Diskussion:Klein-Gordon-Gleichung

Neufassung des Artikels

Ich habe den Artikel gerade mal neu geschrieben, da ich mit dem alten nicht zufrieden war. Man kann aber auch hier noch einiges hinzufügen wie:

• Hamiltondichte
• Heisenberg'sche Bewegungsgleichung
• Zweite Quantisierung
• Propagator

Wieso die Lagrangedichte so kompliziert schreiben ? Bzw. was spricht gegen die übliche Schreibweise mit Lorentz-Indizes ?

--Gnuke 22:54, 5. Jun. 2008 (CEST)

Allgemein

Wie wäre es den Namen in "Klein-Gordon Gleichung" zu ändern, dann landet man bei suchen nach Klein-Gorden nicht mehr auf einer nicht existenten Seite?

Schlecht, weil gegen die Rechtschreibregeln ;-) Versuch mal die Suche (auf "Suche" klicken), nicht auf "Los", dann müsste das eigentlich kommen. Uli 14:59, 11. Sep 2004 (CEST)

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Als Lektüre empfehle ich noch den Artikel Durchkopplung. Stern !? 15:02, 11. Sep 2004 (CEST)

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Kann man den Namen Fock irgendwo mit erwähnen? (Mir fällt der Vorname jetzt nicht ein) Das war ein sowjetischer Physiker der einen nicht unbedeutenden Anteil zu dieser Gleichung beigetragen hat.

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Ich würde mich über die Erwähnung der Möglichkeit der Identifikation der Wahrscheinlichkeitsdichte als Ladungsdichte freuen. Aber gibt es überhaupt geladene, spinlose Teilchen? -- Gogowitsch 18:36, 17. Sep 2006 (CEST)

Klar gibt's die! Z.B. Pionen, die können elektr. geladen sein und haben Spin 0.

Gruß, René, 13. Feb 2007, 12.04

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Im Allgemeinen ist der D'alembert-Operator (Hier auch als "Wellenoperator" verlinkt) doch als 1/c^2 * d/dt ... definiert (also mit "eins duch c quadrat" vor der part. zeitl. ableitung). Natürlich wird der Wellenoperator durch setzen von c und h-quer gleich 1 zu so einer Form, wie im Artikel der Klein-Gordon-Gleichung abgebildet (nämlich OHNE den Vorfaktor 1/c^2), dennoch ist es fürmich nicht richtig formuliert.

Schliesslich heisst es "man ersetzt die SI-Einheiten durch die Natürlichen". Weiter heisst es: "In diesen Einheiten und mit dem Wellenoperator", der danach OHNE Vorfaktor angegeben wird.

Schöner wäre es doch zu schreiben, "In diesen Einheiten wird der Wellenoperator zu" dann die abbildung des Operators OHNE 1/c^2 und weiter dann die daraus resultierende Kurzschreibweise der Klein-Gordon-Gleichung. (nicht signierter Beitrag von 78.34.143.239 (Diskussion | Beiträge) 16:02, 26. Apr. 2009 (CEST))

Keine weltbewegende Änderung, aber auch keine unsinnige. Also schreib es ruhig um.--Timo 23:47, 26. Apr. 2009 (CEST)

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Relativistische Masse

Ein Fähiger sollte die "Herleitung" mal umschreiben ohne das Konzept der relativistischen Masse zu benutzen, was IMO sehr stark verwirrt. Siehe dazu auch den guten Artikel Relativistische Masse

Ein Fähiger hat die Herleitung geschrieben und sie ist gut. --A.McC. 11:48, 8. Mai 2007 (CEST)

Naja... also eigentlich wurde sie von der IP 62.180.196.74 geschrieben: [1] deren Qualifikation sich nicht aufgrund weiterer Edits einschätzen lässt. Und ich stimme absolut zu, dass die Verwendung der relativistischen Masse gar nicht not tut. Außerdem könnte man den Geschwindigkeits-4-Vektor als Spalte statt als Zeile schreiben. Ich mach mal. -- 217.232.49.198 13:51, 23. Mai 2007 (CEST)

Nachdem die relativistische Masse rausgenommen wurde ergibt das "m0" aber wenig Sinn, oder? Sollte das nicht gegen ein einfaches "m" ausgetauscht werden? Wäre weniger verwirrend. --88.68.195.211 22:01, 22. Okt. 2007 (CEST)

