Diskussion:Konstruktive Mathematik/Archiv1

Ist diese Mathe konstruktiv oder konstruktivistisch? Famulus 14:08, 7. Apr 2004 (CEST)

Gute Frage - was heisst "konstruktiv", was heisst "konstruktivistisch"? --SirJective 13:32, 6. Mai 2004 (CEST)

Wenn ich es richtig verstanden habe:

• Der Konstruktiv arbeitende Mathematiker sagt: "Bei einigen Anwendungen ist es sinnvoll, konstruktiv die Berechenbarkeit von etwas zu beweisen, wovon ich die Existenz gezeigt habe. Aber ich werde mich nicht auf berechenbare Zahlen beschränken, denn die Wahrscheinlichkeitstheorie ist nur ohne diese Beschränkung möglich, und selbst wenn es keinen Zufall gibt, so liefert mir die Wahrscheinlichkeitstheorie doch eine gute Annäherung an die Realität."
• Der Konstruktivist sagt: "Bei allen Anwendungen treten nur berechenbare Dinge auf; ich glaube, dass alles was existiert, berechenbar ist. Es macht deshalb für mich keinen Sinn, sich über nicht berechenbare Dinge Gedanken zu machen. Es gibt keinen Zufall, das Eintreten aller Ereignisse wird durch eine sehr komplexe berechenbare Funktion gesteuert, deren Aufbau herauszufinden die Aufgabe der Physik ist."

--Rtc 23:15, 22. Jul 2005 (CEST)

Konstruktive Mathematik

'Konstruktive Mathematik' ist ein Widerspruch in sich. Die Seite sollte umbenannt werden in 'Konstruktivismus'. Der Konstruktivismus ist keine Form der Mathematik, sondern eine Weltanschauung, welche die Wahrheit einiger Axiome der Mathematik anzweifelt. Die Mathematik selbst ist neutral gegenüber diesen Axiomen und nimmt ihre Wahrheit an, one sich die Frage zu stellen, ob sie tatsächlich wahr sind oder nicht. NPOV gesetzt. --Rtc 21:12, 18. Jul 2005 (CEST)

"Die Mathematik selbst" hat aber auch nichts dagegen, dass man versucht, Logik und Analysis nach den Prinzipien des Konstruktivismus aufzubauen. Wie weit man damit kommt, ist eine legitime mathematische Frage, unabhängig davon, dass die meisten Vertreter der k.M. eher ideologisch agieren.

Du argumentierst übrigens nur gegen das Thema des Artikels, anstatt aufzuzeigen, wo der Artikel selbst nicht neutral ist. -- Fuzzy 21:40, 18. Jul 2005 (CEST)

Stimme Fuzzy zu. Die axiomatische Mathematik darf man im Übrigen nicht gleichsetzen mit der gesamten Mathematik. -- Paul 23:34, 18. Jul 2005 (CEST)

Den Begriff Konstruktive Mathematik haben sich die Autoren dieses Artikels nicht ausgedacht. Es ist ein gebräuchlicher Begriff und sollte als solcher unter der gleichen Benennung in der Wikipedia erscheinen. Du verwechselst ferner nicht zufällig Konstr.Math. mit dem Radikalen Konstruktivismus? Gruß, --Suspekt → Rede&Antwort 00:12, 19. Jul 2005 (CEST)

Sicher ist Rtcs Argumentation ist nicht schlüssig. Trotzdem ist der NPOV-Hinweis m.E. berechtigt, denn es ist kein enzyklopädischer Stil, Sätze als "Dogmen" zu bezeichnen, wenn sie nur in der klassischen Logik und nicht in der intuitionistischen Logik gelten. Das mit der "objektiven Sicht" ist auch ganz verquer und nur aus der Versionsgeschichte zu verstehen. Ich krieg's aber vor meinem Urlaub nicht mehr hin, mich drum zu kümmern. -- Peter Steinberg 00:18, 19. Jul 2005 (CEST)

Es tut mir leid, ich habe mich teilweise geirrt. An dem Artikel an sich ist tatsächlich bezüglich des Themas nichts einzuwenden. Zu dem Missverständnis kam es, weil bei Intuitionismus nach der Art Konstruktivismus hierher verlinkt wird, wodurch ich voraussetzte, dass dieser Artikel vom Konstruktivismus handelt. Dabei gibt es einen eigenen Artikel über Konstruktivismus. Es war also nur dieser Link falsch. (Habe folglich nicht KM mit radikalem K'ismus verwechselt, sondern allgemein KM mit K'ismus.) Leider sind solche falschen Links auch an anderen Stellen, es werden Formalismen mit der Philosophie dahinter vermischt, obwohl für beides separate Beiträge existieren.

Trotzdem möchte ich die Neutralität des Artikels weiter anzweifeln. Sätze wie 'schuf dabei [...] eine widerspruchsfreie Mathematik' klingen irgendwie merkwürdig, denn wenn sich die Widerspruchsfreiheit tatsächlich beweisen lässt, dann hat das gemäß Gödel Implikationen, z.B. dass diese Mathematik ggfs. nicht so mächtig ist wie die normale. Das sollte aber nicht unerwähnt bleiben. Auch klingt diese Widerspruchsfreiheit irgendwie nach einem Vorteil gegenüber der normalen Mathematik -- Dass noch niemand die Widerspruchsfreiheit der normalen Mathematik falsifiziert hat wird dabei nicht erwähnt. Und "werden von uns hergestellt" -- wer ist "uns"?

Auch enthält der Artikel Teile, die nicht zur Konstruktiven Mathematik gehören, sondern wohl besser zu Konstruktivismus. Vermissen tue ich hingegen eine formale axiomatische Definition der KM.

Ansonsten vielen Dank für die Hinweise.

--Rtc 16:24, 19. Jul 2005 (CEST)

Was die "Mächtigkeit" der konstruktiven Mathematik angeht, hast du recht: Sie umfasst wirklich nicht die gesamte klassische Mathematik und kann es aus den Gründen, die du nennst, ja auch nicht. Welche Einschränkungen nötig sind ist dargelegt in "Paul Lorenzen: Differential und Integral. Frankfurt a.M. 1965." Sehr einschneidend sind sie nicht. Dafür ist die so begründete Analysis beweisbar widerspruchsfrei, was man als Vorteil ansehen kann, selbst wenn niemand damit rechnet, dass morgen ein Widerspruch in ZFC gefunden wird.

Erstens sollte das besser so in dem Artikel drinstehen als hier auf der Diskussionsseite versteckt erwähnt zu werden, denn es ist wesentlich und zweitens bezweifle ich stark, dass dass sie 'nicht sehr einschneidend' sind. Ich weiß nämlich, dass die ganze Sache mit hinreichend mächtig vs. widerspruchsfreiheit beweisbar einer Sache bei abstrakten Maschinen entspricht: universal (kann sich selbst simulieren; 'Interpreter') oder Halteproblem lösbar. Das bedeutet, die Einschnitte sind genauso so stark wie eine Informatik, die auf den Interpreter verzichten müsste. Das ist alles andere als 'nicht sehr einschneidend', es ist im Gegenteil fundamental einschneidend.

--Rtc 01:12, 20. Jul 2005 (CEST)

(Entschuldige eine kleine Polemik: Erst behauptest du, dass jede Behauptung entweder wahr oder falsch sein muss; nun scheinst du zu der Ansicht zu neigen, dass eine Behauptung wahr sein muss, wenn sie lange genug nicht als unwahr nachgewiesen werden konnte... Sind deine Ansprüche an Wahrheit nicht etwas bescheiden?) - Wenn du dich für die Sache interessierst, besorgt dir doch mal "Paul Lorenzen: Methodisches Denken - Frankfurt a.M. 1968 (suhrkamp Theorie 2)" - 12 Exemplare bei abebook.de, 10 bei booklooker.de, ab 8€. Sicher auch in jeder UB.

Ich wüsste nicht, wo ich irgendetwas derartiges behauptet haben sollte. Ich hoffe, es macht Dir nichts aus, dass ich mir die Literatur nicht anschaue, weil IMO die Nachteile der konstruktiven Mathematik schwerer wiegen als ihre Vorteile (s.o. Interpreter) und sie mich deshalb garnicht erst interessiert.

Wenn dich konstruktive Mathematik garnicht interessiert, bitte ich dich dringend darum, deine Arbeit an diesem Artikel einzustellen!!! -- Peter Steinberg 01:41, 21. Jul 2005 (CEST)

Außer einmal versehentlich (!) NPOV gesetzt zu haben, wofür ich mich bereits entschuldigt habe, habe ich an diesem Artikel nicht gearbeitet! Es gibt also keinen Grund, irgendwelche (nicht erfolgten) Arbeiten einzustellen. Bitte bleibe sachlich. --Rtc 03:08, 21. Jul 2005 (CEST)

Außerdem ist der Stil der Anhänger von Konstruktivismus und Intuitionismus derart 'deutlich', dass mir klar ist, dass es den meisten mehr um eine Ideologie geht als um irgendeinen Formalismus oder einen Zugewinn an Erkenntnissen. Der Versuch, ständig bei Artikeln zur Logik als scheinbar ebenbürtige Alternative dargestellt zu werden erinnert mich stark an einige Sachen, die ich im Zusammenhang mit religiösem Fanatismus gesehen habe. (Konkret meine ich damit solche Sachen wie Klassische Logik, ein Artikel, der inzwischen nur noch aus einem (!) einzigen Satz zum Thema besteht gefolgt von sieben teils mehrzeiligen Absätzen, die krampfhaft versuchen konstruktivistische Alternativen zu betonen.)

