Diskussion:Homogene Koordinaten

Eintrag ohne Überschrift

Für mich als Chemiker ist die Seite zu mathematisch. Erst ein Blick in "Teubners Taschenbuch der Mathematik" zeigt mir, worum es eigentlich geht. Ich empfehle, durch Beispiele die Seite für Nichtmathematiker lesbar zu machen.

Friedrich Schmidt, 18. März 2008

Kann mich da nur anschließen. Allein schon beim ersten Absatz hat mich der Artikel verloren, der liest sich ja jetzt noch schlimmer als 2008. Dass es auch besser geht, zeigen diverse andere Artikel hier zu mathematischen Themen. Man kann das auch verständlicher/anschaulicher formulieren, ohne dass der Inhalt weniger Präzise wird. Ich werd mich jetzt wohl erstmal wo anders informieren müssen. Hoffe da tut sich nach 3 Jahren noch etwas. --95.115.12.72 17:37, 29. Aug. 2011 (CEST)

Hi,

ich hab mal eine Frage zur Transformation von kartesischen in homogene Koordinaten: Ist die allgemeine Formel dafür nicht $\left(x,y,z\right)^{T}\rightarrow \left(w\cdot x,w\cdot y,w\cdot z,w\right)^{T}$ ? Vielleicht findet sich ja ein Mathematiker, der das erläutern kann?

Mkaiser30 21:33, 8. Feb 2006 (CET)

Die Punkte $(wx,wy,wz,w)$ entsprechen für verschiedene $w\neq 0$ alle demselben Punkt im projektiven Raum, man kann also einfach $w=1$ wählen.--Gunther 22:50, 8. Feb 2006 (CET)

Es gibt keine Definition, nur wozu das dient und die Erklärung ist zu abgehoben. Kann nicht eine allgemeinverständliche Erklärung neben diesen Kauderwelsch stehen? (nicht signierter Beitrag von 85.180.63.225 (Diskussion | Beiträge) 09:39, 19. Sep. 2009 (CEST))

Rotation um y-Achse?

Kann es sein daß da das Minus verrutscht ist? Sieht nicht konsistent aus. -- 790 16:14, 9. Dez. 2006 (CET)

Das stimmt so, sonst wäre die Rotation um die y-Achse im Uhrzeigersinn (was gegen den gesunden Mathematikverstand geht) -- 62.224.99.153 00:15, 8. Mär. 2007 (CET)

Ich halte das ebenfalls für nicht richtig und inkonsistent. Vergleiche dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsmatrix Dort wird allerdings auch ständig über die Vorzeichen diskutiert und geändert. Derzeit widersprechen sich die Artikel aber. -- (nicht signierter Beitrag von 84.172.87.99 (Diskussion) 13:04, 31. Jan. 2008)

Zunächst meine Meinung – die Version mit den "vertauschten" Minuszeichen für die Drehung um die y-Achse ist korrekt, und daß die drei Rotationsmatrizen so nicht konsistent aussehen, hat einem bestimmten Grund, nämlich die von 62.224.99.153 erwähnte Konsistenz des Drehsinns.

Um der Diskussion eine anschauliche Komponente hinzuzufügen: Zunächst möge man sich unter Rechte-Hand-Regel klarmachen, was der Unterschied zwischen der Drei-Finger-Regel und der Korkenzieherregel ist, wobei es hier nur um die Anordnung der Koordinatenachsen eines dreidimensionalen kartesischen Systems bzw. um den Drehsinn geht. Dann stelle man sich ein rechtshändiges Koordinatensystem vor. Wendet man nun auf jede der drei Achsen x, y und z die Korkenzieherregel (rechtshändig) an, so wird man feststellen, daß, wenn man den 90°-Bereich in der ermittelten positiven Drehrichtung überstreicht, bei x- und z-Achse die zwei jeweils anderen Achsen in alphabetischer Reihenfolge (y,z bzw. x,y) berührt werden. Bei Drehung um die y-Achse berührt man die beiden anderen jedoch in umgekehrt alphabetischer Reihenfolge (z,x). Dies mag veranschaulichen, daß die als Konsistenzbedingung geforderte Annahme, der Drehsinn möge bei allen Achsen derselben Regel folgen, bedingt, daß die Vorzeichen in den Matrizen sich unterscheiden.

