Diskussion:Infimum und Supremum

Schwammig formulierter EInführungssatz

Hallo Wikipedianer, der Satz hier:

"Das Supremum (auf deutsch „Oberstes“) einer Menge ist verwandt mit dem Maximum einer Menge und ist – anschaulich gesprochen – ein Element, welches „über“ allen oder „jenseits“ (oberhalb) aller anderen Elemente liegt. Der Ausdruck „über den anderen“ soll andeuten, dass das Supremum nicht das größte Element „unter den anderen“ sein muss, sondern durchaus auch außerhalb („jenseits“) der Menge liegen kann."

(Bzw. eigentlich sind es 2 Sätze aber das ist unwichtig). Lässt sich auf viele verschiedene Arten interpretieren, ich bitte deswegen darum ihn so umzuformulieren dass er 1. zum Bild nebendran passt und 2. nicht mehr missverstanden werden kann selbst wenn man versucht ihn misszuverstehen :D. Wenn ich genauer erklären sol warum man den Satz missverstehen kann dann fordert mich bitte dazu auf, dann mache ich dass, ansonsten mache ich es nicht und hoffe das ihr die Interpretationsfreiräume die die beiden Sätze lassen auch so erkennt. MfG: Spannungsquelle

Trennungsaxiom

Aus dem Artikel:

"Äquivalente Formulierungen zur Existenz des Supremums istdas Trennungsaxiom"

Die (topologischen) Trennungsaxiome haben mit dem Supremumsaxiom nichts zu tun, aber vielleicht gibt es ja noch ein anderes Axiom, das mit Trennung zu tun hat - welches? --SirJective 20:25, 11. Mai 2005 (CEST)

Wahrscheinlich hab ich es nur falsch benannt ;-) Aber wenn A und B beschränkte Mengen sind und alle Elemente aus A kleiner als die Elemente von B sind, dann gibt es eine Element c mit $a\leq c\leq b\forall a\in A,\forall b\in B$ --Prometeus 20:13, 19. Mai 2005 (CEST)

Ich verstehe. Es geht also um sowas ähnliches wie Dedekindsche Schnitte. Ich weiß leider nicht, wie man die Eigenschaft nennt, dass jeder Dedekindsche Schnitt von einem Element erzeugt wird (vielleicht "Dedekind-vollständig" oder "ordnungsvollständig"?). Nebenbei muss man wohl im Schnitt-Artikel noch darauf eingehen, ob und wie man den Unterschied zwischen

$\{\{x\in S:x<a\},\{x\in S:x\geq a\}\}$

und

$\{\{x\in S:x\leq a\},\{x\in S:x>a\}\}$

behandelt, die nach der aktuellen Definition beides Dedekindsche Schnitte sind. --SirJective 17:18, 20. Mai 2005 (CEST)

Schnittaxiom?--Gunther 13:35, 21. Mai 2005 (CEST)

Supremum in metrischen Räumen?

Vor allen axiomatischen Problemen bin ich erst mal irritiert: "Supremum" scheint mir ein Begriff zu sein, der bei geordneten Mengen vorkommt, aber doch nicht bei "metrischen Räumen" (es sei denn, bei eindimensionalen). -- Peter Steinberg 17:13, 11. Jun 2005 (CEST)

Das war Unfug, ich hab' es rausgeworfen, danke.--Gunther 21:19, 11. Jun 2005 (CEST)

definition

ist b in der ersten zeile der definition element aus M oder aus T? das steht nicht da, da ich mir nicht sicher bin schreib ich vorerst nicht hin, dass b element aus M ist

Verständlichkeit

Hallo, habe grade den Eintrag gelesen und bin leider nicht im geringsten Schlau daraus geworden. Der Begriff Sup(f)/inf(f) kommt bei mir in einer Matheklausur (Wirtschaftsingenieurwesen) im Zusammenhang mit Beschränkung vor. Ist es gleichzusetzen mit asymptotischem Verhalten für x gegen Unendlich? Die Seite sollte auch denen etwas bringen die nicht Mathe studieren, ein paar Beispiele wären nicht Schlecht. MfG Boogieman95028 22:49, 24. Jan 2006 (CET)

Also so wie's jetzt im Abschnitt "Anschauung" steht find ich es echt toll mit der Verständlichkeit! --Jol2040 13:03, 5. Sep. 2008 (CEST)

Gleichsetzen würde ich Supremum und asymptotisches Verhalten nicht. Aber es bestehen durchaus Ähnlichkeiten und Verbindungen. Strebt der Funktionswert f(x) einer Funktion f für x gegen Unendlich nur von unten oder nur von oben gegen die ensprechenden Funktionswerte einer anderen, asymptotischen Funktion A, so ist der Grenzwert der Funktionswerte A(x) von A für x gegen Unendlich sicherlich ein Supremum der Menge aller Funktionswerte von f.

