Wellengleichung

Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht. Sie zählt zu den hyperbolischen Differentialgleichungen.

Wenn das Medium oder Vakuum die Welle nur durchleitet und nicht selbst Wellen erzeugt, handelt es sich genauer um die homogene Wellengleichung, die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}=0$

für eine reelle Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(t,x_1,\dots, x_n)} der Raumzeit. Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} die Dimension des Raumes. Der Parameter $c$ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, also bei Schall (im homogenen und isotropen Medium) die Schallgeschwindigkeit und bei Licht die Lichtgeschwindigkeit.

Der Differentialoperator der Wellengleichung wird D’Alembert-Operator genannt und mit dem Formelzeichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Box } notiert.

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$,

Die Lösungen der Wellengleichung heißen Wellen. Weil die Gleichung linear ist, überlagern sich Wellen, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Da die Koeffizienten der Wellengleichung nicht vom Ort oder der Zeit abhängen, verhalten sich Wellen unabhängig davon, wo oder wann und in welche Richtung man sie anregt. Verschobene, verspätete oder gedrehte Wellen sind ebenfalls Lösungen der Wellengleichung.

Unter der inhomogenen Wellengleichung versteht man die inhomogene lineare partielle Differentialgleichung

$\Box u=v\ .$

Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung von Wellen in einem Medium, das selbst Wellen erzeugt. Die Inhomogenität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} heißt auch Quelle der Welle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} .

Die Wellengleichung in einer räumlichen Dimension

Der D’Alembert-Operator in einer räumlichen Dimension

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$

zerfällt aufgrund des Satzes von Schwarz wie in der binomischen Formel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a^2-b^2)=(a-b)(a+b)} in das Produkt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Box = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\right)} .

Daher hat die Wellengleichung in einer räumlichen Dimension die allgemeine Lösung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u\left(t, x\right) = f(x + ct) + g(x - ct)}

mit beliebigen zweifach differenzierbaren Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} und $g(x)$. Der erste Summand $f(x+ct)$ ist eine nach links und der zweite Summand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x-ct)} eine nach rechts mit unveränderter Form laufende Welle, daher wird die Wellengleichung auch Zweiweg-Wellengleichung genannt. Die Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \pm ct=\text{konstant}} sind die Charakteristiken der Wellengleichung.

Seien

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi(x)=u(0,x)=f(x)+g(x)}

der anfängliche Wert und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi(x)=\frac{1}{c} \frac{\partial u}{\partial t} (0,x)=f'(x)-g'(x)}

die anfängliche Zeitableitung der Welle. Diese Funktionen des Raumes heißen zusammenfassend Anfangswerte der Welle.

Die Integration der letzten Gleichung ergibt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)-g(x)=\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\ .}

Durch Auflösen erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)\ ,}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)-\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)\ .}

Ausgedrückt durch ihre Anfangswerte lautet daher die Lösung der Wellengleichung

$u(t,x)={\frac {1}{2}}\left(\phi (x+ct)+\phi (x-ct)+\int _{x-ct}^{x+ct}\psi (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)\ .$

Das ist auch als D’Alembert-Lösung der Wellengleichung bekannt (d'Alembert, 1740er Jahre).

Die Wellengleichung in drei räumlichen Dimensionen

Die allgemeine Lösung der Wellengleichung lässt sich als Linearkombination von ebenen Wellen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(\vec x,t) = \int \mathrm d\omega \int \mathrm d^3 \vec k\, A(\omega,k) e^{\mathrm{i}(\vec k \cdot \vec x -\omega t)} \delta(\omega - c|\vec k|)}

schreiben. Die Delta-Distribution trägt dafür Sorge, dass die Dispersionsrelation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega = c|\vec k|} gewahrt bleibt. Solch eine ebene Welle bewegt sich in Richtung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k} . Bei der Superposition solcher Lösungen ist allerdings nicht offensichtlich, wie ihre Anfangswerte mit der späteren Lösung zusammenhängen.

