Diskussion:Komplementärraum

Das orthogonale Komplement ist im allgemeinen kein Komplement

$U\cap U^{\perp }=\emptyset$ ist im Allgemeinen nicht erfüllt: Sei z.B. $V=\mathbb {F} _{2}^{2}$. $U=\{(0,0),(1,1)\}$ ist ein Untervektorraum von $V$. Bezüglich des kanonischen Skalarprodukt steht $(1,1)$ auf sich selbst senkrecht, und es gilt $U^{\perp }=U$.--MKI 13:54, 2. Apr 2005 (CEST)

Hmm, dieses "kanonische Skalarprodukt" ist nach Wikipedia-Definition gar kein Skalarprodukt, da nicht definit, und nach $\mathbb {R}$ geht es auch nicht. Ich bilde mir ein, die oben genannte Bilinearform trotzdem unter dem Begriff Skalarprodukt kennengelernt zu haben.--MKI 14:14, 2. Apr 2005 (CEST)

Habe den Absatz auf (pos. def.) Skalarprodukte eingeschränkt (die Definition unter Skalarprodukt stammt wimre von mir...). Eine korrekte Bedingung wäre, dass U endlichdimensional und anisotrop ist, aber das wird dann zu kompliziert.--Gunther 14:22, 2. Apr 2005 (CEST)

Schreib die Sache mit endlichdimensional und anisotrop ruhig rein, wenn sie stimmt. Damit hilfst du Leuten, die sich wie ich gerade darüber Gedanken machen, unter welchen Bedingungen ein orthogonales Komplement auch ein Komplement ist. Gibt es auch eine genau-dann-Bedingung? (Die genannte Bedingung ist wohl keine, da sich schätzungsweise auch ein unendlich-dimensionaler VR mit Skalarprodukt passend bauen lässt.)

Und wenn die Skalarprodukt-Definition auf dich zurückgeht, dann solltest du dort vielleicht noch was über nichtreelle Vektorräume sagen.--MKI 14:31, 2. Apr 2005 (CEST)

Leider ist auch die jetzige Fassung keine Äquivalenz, aber ich fürchte, das wird auch schwierig, eine äquivalente Bedingung für

$\mathrm {im} (V\to U^{*})=\mathrm {im} (U\to U^{*})$

zu finden. Die Skalarproduktdefinition halte ich für die übliche, aber man sollte irgendwo einen klärenden Abschnitt einfügen, dass das Wort unterschiedlich benutzt wird, das ist richtig. Ich kümmere mich darum.--Gunther 15:00, 2. Apr 2005 (CEST)

Du meinst auch nicht $U\cap U^{\perp }=\emptyset$, denn das gilt ohnehin niemals. Was Du meinst ist $U\cap U^{\perp }=\{{\vec {0}}\}$ (nicht signierter Beitrag von 217.95.167.179 (Diskussion) 21:20, 16. Nov. 2018 (CET))

"Bezeichnung"

Ich würde $V=U\oplus W$ nicht als Bezeichnung auffassen, sondern als Aussage, dass die kanonische Abbildung $U\oplus W\to V$ ein Isomorphismus ist. Von daher würde ich das eher unter dem Punkt der "Eigenschaften" erwähnen, der auf die direkte Summe verlinkt. (Hatte ich schon erwähnt, dass ich den Begriff der "inneren" direkten Summe für pure Irreführung halte?)--Gunther 14:28, 2. Apr 2005 (CEST)

Jedenfalls wird $\oplus$ in der linearen Algebra ziemlich häufig über das Komplement definiert. Dem sollte man in dem Artikel irgendwie deutlicher Rechnung tragen als es momentan in der schmalen Bemerkung der Fall ist.

