei a wohl ein Vektor ist. --Paddy 11:49, 26. Feb 2004 (CET)

ist im Artikel :Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: biggerj1 (Diskussion) 10:27, 2. Jun. 2014 (CEST)

richtung des gradienten

betr.:Er (der gradient) hat die Richtung der Normalen der jeweiligen Niveaufläche, auf der die Werte des Skalarfeldes konstant sind, und ist in der Richtung wachsender Funktionswerte des Skalarfeldes orientiert.

ist dies nicht ein wenig widersprüchlich, da der gradient dadurch ja zwei richtungen bekommt? ist evtl. das wort Richtung nicht differenziert genug?

-loogi

Betrachtet man die Niveaufläche eines Skalarfeldes in einem Punkt $p$, so bilden die Normalrichtungen einen eindimensionalen Vektorraum, d.h. eine Gerade. Dieser Vektorraum besitzt zwei Richtungen und der Gradient zeigt nun in die Richtung, in der das Skalarfeld zunimmt. Genauer gesagt: Die Länge des Gradienten beschreibt die Intensität des steilsten Anstiegs.

@loogi: Signiere doch bitte Deinen Eintrag. --V4len 14:02, 6. Jul 2006 (CEST)

Unserer Ansicht nach ist die Aussage falsch, dass der Gradient in Richung des steilsten Anstieges (im Sinne: betragsmaessig groesste Steigung) zeigt. Stattdessen zeigt er einfach in die Richtung, in der der Funktionswert groesser wird. Da der Betrag des Gradienten proportional zur Steigung ist, ist er an dem Punkt des steilsten Anstieges am groessten und zeigt von diesem weg, hin zum naechsten lokalen Maximum.

Leider gibt es nicht die Richtung, in die der Funktionswert größer wird. Betrachte die Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, wobei $f(x,y)=x$. Dann ist $\nabla f(0,0)=(1,0)$. Allerdings wird die Funktion nicht nur in die Richtung $(1,0)$ größer. Betrachtet man z.B. die Richtung $v=(0.8,0.6)$, so wächst auch die Funktion $t\mapsto f(t\cdot v)$ bei $0$. $f$ wird also auch in Richtung $v$ größer. Allerdings ist das Wachstum in diese Richtung $0.8$, wobei es in die Richtung $\nabla f(0,0)$ maximal ist. --V4len 08:46, 4. Dez. 2006 (CET)

Was meinst Du mit "die Intensitaet des steilsten Anstieges"? Gibt es eine mathematische Intensitaet?

Jonathan & Peter

Mit Intensität wollte ich verdeutlichen, dass es sich um ein Skalar und nicht um einen Vektor handelt. Die Steigung in eine Richtung, d.h. die partielle Ableitung, ist schließlich nicht mehr als die eindimensionale Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion, wenn man sie nur in eine Richtung variiert. --V4len 08:46, 4. Dez. 2006 (CET)

Hallo V4len,

wir hatten die ganze Geschichte erstmal an eindimensionalen Funktionen diskutiert, wegen der besseren Anschaulichkeit. Im Eindimensionalen gibt es nach unser Meinung eine eindeutige Richtung bzgl. des lokalen Maximums in der der Funktionswert groesser wird (ausser im Extremum), im mehrdimensionalen Fall, da hast Du voellig Recht, ist das nicht mehr korrekt. Danke fuer das Beispiel.

Wie waere es mit dieser Formulierung fuer den Gradient:

Der Gradient, zeigt in die Richtung, in der ich meine Koordinaten aendern muss, um den Funktionswert gegenueber dem Funktionswert meiner aktuellen Position maximal zu vergroessern. Das bedeutet aber nicht immer, dass der Gradient dann auch in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt.

Wenn wir uns zum Beispiel auf einem Wendepunkt befinden, dann stehen wir auf der Stelle des steilsten Anstieges. Demzufolge muesste der Gradient an dieser Position gleich Null sein, ist er aber nicht. Desweiteren muessten ALLE Gradienten der unmittelbaren Umgebung auf den Wendepunkt zeigen, tun sie aber auch nicht.

Also die Definition mit dem steilsten Anstieg ist uns auch in Fleisch und Blut uebergegangen und sie steht auch in vielen Lehrbuechern, aber sie stimmt halt nicht. Deswegen lieber die nehmen:

Der Gradient, zeigt in die Richtung, in der ich meine Koordinaten aendern muss, um den Funktionswert gegenueber dem Funktionswert meiner aktuellen Position maximal zu vergroessern.