--Rtc 01:12, 20. Jul 2005 (CEST)

Da es dich aber wohl doch interessiert, bitte ich ebenso dringend darum, dass du dich sachkundig machst. Es geht einfach nicht an, dass jemand erklärt, der Intuitionismus sei ihm unbekannt, und dann heftig in einem Artikel über das "tertium non datur" rumfuhrwerkt. Verzeihung, aber hast du schon mal bedacht, dass möglicherweise auch du den Anschein von Fanatismus erwecken könntest? -- Peter Steinberg 01:41, 21. Jul 2005 (CEST)

Du siehst doch, dass es angeht. Die Qualität des Artikels hat sich entscheidend verbessert, faktische Fehler wurden korrigiert, die Sicht ist viel neutraler (weil formaler) geworden, die philosophische/ideologische Diskussion wurde davon abgespalten, um eine Vermischung mit formalen Dingen zu vermeiden (so klar wie nun war nicht mal meine Idee und Umsetzung, sondern die von jemandem anderem) und der Intuitionismus wird nicht mehr alleinig als Alternative erwähnt, sondern allgemein auf die neutrale Wahrheitswert-Seite verlinkt, die sachlich darlegt, welche der Sätze sich aus welchen Logiken ableiten lassen und aus welchen nicht. Ich kann verstehen, dass Intuitionisten das Herz blutet, dass ihre philosophischen Argumente für ihre intuitionistische Logik nicht mehr bei der Erklärung der logischen Formel stehen und sie nicht mehr vehement als Alternative propagiert werden, sondern 'nur noch' neutral auf Wahrheitswert mit noch vielen anderen Alternativen verlinkt werden. Aber so ist das nun mal, wenn etwas neutral ist. Und meine Unkenntnis des Intuituinismus fürt IMO doch nicht dazu, dass ich fanatisch bin, im gegenteil, dadurch dass ich diese Philosophie nicht kenne, habe ich wohl einen viel neutraleren und kritischeren Standpunkt. Aber mal Butter bei die Fische: Bist Du ein Intuitionist oder regst Du Dich nur auf, weil ich mutig bin?--Rtc 15:43, 21. Jul 2005 (CEST)

Was die Unübersichtlichkeit der Lemmata angeht, hast du auch recht. Das fängt aber schon bei Logik an und geht bei Aussagenlogik weiter. Oder bei Junktor: Wahrheitstafeln aller Enden, aber kein halbwegs stringenter Zugang zum Thema. Formales System gehört auch dazu, und da wäre die Beziehung zu Semantik zu klären, wo bisher nur Linguistiker tätig waren... Viel Arbeit! Ich hoffe, du findest einen Ansatzpunkt, wo du deine Kenntnisse produktiv einbringen kannst. -- Peter Steinberg 22:43, 19. Jul 2005 (CEST)

Hallo Gunther, hier doch noch der Buchhinweis:

Ein konstruktiver Weg zur Masstheorie und Funktionalanalysis. von Peter Zahn; vergriffen;Broschiert;Erscheinungsdatum: 1978; ISBN 3534077679 PaCo 14:08, 20. Jul 2005 (CEST)

@Rtc: Intuitionismus hat weder mit dem Radikalen Konstr. noch mit dem Erlanger Konstr. irgendetwas zu tun. Der link ist schon korrekt so. --Suspekt → Rede&Antwort 23:40, 19. Jul 2005 (CEST)

Konstruktion von reellen Zahlen einschl e und π (pi)

Ich habe mal der Übersicht halber diese Diskussion oben rausgeschnitten. Falls das nicht sinnvoll ist, machen wir das gerne rückgängig. PaCo 12:26, 21. Jul 2005 (CEST)

Nachtag: Was mich auch mal interessieren würde ist, wie die KM wichtige transzendente Zahlen wie die eulersche Zahl e und π (pi) konstruieren will? Meine Intuition sagt mir, dass das offensichtlich nicht möglich ist, was aber ebenfalls ein gravierender Nachteil wäre, der nicht unerwähnt bleiben sollte.--Rtc 11:53, 20. Jul 2005 (CEST)

Wird in: Lorenzen, P: Differential und Integral. Eine konstruktive Einführung in die klassische Analysis, Frankfurt 1965 - Lorenzen, P: Elementargeometrie als Fundament der Analytischen Geometrie, Mannheim/Zürich/Wien 1983 ISBN 3-411-00400-2 explizit durchgeführt. Auch alle algebraischen Hüllen über e und π (pi) bilden entsprechende Mengen. Aus konstruktiver Sicht werden nur die reellen Zahlen nicht erwähnt, die man nicht "kennt", die man nicht benennen, konstruieren kann. Zu Gunther: In Maßtheorie kenne ich mich nicht aus, habe nur mal von einem Buch von Peter Zahl oder so gehört, der konstruktive Maßtheorie macht. PaCo 12:07, 20. Jul 2005 (CEST)

Durch explizite Intervallschachtelung? Da wird es keine Probleme geben, denke ich.--Gunther 11:55, 20. Jul 2005 (CEST)

Unklar ist mir allerdings, ob noch irgendetwas von der Maßtheorie übrigbleibt. Denn ein σ-additives Maß auf einer abzählbaren Menge (also z.B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R} ) ist entweder trivial, oder einzelne Punkte haben positives Maß.--Gunther 11:57, 20. Jul 2005 (CEST)

Ich werde mir keine Bücher kaufen, nur um hier und da ein paar Stellen in der Wikipedia zu verbessern. Im übrigen sollten solche Bücher im Artikel stehen statt hier auf der diskussionsseite.

Eine Intervallschachtelung mit rationalen Intervallgrenzen kann pi immer nur eingrenzen, aber nie genau beschreiben --Rtc 00:24, 21. Jul 2005 (CEST)

Eine reelle Zahl ist durch eine Folge von Intervallen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [a_n,b_n]} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n} und z.B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_n-a_n<1/n} eindeutig festgelegt. Der einzige Unterschied (soweit ich das verstehe) besteht darin, dass man in der konstruktiven Mathematik Formeln für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n,b_n} angeben muss.--Gunther 00:34, 21. Jul 2005 (CEST)

Ich weiß das. Wenn ich aber dann das Intervall [pi, pi+2] betrachten möchte, was gebe ich als Formel von pi an? Wirst mit sicher zustimmen, dass eine Folge keine Formel ist. Deshalb meine Verwunderung, wie die konstruktive Mathematik eine so wichtige transzendente Zahl behandeln können will?--Rtc 03:08, 21. Jul 2005 (CEST)

Nein, ich stimme Dir nicht zu. In der klassischen Mathematik sind reelle Zahlen Äquivalenzklassen von rationalen Cauchyfolgen. Ist also beispielsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n} die Folge der Teilprodukte des Wallis-Produktes, so gilt zwar innerhalb der reellen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim a_n=\pi/2} , aber viel direkter ist die rationale Cauchyfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2a_n} ein Vertreter für π. Und eine der Standarddefinitionen von π als das Doppelte der kleinsten Nullstelle des Kosinus ist ja auch nicht gerade eine einfache Formel.--Gunther 03:24, 21. Jul 2005 (CEST)

Du stimmst mir nicht zu, dass eine Folge keine Formel ist? Der Rest Deines Textes klingt wie das Gegenteil. --Rtc 03:37, 21. Jul 2005 (CEST)

Eine Folge ist nicht mehr und nicht weniger eine Formel als jeder andere Ausdruck für π. Ob Du das dann Formel nennst oder nicht, ist ja relativ egal.--Gunther 09:44, 21. Jul 2005 (CEST)

Wenn alles eine Formel ist, dann sehe ich den Unterschied zwischen normaler Mathematik und konstruktiver Mathematik nicht.--Rtc 12:14, 21. Jul 2005 (CEST)

Der Ausdruck "normal" ist nicht neutral. - Wie man von der "Konstruktion" zur "Zahl" kommt, geht mittels Abstraktion. Das ist egal, ob Du es mit rationalen etwa periodischen Zahlen oder mit pi machst. PaCo 12:42, 21. Jul 2005 (CEST)

Richtig. Ab sofort spreche ich von 'Mathematik' (ohne normal), wenn ich ZFC meine und 'konstruktiver Mathematik', wenn ich die entsprechende Einschränkung von ZFC meine (dass die KM nur ein eingeschränktes ZFC-Axiomensystem ist, wird übrigens nirgends erwähnt).--Rtc 16:25, 21. Jul 2005 (CEST)

Ist sie auch nicht, schon die zugrundeliegende Logik ist ja eine andere.--Gunther 16:33, 21. Jul 2005 (CEST)

