Satz vom Minimum und Maximum

Eine auf [a,b] definierte stetige Funktion, die ihr Maximum und Minimum annimmt

Der Satz vom Minimum und Maximum ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis, der dem deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zugerechnet wird. Der Satz besagt, dass jede auf einem kompakten reellen Intervall definierte, reellwertige und stetige Funktion beschränkt ist und im Definitionsbereich ihr Maximum sowie Minimum annimmt. Er ist einer der Hauptsätze der Analysis und stellt ein wichtiges Instrument zum Beweis der Existenz von Extremwerten solcher Funktionen dar.

Satz vom Minimum und Maximum

Der Satz lässt sich in mehreren Fassungen formulieren:

(Ia) Jede auf einem kompakten Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R} \;(a\leq b)$ definierte stetige Funktion ist dort beschränkt und nimmt dort ein Maximum und ein Minimum an.

Oder ausführlich:

(Ib) Ist $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion, so gibt es stets Argumente ${\tilde {x}},{\hat {x}}\in [a,b]$ derart, dass für jedes andere Argument $x\in [a,b]$ die Ungleichung $f({\hat {x}})\leq f(x)\leq f({\tilde {x}})$ erfüllt ist.

Oder kurz und unter Einbeziehung des Zwischenwertsatzes:

(II) Für jede stetige Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ existieren Argumente ${\tilde {x}},{\hat {x}}\in [a,b]$ mit $f([a,b])=[f({\hat {x}}),f({\tilde {x}})]$ .

Beweis

Voraussetzung: Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $a\leq b$.

$M=f([a,b])$ sei die Menge aller Funktionswerte, die $f$ annimmt.

Die Folgen $(y_{n}),y_{n}\in M$ und $(x_{n}),x_{n}\in [a,b]$ mit jeweils $n\in \mathbb {N}$ heißen zugehörig, wenn für je ein Folgenglied gilt: $f(x_{n})=y_{n}$.

$(x_{k})$ bzw. $(y_{k})$ sei eine durch geeignete Auswahl aus $(x_{n})$ bzw. $(y_{n})$ entstehende Teilfolge, wobei $k\in K\subset \mathbb {N}$.

A. Behauptung: Jede Folge $(y_{n})$ hat eine Teilfolge $(y_{k})$, die gegen ein $y_{l}\in M$ konvergiert.

Beweis: Die $(y_{n})$ zugehörige Folge $(x_{n})$ ist wegen $x_{n}\in [a,b]$ beschränkt. Mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß lässt sich aus $(x_{n})$ eine konvergente Teilfolge $(x_{k})$ auswählen. Da $[a,b]$ kompakt ist, konvergiert $(x_{k})$ gegen ein $x_{l}\in [a,b]$. Da $f$ in $[a,b]$ stetig ist, konvergiert die zugehörige Folge $(y_{k})$ nach dem Folgenkriterium der Stetigkeit gegen $y_{l}=f(x_{l})\in M$.

B. Behauptung: $f$ ist in [a,b] nach oben beschränkt.

Der Beweis wird indirekt geführt. - Annahme: $f$ ist nicht nach oben beschränkt.

Dann gibt es eine streng monoton steigende und (bestimmt) divergente Folge $(y_{n})$. Jede Teilfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_k)} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_n)} ist ebenfalls divergent. Das ist widersprüchlich, denn mit A. lässt sich aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_n)} eine konvergente Teilfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_k)} auswählen.

Also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} nach oben beschränkt, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} hat ein Supremum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s \in \R} .

C. Behauptung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} nimmt in [a,b] ein Maximum an.

Aus geeignet gewählten Elementen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} lässt sich eine Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_n)} erstellen, die gegen das Supremum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} konvergiert. Jede Teilfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_k)} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_n)} konvergiert ebenfalls gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} . Mit A. gibt es eine Teilfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_k)} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_n)} , die gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_l = f(x_l) \in M} konvergiert. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwerts ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = y_l} das Maximum der Behauptung.

D. Behauptung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist in [a,b] nach unten beschränkt und nimmt dort ein Minimum an.

Zum Beweis ist in B. und C. "oben" durch "unten", "steigend" durch "fallend", "Supremum" durch "Infimum" und "Maximum" durch "Minimum" zu ersetzen.

Bemerkungen

• Der Satz ist ein reiner Existenzsatz. Er ist nicht konstruktiv. Das heißt: Er liefert kein Verfahren, die Extremalstellen tatsächlich zu bestimmen. Bei differenzierbaren Funktionen können die Methoden der Kurvendiskussion genutzt werden, um die Extrema einer Funktion zu bestimmen.
• Der Satz vom Minimum und Maximum ist in bestimmtem Sinne charakteristisch für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} . Seine uneingeschränkte Gültigkeit ist gleichwertig mit dem Supremumsaxiom.

Verallgemeinerung

Der gleiche Satz - gemäß den Fassungen (Ia) oder (Ib) - gilt auch noch, wenn anstelle eines kompakten reellen Intervalls ein beliebiger kompakter topologischer Raum zugrundegelegt wird: Stetige Bilder von kompakten topologischen Räumen unter reellwertigen Funktionen sind innerhalb der reellen Zahlen stets abgeschlossen und beschränkt.

Tatsächlich kann diese Aussage noch weiter verallgemeinert werden: Das Bild eines kompakten topologischen Raums unter einer stetigen Funktion ist wieder kompakt. Da kompakte Teilmengen von metrischen Räumen (insbesondere also von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} ) immer abgeschlossen und beschränkt sind, folgt sofort die obige Aussage.

Da auch die Bilder zusammenhängender topologischer Räume unter stetigen Funktionen wieder zusammenhängend sind und die zusammenhängenden Teilmengen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} gerade die Intervalle sind, stellt sich auch die Fassung (II) als Spezialfall eines allgemeinen topologischen Sachverhalts dar.

Quellen und Hintergrundliteratur

• Otto Forster: Analysis 2 (= Grundkurs Mathematik). 8., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-9541-7. 
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.  MR0423277

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Satz vom Minimum und Maximum – Lern- und Lehrmaterialien