Hinweis: wir sind keine Mathematiker, aber gerade deswegen daran interessiert, dass der Gradient anschaulich, aber trotzdem korrekt erklaert wird.

Jonathan & Peter

Der steilste Anstieg ist nicht ein Punkt des Definitionsbereichs, sondern eine Richtung. Diese Richtung hängt von der Funktion in einer kleinen Umgebung um einen Punkt ab. Mit dem steilsten Anstieg ist also eine lokale Eigenschaft der Funktion gemeint. Im eindimensionalen Fall gibt es im Prinzip nur zwei Richtungen (rechts oder links). Die Ableitung in einem Punkt hat einmal eine Länge - den Absolutbetrag - und eine Richtung - das Vorzeichen. Wenn also eine Funktion in einem Punkt die Ableitung +2 hat, so weiss man, dass die Funktion nach rechts zunimmt und zwar im sehr kleinen Abstand $h$ etwa um den Wert $2h$. Dieses Verständnis von Ableitungen wird vom Gradienten übernommen. --V4len 19:45, 19. Feb. 2007 (CET)

Jonathan & Peter: Ich glaube nicht, daß

»Wenn wir uns zum Beispiel auf einem Wendepunkt befinden, dann stehen wir auf der Stelle des steilsten Anstieges. Demzufolge muesste der Gradient an dieser Position gleich Null sein …«

richtig ist. Im Wendepunkt kann ja der Hang immer noch eine Steigung haben.

Man betrachte einen gleichmäßigen Wall parallel zur y-Achse. D.h. wenn man im Ursprung steht und auf der x-Achse auf den Wall zuläuft, den Hang an der Vorderseite hoch, und weiter auf der Rückseite wieder den Hang runter, dann verlaufen Vorder- und Rückseite parallel zueinander in y-Richtung. Also zum Beispiel wenn der Querschnitt des Walls aussieht wir ein Sinus von $-\pi /2$ bis ${\frac {3}{2}}\pi$ und der Längsschnitt einfach wie ein Rechteck. Dann hat der Wall auf halber Höhe im Hang einen Wendepunkt. Dort ist aber der Gradient nicht null, weil die Steigung dort ja auch nicht null ist. Der Gradient hat als x-Komponente den Betrag, den die Steigung des Walls dort in x-Richtung hat. Die y-Komponente ist null.

Der Gradient zeigt also in die Richtung, in die es am steilsten den Berg rauf geht, oder anders:

Der Gradient an einem Ort gibt die Richtung an, in die man in der Ebene von diesem Ort weggehen muß, damit es am schnellsten wärmer wird und wie schnell oder stark es wärmer wird. Weil man dabei aber den Ort wechselt, ändert sich laufend ;) auch der Gradient. --Edoardo 16:31, 20. Jul. 2008 (CEST)

Also ich bin auch kein Mathematiker und muss den um Anschaulichkeit bemühten Nichtmathematikern sagen, dass ihre Erklärung bei mir nur noch mehr Verwirrung gestiftet hat. Zum Glück hab ich mich zu der Diskussionsseite bemüht und Bestätigung für meine Ahnung gefunden, dass die Erklärung nicht so ganz korrekt ist. Das mit der Richtung müsste schon mal eindeutig geklärt werden, es ist nämlich schon ein Unterschied, ob der Vektor jetzt in Richtung des IN DIESEM PUNKT steilsten Anstieges zeigt oder in Richtung der Normalen der DIESEN PUNKT tangierenden Fläche. Gruß frahi1979

Fazit: der Gradient steht senkrecht auf den Äqupotentialflächen und zeigt dabei in die Richtung des steilsten Anstiegs.

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: biggerj1 (Diskussion) 10:22, 2. Jun. 2014 (CEST)

Mikrochip

Meiner Meinung nach gehört die Anwendung auf Mikrochips nicht in diesen mathematischen Artikel. Der Gradient ist ein so allgemeiner Begriff, der nun mal in sehr vielen Differentialgleichungen auftaucht. Es ist klar, dass der Gradient einen Nutzen hat, dieser wird aber durch die Erwähnung von Mikrochips nicht einleuchtender.