Darüberhinaus kann man sich auch anhand der Matrizen klarmachen, daß die "vertauschte" Version stimmt: Man stelle sich vor, daß man den Block ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&A&B\\0&C&D\\\end{pmatrix}}$ für die Achsen y und z um je ein Kästchen weiter nach rechts unten verschieben muß. Jedoch ist in dem 3x3-Block der Matrix nicht genug Platz, also müssen die rechts herausgeschobenen Elemente links und die unten herausgeschobenen Elemente oben wieder hineingeschoben werden. So kommt man zu den Blöcken ${\begin{pmatrix}{\begin{array}{c|cc}C&0&D\\\hline 0&1&0\\B&0&A\\\end{array}}\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}{\begin{array}{cc|c}A&B&0\\C&D&0\\\hline 0&0&1\\\end{array}}\end{pmatrix}}$. Die Großbuchstaben sind nur noch durch die jeweiligen trigonometrischen Funktionen mit den korrekten Winkeln zu ersetzen.

Ich beziehe mich nun einfach mal auf das in der Diskussion zum Artikel Drehmatrix genannte Buch „Computer Graphics – Principles and Practice“ von Foley, van Dam et al. und ändere die Vorzeichen im Artikel. So ist es dann auch konsistent mit den Drehmatrizen -- Douba 17:51, 1. Jul. 2009 (CEST)

Projektionsmatrix

Kann es sein, dass bei der Projektionsmatrix eine 1 zuviel ist? Wenn nämlich zur vierten Koordinate nochmal ... +(1*1) zugefügt wird passt das nicht mehr mit dem Teilungsverhältnis zu den anderen Koordinaten. Richtig müsste doch die Matrix lauten: ${\begin{pmatrix}1\ 0\ 0\ 0\\0\ 1\ 0\ 0\\0\ 0\ 1\ 0\\0\ 0\ {\frac {1}{p}}\ 0\end{pmatrix}}$. Oder vertue ich mich da???

Gruß an alle Helferlein Uli Koepernik

Foley, van Dam etc. geben die Projektion auch mit 0 an der stelle 4,4 an für Proj. auf Ebene z=d, oder: 0 bei 3,3 für Proj. auf Ebene z=0 von z=-d aus --Dier 09:54, 30. Mai 2008 (CEST)

Ich habe es eben mal nachgerechnet und ich halte die 1 an dieser Stelle auch für falsch. Habe es korrigiert. Simon Budig 19:24, 21. Jul. 2008 (CEST)

Für die projektive Geometrie der Ebene E lässt sich die Einführung homogener Koordinaten wie folgt verstehen: Wir denken uns E in den Raum, mit Koordinanten x,y,z eingebettet, so dass die Ebene E die Gleichung z = 1 hat. Jeder eigentliche Punkt der affinen Ebene E (ohne ihre uneigentlichen Punkte) hat also Koordinaten (x,y,1). Diesen Punkten entsprechen umkehrbar eindeutig die Geraden durch den Ursprung (0,0,0) mit der Parameterdarstellung {cx,cy,cz}, wobei c den Koordinatenkörper (z. B. den reellen) durchläuft. Diese Punkte können also durch die Koordinaten cx, cy, cz mit irgendeinem c ungleich 0 beschrieben werden. Dagegen beschreiben die Punkte (cx,cy,0) im Raum eine zu E, (d. h. zu einer Klasse paralleler Geraden in E) parallele Gerade, und damit einen uneigentlichen Punkt von E. So lassen sich also die eigentlichen und uneigentlichen Punkte durch die "homogenen" Koordinaten (cx,cy,cz) beschreiben, und zwar die uneigentlichen genau durch solche mit z = 0.

Diese Überlegung lässt sich auf den mehrdimesnionalen Raum verallgeneinern.

Hintereinanderausführung?

Irgendwie geht aus dem Artikel nicht klar hervor, wie man die Hintereinanderausführung nun formuliert. Soll ein Punkt P um Zentrum Z um den Winkel φ gedreht werden und anschließend um k skaliert werden, hätte ich jetzt zuerst um -Z verschoben (T), dann um φ rotiert (R) und dann um k skaliert (S), also: P' = M·P mit M = T·R·S. Aber anscheinend ist es genau andersrum: M = S·R·T, oder?