Da Asymptoten aber nicht immer komplett oberhalb oder unterhalb der anderen Funktion verlaufen müssen (sondern die Funktionen einander durchkreuzen können), kann man diesen Zusammenhang nicht auf jedes asymptotische Verhalten verallgemeinern. Z.B. hat für die Funktion

${\frac {sin(x)}{x^{2}+1}}$

die Menge ihrer Funktionswerte das Supremum 1 und das Infimum -1, die auch Minimum und Maximum dieser Menge (also in ihr enthalten) sind. Ihre (waagerechte) Asymptote ist aber die x-Achse, um die sie „herumschwingt“, bzw. sie nähert sich im Unendlichen immer mehr dem Wert 0 an.

—Markus Prokott 17:39, 5. Sep. 2008 (CEST)

halbgeordnete Menge

Das sollte man vielleicht auch erklären ich kann mir darunter nichts vorstellen. Hat das etwas mit Halbordnungen und Gruppen zu tun? Bitte erklären oder Link setzen. Danke.

Ja hat es, man hat da leider sehr viele Synonyme für. Halbordnung, halbgeordnete Menge oder partielle Ordnung. Dafür muss man aber nich überall einen Link setzen. Wer die Begriffe wieder in Wiki sucht wird (meist) zum Absatz Halbordnung weitergeleitet. --WissensDürster 14:16, 22. Jan. 2009 (CET)

Das Supremum einer Menge ist nicht die kleinste obere Schranke (??)

Laut Definition des Bronsteins ist die obere Schranke einer Menge nicht mehr Element dieser ( a(n) < K )
Die Aussage, das Supremum sei die kleinste obere Schranke einer Menge ist also nicht zutreffend, weil das Supremum selbst sehr wohl (zumindest so weit das meine Unterlagen hergeben) Element der Menge sein kann (also sup(a(n)) ≥ a(n)).
Leider fehlt mir aber die Muße das direkt im Artikel zu korrigieren. Falls das also mal jemand machen könnte...

Ich besitze den Bronstein nicht, kann daher die Textstelle, auf die du dich beziehst, nicht nachvollziehen. Eventuell wäre ein kurzes Zitat hilfreich gewesen. Daher bleibt mir nur die Möglichkeit übrig, das im Artikel gegebene und von mir unabhängig davon erworbene Verständnis des Supremums nochmal hier darzustellen:

Ist M eine halbgeordnete Menge und T eine Teilmenge von M so gilt:

[Schranke, Beschränktheit]

Ein Element b ∈ M heißt obere Schranke von T, wenn gilt:

$x\leq b\ \ \forall x\in T$.

(Lies: b größer x für alle x aus T)

Hierbei ist nur gefordert, dass b Element der Menge M sein muss. Da T eine Teilmenge von M ist, ist nicht ausgeschlossen, dass in manchen Fällen $b\in M$ gilt. Da es nun mehrere Elemente in M geben kann, die eine obere Schranke von T sind, wählen wir uns nun eine spezielle obere Schranke, nämlich die kleinste:

[Supremum]

Ein Element $b\in M$ heißt Supremum von T, wenn b die kleinste obere Schranke von T ist.

Auch hier kann b aufgrund der Teilmengenbeziehung $T\subseteq M$ in M enthalten sein. In diesem Fall wäre b sogar das Maximum von T.