@Rtc: Leider kenne ich mich mit konstruktiver Mathematik nicht aus, die genauen Unterschiede muss Dir jemand anderes erklären. In ZFC würde man eine Aussage über π formalisieren als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\pi\colon C(\pi)\Rightarrow\ldots} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(x)} eine charakterisierende Eigenschaft von π ist; es gehört also noch eine Existenz- und Eindeutigkeitsaussage dazu. Dabei macht es keinen wesentlichen Unterschied, ob Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(x)} die Aussage "Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ist diejenige reelle Zahl, die durch die Cauchyfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\sum_{k=0}^n(-1)^k/(2k+1)} beschrieben wird," oder die Aussage eine beliebige andere Form hat, für die die Existenz und Eindeutigkeit nur indirekt erschlossen werden kann.--Gunther 13:19, 21. Jul 2005 (CEST)

Ich weiß, wie ich pi in ZFC formlalisiere. Mich wunderte nur, wie genau es bei der KM formalilsiert wird, Dich übrigens auch in dieser Diskussion--Rtc 16:25, 21. Jul 2005 (CEST)

Inzwischen ist mir klar, worauf Du Dich beziehst. π ist festgelegt durch irgendeine rationale Cauchyfolge, z.B. die oben angegebene. Und da sie "hübsch hinschreibbar" (berechenbar?) ist, gehört sie zur KM.--Gunther 17:10, 21. Jul 2005 (CEST)

Die Folge ist nicht berechenbar (und gemäß Church-Turing-These damit auch nicht hinschreibbar), da sie unendlich lang ist. Ein beliebiges Glied der Folge ist berechenbar, aber nicht die Folge an sich. Genügt das der KM?--Rtc 17:39, 21. Jul 2005 (CEST)

Du hast Gunthers ? dahinter nicht beachtet. Der Unterschied zwischen einer Turing-Maschine (oder den numerierten GödelFormeln) und der konstruktiven Bestimmung einer Folge ist, dass jedes Folgenglied festgelegt ist. Es ist nicht beliebig. PaCo 17:58, 21. Jul 2005 (CEST)

Das ist es bei einer Turingmaschine auch. Aber egal, ich bezweifle nicht, dass so eine konstruktion möglich ist, aber sie beinhaltet unendlich viele schritte, somit wäre pi eine unendlich große menge von Konstruktionsschritten, genauso wie die natürlichen Zahlen. Nun habe ich aber nach K'istischer Auffassung ein objekt 'pi', das 'aktual' unendlich groß ist. Und ich dachte, 'akual' unendlich große Objekte würden 'abgelehnt'? --Rtc 18:06, 21. Jul 2005 (CEST)

Es ist nur ein Schritt, die entsprechende pi-Reihe zu bestimmen - und alle Reihenglieder sind festgelegt. Scheint Dich ja doch zu interessieren, die konstruktive Mathematik. :) PaCo 18:17, 21. Jul 2005 (CEST)

Es sind nun wirklich unendlich viele schritte, schließlich ist die pi-reihe unendlich lang. Aber ich habs jetzt verstanden, nachdem ich die englische Wikipedia zu dem Thema gelesen habe. Der englische Artikel erklärt viele Dinge, die hier garnicht erwähnt werden. z.B. dass der intuitionismus von der KM zu unterscheiden ist insofern dass er formalisierung und axiomatisierung überhaupt ablehnt. Was auch die emotionalen Ausbrüche in vielen Artikeln erklärt, und was auch der Grund dafür ist, warum quasi niemand diesen Ansatz ernsthaft in Erwägung zieht -- ich würde fast schon vorsichtig behaupten, er ist unwissenschaftlich, weil man ohne einen formalismus und nur mit der Intuition alles erklären kann. Und da steht der Grund, warum die KM sich im Vergleich zur Mathematik nicht durchgesetzt hat (weil sie eine willkürliche, nur philosophisch begründbare Einschränkung der Axiomenmenge vornimmt, damit gleichzeitig die Erkenntnisse, die sich daraus gewinnen lassen). Die konstruktive Mathematik interessiert mich nach wie vor nicht, nur, dass sie neutral dargelegt wird. die englische Wikipedia sollte ein Mindeststandard sein.--Rtc 19:05, 21. Jul 2005 (CEST)

Der moderne mathematische Konstruktivismus ist kein Finitismus. - Zu Deinen Schritten: - Ja - Es sind unendlich viele Reihenenglieder, aber - nein - die Bestimmung der Reihe besteht nicht aus unendlich vielen Schritten. Insbesondere gibt es keinen Zweifel über das n-te Reihenglied. Die Reihe ist wie pi selbst klar festgelegt. PaCo 19:36, 21. Jul 2005 (CEST)

Wie bereits erwähnt, habe ich es nach Lesen der englischen Wikipedia verstanden. Allerdings wird bislang nirgends erwähnt, dass dadurch alle überabzählbar vielen reellen Zahlen bei der KM ausgeschlossen werden, die nicht 'konstruierbar' sind. Dazu gehören z.B. die Zahlen, deren nte Nachkommastelle zur Basis 2 angibt, ob die nte Turingmaschine (einer vollständigen Abzählung der Turingmaschinen) auf der leeren Eingabe hält (1) oder nicht (0). --Rtc 21:25, 21. Jul 2005 (CEST)

@ Rtc: Du hast Recht: Die Literaturhinweise in den Artikeln lassen sehr zu wünschen übrig. Es wäre großartig, wenn du sie mal von der Diskussionsseite auf die Artikelseite überträgst.

Im übrigen habe ich auch erst gemeint, ich könne wikipedia verbessern allein mit dem, was ich schon weiß. Damit bin ich ein paar Mal mächtig auf den Bauch gefallen, und stecke jetzt tief in einem Haufen Literatur (geht mit in Urlaub!) - Wenn du nicht kaufen willst: Geht ja auch ausleihen. Wenn du nicht wissen willst: Oh je!

Dass eine Intervallschachtelung "pi immer nur eingrenzen" kann, ist ja gerade der Grund dafür, dass irrationale Zahlen benötigt werden. Bitte lies doch in irgendeinem Buch, das du besitzt, noch mal nach, was irrationale Zahlen sind. -- Peter Steinberg 01:12, 21. Jul 2005 (CEST)

@ Gunther:Es gibt auch keine Probleme! Unter Kreis (Geometrie)#Annäherung durch Vielecke ist angedeutet, wie das Vorgehen ist: Nicht überraschend, aber konstruktiv! (Irgenwann führ ich das noch mal richtig formelmäßig aus...) Probleme treten erst dann auf, wenn man behauptet, alle so oder anders erzeugten reellen Zahlen bildeten eine Menge, obwohl man doch weiß, dass es zu jeder vorfindlichen Menge immer noch eine Zahl gibt, die nicht drin ist. Soweit ich das überblicken kann, liegt doch das Problem bei Kardinalzahlen genauso: Wannimmer man eine Kardinalzahlenmenge hat, gibt es immer eine Kardinalzahl, die nicht zu gehört. Die, sagst du, bilden deshalb eine echte Klasse! - Kannst du mir erklären, warum die reellen Zahlen keine echte Klasse sind? -- Peter Steinberg 02:12, 21. Jul 2005 (CEST)

Da habe ich mich übervorsichtig ausgedrückt, weil ich halt keine Ahnung habe; beim Schreiben hatte ich das Wallis-Produkt vor Augen, viel expliziter wird es wohl nicht mehr gehen.

Wieso sind die reellen Zahlen eine Menge? Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} Mengen sind, dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\times Y=\{z\in\mathcal P(X\cup\mathcal P(X\cup Y))\mid\exists x\in X,y\in Y\colon z=\{x,\{x,y\}\}\}}

eine Menge, also auch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{f\in\mathcal P(X\times Y)\mid\ldots\}}

die Menge aller Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\to Y} . Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sim} eine Äquivalenzrelation auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , so ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X/{\sim}=\{S\in\mathcal P(X)\mid\ldots\}}

(Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} ist nichtleer, und zu jedem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in S} ist die Menge der Elemente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , die äquivalent zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} sind, gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} )

eine Menge. Schließlich wird man gelegentlich noch zu Teilmengen übergehen (Aussonderung). Addition und Multiplikation auf den natürlichen Zahlen werden wie bei Peano induktiv definiert (z.B. Schnitt aller Teilmengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb N_0)^3} , die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0,0,0)} enthalten und stabil unter ... sind). Damit sind alle Schritte, die man bei der Konstruktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R} benötigt, "erlaubt", also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R} eine Menge.--Gunther 02:41, 21. Jul 2005 (CEST)

Erster Satz merkwürdig

Den ersten Satz des Artikels ("Die KM nimmt an, dass es notwendig ist, ein mathematisches Objekt zu finden bzw. zu konstruieren, um zu beweisen, dass es existiert") finde ich unglücklich formuliert. Er macht vielleicht von außen deutlich, was Konstruktive Mathematiker wollen, die würden sich selber aber nie so ausdrücken, da sie das Wort "existieren" gar nicht verwenden. Lorenzen etwa ist insofern Sprachphilosoph, als dass er eher umgedreht fragen würde, was ein Gesprächspartner denn (als Beispiel) mit allen Reellen Zahlen meine, um dann zu zeigen, dass das falsch ist.PaCo 12:13, 21. Jul 2005 (CEST)