Lösungsansatz

Der folgende Satz ergibt keinen Sinn; "Ebenso löst die konjugiert komplexe Welle

   A \cdot \mathrm e^{-\mathrm i \bigl( \mathbf k\cdot \mathbf x - \omega\,t\bigr)}

die Klein-Gordon-Gleichung, denn sie ist reell." (nicht signierter Beitrag von 188.194.187.219 (Diskussion) 08:44, 27. Jan. 2012 (CET))

Gemeint war die Gleichung.--Claude J 09:15, 27. Jan. 2012 (CET)

Nichtrelativistischer Grenzfall

Inwiefern soll der nichtrelativistische Grenzfall die Schrödingergleichung sein ?, die ist erster Ordnung in der Zeitableitung, die Klein-Gordon 2. Ordnung.--Claude J (Diskussion) 23:32, 9. Jan. 2020 (CET)

Ich bin mir dabei nicht sicher. Mich stört, dass: $j^{0}$ nicht positive definit ist. Oder das es zwei Lösungen für die Energie (+,-) gibt. Oder das die Ableitung $\partial _{t}\psi$ postuliert werden muss (Durch eine bestimmte Linearkombination: $\partial _{t}^{2}\psi \approx \partial _{t}\phi$) //www.itp3.uni-stuttgart.de/downloads/Fortgeschrittene_Quantentheorie_WS_2011.2012/Kapitel2.pdf S.42

Stepanow "Relativistische Quantentheorie" S.47: Mit der Substitution $\psi ({\vec {r}},t)=exp(-{\frac {imc^{2}}{\hbar }}t)\phi ({\vec {r}},t)$ folgt $i\hbar \partial _{t}\phi =H\phi$ mit $H={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}-{\frac {({\vec {p}}^{2})^{2}}{8m^{3}c^{2}}}+...$ oder: https://en.wikipedia.org/wiki/Klein%E2%80%93Gordon_equation#Non-relativistic_limit

Das ist näherungsweise die Schrödinger-Gleichung--Vainon (Diskussion) 02:26, 12. Jan. 2020 (CET)

Herleitung

Der Satz: "Darüberhinaus ergibt sich daraus für m0 = 0 die relativistische Wellengleichung der Elektrodynamik." suggeriert fälschlicherweise die Anwendbarkeit der Klein-Gordon-Gleichung auf Teilchen mit Spin 1. Das ist jedoch falsch. Die relativistischen Wellengleichungen der Elektrodynamik sind aus der Dirac-Gleichung ableitbar. Die Herleitung steht im Greiner, Band 6, Relativistische Quantenmechanik. Einwand (Gunter Berauer): Die Klein Gordon Gleichung beschreibt für m = 0 aber nun tatsächlich exakt (!!!) die Wellenfunktion eines freien Photons und ergibt sich auch in genau dieser Form aus den Maxwell-Gleichungen als Differentialgleichung des elektrischen Feldes im Vakuum. Damit ist die Aussage, die Klein Gordon Gleichung gelte nur für Spin 0 Teilchen, falsch. Und Fehler sollten in Wikipedia vermieden werden. Ich werde also nochmals meine Korrektur einbringen.(nicht signierter Beitrag von 2003:ce:8f1c:3300:f4b0:bafd:ce8c:40e3 (Diskussion) )

Die Klein-Gordon-Gleichung beschreibt spin 0 Teilchen (Skalare), siehe z.B. Spektrum Lexikon Physik. Spin 1 Teilchen werden durch die Proca-Gleichung beschrieben.--Claude J (Diskussion) 12:45, 17. Jul. 2021 (CEST)

Einwände (Gunter Berauer): 1.) Auf der Internetseite von Wikipedia zur Proca-Gleichung (https://de.wikipedia.org/wiki/Proca-Gleichung) heißt es wörtlich: "Sie beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten eines fundamentalen Bosons mit Spin 1 und Masse, wie dem W-Boson und dem Z-Boson." Von Photonen (ohne Masse) ist hier nicht explizit die Rede und nur um diese ging es mir. Die Gleichung reduziert sich aber mit m=0 auf die Maxwellgleichung (siehe unten), genauso wie dies die Klein-Gordon-Gleichung tut. 2.) Was die Dirac-Gleichung anbetrifft, findet man bei Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Gleichung#Dirac-Gleichung_eines_ungeladenen_Teilchens) den Satz: "Sie beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten eines fundamentalen Fermions mit Spin 1/2 (zum Beispiel Elektron, Quark) (...)." Wie soll man dann aus einer dafür gar nicht zuständigen Gleichung die Wellenfunktion von Spin 1 Teilchen ableiten können, wie oben behauptet? 3.) Auf der Wikipedia-Seite "https://de.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetische_Welle#Herleitung_der_elektromagnetischen_Wellengleichung" ist die Maxwell'sche Wellengleichung der Elektrodynamik im Vakuum (also für freie Photonen) mit ∂²E(t,x)/∂t² = c²ΔE(t,x) angegeben. Diese entspricht mit Δ = ∇² zumindest formal exakt der Klein-Gordon-Gleichung für den Grenzfall m=0. 4.) Die Klein-Gordon-Gleichung wird (so auch auf der betreffenden Internetseite) aus der Einstein'schen Energie-Impulsbeziehung abgeleitet. Da diese mit m=0 auch für Photonen gilt, sollte auch die daraus abgeleitete Differentialgleichung ebenso für Photonen gelten.(nicht signierter Beitrag von 2003:ce:8f1c:3300:f4b0:bafd:ce8c:40e3 (Diskussion) )