Fassen wir also nochmal kurz zusammen: Angenommen, T ist nach oben beschränkt mit einer oberen Schranke b. Ist b von allen Schranken von T die kleinste, so nennt man b auch Supremum von T. Liegt dieses Supremum b darüber hinaus in der Menge T selbst ($b\in M$), so nennt man b auch Maximum von T. Ich hoffe, das hat dem Verständnis beigetragen. Grüße, --CyRoXX ^(? ±) 14:24, 6. Aug. 2007 (CEST)

... und das ist auch die übliche Definition von Supremum, siehe zum Beispiel Planetmath. Gruß, Wasseralm 15:42, 6. Aug. 2007 (CEST)

Hm, okay.
Ich hab meinen Bronstein nochmal referiert und dort tauchen unterschiedliche Definitionen zu Schranken auf;
während bei Folgen sinngemäß steht, dass Schranken ausschließlich größer als ALLE Glieder sein müssen (also auch größer als das größte Glied), findet man bei nichtleeren Mengen des Vektorraumes, dass das größte Glied dieses Vektorraumes auch als obere Schranke bezeichnet werden kann.
Es findet sich alo bei Folgen: |an| < K, wobei K (Schranke) > 0
und bei Vektorräumen findet sich die Definition, die Du angegeben hattest, also x ≤ b wobei die Schranke(n) der Menge angehören
Also ich finde, da ist ein erheblicher Unterschied. In meiner Schulzeit wurde mir noch eingebläut, dass Schranken NICHT Teil einer Menge/Folge/Reihe/sonstwas sind, was aber auch schon wieder ein paar Jahre zurückliegt. Diese deutlich unterschiedlichen Definitionen machen mir gerade das lernen schwer.
Bei beschränkten Folgen ist die Definition von Schranken allerdings sehr sparsam verfasst. Kann ich davon ausgehen, dass die Autoren in diesem Abschnitt eher schreibfaul waren und sich dadurch auch kleinere Fehler eingeschlichen haben oder gibt es da tatsächlich unterschiedliche Auslegungen?

Zum Thema Folgen: In meinem Matheskript aus dem Studium ist das Supremum der Folge als Supremum der Menge aller Folgenglieder definiert. Wenn ich mir nun die konstante Folge $a_{n}=5$ bzw. die Folge $b={\frac {1}{n}}$ mit $n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}$ als Beispiele zur Hand nehme, dann sieht man leicht, dass die kleinsten oberen Schranken 5 bzw. 1 sind, beides Werte, die als Werte innerhalb der jeweilige Folge vorkommen. Ob das Supremum von Folgen aus bestimmten Gründen eine andere Definition gibt, kann ich allerdings nicht sagen. Der letzte Abschnitt dieses Absatzes scheint aber meine Definition zu stützen. Grüße, --CyRoXX ^(? ±) 18:19, 6. Aug. 2007 (CEST)

Hallo, mir liegt der Bronstein auch nicht vor, aber was mich irritiert ist, dass der Betrag in deiner Formel auftaucht, also |a_n| < K. Kann es sein, dass es dabei gar nicht um eine obere Schranke für die Folgenglieder, sondern um den Begriff der beschränkten Folge geht, also die Einkapselung in das Intervall ]-K, K[ ?. Wenn es nur um die Beschränkung der Folge an sich geht, ist es egal, ob man < K oder ≤ K in die Definition schreibt. Gruß, Wasseralm 08:39, 7. Aug. 2007 (CEST)

Das Supremum einer Menge kann ganz, ganz, ganz, ganz sicher(!!!) immer auch Element dieser Menge sein. Und dann ist es eben auch das Maximum dieser Menge. Und bei Folgen ist das sinngemäß genauso, da das Supremum hier auf das Supremum bei Mengen zurückgeführt wird. Es ist bestimmt möglich, das auch anders zu machen und im Falle von Folgen wurde das womöglich in älterer Literatur auch so gemacht (weiß leider nicht, ob der Bronstein schon älter ist), aber es führt zu völlig unnötigen Komplikationen, während die gegenteilige Praxis sehr viele Vorteile hat und heute die Gängige ist. Wenn das Supremum ein Folgenglied sein kann, ergibt sich zum Beispiel auch der praktische Zusammenhang, dass der Grenzwert einer wachsenden, monoton konvergenten Folge das Supremum der Folge ist:

$a_{n}\nearrow a\Rightarrow \sup a_{n}=a,$

falls $\langle a_{n}\rangle$ wachsend und konvergent. Was ja beim anders aufgefassten Supremum nicht so allgemein möglich wäre. Zum Beispiel bei der (nichtstreng) wachsenden Folge

$\langle a_{n}\rangle =5,5,5,\ldots ,$

bei der dann zwar

$a_{n}\nearrow 5,$ aber $\sup a_{n}={\text{ n.d.}}$

wäre.