Die Konstruktive Mathematik soll wie alle Themen in der Wikipedia vom Standpunkt des rational (d.h. klassisch logisch) denkenden Menschen erklärt werden, nicht vom Standpunkt der Konstruktivisten. Diesbezüglich ist die Wikipedia erklärterweise nicht neutral, und deshalb ist diese Definition korrekt. --Rtc 16:28, 21. Jul 2005 (CEST)

Wenn Du jetzt quasi unterstellen willst (was klassisch richtig gefolger ist, intuitionistisch nicht :) ), dass die Kritik an der klassischen Logik irrational sei - wenn Du hier "wiki-rational" und "klassisch logisch" gleichsetzt - dann verwechselst Du vermutlich etwas und ich frag erst mal nach Gründen. PaCo 16:50, 21. Jul 2005 (CEST)

Ich habe das Gefühl wir reden aneinander vorbei. Du betrachtest die Mathematik als Weltanschauung, ich einfach als Axiomatisches System, aus dem sich mittels Beweisen Sätze ableiten kann. Diesbezüglich macht es in meinen Augen auch keinen Sinn, Kritik an so einem System zu üben. Kritik ist nur sinnvoll, wenn man den Anspruch erhebt, die Mathematik abstrahiere in irgendeiner Form die Realität und wenn man nun einen Satz herleitet, müsse der auch in der Realität irgendeine entsprechung haben. Du forderst hier, dass in dem Artikel nicht rational (IMO klassisch logisch) argumentiert wird, sondern intuitionistisch, also das wort 'existieren' im klassisch-logischen Sinn verschwinden müsste. Das wäre, als ob man in jedem Artikel zu einer Weltanschauung in dem aus Sicht dieser Weltanschauung schreiben würde. Die Wikipedia betrachtet aber IMO Themen noch von deren Sicht aus, sondern vom sogenannten neutralen Standpunkt, womit wohl ein skeptischer, kritischer, rationaler (bzw. klassisch-logischer) Standpunkt gemeint ist. Das heißt nicht, dass intuitionistische/konstruktivistische Themen nicht behandelt werden dürfen. Das heißt nur, sie dürfen nicht aus der Sicht der Anhänger dieser Weltanschauungen betrachtet werden.

--Rtc 17:35, 21. Jul 2005 (CEST)

Zukünftige Ereignisse

Hallo Gunther, grade hast Du einen Teilsatz gelöscht, der sich um zukünftige Ereignisse dreht. Diese Löschung ist wohl sinnvoll, weil der Textteil nicht verständlich war. - Es ist halt schwierig (bzw. typischerweise unmöglich) eine reelle Zahl anzugeben, die konstruktiv nicht bestimmbar ist, also in konstruktiven reellen Zahlmengen nicht vorkommen kann. Die einzigen, die in Frage kommen sind diese Cantorschen Listen, "ich schreib mal irgendwelche Zahlen in irgendeiner Reihenfolge hin - und bestimme daraus eine neue reelle Zahl" oder eben wenn jemand Bestimmungen (etwa Nachkommastellen oder Folgenglieder der Cauchyfolgen) von reellen Zahlen von etwas abhängig macht, was er (noch) nicht weiß.PaCo 17:37, 21. Jul 2005 (CEST)

Zukünftige Ereignisse sind allerdings auch in ZFC nicht zugelassen :-) Das "mal so hinschreiben" ist auch in der klassischen Mathematik nicht so einfach. Man zeigt eine Aussage eben für jede Liste, das liefert keine konkreten reellen Zahlen. (Steht eigentlich inzwischen irgendwo in der WP, worin das Problem der KM mit den Listen genau besteht?)--Gunther 17:55, 21. Jul 2005 (CEST)

Wenn man sich Cantors zweites Diagonalargument (Beweis Überabzählbarkeit edit PaCo 20:39, 21. Jul 2005 (CEST)) ansieht, so gibt er keine konkrete Liste vor, sondern sagt halt irgendeine Liste. Ich wollte mich dort nicht in Diskussionen einmischen, weil ich Wikipedia liebe und das wieder einen unsäglichen Streit hervorgerufen hätte.PaCo 20:32, 21. Jul 2005 (CEST)

Die axiomatische Mathematik "will" nicht konstruktiv festlegen, welche reellen Zahlen zugelassen sind, außer dass eben Axiome darüber gemacht werden. Ist folgendes eine reelle Zahl, oder nicht:

Buchstaben sind jeweils Ziffern: a,bcde...

a ist 1; b ist 7 wenn ich an einem Donnerstag sterbe, 5 wenn ich an einem Freitag sterbe, sonst 3;

c ist die vierte Nachkommastelle von Quadratwurzel aus b

d ist die b-te Nachkommastelle von Quw aus c

e ist 2 wenn meine Mutter an einem Donnerstag ... usw.

Will man soetwas erlauben, oder nicht? PaCo 19:52, 21. Jul 2005 (CEST)

Ähm, Du verwirrst mich. Meine Antwort ist: natürlich nicht. Will das irgendjemand?--Gunther 20:01, 21. Jul 2005 (CEST)

Gerade das ist axiomatisch nicht verboten. Das ist das Typische an der axiomatischen Mathematik, sie läßt Freiheit über die Gegenstände zu und bestimmt nur durch Axiome. PaCo 20:05, 21. Jul 2005 (CEST)

Ich denke, wir sollte zwei Punkte klarer trennen. Zum einen würde ich sagen, dass die Frage, ob "7 wenn ich an einem Donnerstag sterbe, 5 wenn ich an einem Freitag sterbe, sonst 3" eine Zahl ist, eher philosophischer Natur ist. 7, 5 und 3 sind jeweils Zahlen, keine Frage. Aber mir ist kein Axiomensystem bekannt, das "wenn ich an einem Donnerstag sterbe" formalisieren würde.

Zu dem Teil, der reelle Zahlen betrifft: Es ist nicht möglich, explizit unendlich viele Dezimalstellen anzugeben, also ist es nur sinnvoll, über einzelne Dezimalzahlen zu sprechen, wenn sie eine endliche Beschreibung besitzen.--Gunther 20:55, 21. Jul 2005 (CEST)

Das Axiomensystem formalisiert ja nicht die Bestimmung ihrer Gegenstände. Das tut nur ein konstruktiver Aufbau. Das Axiomensystem "kennt" ja seine Elemente gar nicht, also kann es nicht "...Donnerstag sterbe" vorsehen oder verbieten oder ähnliches. Insofern sind die Cantorschen Diagonalargumente alle korrekt. - Zum zweiten Teil Deiner Frage hätte ich auch soetwas sagen können: Wenn ich an einem Do sterbe sind bei durch sieben teilbaren Nachkommaindizes die Nachkommastelle 4, Fr 5 usw. e Wenn mene Mutter an einem Freitag stirbt sind alle Primzahlnachkommaindizes 3 bei Do 2 sonst 7 PaCo 21:06, 21. Jul 2005 (CEST)

Um Missverständnisse zu vermeiden: Ich rede über auf ZFC basierende, formale bzw. formalisierbare Mathematik. Ist das für Dich ein "konstruktiver Aufbau"?--Gunther 21:24, 21. Jul 2005 (CEST)

ZFC ist eine Axiomatisierung vom Typ Sei(en) M Menge(n) ... deren Elemente ... - Was ich betone ist, es "kennt" die Elemente also nicht, sondern sagt axiomatisch deduktiv etwas über sie aus. - Gut. Nun komme ich mit meiner (beknackten :) ) Donnerstagszahl und warum sollte ZFC die als Element der Menge(n) verbieten. PaCo 21:37, 21. Jul 2005 (CEST)

ZFC hat keine "Urelemente".--Gunther 21:38, 21. Jul 2005 (CEST)

...und schreibt auch die Bildung von Elementen nicht vor. Also sind "Donnerstag"-Zahlen (oder: Wenn die Goldbach-Vermutung richtig ist, dann sind alle Nachkommastellen mit Primzahlindex 3, sonst 2) nicht verboten. Will man so etwas irgendwie ausschließen, sollte man seine Vorbehalte gegenüber der KM überdenken. PaCo 22:31, 21. Jul 2005 (CEST)

Über Donnerstag-Zahlen kann man innerhalb von ZFC gar keine Aussagen machen, weil man sie nicht formulieren kann. Man kann natürlich in einem umgebenden formalen System arbeiten, in dem man ein Modell von ZFC betrachtet, aber dann würde ich nicht von reellen Zahlen, sondern von reellen Zahlen in diesem System sprechen.

Eine reelle Zahl, die nur von der Richtigkeit der XYZ-Vermutung (die in ZFC formulierbar ist) abhängt, ist natürlich erlaubt. Wenn die XYZ-Vermutung in ZFC nicht entscheidbar ist, kann man nicht viel über diese Zahl beweisen, aber es gibt sie, man kann sie explizit hinschreiben.--Gunther 22:53, 21. Jul 2005 (CEST)

Neufassung durch Einbindung einer englischen Übersetzung

Diese Neufassung ist nicht ganz schlecht. Warum nur so eine Fülle, wenn es doch eine Außenseiterposition ist. Man muss die Dinge sehr genau und gut kennen, um den Bishopschen und Lorenzenschen Konstruktivismus im Detail auseinanderzuhalten. Das scheint hier nicht der Fall zu sein. Ich kenne mich recht gut aus, es stehen zur Zeit einige falsche Sachen dort. Es stehen übrigens auch viele richtige Sachen dort, die ich nicht gerne höre, und die trotzdem in den Artikel gehören und da auch drin bleiben sollen. PaCo 00:14, 22. Jul 2005 (CEST)

Es würde helfen, wenn Du die Deiner meinung nach falschen Sachen genau benennst.