Matrizen werden von rechts nach links ausgeführt: M(x) = S(R(T(x))) --Dier 09:57, 30. Mai 2008 (CEST)

Perspektive – entweder stehe ich gerade auf dem Schlauch …

Laut Artikel rechne ich für die Perspektive

$P\cdot (x,y,z,1)^{T}=(x,y,z,{\tfrac {z}{d}})^{T}.$

Um das jetzt sinvoll darstellen zu können, müsste ich das ganze ja wieder in kartesische Koordinaten zurück transformieren (siehe Homogene Matrizen: »Eine Rücktransformation von homogenen Koordinaten […]«). Also:

$(x,y,z,w={\tfrac {z}{d}})^{T}\rightarrow ({\tfrac {x}{w}},{\tfrac {y}{w}},{\tfrac {z}{w}})^{T}=({\tfrac {d~x}{z}},{\tfrac {d~y}{z}},d)^{T}=(x',y',z')^{T}.$

Mich weiterhin an den Artikel haltend kann ich $(x',y')$ jetzt als Bildschirmkoordinaten verwenden und $z'$ wird in den Z-Puffer geschrieben. Allerdings ist $z'=d$, unabhängig von $z$ (weil sich selbiges ja bei der Rücktransformation rauskürzt), was ja so nicht sein kann. Zumindest bringt mir $z'$ nichts für den Z-Puffer und $d$ kann irgendwie auch nicht der Abstand zwischen Betrachter und Projektiosebene sein, da das Bild größer wird, wenn $d$ größer wird und ich hab’ irgendwie in der Natur die Erfahrung gemacht, dass es sich genau andersherum verhält._{(Das war Quark — Falk  Palaver … 23:12, 8. Jan. 2010 (CET))}

Wäre schön, wenn mich jemand über meinen Denkfehler aufklärt oder, sollte ich richtig liegen, das im Artikel berichtigt. Danke. — Falk  _Palaver … 22:51, 8. Jan. 2010 (CET)

Nachtrag: Also inzwischen bin ich mir eigentlich sicher, dass der Satz »$z''$ gibt die Distanz des transformierten Punktes vom virtuellen Bildschirm an und wird im Z-Buffer (Tiefenpuffer) gespeichert.« (vgl. Homogene Matrizen) so nicht stimmt. Was in der dritten Koordinate steht, ist die z-Koordinate im Beobachterkoordinatensystem, nachdem der Punkt auf die Projektionsebene geklebt wurde, also immer die Distanz Augpunkt–Projektionsebene – das ergibt mathematisch natürlich Sinn, nutzt aber nichts für den Z-Puffer. — Falk  _Palaver … 01:41, 9. Jan. 2010 (CET)

Projektive Geometrie

Kommt an erster Stelle, dann erst Anwendungen in Computergeometrie.--Claude J 15:56, 17. Jan. 2010 (CET)

perspektivische Transformation

die perspektivische Transformation passt nicht (nicht signierter Beitrag von 91.20.131.120 (Diskussion) 12:55, 23. Nov. 2012 (CET))

Grauenhaft uneingängig – reinstes Fachchinesisch!

Schaut euch den englischen Artikel an, dort kommt in den ersten Abschnitten NICHT EINE Formel und dergleichen vor. In dem deutschen Artikel wird man von Sekunde 1 an mit Fachchinesisch bombardiert und NIEMAND, absolut NIEMAND, der nicht vorher eh schon Bescheid wusste, wird aus solchen Artikeln schlau. Das ist absolut FRUSTRIEREND, dass man den fremdsprachigen Artikel lesen muss, um eine Sache überhaupt ansatzweise zu begreifen! Hört endlich auf mit diesem narzisstischem Elfenbeinturmgequassel und schreibt in Normal-Sprech, verdammt noch eins! (nicht signierter Beitrag von 79.220.211.12 (Diskussion) 20:05, 21. Jan. 2013 (CET))

Ich bin ähnlicher Meinung. Die meisten Einträge aus dem mathematischen Bereich sind leider völlig unbrauchbar für Nicht-Mathematiker, Ingenieure etc. Mathematische Grundkenntnisse zu erwarten ist sicher angebracht, doch alles was über einfache Algebra hinausgeht sollte ohne Fachausdrücke oder komplexe Formeln erklärt werden. Man könnte fast den Eindruck gewinnen, dass die Verwendung unnötiger Fachausdrücke auf Wikipedia nur der Verschleierung der Tatsache dient, dass Mathematik gar nicht so schwer zu begreifen ist. --212.255.104.223 19:00, 7. Feb. 2013 (CET)

Erklärung fehlt

Was ist das?