Das, was Wasseralm sagt, deutet meiner Meinung nach schon in die richtige Richtung. Dazu muss ich erstmal was zu ε sagen: Fast überall, wo etwas in einer Epsilon-Umgebung eingesperrt wird, taucht eine Formulierung wie:

$\left|\ldots \right|<\varepsilon ,\quad \|\ldots \|<\varepsilon ,\quad \ldots \in (-\varepsilon ;\varepsilon ){\text{ bzw. }}]-\varepsilon ;\varepsilon [$

oder so ähnlich auf. In diesen Zusammenhängen ist es (fast) immer völlig unerheblich, ob da ein strenges oder schwaches Ungleichheitszeichen, ein offenes oder abgeschlossenes Intervall steht. Weil aber strenge Ungleichheiten und offene Intervalle beim Rechnen sehr viel einfacher handhabbar sind, wird fast immer und überall diese Variante gewählt, obwohl es der sonstigen mathematischen Praxis, immer die schwächstmögliche Bedingung anzugehen ganz klar wiederspricht. Danach müsste es jeweils so aussehen:

$\left|\ldots \right|\leq \varepsilon ,\quad \|\ldots \|\leq \varepsilon ,\quad \ldots \in [-\varepsilon ;\varepsilon ]$

Es hat sich aber einfach anders eingebürgert.

Diese Schreibweise hat sich (wohl auf Grund der Bedeutendheit der Epsilon-Konstruktion in der Mathematik) auch auf alle analogen Schreibungen übertragen, wo irgendwas in einen „Korridor“ bestimmter Breite eingesperrt wird. Das gilt natürlich auch für einen K-„Korridor“ oder eine K-Umgebung.

Was du da in der Schule gelernt hast, sollte allerdings nur bedingt Relevanz haben. Da lernt man aus didaktischen Gründen allerlei Halbwahrheiten. Da darf man z. B. nicht durch Null teilen, da gibt es keine Wurzeln aus negativen Zahlen, da ist Null keine natürliche Zahl etc. Gerade weil es dir „eingebläut“ wurde, solltest du daran zweifeln, denn schließlich ist „Gewalt ein Zeichen von Schwäche“. :-)

Du schreibst aber, dass du gerade (für) irgendwas lernen musst. Insofern brauchst du natürlich eine verlässliche Richtlinie. Da es „tatsächlich unterschiedliche Auslegungen“ gibt, wäre es vielleicht viel hilfreicher, wenn du uns sagen würdest, wofür du lernst.

Was anderes, @CyRoXX

Die Formulierungen in deiner ersten Antwort hier, fand ich echt sehr schön und namentlich artikelreif. Vor allem für math. Laien wären sie sehr hilfreich. Was hälst du davon, die in den Artikel einzuarbeiten. Da du der Autor bis, kann ich das nicht selbst machen. Hier mal ein Vorschlag, wie ich es mir vorgestellt hätte (grün=alter Text):

Suprema können jedoch nicht nur auf den reellen Zahlen, sondern allgemein auf halbgeordneten Mengen betrachtet werden. Die formalen Definitionen lauten wie folgt: Ist M eine halbgeordnete Menge und T eine Teilmenge von M so gilt: [Schranke, Beschränktheit] Ein Element b ∈ M heißt obere (untere) Schranke von T, wenn gilt: $b\geq x\ (b\leq x)\ \forall x\in T$. (Lies: b größer x (kleiner x) für alle x aus T) Existiert eine obere (untere) Schranke von T, so heißt T nach oben (unten) beschränkt. T heißt beschränkt, falls T nach oben und unten beschränkt ist. Ist T nicht nach oben (unten) beschränkt, so heißt T nach oben (unten) unbeschränkt. T ist unbeschränkt oder nicht-beschränkt, wenn T entweder nach oben oder nach unten oder nach oben und unten unbeschränkt ist. (Soll ausgedrückt werden, dass eine Menge sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist, so muss die Menge ausdrücklich als nach oben und unten unbeschränkt beschrieben werden.)