Photonen sind aber keine Skalare (und - ich kann mich nur wiederholen - nur für diese gilt die Klein-Gordon-Gleichung per definitionem) und die (relativistische, mit v=c) Wellengleichung ist auch der Grenzfall verschwindender Masse der Proca-Gleichung. Bitte immer mit zweimal - viermal ~ unterschreiben.--Claude J (Diskussion) 19:03, 18. Jul. 2021 (CEST)

Und die Proca-Gleichung entspricht der Klein-Gordon-Gleichung für vektorielle Felder. --Dipol1912 (Diskussion) 11:10, 1. Aug. 2021 (CEST)

Warum liefern dann aber beide, die Proca- und die Klein-Gordon-Gleichung im Grenzfall m=0 exakt die Maxwell'sche Wellengleichung. Ich habe schon oft gelesen, dass die KG-Gleichung angeblich nur für Spin 0 Teilchen gilt (und offenbar meinen die Quellen, dass das auch für Teichen ohne Ruhmasse gelte), aber nirgends wird gesagt, warum etwa auch Spin 1 Teilchen ausgeschlossen sein sollen. Aus der Ableitung über die Energie-Impuls-Beziehung, die ja auch auf der Wiki-Seite verwendet wird, geht m.E. auch gar nicht hervor, dass die Feldgröße (d.h. der Faktor vor dem Exponentialtherm der komplexen Wellenfunktion) nur ein Skalar sein dürfte. Und, wie gesagt, mit m=0 und Annahme einer vektoriellen Feldgröße (z.B. dem Vektor des elektrischen Feldes) folgt aus der KG-Gleichung bei m=0 eben exakt die Maxwellgleichung für den Freiraum für Photonen. Insofern darf man doch sagen, dass die KG-Gl. im Grenzfall m=0 auch die Photonen exakt beschreibt, weil sie ja in diesem Fall tatsächlich der ganz sicher korrekten Maxwell-Lösung entspricht. --Dipol1912 (Diskussion) 19:54, 18. Jul. 2021 (CEST)

Sie liefern nicht die Maxwellschen gleichungen (da spin 0), sie liefern die Wellengleichung, es ist doch wohl nicht überraschend dass man bei so einigen Gleichungen im Grenzfall masse gegen Null und freien Feldern eine Wellengleichung mit Ausbreitungsgeschw. c erhält.--Claude J (Diskussion) 17:35, 20. Jul. 2021 (CEST)

Hier noch ein Argument für meine Sicht zur Klein-Gordon-Gleichung: Damit die Klein-Gordon-Gleichung Lorentz-invariant bleibt, muss im Allgemeinfall gefordert werden, dass die Feldgröße Ψ = Ψ0 exp[(i2π/h)(px-Et)] ein Skalar ist (siehe z.B. hier). Die Forderung einer skalaren Feldgröße entfällt aber bei verschwindender Ruhmasse (also bei m=0), weil die Klein-Gordon-Gleichung in diesem Fall mit einem Vektorfeld Ψ (etwa mit einem orthogonal zu p gewählten Amplitudenvektor Ψ0) in die Maxwell'sche Differentialgleichung einer ebenen elektromagnetischen Welle im Freiraum übergeht, deren Lorentz-Invarianz hinlänglich bekannt ist. Die KG-Gleichung beschreibt also im Spezialfall m=0 mit einem Vektorfeld Ψ auch freie Photonen mit dem Spin 1. Auf diesen Spezialfall sollte man m.E. auf der Wikipedia-Seite auch hinweisen. --Dipol1912 (Diskussion) 21:35, 20. Jul. 2021 (CEST)