Kleine Kostprobe aus dem Artikel: "Also hat die Menge aller Algorithmen die gleiche Mächtigkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen. Aus Kantor's Diagonalbeweis folgt somit, dass die reellen Zahlen eine höhere Kardinalität haben als deren konstruktivistische Untermenge."

Hervorhebungen von mir. So übersetzt nur einer, der nicht weiß, was er schreibt :) PaCo 00:26, 22. Jul 2005 (CEST)

Und was gibt es konkret daran zu kritisieren außer dass ich offensichtlich mit meinen Schulenglischkenntnissen nicht grade der beste Übersetzer bin? --Rtc 00:54, 22. Jul 2005 (CEST)

das dus tust PaCo 00:56, 22. Jul 2005 (CEST)

Wenn ich mich mal kurz einmischen darf: So kommen wir nicht weiter.--Gunther 01:07, 22. Jul 2005 (CEST)

Begründung der Rückgängigmachung einiger Änderungen sowie weitere Diskussion: Benutzer Diskussion:Paul Conradi#Konstruktive Mathematik --Rtc 01:28, 22. Jul 2005 (CEST)

Tatsächlich kommen wir so nicht weiter. Aber vielleicht darf ich auf zwei Sachen hinweisen, die eindeutig so falsch sind:

1. Konstruktive Mathematiker arbeiten (schon/doch) mit unendlichen Mengen und mit unendlichen Folgen. Das ist so breit hier über Monate anhand der reellen Zahlen diskutiert worden, ich kann es bei Lorenzen 100 Mal zitieren, also es ist sachlich eindeutig falsch zu schreiben, dass das nicht der Fall ist. Ob er "set and sequences" falsch übersetzt hat oder der englische Artikel falsch ist, werde ich nicht nachprüfen, weil ich es unsolide finde mich aus Sekundärliteratur (englischer Artikel) zu informieren, wenn mir die Primärliteratur vorliegt und ich mich damit auskenne - und weil ich mich nicht dauernd reverten lassen will.

Tut mir wirklich leid, dem ist einfach nicht so. Konstruktive Mathematiker abstrahieren unendliche Mengen und Folgen als Algorithmen, die irgendetwas für ein gegebenes Element/Glied der Menge/Folge berechnen. Ein Algorithmus ist aber immer eine endliche Folge. (Der Unterschied zum Ultrafinitismus liegt darin, dass dieser zusätzlich die maximale Länge des Algorithmus begrenzt, um nochmal das von Deiner Diskussionsseite zu wiederholen.) Wenn in dem Text Begriffe wie Menge/Folge verwendet sind und nichts dabeisteht, dann natürlich in der Bedeutung der Mathematik, und nicht in der Bedeutung der KM, die sie anhand von Strukturen neu definiert, die in der Mathematik andere Bezeichnungen haben. Natürlich (!) wird die KM mit den Begriffen der Mathematik erklärt, nicht mit den Begriffen der KM; Stichwort rational denkend. --Rtc 12:46, 22. Jul 2005 (CEST)

1. Der oben zitierte Satz "Aus ... Diagonalbeweis folgt somit" ist sachlich falsch, was man schon mittels einiger Deutschkenntnisse als Laie bemerken kann. Er müsste so beginnen: "Da aus Cantors (ich denke gemeint ist das zweite, aber egal) Diagonalargument folgt, dass die reellen Zahlen eine höhere Mächtigkeit haben, ..." und wie soll er enden? "...reden alle Konstruktivisten Unsinn"?? Rtc hat den hier erarbeiteten Kompromiss bei den reellen Zahlen nicht verstanden oder zur Kenntnis genommen. Egal. so wie der Satz jetzt dasteht ist er nicht richtig - und daran sind nicht die Konstruktivisten schuld, sondern einer, der sich aus unverstandenen englischen Artikeln informiert und sagt, das sei gut recherchiert. PaCo 08:11, 22. Jul 2005 (CEST)

Doch, das habe ich inzwischen, ziemlich gut verstanden. Ich bitte Dich also konkrete, schlüssige Argumente zu bringen statt 'reden alle Konstruktivisten Unsinn??', denn das steht definitiv nicht da. Gefällt Dir das Wort 'höhere Kardinalität' nicht? Das klingt sicher ein bisschen merkwürdig nach 'höherer Macht' oder so, aber so sind die Begriffe leider. Oder was ist sonst auszusetzen? Bitte etwas genauer, damit ich es verstehen kann.--Rtc 12:46, 22. Jul 2005 (CEST)

Da fehlt schlicht die Übersetzung des Satzteils "When using a non-constructive definition" (bezogen auf die "reellen Zahlen"). Zur Beurteilung dieser Frage fände ich es hilfreich, wenn mir mal jemand sagen könnte, was die KM genau zum Diagonalargument sagt: Die Abzählbarkeit der Menge der Algorithmen ist ja irgendwie extern, es gibt ja vermutlich keinen Algorithmus, der eine Liste aller Algorithmen erstellt, also keine in der KM existierende Bijektion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb N\to\mathbb R} . In welchem Sinne ist "Abzählbarkeit" also gemeint?--Gunther 12:02, 22. Jul 2005 (CEST)

Jede konstruktive Menge reeller Zahlen ist abzählbar. Benutzt man axiomatisch gesehen indefinite Quantoren, dann gibt es keine Bijektion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb N\to\mathbb R} , also Überabzählbarkeit. Sind die Mengen reeller Zahlen dagegen konstruiert, so braucht man nur definite Quantoren zu benutzen und die jeweilige Abzählbarkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R} ist trivial, (aber wird sicherlich von Mathematikern als langweiliger empfunden). PaCo 14:17, 22. Jul 2005 (CEST)

Hallo, langsam wird mir das Grundproblem des Artikels klar. Es handelt sich schlicht und ergreifend um die Frage, ob die verwendeten Begriffe ihre mathematischen oder oder konstruktivistischen Pendants bezeichnen. Da die Wikipedia das rational-Denkend-Prinzip (=mathematisch) verfolgt, bedeutet das, dass die Konstruktive Mathematik anhand mathematischer begriffe, und nicht anhand ihrer konstruktivistischen Pendants beschrieben wird. Schließlich willst Du doch, dass Mathematiker verstehen, was Konstruktivismus ist, und nicht nur Konstruktivisten?

Ich werde den Artikel bezüglich dieses Aspekts nochmal neu überarbeiten und einen Abschnitt extra wegen dieser Begriffsverwechselungen einfügen.

Ich bitte Dich, Deine Wortwahl anzupassen, und mathematische statt Konstruktivistische Termini zu verwenden. Das schließt folgendes ein:

• Verwende statt 'konstruierbar' den gängigen mathematischen Begriff 'berechenbar'.
• Verwende statt 'reelle Zahlen' im konstruktivistischen Sinne den mathematischen Begriff 'berechenbare Zahlen', bezeichne ersteres nicht mehr als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R} , sondern als z.B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R_\mathrm{comp}} (ad-hoc-Notation, bitte recherchiere, ob es bereits eine gängige andere Notation in der Mathematik für die berechenbaren Zahlen gibt)
• Verwende statt 'Menge' im konstruktivistischen Sinne den mathematischen Begriff 'berechenbare Menge'.
• Verwende statt 'Folge' im konstruktivistischen Sinne den mathematischen Begriff 'berechenbare Folge'.

Ich denke, wenn wir uns auf diese Sprache geeinigt haben, können wir durchaus konstruktiv ;) an dem Artikel zusammenarbeiten.