Bei dieser Definition ist nur gefordert, dass b Element der Menge M sein muss. Da T eine Teilmenge von M ist, ist nicht ausgeschlossen, dass in manchen Fällen $b\in M$ gilt. Da es nun mehrere Elemente in M geben kann, die eine obere (untere) Schranke von T sind, wählen wir uns nun eine spezielle obere (untere) Schranke, nämlich die kleinste (größte): [Supremum / Infimum] Ein Element b ∈ M heißt Supremum von T, wenn b die kleinste obere Schranke von T ist. Es heißt Infimum von T, wenn es die größte untere Schranke von T ist. Auch hier kann b aufgrund der Teilmengenbeziehung $T\subseteq M$ in T enthalten sein. In diesem Fall wäre b sogar das Maximum von T. Fassen wir also nochmal kurz zusammen: Angenommen, T ist nach oben beschränkt mit einer oberen Schranke b. Ist b von allen Schranken von T die kleinste, so nennt man b auch Supremum von T. Liegt dieses Supremum b darüber hinaus in der Menge T selbst ($b\in M$), so nennt man b auch Maximum von T. Ist M die Menge der reellen Zahlen so gilt: …

Habe nur das ursprünglich erste Wort „Hierbei“ ersetzt, den Fehler „in M enthalten sein“ im zweiten Absatz korrigiert und einen Absatz eingefügt.

Gruß – Markus Prokott 18:04, 7. Aug. 2007 (CEST)

Siehe auch

Wäre nicht ein Verweis auf den Artikel über Limes superior und Limes inferior sinnvoll? --87.174.173.78 21:24, 15. Dez. 2007 (CET)

Lob

an die Verfasser. Verständlich rüber gebracht. mfg مبتدئ 19:35, 4. Nov. 2008 (CET)

Da hatte jemand die gleiche Idee wie ich: Ich finde den Artikel auch sehr verständlich geschrieben, Kompliment an den/die Autor/en. -- 84.61.15.49 10:25, 5. Aug. 2010 (CEST)

Kommentar zu "1.1.3 Im Allgemeinen, [Schranke,Beschränktheit]"

Dort steht b ≥ x ∀ x ∈ T . Diese Schreibweise ist so weit ich weiß nicht korrekt. Quantoren werden nicht nachgestellt. Auf die schnelle habe ich keine Quelle gefunden die das direkt, d.h. wortwörtlich, schreibt. Aber bei "Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik" (14. Aufl.; ISBN 3-411-07771-9) auf der Seite 353 steht (Zweiter gelber Definitions-Kasten): " (3) (...), so sind auch ∃ xA(x) und ∀ xA(x) Ausdrücke. (4) Nur die nach (1), (2), (3) gebildeten Zeichenreihen sind Ausdrücke." 192.168.2.6, 12:02 (CEST), 26.09.2009 (nicht signierter Beitrag von 88.72.230.230 (Diskussion | Beiträge) 12:04, 26. Sep. 2009 (CEST))

Abschnitt "Erstellung konvergenter Folgen"

Diesen Abschnitt fügte ich hinzu, weil die Behauptung im Beweis des Satzes vom Minimum und Maximum (stetiger Funktionen) gebraucht wird, aber unahbängig von Funktionen auf den Reellen formuliert werden kann. Eben weil sie recht einfach und elementar ist, "stört" ihr Beweis im Beweis, gehört eher hierher.

--Psychironiker (Diskussion) 13:53, 13. Nov. 2017 (CET)

Beweis der Existenz des Supremums für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen durch Intervallschachtelung

Vorgefundener Text:

(1) "Dazu konstruiert man zwei Folgen, von denen die erste, $(a_{n})$, monoton wachsend ist und nicht aus oberen Schranken von $M$ besteht"

Woraus $(a_{n})$ denn nun tatsächlich besteht, wüsste man gerne. Auch könnten nach dieser Formulierung die eine odere andere obere Schranke oder fast alle oberen Schranken von $M$ vielleicht doch Glied von $(a_{n})$ sein, denn gesagt ist nur, dass $(a_{n})$ nicht (ganz) daraus besteht.

(2) "(...) so dass noch gilt, dass die Abstände entsprechender Folgeglieder gegen 0 gehen (indem man jeweils die Intervallmitte betrachtet und entscheidet, ob sie eine obere Schranke ist oder nicht)."

