Diskussion:Keilprodukt

und wer soll das jetzt verstehen? Runghold 13:04, 13. Dez 2004 (CET)

Hi, definiere "Verstehen". Ab jetzt gibt es den übergeordneten Artikel Äußere Algebra.--LutzL 14:01, 13. Dez 2004 (CET)

z.B. eine Zeichnung oder ein Anwendungsbeispiel würde vielleicht auch einen interessierten Laien den Einstieg erleichtern. Schätze mal, daß 95 % der Leser nur Bahnhof verstehen werden. So, wie z.Z. Mathematikartikel dargestellt werden, wird das nichts mit Pisa....Runghold 00:35, 14. Dez 2004 (CET)

Hi, Skizze ist gut, da reichen die Dimensionen leider nicht aus. Entweder es wird zu trivial, oder zu hochdimensional. Ich mach mir noch Gedanken drüber, man kann auf das Kreuzprodukt verweisen oder die Grassmannschen Mannigfaltigkeiten diskutieren. Hast Du versucht, die Grassmann-Algebra=Äußere Algebra zu verstehen? Ansonsten ist dieses Thema weit von PISA entfernt, wo 9.-Klässler an Aufgaben vom Lehrstoff 6./7. Klasse scheitern.--LutzL 09:13, 14. Dez 2004 (CET)

Wie wäre es denn mit einer Aufteilung des Artikels. Oben den trivialen Ansatz, der vielleicht nicht exakt, aber leichtverständlich ist, und weiter unten die exakte genaue Definition? Gibt es eine konkrete Anwendung?

Selber hatte ich vor 25 Jahren Differentialrechnung und Vektorrechnung in der Schule gehabt. Ich hatte Glück, daß die Lehrer versuchten, den Stoff anschaulich mit Hilfe von Beispielen zu erklären. Aber hier fällt es mir wahnsinnig schwer, einen Einstieg zu finden.

Wenn man diese Sachen nicht mehr trivial erklären kann, wäre es vielleicht besser, das Thema in ein Wikibook über Analysis auszulagern, weil meiner Meinung nach eine Enzyklopädie die Aufgabe hat, eine leichtverständliche Übersicht über einen Thema zu geben. Gerade das wäre ja mal stark, wenn Wikipedia Stoff der 6. u. 7. Klasse den 9.-Klässlern verständlich machen könnte.:-) Runghold 11:08, 14. Dez 2004 (CET)

Also ich würde auch gerne wissen, was das "Produkt der Äußeren Algebra eines Vektorraumes" sein soll. Was ist denn das Ergebnis des Produktes, ein Vektor oder ein Element eines Körpers? Was ist denn $\lambda$? - wird im Defintionsbereich verwendet. Fragen über Fragen ... --Kilian Klaiber 14:04, 16. Apr 2005 (CEST)

Die äußere Algebra ist eine Algebra, und Produkt meint die Multiplikation in dieser Algebra. $\lambda$ ist ein Skalar. Der Artikel ist überarbeitungsbedürftig, keine Frage.-- Gunther 14:11, 16. Apr 2005 (CEST)

Klar, das Keilprodukt ist entweder trivial oder hochdimensional. Das ist nur dem Kenner "Grassmannscher Mannigfaltigkeiten" verständlich zu machen. Schulkinder (insbesondere 9.-Klässler) sollten damit gar nicht in Berührung kommen. Die sind viel zu Dumm... Stimmt's? Habe ich irgendetwas überlesen? --Kilian Klaiber 14:49, 16. Apr 2005 (CEST)

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Dieser Artikel gehört aufgeteilt nach Äußere Algebra, Differentialform und Graßmannsche oder wie man das auch immer nennen will. Differentialform muss sich ohnehin erst einmal mit Pfaffsche Form vereinigen.--Gunther 23:35, 19. Mär 2005 (CET)

Ich habe mal einen Abschnitt über den (wichtigsten) Spezialfall des Keilproduktes von Multilinearformen hinzugefügt. Ich denke, das wäre ein möglicher Inhalt für einen elementaren Artikel, der ohne äußere Algebra auskommt.-- Gunther 23:23, 16. Apr 2005 (CEST)

Differentialformen ..

Aus dem Artikel ...

Außerdem kann das Dachprodukt vorteilhaft beim Ableiten von Differentialformen angewand werden, so gilt:

${\frac {\partial \left({{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\cdot dx_{j}}\right)}{\partial x_{i}}}\cdot dx_{i}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\cdot dx_{j}\wedge dx_{i}$

So braucht nicht mehr das Produkt ${{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\cdot dx_{j}}$ nach ${\partial x_{i}}$ abgeleitet werden, sondern man schreibt einfach nur die Ableitung nach ${\partial x_{j}}$ nach ${\partial x_{i}}$ multipliziert mit dem Dachprodukt der Differentiale $dx_{j}$ und $dx_{i}$. Bsp.: Das totale Differenzial $df$ der Funktion $f$ ist ja $df={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}$. Dann gilt für das zweite totale Differenzial $d^{2}f=ddf$:

$d^{2}f=ddf=d\left({df}\right)=d\left({{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}}\right)={\frac {\partial {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}}{\partial x_{j}}}dx_{j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{j}$

Hm, und wo soll jetzt da der Erkenntnisgewinn sein. Ich halte es zumindest für bedenklich, Summationskonvention zu nutzen, ohne es zu sagen. Zweitens sehe ich den Bezug zum Keilprodukt nicht wirklich. Und drittens ist $d^{2}=0$ und man muss das wohl nicht speziell für $f$ ausrechnen. -- 83.169.144.63 13:33, 18. Feb 2006 (CET)

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Reicht es für das Keilprodukt alternierender Multilinearform nicht aus, wenn die Charakteristik des Körpers $\neq 2$ ist? --129.206.119.116 15:04, 18. Jul 2006 (CEST)

Danke für diese Frage, sie hat mir gezeigt, dass ich mir einiger Subtilitäten nicht bewusst war, insbesondere war die Formel im Artikel nicht die, die ich jetzt für richtig halten würde (laut en:exterior algebra ist es jedoch eine zulässige Variante; der Satz mit der Determinante stimmt jedoch für sie definitiv nicht). Wenn man die "neue" Formel noch weiter umschreibt zu

$(\omega \wedge \eta )(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}/(S_{k}\times S_{\ell })}\mathrm {sgn} (\sigma )\cdot \omega (v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})\cdot \eta (v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )}),$

dann wird klar, dass die Charakteristik kein Hindernis für diese Konstruktion darstellt. Momentan sehe ich noch nicht einmal, weshalb in Charakteristik 2 irgendetwas schiefgehen sollte.--Gunther 17:37, 18. Jul 2006 (CEST)