--Rtc 14:34, 22. Jul 2005 (CEST)

Wird das der konstruktiven Mathematik gerecht? Schränken wir uns dann nicht unzulässigerweise auf ein bestimmtes Modell der konstruktiven Mathematik ein?--Gunther 14:39, 22. Jul 2005 (CEST)

Soweit ich es verstanden habe, wird das der konstruktiven Mathematik voll und ganz gerecht. Ich vermute, die philosophischen Aspekte, warum nur eine Teilmenge der Mathematik betrachtet wird, werden dort nicht diskutiert; dies tuen dann Ideologieen wie der Intuitionismus, auch wenn ich wohl das Gefühl habe, Intuitionisten machen den überwiegenden Hauptteil der Vertreter der konstruktiven Mathematik aus (habe schließlich noch keine Erwähnung einer den Intuitionisten widersprechenden, konstruktivistischen Ideologie finden können, obwohl der Artikel behauptet, Intuitionismus wäre nur eine dieser konstruktivistischen Ideologieen). Ich lasse mich aber mit dem widersprechenden, relevanten Zitaten aus der Literatur der Hauptvertreter gerne vom Gegenteil überzeugen, dass die KM doch inhärent irgendeine Ideologie hat und dass sie nicht nur neutral ein axiomatisches System darstellt, das eine echte Teilmenge der Mathematik ist. Aber nur, wenn dabei gleichzeitig eine Distanzierung zum Intuitionismus oder sonstigen Ideologieen stattfindet. --Rtc 14:59, 22. Jul 2005 (CEST)

'Vermutlich' kannste streichen, das ist tatsächlich so, siehe Halteproblem (wenn Du Algorithmen als terminierende Turingmaschinen verstehst). Nun, ich möchte mal etwas Licht ins Dunkel bringen. Die KM ist eine echte Teilmenge der Mathematik (weil nur einige Axiome *entfernt* wurden, jedoch keine mit der MAthematik inkonsistenten hinzugefügt). D.h. jeder Satz aus der KM ist auch ein wahrer Satz in der Mathematik. (Das bedeutet, dass die KM auf einige Erkenntnisse verzichtet, die in der Mathematik möglich sind, wohingegen alle Erkenntnisse der KM auch in der Mathematik möglich sind deshalb auch die Skepsis der Mathematik, warum sich willkürlich beschränken?) Warum sind also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R} aus der KM und aus der Mathematik inkonsistent? Nun hier werden einfach zwei verschiedene Dinge mit dem gleichen Namen bezeichnet (wie auch andere Dinge, Menge, Folge; man könnte die KM -- bis auf die Teilmengenbeziehung zur Mathematik -- fast als Bezeichnung bestehender mathematischer Strukturen mit bestehenden mathematischen Begriffen davon verschiedener Strukturen definieren). Die Mathematik und auch die Informatik beschäftigt sich durchaus sehr, sehr (!) intensiv mit dem, was die KM als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R} bezeichnet, jedoch wird die Menge dort natürlich nicht so bezeichnet, sondern man nennt sie die Menge der berechenbaren Zahlen (habe mal eine minimalversion angelegt, deutlich ausführlichere Behandlung unter en:Computable number).

Cantors Diagonalargument (egal ob erstes oder zweites) zeigt hier einfach, dass die Menge der reellen Zahlen eine höhere Mächtigkeit besitzt als die der berechenbaren Zahlen (=KM-reellen Zahlen), eine Erkenntnis, die sich in der KM garnicht gewinnen lässt, weil dort Tertium non datur nicht möglich und die Menge der reellen Zahlen garnicht definierbar ist.

--Rtc 12:46, 22. Jul 2005 (CEST)

Auch sehr interessant: en:Computable number#Can computable numbers be used instead of the reals? --Rtc 12:57, 22. Jul 2005 (CEST)

Abgrenzung: Intuitionistische Logik / Konstruktive Mathematik

Der Intuitionismus ist eine logisch orientierte philosophische Bewegung in den 1910er Jahren. Alle Mathematiker und Logiker die damals etwas auf sich hielten waren Anhänger von Brouwer. Der hatte entdeckt, dass man einige logische Prinzipien nicht unbedingt braucht und hat mit dem Schlachtruf der "Unbetrowbarheet" dieser Prinzipien plötzlich die akademische Welt hinter sich.

Bleib mal sachlich, verwende bitte nicht so viel Prolemik und sei neutraler, stell nicht alles als Tatsachen dar. Was heißt z.B. er hatte entdeckt, dass man einige logische Prinzipen nicht 'braucht'? Das klingt so, als wäre es wirklich so, während es auch starke Hinweise darauf gibt, dass sie doch relevant sind. Sollten sich bestimmte physikalische Phänomene als mathematisch absolut zufällig und somit unberechenbar herausstellen, gäbe es in der Natur Phänomene, die nicht berechenbar, somit nicht 'konstruierbar' sind. Das bedeutet aber, dass man diese logischen Prinzipien eben doch 'brauchen' könnte. Und selbst wenn man sie im Bezug auf die reale welt nicht 'braucht', warum sollte man nicht schauen, was man mit diesen Prinzipien noch alles mehr an Erkenntnissen gewinnen kann, auch wenn diese Erkenntnisse Dinge betreffen, die außerhalb unserer Realität liegen könnten? Hast Du Angst, Dich mit einem möglicherweise existierenden Gott auf eine Stufe zu stellen? Man kann IMO nur ein Intuitionist sein, wenn man auch gleichzeitig Determinist ist und den Standpunkt vertritt, es gäbe keinen freien Willen. Diese Fragen sind ungeklärt und deshalb ist es anmaßend es so darzustellen, als hätte Brouwer vor ca. 100 Jahren darauf die definitve Antwort gefunden.--Rtc 15:48, 22. Jul 2005 (CEST)

Die konstruktive Mathematik ist sozusagen das passende Gegenstück dazu: Weil die logischen Mittel nicht "betrowbar" sind, müssen wir die Wahrheit der mathematischen Aussagen mathematisch herstellen und können sie nicht alle logisch schließen. Eigentlich ist es insofern nicht korrekt von konstruktiver Logik oder intuitionistischer Mathematik zu sprechen.

Du stellst alles sehr wertend dar und mehr als unbelegte Behauptungen sehe ich nicht. Wer sagt das, in welchem unabhängigen, anerkannten Fachjournal wurde so etwas geschrieben? --Rtc 15:48, 22. Jul 2005 (CEST)

Sehr inkonsequent an Brouwer war, dass er die logischen Prinzipien ablehnte und nicht nur für unbegründet hielt. Diese Ablehnung ist nämlich selbst auch unbetrowbar. PaCo 15:32, 22. Jul 2005 (CEST)

Ist das Deine Meinung? Quelle? --Rtc 15:48, 22. Jul 2005 (CEST)

Habe jetzt keine Zeit, das alles herauszusuchen. Es sollten historische (keine Rtc-rationalen) Hinweise sein, weil ich es so verstanden habe, dass Gunther danach gefragt hat.

Ja, und mir stellt sich diese Frage auch. Allerdings werde ich aus Deiner 'Antwort 'darauf nicht schlau. Ich weiß nun zwar dass Du wohl Brouwer verehrst, aber eine brauchbare Antwort auf die Frage kann ich nicht finden. Ich kann höchstens spekulieren, dass Du Mathematik und Logik hervorgehoben hast, um zu implizieren, dass der Intuitionismus sich mit einer alternativen Logik beschäftigt und der Konstruktivismus mit einer alternative Mathematik, basierend auf einer alternativen Mengenlehre, welche nur die Eigenschaften von berechenbaren (konstruierbaren) Mengen betrachtet statt die Eigenschaften aller Mengen? Was das Wort 'betrowbar' bedeutet oder bedeuten soll erklärt sich aus Deiner Darlegung auch nicht. --Rtc 17:07, 22. Jul 2005 (CEST)

Meine Zeit ist mir aber tatsächlich nun zu schade, weil ich den Eindruck habe, Du willst mich unbedingt in der Rolle des unbelehrbaren Spinners haben. Dagegen will ich jetzt im Moment nicht anrudern. Bleib einfach bei deiner Quelle des englischen Wikipedia und werde glücklich und zufrieden. PaCo 16:06, 22. Jul 2005 (CEST)

Absolut nicht, ich halte Dich weder für einen Spinner noch für unbelehrbar. Ich finde es toll, dass Du Dir so viel Zeit für Wikipedia nimmst. Bezüglich 'unbelehrbar' gibt es zwei Dinge zu strikt trennen:

• Einerseits Deine persönliche philosophische Auffassung und Deine persönliche Weltanschauung. Ich habe absolut nichts dagegen, wenn Du diesbezüglich eine andere Meinung hast als ich oder vielleicht die Mehrheit der anderen Menschen und selbst wenn Du momentan erklären solltest, Du wärst absolut unabrückbar und 'unbelehrbar' in Deiner Weltanschauung, dann kann ich Dich darin nur bestärken, denn Weltanschuung ist Privatsache und jeder ist frei darin, eine beliebige Weltanschauung zu haben.
• Andererseits ist jedoch das, was Du in die Wikipedia schreibst. Hier musst Du Dich wohl oder übel so weit wie möglich von Deiner persönlichen Weltanschauung trennen, wenn Du ernst genommen werden willst. Natürlich ist so etwas nie zu 100% möglich und jeder schreibt irgendwie mit einem bestimmten Färbung, aber man kann immer versuchen diesem Ziel so nah wie möglich zu sein. Verbesserungen können dann immer noch andere Leute machen. Ein guter Anhaltspunkt ist es, aus dem Blickwinkel des ideologischen 'Feindes' zu schreiben. So etwas nennt man selbstkritische schreibweise. Ziel des Neutralen Standpunktes in der Wikipedia ist es nicht, jeden Begriff aus allen nur irgendwie möglichen Standpunkten zu betrachten, sondern konkret aus überhaupt keinem Standpunkt, es geht rein darum Standpunkte zu *be*schreiben. Wenn Du einen Standpunkt keiner relevanten Person oder Personengruppe zuordnen kannst, sondern eventuell nur Dir selbst, so gehört er nicht in die Wikipedia. In jedem Fall ist die Person oder Personengruppe konkret *anzugeben* die einen Standpunkt vertritt, solange es sich nicht um einen allgemein anerkannten Fakt handelt. Auch bei Fakten ist so möglich immer eine Quelle anzugeben.