Was sind "entsprechende" Folgeglieder? (Wie ist dieses "Entsprechung" definiert?) Gemeint sind möglicherweise die gleich indizierten Elemente $a_{k}\in (a_{n})$ und $b_{k}\in (b_{n})$. Oder auch etwas anderes...

Was ist ein "Abstand" entsprechender Folgeglieder? "Abstand" ist ein geometrischer Begriff. Gemeint ist möglicherweise, dass die Differenzenfolge $(d_{n})$, wobei $d_{n}=b_{n}-a_{n}$ für je ein n, eine Nullfolge sein soll. Oder auch etwas anderes...

Von der Mitte welchen Intervalls ist die Rede? Gemeint ist wahrscheinlich das arithmetische Mittel $c_{n}={\frac {(a_{n}+b_{n})}{2}}$. Oder auch etwas anderes...

Und dann? Was nützt diese "Entscheidung", ob die Intervallmitte nun eine obere Schranke ist oder nicht? Es fehlt die Angabe eines konkreten Rechenverfahrens oder einer sonstigen beweisenden Begründung, dass eine Intervallschachtelung mit den behaupteten Eigenschaften überhaupt existiert.

Auch kommt die Identität der zu verwenden Folge mit der beim Beweis des Zwischenwertsatzes verwendeten nicht heraus; das gäbe vielleicht sogar Anlass für eine Redundanzdiskussion. So ergibt sich kein Anlass dafür, weil einfach die entsprechende inhaltliche Verbindung nicht hergestellt wird ...

(3) "Damit erhält man den gemeinsamen Grenzwert (...) der beiden Folgen (...)"

Nirgendwo ist begründet, warum $(a_{n})$ und $(b_{n})$ überhaupt einen gemeinsamen Grenzwert haben.

(4) "Jedes Element von $M$ ist kleiner oder gleich jedem Element $b_{n}$ der oberen Folge, also kleiner oder gleich $\sup M$, somit ist $\sup M$ eine obere Schranke von $M$. "

Nirgendwo im Text steht, was "die obere Folge" ist; gemeint ist offensichtlich $(b_{n})$ (denn eine andere Folge kann schwerlich ein Glied $b_{n}$ haben, ob und wie die Glieder eine Folge deren Elemente sind, ist noch eine ganz andere Dikussion).

Schwerer wiegend: Dass $\sup M$ eine obere Schranke von $M$ ist, folgt bereits aus der Definition des Supremums, und nicht aus dem Verhalten irgendeiner Folge; die Verbindung beider Aussagen mit "somit" beweist nichts. Insbesondere begründet der Text gerade nicht, warum jedes $b_{n}$ größer als der gemeinsame Grenzwert der Folgen $(a_{n})$ und $(b_{n})$ ist. Der Text verwendet das Zeichen "$\sup M$" unterschiedslos für das Supremum von M und für eine Zahl, von der (erst) nachgewiesen werden soll, dass es sich um $\sup M$ handelt, und suggeriert auf diesem Wege eine Gleichheit, die nicht nachgewiesen ist. Geht gar nicht, mathematisches peccatum originale, solche Äpfel vom Baum der Erkenntnis bitte hängen lassen.

(5) "Und jede reelle Zahl, die kleiner ist als $\sup M$, ist kleiner als wenigstens ein Element $a_{n_{0}}$ (für ein gewisses $n_{0}$) der unteren Folge, also keine obere Schranke."

Nirgendwo im Text steht, was "die untere Folge" ist; gemeint ist wahrscheinlich $(a_{n})$.

Wie ist "das gewisse $n_{0}$" definiert, und warum existiert es überhaupt? (In gewissen Zusammenhängen schätze ich durchaus die Subtilität eines "gewissen Etwas", im gegebenen allerdings weniger.) Es ist auch nicht einzusehen, warum einerseits mit jedem Element von $(b_{n})$ argumentiert wird, andererseits aber mit einem "gewissen" Element von $(a_{n})$.

Ingesamt komme ich zu dem Ergebnis, dass der Text an entscheidenden Stellen nur suggestiv arbeitet, bestenfalls "irgendwie etwas Beweisendes meint", aber wenig beweist. Das motivierte die Umformulierung.

--Psychironiker (Diskussion) 11:35, 21. Nov. 2017 (CET)