In drei Raumdimensionen lässt sich die allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung durch Mittelwerte der Anfangswerte darstellen. Sei die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(t,\vec x)} und ihre Zeitableitung zur Anfangszeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=0} durch Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi} gegeben,

$u(0,{\vec {x}})=\phi ({\vec {x}}),\quad {\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}u(0,{\vec {x}})=\psi ({\vec {x}})\,,$

dann ist die Linearkombination von Mittelwerten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(t,\vec x)=ct\,M_{t,\vec x}[\psi] + \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}(ct\,M_{t,\vec x}[\phi])}

die zugehörige Lösung der homogenen Wellengleichung. Dabei bezeichnet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{t,\vec x}[\chi]=\frac{1}{4\,\pi} \int_{-1}^{1} \mathrm d \cos\theta \int_0^{2\pi} \mathrm d \varphi\, \chi(\vec x + ct\vec n(\theta, \varphi))\quad \text{mit}\quad \vec n(\theta, \varphi)= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta \end{pmatrix} }

den Mittelwert der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi\,,} gemittelt über eine Kugelschale um den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c|t|.} Insbesondere ist $M_{0,{\vec {x}}}[\chi ]=\chi ({\vec {x}}).$

Wie diese Darstellung der Lösung durch die Anfangswerte zeigt, hängt die Lösung stetig von den Anfangswerten ab und hängt zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} nur von den Anfangswerten an den Orten ${\vec {y}}$ ab, von denen man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} in der Laufzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |t|} mit Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} erreichen kann. Sie genügt damit dem Huygensschen Prinzip.

Für eindimensionale Systeme und in geraden Raumdimensionen gilt dieses Prinzip nicht. Dort hängen die Lösungen zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} auch von Anfangswerten an näheren Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec y} ab, von denen aus man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} mit geringerer Geschwindigkeit erreicht.

Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(t,\vec x)=ct\,M_{t,\vec x}[\psi] + \frac{1}{c} \frac {\partial} {\partial t}(ct\,M_{t,\vec x}[\phi]) +\frac{1}{4\pi}\int_{|\vec z| \le c|t|}\mathrm d^3 \vec z \, \frac{v( ct - \operatorname{sign}(t)|\vec z|,\vec x + \vec z)}{|\vec z|}}

hängt am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} zur Zeit $t>0$ nur von der Inhomogenität auf dem Rückwärtslichtkegel von ${\vec {x}}$ ab, zu negativen Zeiten nur von der Inhomogenität auf dem Vorwärtslichtkegel. Die Inhomogenität und die Anfangswerte wirken sich auf die Lösung mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Retardiertes Potential

Das retardierte Potential

$u_{\text{retardiert}}(t,{\vec {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {z}}\,{\frac {v(ct-|{\vec {z}}|,\,{\vec {x}}+{\vec {z}})}{|{\vec {z}}|}}$

ist eine Lösung der inhomogenen Wellengleichung, die voraussetzt, dass die Inhomogenität $v$ auf allen Rückwärtslichtkegeln schneller als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1/r^2} abfällt. Es ist die Welle, die vollständig vom Medium erzeugt ist ohne eine durchlaufende Welle.

In der Elektrodynamik schränkt die Kontinuitätsgleichung die Inhomogenität ein. So kann die Ladungsdichte einer nichtverschwindenden Gesamtladung zu keiner Zeit überall verschwinden. In der Störungstheorie treten Inhomogenitäten auf, die räumlich nicht genügend schnell abfallen. Dann divergiert das zugehörige retardierte Integral und hat eine sogenannte Infrarotdivergenz.

Die etwas aufwendigere Darstellung der Lösung durch ihre Anfangswerte zu endlicher Zeit und durch Integrale über endliche Abschnitte des Lichtkegels ist frei von solchen Infrarotdivergenzen.

Lorentzinvarianz des D’Alembert-Operators

Der D’Alembert-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Box} ist invariant unter Translationen und Lorentztransformationen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda} in dem Sinne, dass er angewendet auf Lorentzverkettete Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \circ \Lambda^{-1}} dasselbe ergibt, wie die lorentzverkettete abgeleitete Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Box f)\circ \Lambda^{-1} = \Box\,(f\circ \Lambda^{-1})\ .}

Entsprechend ist der Laplace-Operator invariant unter Translationen und Drehungen.

Die homogene Wellengleichung ist sogar unter konformen Transformationen, insbesondere unter Streckungen invariant.

Siehe auch

• Klein-Gordon-Gleichung
• Stehende Welle

Literatur

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 2. Zweite Auflage. Springer Verlag, Berlin 1968 (Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN 0073-1684).
• Fritz John: Partial Differential Equations, 4. Auflage, Springer 1982

Weblinks

• Gernot Pfanner, Die Wellengleichung (PDF; 596 kB)
• Norbert Dragon, Geometrie der Relativitätstheorie (PDF; 2,4 MB) Kapitel 5.5