Ich möchte Dir nochmal vorschlagen, mich mal im ICQ anzuschreiben, 87348258, vielleicht können wir so besser zusammenarbeiten. Dazu hast Du noch garnichts gesagt. --Rtc 17:01, 22. Jul 2005 (CEST)

Neue Version

Habe nun eine neue Version reingemacht. Insbesondere die Tabelle mit den Übersetzungen der konstruktivistischen Begriffe in mathematische wird denke ich sehr dazu beitragen, dass Konstruktivisten und Mathematiker besser verstehen, was der andere meint.

Ich verwende im Text jetzt ausschließlich die mathematischen Termini, da diese allgemein anerkannt sind und weit verbreitet sind. Habe im Text darauf hingewiesen. Dies entspricht den Ziel der Wikipedia, Subkulturen mit eigener Sprache nicht mit ihren eigenen Begriffen zu beschreiben, sondern mit gängigen, für die Allgemeinheit verständlichen. (Ich hoffe, das kommt den Vertretern des Konstruktivismus entgegen und es liegt auch in ihrem Interesse, dass nun insbesondere auch Mathematiker den Begriff der konstruktiven Mathematik verstehen können und nicht verwirrt denken, es ergäbe keinen Sinn.) --Rtc 19:29, 22. Jul 2005 (CEST)

Interessant. Mir fehlen die Informationen, um zu prüfen ob diese Umgestaltung sachlich richtig ist. Ich kenne die Gründe nicht, warum die konstruktiven Mathematiker selbst nicht konstruierbar und berechenbar synonym behandeln (außer dem, dass es ihnen wichtig ist zu betonen, dass Menschen und nicht Computer Mathematik machen).

Berechenbar ist völlig neutral und impliziert nichts bezüglich Computern. Auch Menschen berechnen schließlich! Überhaupt das allererste, was man in der Schule durchnimmt, ist Rechnen. Ich vermute sie haben den Begriff 'konstruierbar' benutzt, weil der Begriff 'berechenbar' zu der Zeit noch nicht geläufig war.

Ich kann es (Synonymität von kontruierbar und berechenbar) nicht auf Richtigkeit prüfen, finde es aber sehr merkwürdig, hier gegen die konstruktive Mathematik einen vulgär-objektiven Standpunkt einnehmen zu wollen.

Vulgär-objektiv... Lustige Wortschöpfung. In der Wikipedia werden Dinge mit den allgemein anerkannten (in diesem Fall mathematischen) Begriffen definiert, nicht mit den Begriffen ihrer subkultur und ihres Jargons. Es kommt darauf an dass der Leser normale es versteht. Und ich vermute stark, der weitaus überragende Teil der Leser kennt nur die mathematischen Begriffe. Ich habe den Verständnistest mit einem Bekannten gemacht. Seit die mathematischen Begriffe verwendet werden, ist der Artikel für ihn nützlich und er versteht, was beschrieben wird.

Verständlichkeit ist ein sehr gutes Kriterium! Die Gefahr ist bei Dir da, dass Du durch Deine pseudo-objektive Herangehensweise den Gegenstand verfälscht. Ich jedenfalls kann in weiten Teilen nicht mehr folgen. -Ich kann nicht prüfen, ob diese spezielle Vogehensweise der KM aus Konstruktion und Abstraktion mit der Turing-Berechenbarkeit (die der KM durchaus bekannt ist) gleichzusetzen ist. Das geht auf Deine Kappe sozusagen, weil ich von Berechenbarkeit nichts verstehe. PaCo 03:16, 27. Jul 2005 (CEST)

'Pseudo'-objektiv ist es ganz bestimmt nicht. Vielleicht solltest Du Dich wirklich einmal in Mathematik und auch in Berechenbarkeit einarbeiten... --Rtc 12:41, 27. Jul 2005 (CEST)

Ich habe nur zwei Dinge geändert:

1. Die Begriffsbestimmung Metamathematik (KM) <- Mathematik (Rtc) habe ich entfernt, weil sie völlig falsch ist.

Ich bin nach wie vor der Meinung, dass sie richtig ist.

1. "Konstruktivistische Literatur" habe ich in "Literatur" geändert. Das ist neutral und jeder kann dort sachdienliche weitere Literatur hinzufügen. Wer es ganz besonders wissenschaftlich findet, nur Sekundärliteratur zu zitieren, kann auch das dort tun.

Wie wärs wenn Du mal überhaupt etwas von Brouwer auflisten würdest? Es hat so den anschein, als sei das ganze unter der Federführung von Lorenzen aufgekommen...

Intuitionisten haben ja bei der konstruktiven Mathematik nicht alzu viel verloren. - Ich dachte, Du vermisst Literatur über die KM (statt von KM-Leuten). Da müssen halt andere etwas beitragen. PaCo 02:56, 27. Jul 2005 (CEST)

Den folgenden Absatz verstehe ich nicht:

"Im Konstruktivismus wird auch auf die Benutzung unendlicher Objekte (wie unendliche Mengen und Folgen) verzichtet. Die unendlichen Objekte, die berechenbar sind, werden als Algorithmus repräsentiert. Im Gegensatz zum Ultrafinitismus sind die Algorithmen jedoch nur auf Endlichkeit beschränkt, nicht auf eine maximale Länge."

Ich finde es widerspricht sich hierbei alles.

Die konstruktive Mathematik arbeitet mit unendlichen Mengen und Folgen, also scheint mir der Satzteil schonmal falsch. Ich will hier aber nichts ändern, weil ich die Zielrichtig gar nicht peile, was der Absatz überhaupt soll. PaCo 00:09, 27. Jul 2005 (CEST)

Wieder ein Verständigungsproblem. Wenn du es mit den Begriffen 'Menge' und 'Folge' im konstruktivistischen Sinne beschreibst, dann, ja, sind sie '(potentiell) unendlich'. Im mathematischen Sinne jedoch gibt es keine unendlichen Dinge in der KM.

--Rtc 01:58, 27. Jul 2005 (CEST)

Dafür kennst Du anscheinend die KM nicht gut genug. Selbstverständlich gibt es unendliche Folgen in Rtc-axiomatischem Sinne. Es gibt nur keine unendlichen unbestimmten Mengen über alle beliebigen solcher Folgen. PaCo 02:45, 27. Jul 2005 (CEST)

Ich kann nur nochmal betonen, dass alle solchen 'unendlichen' Dinge in der KM für die Mathematik nur eine endliche Folge von Konstruktionsanweisungen sind. Oder gibt es in der KM auch unendlich lange konstruktionsanweisungsfolgen? --Rtc 12:41, 27. Jul 2005 (CEST)

In diesem Sinne gibt es in der klassischen Mathematik aber auch nichts Unendliches. Alles wird durch endliche Formeln beschrieben.--Gunther 12:52, 27. Jul 2005 (CEST)

Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen, aber nur abzählbar viele endliche Formeln. Also gibt es reelle Zahlen in der klassischen Mathematik, über die Aussagen gemacht werden, die sich aber *nicht* durch endliche Formeln beschreiben lassen. --Rtc 14:54, 27. Jul 2005 (CEST)

So einfach ist das wohl nicht. Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen ist eine Aussage innerhalb des Systems (d.h. es gibt keine Bijektion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb N\to\mathbb R} innerhalb von ZFC), während die Abzählbarkeit der Formeln extern ist. Ich habe mir sagen lassen, dass es (extern) abzählbare Modelle von ZFC gibt.--Gunther 15:08, 27. Jul 2005 (CEST)

Besagt die Church-Turing-These nicht, dass die externe Abzählbarkeit gleich der internen ist, oder sowas ähnliches?--Rtc 15:40, 27. Jul 2005 (CEST)

Ist mir nicht klar, was Du meinst. Von Berechenbarkeit war ja nicht die Rede.--Gunther 20:25, 27. Jul 2005 (CEST)

Hm, ok, dann missverstehen wir uns wohl... was ist denn der Unterschied zwischen 'interner' und 'externer' Abzählbarkeit? Ich sehe da keinen. --Rtc 21:15, 27. Jul 2005 (CEST)

Mit "interner Abzählbarkeit" meine ich wie oben die Existenz einer Bijektion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb N\to\mathbb R} innerhalb von ZFC. Die Abzählbarkeit der Formeln kann innerhalb von ZFC aber gar nicht formuliert werden.--Gunther 21:26, 27. Jul 2005 (CEST)

IMO schon. Analog der Simulation einer Turingmaschine auf einer Turingmaschine (Turingmaschine#Universelle Turingmaschine) kannst Du die Abzählbarkeit von Formeln von ZFC innerhalb von ZFC selbst formulieren. --Rtc 02:26, 2. Aug 2005 (CEST)

Das ist nicht dieselbe Ebene. Natürlich kannst Du innerhalb von ZFC (nennen wir es ZFC-1) Formeln für ein ZFC-2 definieren, und die Menge dieser Formeln ist ZFC-1-abzählbar. Aber ich habe mir sagen lassen, dass es ein Modell von ZFC-2 innerhalb von ZFC-1 gibt, so dass ZFC-2-Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R} ZFC-1-abzählbar ist. Die ZFC-1-Abzählbarkeit der Formeln impliziert nicht die ZFC-2-Existenz "unbeschreiblicher" reeller Zahlen.--Gunther 02:44, 2. Aug 2005 (CEST)