Das Attribut "innere" ist mir für diese Summe noch nicht begegnet. Auch ich halte es für unsinnig, schließlich liegt keine innere Verknüpfung vor.--MKI 14:50, 2. Apr 2005 (CEST)

Wenn ich das richtig verstehe, dann soll das "innere" ermöglichen, dass $V=U\oplus W$ eine echte Gleichheit ist.--Gunther 10:15, 4. Apr 2005 (CEST)

Was heißt echte Gleichheit? dass auch $U+W=V$ gilt?

Du schreibst momentan im Artikel (innere) direkte Summe. Meiner Meinung nach sollten solche Klammerungen gemieden werden, denn das stiftet nur Verwirrung. Besser wäre es vielleicht, nur direkte Summe oder gleich innere direkte Summe zu schreiben, und danach gegebenenfalls einen Anmerkungssatz anzuhängen.--MKI 10:32, 4. Apr 2005 (CEST)

Meistens wird die äußere direkte Summe als Teilmenge des kartesischen Produktes definiert. Elemente von $U\oplus W$ sind also Paare von Elementen von $V$, nicht selbst Elemente von $V$. Deshalb ist (fast?) immer $V\not =U\oplus W$ im strikten Sinne der Gleichheit. Wenn man mit "Gleichheit" nur meint, dass die kanonische Abbildung ein Iso ist, dann ist der Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe egal.

Das "innere" lässt man häufig weg (ebenso wie "äußere"), das wollte ich durch die Klammern andeuten.--Gunther 11:06, 4. Apr 2005 (CEST)

Fehler

Es gibt auch in einem unendlichdimensionalen Vektorraum zu jedem Untervektorraum ein Komplement. Dies lässt sich relativ einfach mit dem Lemma von Zorn beweisen.

Ausserdem ist c_0 kein Untervektoraum von l^2, sondern l^2 ein Untervektorraum von c_0. (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 04:01, 4. Sep. 2011 (CEST))

Ja da ist wohl ziemlich viel durcheinander gegangen. Man kann hier nur raten was mal gemeint war. Meine Vermutung ist, dass mit l^2 der Raum $\ell ^{\infty }$ gemeint war und sich die Nichtexistenz der Zerlegung auf eine topologische direkte Zerlegung bezieht. Die topologische direkte Zerlegung fehlt allerdings völlig in diesem Artikel. Ich werfe vorerst das falsche Beispiel aus dem Artikel heraus. --Christian1985 (Diskussion) 17:45, 4. Sep. 2011 (CEST)

Hier sind noch ein paar Fehler und Ungenauigkeiten. Der auf den ersten Blick schlimmste ist, dass natürlich nicht jeder unendlichdimensionale normierte Vektorraum ein Banachraum ist. Da hier an allen Ecken und Enden Ungenauigkeiten sind, würde ich diesen Artikel gerne mit dem Baustein "zu überarbeiten bzw. falsch" markieren. (Weiß jemand wie das geht?) --Anti-pi 14:30, 6. Okt. 2011 (CEST)

Ach diese Überarbeitenbausteine bringen doch nichts. Ich trage ihn in der QS der Mathematik ein. --Christian1985 (Diskussion) 14:52, 6. Okt. 2011 (CEST)

Ich glaube, ich hab das "vollständig" auch einfach überlesen, denn jetzt ist es ja da. --Anti-pi 14:12, 7. Okt. 2011 (CEST)

Nein, nein, ich habe es mitlerweile eingebaut. Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Komplement.C3.A4rraum geht nun die Diskussion zu dem Artikel weiter. --Christian1985 (Diskussion) 14:15, 7. Okt. 2011 (CEST)

Was ist s?

Der Dualitätssatz besagt jedoch, dass, falls V endlichdimensional und s sowohl auf V als auch auf dem Unterraum U nicht ausgeartet ist,

Was ist s? Im Artikel wird es sonst nirgendwo erwähnt. Ist damit $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ aus der Definition von $U^{\perp }$ gemeint? --131.220.132.179 20:31, 21. Sep. 2011 (CEST)

Erledigt! Mit s war natürlich $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ gemeint.--FerdiBf 21:28, 25. Nov. 2011 (CET)