Ich beabsichtige, in den nächsten Tagen nochmals eine Überarbeitung der Seite zur Klein-Gordon-Gleichung in diesem Sinne vorzunehmen. --Dipol1912 (Diskussion) 09:57, 23. Jul. 2021 (CEST)

Was du geschrieben hast ist kein neues Argument. Also lass es bleiben. Im Übrigen, bring doch einfach mal wie bei wikipedia üblich Literaturbelege (Lehrbücher) für eine Klein-Gordon-Gleichung mit Vektor-Wellenfunktion, ich wüsste keine. Beispiel Greiner, Relativistic QM, S. 4, definiert mit skalarer Wellenfunktion, ebenso Björken/Drell Relativistic QM, Kapitel 9, zur Klein-Gordon-Gleichung etc.. Wenn du geladene Teilchen betrachtest und eine lokale Eichinvarianz (U(1)- Feld, dass heisst komplexer Phasenfaktor, der Zeit- und Raumabhängig ist), dann wird das Eichteilchen ein Vektor - wegen der Ableitung in Vektorform (genauer Vierervektor) die in der Herleitung auftaucht (siehe Eichtheorie#Eichsymmetrie_der_quantenmechanischen_Wellenfunktion, der Artikel lässt im Übrigen aber noch sehr zu wünschen übrig) - aber nicht das Feld des (geladenen) skalaren Teilchens, dass die Klein-Gordon-Gleichung (als freies Teilchen) erfüllt.--Claude J (Diskussion) 11:03, 23. Jul. 2021 (CEST)

Irgendwie verstehen wir uns nicht richtig. Die u.a. bei Wikipedia hier formulierte Differntialgleichung \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = c^2 \Delta \vec E entspricht exakt dem Sonderfall der Klein-Gordon-Gleichung für m=0 mit Vektor-Wellenfunktion. Das sieht man doch auf den ersten Blick. Auf diese Seite würde ich mich ja auch beziehen. Reicht das denn nicht? Ich könnte natürlich auch andere Stellen in der Literatur zitieren, wo man genau diese Gleichung findet. Selbst in meinem uralten Zinke/Brunswig findet man auf Seite 142 diese Gleichung (Gl. 5.1/9 mit rho = kappa = 0). --Dipol1912 (Diskussion) 14:35, 23. Jul. 2021 (CEST)

Nein es reicht nicht, dass die Wellenfunktion Spin 0 hat ist ein wesentlicher Punkt und das gehört zur Gleichung. Genau genommen ist sie der einfachste Schritt in relativistisches Terrain, die der spez. Relativitätstheorie entsprechende Form der Schrödingergleichung für freie Teilchen, nur eben mit relativistischer Energie-Impuls-Gleichung. Und ich weiss auch nicht warum du immer den Sonder- bzw. Grenzfall Masse gegen Null betrachtest statt der vollen Form, in der sie meist angewandt wird (oder für Übungsaufgaben benutzt).--Claude J (Diskussion) 16:31, 23. Jul. 2021 (CEST)

Ich betrachte den Grenzfall, weil ich eben aussagen will, dass die eine Gleichung mit m=0 sichtbar in die andere übergeht, weil der Differentialoperator ja nun in beiden Gleichungen exakt der selbe ist. Es unterscheiden sich die Wellenfunktionen, ja, nicht aber der Differentialoperator, der ist bei Klein-Gordon und Maxwell der gleiche. Ich werde die Änderung der Seite vornehmen, auch wenn Du es mir wieder rausstreichst. Ich würde aber sehr darum bitten, dass nicht nur Du alleine darüber entscheidest. Du glaubst, dass ich falsch liege, und ich glaube, dass Du falsch liegst. Da sollten ja dann besser andere Personen entscheiden. Dipol1912 (Diskussion) 19:23, 23. Jul. 2021 (CEST)