Ich denke, es sollte jedem klar sein, wozu ein Artikel in der Wikipedia dient. Man wird mit einem Wort konfrontiert und muß nachgucken, was das bedeutet. Das ist heute MUSS. Mit Ignorieren kommt man doch nicht mehr weiter. Diese Wikipedia-Artikel sind also wirklich wichtig.

Ich kann ja sogar noch halbwegs das FachChinesich entziffern. Aber die eine Frage, was das in erster Linie ist, kriege ich nicht in stundenlanger Recherche beantwortet. Truchses (Diskussion) 16:48, 9. Feb. 2014 (CET)

Neue Version

Ich habe heute eine neue Version erstellt. --Ag2gaeh (Diskussion) 11:27, 24. Nov. 2014 (CET)

Vielen Dank für deine Mühe und vor allem die schönen Abbildungen. Ich finde nur das erste Bild etwas verwirrend, weil in der Bildunterschrift "Projekte Ebene" steht, aber die projektive Ebene nicht abgebildet ist. Sollte die grüne Fläche nicht besser durch den roten (Ebenen-)Punkt statt durch den schwarzen (Ursprungs-)Punkt gehen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:00, 25. Nov. 2014 (CET)

Ich habe die Einleitung und den einführenden Teil sprachlich etwas überarbeitet (bitte nur als Formulierungsvorschläge verstehen). Der Allgemeinfall sollte m.E. noch etwas besser herausgearbeitet werden, evtl. in einem Abschnitt "Definition". Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:36, 25. Nov. 2014 (CET)

Du hast den Artikel deutlich verbessert. Danke! Zum ersten Bild. Es soll die Elemente (Punkte u. Geraden) der projektiven Ebene im homogenen Modell zeigen. 3 Punkte (Ursprungsgeraden: lila) und 2 Geraden (Ursprungsebenen: rosa und grün), die sich in einem (projektiven) Punkt schneiden. Die Einführung homogener Koordinaten wird an einem Punkt erklärt. Grüße !--Ag2gaeh (Diskussion) 19:06, 25. Nov. 2014 (CET)

Ok, jetzt verstehe ich was du mit der Abbildung sagen möchtest, aber für den Leser ist das auf den ersten Blick nicht ersichtlich. Vielleicht kannst du die Bildunterschrift oder zumindest die Bildbeschreibungsseite noch etwas ausführlicher gestalten? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:54, 25. Nov. 2014 (CET)

Ich habe jetzt noch ein Bild für den einfachen Fall einer projektiven Geraden ergänzt, wobei ich das Farbschema der anderen Bilder in etwa übernommen habe. Ich denke, damit wird das Prinzip am deutlichsten. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:38, 26. Nov. 2014 (CET)

Es ist eine gute Idee den 1-dim Fall optisch zu unterstützen. Eine Bemerkung dazu: Sollten die Punkte auf der blauen Gerade nicht "normal" mit (..,1) bezeichnet werden, oder wolltest Du die alternative Bezeichnung [..:..] einer Ursprungsgerade mit einbringen ? Grüße !--Ag2gaeh (Diskussion) 10:31, 3. Dez. 2014 (CET)

Ich bin da ganz offen, wir sollten nur die am weitesten verbreitete Notationsvariante verwenden. Zu diesem Punkt gibt es übrigens in der QS noch offene Fragen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:38, 3. Dez. 2014 (CET)

Ich habe einfach mal die Bezeichnung der Punkte ganz entfernt, so ist die Grafik noch besser verständlich. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:41, 5. Dez. 2014 (CET)

Leider immernoch schwer verständlich

Bin jetzt erstmal auf eine andere Seite gegangen um zu verstehen, dass in 2D homogenen Koordinaten (1,2,1) das gleich ist wie (2,4,2) und das Prinzip der Homogenen Koordinaten offenbar einfach das ist, Vielfache des Vektors dazu zu schreiben. In englischen Artikel wird dieses Beispiel direkt gebracht. Hier kann ich eine solche Erklärung nirgens finden. Ich verstehe ad-hoc so wenig, dass ich nichtmal weiß, wo man sowas am besten platzieren würde. Sowas sollte dringend mal eingebaut werden. Der Artikel ist echt Hardcore - bin übrigens Physiker. D.h. würde es mit etwas einarbeiten sicher verstehen, aber das ist so nicht hilfreich. PrinzQMP (Diskussion) 14:29, 22. Mai 2017 (CEST)