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: biggerj1 (Diskussion) 10:18, 2. Jun. 2014 (CEST)

Koordinatenfreie Definition als Volumenableitung

Das scheint zwar richtig zu sein, aber ist meines Erachtens eine sehr ungewöhnliche Art, den Gradienten zu definieren. Wird das tatsächlich benutzt? Ich plädiere dafür, diese alternative Definition weiter nach unten zu verschieben.

Des weiteren passt die Notation nicht zum Rest des Artikels. Warum heißt die Funktion plötzlich p? Und was ist ein Bilanzvolumen? --Digamma (Diskussion) 16:23, 5. Apr. 2013 (CEST)

Danke für die Fragen/Anregungen:

Wird das tatsächlich benutzt? Ja, weil die Definition ganz nahe bei dem entsprechenden Integralsatz -- und z. B. in der Strömungsmechanik dem Prinzip von Archimedes ist.

Warum heißt die Funktion plötzlich p? Da war der Druck (pressure) allzu suggestiv. Ich werde es in f ändern.

Und was ist ein Bilanzvolumen? Das willkürlich erfundene Gebiet, das für die Grenzwertbildung verwendet wird -- synonym mit Raumgebiet. --Modalanalytiker (Diskussion) 16:58, 5. Apr. 2013 (CEST)

1. Auch der entsprechende Integralsatz ist mir - und ich glaube vielen anderen - nicht besonders geläufig. Im Gegensatz z.B. zum normalen Gaußschen Integralsatz (vgl. auch die Diskussion dort. Dass man diesen verwendet um die Divergenz zu definieren, erscheint mir sehr viel natürlicher als die Definition des Gradienten mit einer Volumenableitung. Ich würde so eine Aussage auch nicht als Defintion verwenden, sondern als Anwendung. Die Volumenableitungen sind nämlich mathematisch viel schwieriger handzuhaben als gewöhnliche partielle oder totale Ableitungen.
2. "Volumen" bedeutet für mich immer "Rauminhalt" und nicht "Raumgebiet". Warum "Bilanz"? Im Prinzip muss man genauer hinschreiben, was mit dem Grenzwert gemeint ist: Der betrachtete Punkt ("Aufpunkt" kommt mir hier seltsam vor) muss im Innern der Gebiete liegen, und nicht nur das Volumen (Rauminhalt), sondern der Durchmesser der Gebiete muss gegen 0 gehen (am besten nimmt man wohl Kugeln mit Mittelpunkt A). --Digamma (Diskussion) 19:56, 5. Apr. 2013 (CEST)

Also ich kenne mich mit der Thematik gar nicht aus. Jedoch ist der Gradient ein Grundbegriff in der Mathematik und die folgenden Abschnitte sind auch von grundlegender Natur. Daher halte ich es für sehr wichtig, dass der Abschnitt, falls er denn wirklich für den Artikel wichtig ist, viel weiter nach hinten kommt. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 20:16, 5. Apr. 2013 (CEST)

Zu 1: Der Reiz der Definitionen von grad, div und rot per Volumenableitungen liegt in der Anschaulichkeit der Flächenintegrale in den Zählern der Grenzwerte. Sie appellieren direkt an physikalische Anwendungen. Das wiegt die mutmaßliche Unhandlichkeit m. E. auf.

Zu 2: Meine begrifflichen Unsauberkeiten werde ich beheben und redundante Begriffe ganz entfernen. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:50, 5. Apr. 2013 (CEST)

Zu 1: Bei der Divergenz mag das stimmen, aber kaum für den Gradienten. Beim Divergenzsatz lässt sich das Flächenintegral als Fluss interpretieren. Das Flächenintegral hier ist aber völlig unanschaulich. Der Integralsatz, der natürlicherweise zum Gradienten gehört, benutzt kein Volumen- oder Flächenintegral, sondern ein Kurvenintegral. Außer das von dir genannte Archimedische Prinzip mit dem Flächenintegral über den Druck kenne ich keine Anwendung, wo ein Flächenintegral mit skalarem Integranden und vektoriellem Flächenelement vorkommt.

Entsprechend gehört zur Rotation in natürlicherweise der Integralsatz von Stokes. ENDE DER ANTWORT VON Digamma

Zu 1: Eine weitere Anwendung: Wenn man in "meine" Gradientenformel für $f$ das elektrische Skalarpotential einsetzt, ist der Gradient gleich der negativen elektrischen Feldstärke.