Das ist keine Sache des Glaubens, ich habe Belege gebracht, du nicht. Die ursprüngliche Fassung stammt übrigens von einem Physikprofessor.--Claude J (Diskussion) 20:32, 23. Jul. 2021 (CEST)

ich stimme hier Claude J zu: die Klein-Gordon-Gleichung ist für eine skalare Wellenfunktion/ein skalares Feld definiert, wie hinreichend belegt. Ich halte es eher für verwirrend, den Bezug zu den Vektorfeldern der Elektrodynamik herzustellen, da der nur für einen Spezialfall der Maxwellgleichungen (ebene Welle fester Polarisation) besteht. So wie das Bezugnehmen hier vorgeschlagen wurde ("die Wellengleichung eines freien Photons") ist es falsch, weil der Spin fehlt und nur die E-Feld-Komponente beschrieben wird, die aber nicht relativistisch invariant ist. Wenn man unbedingt den Spezialfall m=0 herausstellen möchte, dann könnte man schreiben: "Für m=0 vereinfacht sich die Klein-Gordon-Gleichung zur Wellengleichung." - aber das ist so offensichtlich, dass ich das nicht für sinnvoll halte. (Und die Wellengleichung ist ja schon unter "Siehe auch" verlinkt.)--Qcomp (Diskussion) 01:10, 24. Jul. 2021 (CEST)

Dass die Klein-Gordon-Gleichung in die Maxwell-Gleichung übergehen würde, nur weil in einem Fall $\Box \phi =0$ und im anderen $\Box A^{\mu }=0$ stehen würde, ist bereits schon deswegen falsch, weil die Maxwell-Gleichungen nicht $\Box A^{\mu }=0$, sondern $\Box A^{\mu }+\partial ^{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }=0$ lauten. Die Eichfreiheit der $A^{\mu }$ wird hier einfach unterschlagen und $\partial _{\nu }A^{\nu }=0$ vorausgesetzt. Nehmen wir aber sogar einmal an, wir würden $\partial _{\nu }A^{\nu }=0$ einfach naturgegeben annehmen können, entspräche dieser der klassischen Lorenz-Eichung die Landau-Eichung. Dann haben die Lösungen der Gleichungen aber eine völlig andere Struktur, nämlich für Spin 0 $G=1/p^{2}$ und für Spin 1 $\textstyle G_{\mu \nu }=\left(g_{\mu \nu }-{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p^{2}}}\right)/p^{2}$. Fakt ist hingegen, die KG-Gleichung und die Gleichungen für Spin-1-Teilchen in Feynman-Eichung (die nicht $\partial _{\nu }A^{\nu }=0$ setzt, sondern nur den Term gegen einen anderen Term rausheben lässt) haben dieselbe Struktur. Das ist aber mehr oder weniger physikalischer Zufall, wenn ich meine Eichungen frei wählen kann und es halt auch eine gibt, die die Struktur der Gleichungen identisch werden lässt. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 18:26, 25. Jul. 2021 (CEST)

Die Literatur dazu ist übrigens Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model, Kapitel 8, mit weitergehenden Informationen. Ich denke, insbesondere der Abschnitt A natural guess for the Lagrangian for a massive spin-1 field is ${\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{2}}\partial _{\nu }A_{\mu }\partial _{\nu }A_{\mu }+{\tfrac {1}{2}}m^{2}A_{\mu }^{2}$ [sic!], [...]. Then the equation of motions are $(\Box +m^{2})A_{\mu }=0$, which has four propagating modes. [...] That is, we have reduced $4=1\oplus 1\oplus 1\oplus 1$, which is not what we wanted [$4=3\oplus 1$]. The energy density in this case [...] has a negative sign for the $A_{0}$ field [...]. So this Lagrangian will not produce a physical theory. usw. usf. the $\partial _{\mu }A_{\mu }$ [sic!] contraction forces $A_{\mu }$ to transform as a 4-vector. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 19:19, 25. Jul. 2021 (CEST)

Die DM geht in die dritte Runde: Für den Fall übrigens, dass nicht auf das Vektorpotential, sondern auf das elektrische Feld abgestellt wird (wo das Argument mit der Eichfreiheit nicht zieht), ist auch kein Übergang zu den Maxwell-Gleichungen möglich. Das sieht man spätestens, wenn man sich außerhalb des Vakuums begibt, wo nicht mehr $\Box {\vec {E}}({\vec {B}})=0$ steht, sondern $\Box {\vec {E}}=-\partial _{t}{\vec {j}}-{\vec {\nabla }}\rho ,\ \Box {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {j}}$ (sofern ich mich nicht gerade verrechnet habe). Neben der Tatsache, dass das offensichtlich keine kovariante Formulierung ist, würde aus der KGG ein Quellterm der Art $j=\psi ^{\dagger }\psi$ folgen, was nicht nur (selbstverständlich) ein Skalar ist, sondern auch in keiner denkbaren Weise durch das bloße "Ankleben" von Indices ($j\rightarrow {\vec {j}}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}{\vec {\gamma }}\psi$) in die obige Form gebracht werden könnte. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 15:52, 28. Jul. 2021 (CEST)