In den Artikel zur Rotation habe ich einen analogen Abschnitt eingefügt. Die Formel gehört zu einem Integralsatz, aus dem der Satz von Stokes folgt. Ihr Kommentar dazu interessiert mich auch. --Modalanalytiker (Diskussion) 23:54, 5. Apr. 2013 (CEST)

Dass die elektrische Feldstärke gleich dem negativen Gradient des elektrischen Potentials ist, ist klar. Das hat aber mit Flächen- und Volumenintegralen nichts zu tun. Solche Flächenintegrale über das elektrische Potential sind mir noch nicht begegnet, wohl aber Linienintegrale über die Feldstärke. --Digamma (Diskussion) 00:01, 6. Apr. 2013 (CEST)

"Solche Flächenintegrale über das elektrische Potential sind mir noch nicht begegnet,..." Ein Beispiel: Kraft auf ein homogenes Ladungsdichte-Gebiet im elektrostatischen Feld berechnen. Dazu kann man den Gauß'schen Gradient-Satz gut gebrauchen.

Generell finde ich: Auf einem fortgeschrittenen Niveau die Ableitungs-Operationen grad, div und rot als Volumenableitungen einzuführen, hat seinen Reiz. 1. Das einheitliche Konzept! 2. Die Ergebnisse fallen nicht koordinaten(-häppchen)weise an, sondern ganzheitlich. 3. Wer die Hüllenintegrale anschaulich interpretieren kann, sieht für das interessierende Skalarfeld die Beiträge der Flächenelemente und deren Summe vor seinem geistigen Auge und bekommt einen Begriff, was grad, div und rot eigentlich bedeuten. --Modalanalytiker (Diskussion) 13:46, 6. Apr. 2013 (CEST)

Tut mir leid, ich kann immer noch keinen Zusammenhang zwischen dem, was ein Gradient "eigentlich" bedeutet, und einer Volumenableitung erkennen. Die übliche Definition, die im Artikel direkt darüber steht, ist auch koordinatenunabhängig. Und nach wie vor: Volumenableitungen sind, wenn man sie analytisch exakt formuliert (insbesondere ihre Existenz), recht schwierige Objekte.

Das mit der Kraft-Berechnung im elektrischen Feld, kannst du das etwas genauer erklären? --Digamma (Diskussion) 16:58, 6. Apr. 2013 (CEST)

"Das mit der Kraft-Berechnung im elektrischen Feld, kannst du das etwas genauer erklären?" Akademische Übungsaufgabe: Gegeben ein elektrostatisches System von Punktladungen im Raum, ein Raumbereich ohne Punktladungen, aber mit homogener Raumladungsdichte. Gesucht: Kraft auf den Raumladungsbereich. Lösungsweg im Sinne Deiner Frage: Oberflächenintegral des Potenzials ausrechnen und mit Raumladungsdichte multiplizieren. --Modalanalytiker (Diskussion) 19:37, 6. Apr. 2013 (CEST)

Ist es nicht einfacher, den Gradienten des Potenzials auszurechnen, mit der Raumladungsdichte zu multiplizieren und dann über das Volumen zu integrieren? --Digamma (Diskussion) 21:14, 6. Apr. 2013 (CEST)

Auf der Oberfläche muss man einen Parameter weniger verkraften. Das erleichtert die Integration. Mir ging es aber vor allem um ein einschlägiges Beispiel. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:28, 6. Apr. 2013 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 10:31, 2. Jun. 2014 (CEST)

FunFact

Laut Pageviews wird dieser Artikel Samstags besonders selten aufgerufen. --TranslationTalent (Diskussion) 22:54, 15. Jul. 2019 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 20:09, 1. Mär. 2020 (CET)

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung

Der Gradient wird im Abschnitt Definition doch schon koordinaten-unabhängig definiert, da irritiert mich dann doch das koordinatenfrei in der Abschnittsüberschrift Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung. Das klingt für mich so, als würden die anderen Definitionen hier alle irgend ein Koordinatensystem benötigen. Ich denke man sollte das Koordinatenfrei in der Abschnittsüberschrift streichen. ArchibaldWagner (Diskussion) 20:26, 21. Okt. 2021 (CEST)

Ich habe das Wort gestrichen. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 22:02, 22. Okt. 2021 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 22:02, 22. Okt. 2021 (CEST)