Natürlich *gibt es* ein solches Modell ZFC-2. Aber um die Frage zu beantworten darf man nicht irgendein beliebiges Modell ZFC-2 wählen, sondern eins, das eben ZFC-1 entspricht. Nochmal die Originalaussage: "Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen, aber nur abzählbar viele endliche Formeln. Also gibt es reelle Zahlen in der klassischen Mathematik, über die Aussagen gemacht werden, die sich aber *nicht* durch endliche Formeln beschreiben lassen." Wenn Du ZFC (und damit meine ich das gewöhnliche ZFC, darum gehts ja in der Mathematik) über ZFC formalisiert hast (nennen wir die Formalisierung ZFC'), kannst Du diese Ausssage beweisen. Dazu zeigst Du, dass die rellen Zahlen innerhalb von ZFC (alternativ ZFC') überabzählbar (Cantor) und dass die Formeln von ZFC' innerhalb von ZFC abzählbar sind. Da ZFC' eine Formalisierung von ZFC ist, folgt obige Aussage. --Rtc 15:15, 2. Aug 2005 (CEST)

ZFC-1 ist unabhängig von Modellen, deshalb gibt es kein Modell innerhalb von ZFC-1, "das ZFC-1 entspricht". Die "reellen Zahlen" von ZFC und ZFC' sind nicht dasselbe. Abzählbarkeit ist in ZFC und ZFC' nicht dasselbe.--Gunther 15:31, 2. Aug 2005 (CEST)

Die Konstruktionsanweisungen sind alle endlich, weil die KMer sagen, man kann nur endliche Sätze sagen. Sicherlich kann man aber mit Konstruktionsanweisungen, (unendliche) Konstruktionsanweisungsfolgen (deren Folgenglieder endlich sind) bilden.

Genau das sagt der Text auch aus.

In Differential und Integral benutzt Lorenzen übrigens häufig auch indefinite Quantoren. PaCo 12:57, 27. Jul 2005 (CEST)

Schön, das ist dann aber per Definition keine konstruktive Mathematik mehr. --Rtc 14:44, 27. Jul 2005 (CEST)

Diskussion Sperrung

Habe mal die Diskussion aus meinen Benutzer-Diskussion hierher kopiert: PaCo 12:29, 2. Aug 2005 (CEST)

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Hallo Paul, bitte hör auf die Ergänzungen auf Konstruktivistische Mathematik rückgängig zu machen. Alles was dort stand ist korrekt. Ich werde Deine Änderungen reverten und bitte diskutiere auf der Diskussionsseite, bevor Du eine inhaltliche Änderung durchführst, bei der Du Dir nicht sicher bist, ob sie korrekt ist. Ich verstehe, dass Du als Intuitionist den kritischen, neutralen Standpunkt des Artikels nun nur schwer ertragen kannst, aber so ist das in der wikipedia... Bitte hab verständnis, dass es nicht nur aus Deinem Standpunkt beschrieben werden kann. --Rtc 00:01, 22. Jul 2005 (CEST)

ja, lies aber erstmal. willst du wirklich Cantor mit K schreiben? PaCo 00:02, 22. Jul 2005 (CEST)

Es ist nichts dagegen einzuwenden, Cantor richtig zu schreiben. Tippfehler passiere auch mir. Ich werde hier alle Änderungen die ich rückgängig gemacht habe begründen, wird aber ein paar minuten Dauern das einzutippen. Bitte geduld. --Rtc 00:12, 22. Jul 2005 (CEST)

Es ist nicht Dein Eigentum dieser Artikel ... aber erstmal auch egal

... es wird an einigen Stellen schwer für Dich sein, mit dem Wust klar zu kommen PaCo 00:19, 22. Jul 2005 (CEST)

Selbstverständlich ist er das nicht, aber das heißt auch nicht, dass es Dein Artikel ist! Wenn Du es nicht schaffst den Artikel neutral zu lassen, werde ich mir die Freiheit nehmen, die entsprechenden Dinge rückgängig zu machen. Ich empfehle Dir, Dich an folgenden Grundatz zu halten:

Wer in einem sehr emotionalen Verhältnis zu einem bestimmten Thema steht, sollte auf eine Mitarbeit in dem betroffenen Themengebiet verzichten, um die Neutralität nicht zu beeinträchtigen.

(von Wikipedia:Neutraler Standpunkt)

-Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten lässt sich in der Konstruktivistischen Logik nicht herleiten

+Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird in der Intuitionistische nLogik nicht verwendet.

1. 'Herleiten' ist präziser und neutraler. Präziser, weil man aus 'wird nicht verwendet' nicht schließen kann, dass er sich nicht herleiten lässt, jedoch dass er sich nicht herleiten lässt bedeutet auch, dass er nicht verwendet wird. Neutraler, weil 'wird nicht verwendet' klingt, als wäre dieser Satz schlecht, was eine subjektive Aussage ist, die vielleicht im Intuitionismus, nicht aber im Konstruktivismus getroffen wird. Das ist übrigens einer der Unterschied zwischen den beiden Dinge.

2. Konstruktivistische Logik 'ist so etwas wie' wie Intuitionistische Logik, aber nicht ganz das gleiche. Beim Intuitionismus ist noch so etwas eine Ideologie dahinter, der Konstruktivismus hingegen ist der reine Formalismus. Da momentan aber nur der eine Artikel existiert, habe ich den Link so gesetzt. Ist analog der englischen Wikipedia, wo zusätzlich noch Konstruktivistische Logik auf Intuitionistische Logik weiterleitet. Auf jeden Fall ist an dieser Stelle 'Konstruktivistische Logik' gemeint.

-Im Konstruktivismus wird auch auf die Benutzung unendlicher Objekte (wie unendliche Mengen und Folgen) verzichtet.

+Im Konstruktivismus wird auch auf die Benutzung undefiniert-unendlicher Konstruktionsmittel verzichtet, obwohl ein Ultrafinitismus abgelehnt wird, der keine unendliche Mengen oder Folgen verwendet.

Der ursprüngliche Satz war richtig. Der Konstruktivismus erlaubt nur endliche Konstruktionsbeschreibungen, und die berechnen die (ggfs. unendlichen) Objekte, die sie repräsentieren. Der Ultrafinitismus schränkt zusätzlich die maximale Länge der Konstruktionsbeschreibungen ein. Das ist also ein Unterschied.

(Entfernung von fast alles von Beispiele aus der Analysis)

Das war vollkommen richtig, was da stand. Ich vermute Du hast es entfernt, weil Du den Unterschied zwischen Ultrafinitismus und Konstruktivismus nicht erkannt hattest, weshalb der Absatz korrekt war.

-Jedoch macht die konstruktivistische Einschränkung die obige Definition inkonsistent mit den gängigen nicht-konstruktiven Definitionen der reellen Zahlen.

Inkonsistent ist hier kein wertender Begriff, sondern einfach nur ein Begriff aus der Metamathematik, siehe Inkonsistenz. Der Satz bedeutet, dass wenn Du die konstruktivistische und die mathematische Definition beide annimmst, Du einen Widerspruch herleiten kannst, d.h. die beiden Definitionen beschreiben nicht das gleiche.

Die anderen rückgängig gemachten Änderungen ergeben sich wohl aus oben genannten Gründen, falls aber trotzdem noch fragen sind, sag bescheid. --Rtc 00:35, 22. Jul 2005 (CEST)

Das muss doch nicht ich sein, der Dir dann zeigt, dass es eben doch nicht sauber recherchiert ist.

1. ist nicht jeder englische Artikel nur weil er englisch ist auch korrekt.
2. ist der Unterschied zwischen Bishop und Lorenzen schwer zu sehen
3. ist nicht deswegen, weil Du denkst, ich wäre Intuitionist, alles falsch, was ich ändere
4. schreibt man Cantor mit C
5. ist es prima, dass Du Dir so viel Mühe gemacht hast (ehrlich gemeint)
6. gehe ich jetzt schlafen und wünsch Dir auch gute Nacht PaCo

Nun, ich hab den Artikel ja nicht einfach aus dem englischen übersetzt, ich habe das was vorher drin stand eingearbeitet. Natürlich macht ihn das nicht automatisch korrekt, aber die Beschreibung ist so wie sie drinsteht ist *schlüssig* für jemanden mit einigermaßen vorhandenen Mathematikkenntnissen und rationalem Denken. Ich habe das selbst mit meinen Kenntnissen überprüft, und die sind zwar nicht sehr groß, aber immer noch genug um die KM damit verstanden zu haben, während ich bei Deinen Beschreibungsversuchen etwas Mühe hatte, insbesondere da Du das Prinzip der Endlichkeit der Konstruktionsbeschreibung nicht so wirklich deutlich erwähnt hast. Und ist es nicht Ziel der Wikipedia, dass die Leute es verstehen?

Ob der Artikel schlüssig vom Standpunkt der KM ist, vermutlich nicht, schließlich kann dort Cantors Beweis ja nicht mal hergeleitet werden. Aber die Texte in der Wikipedia sind ja für 'rational' denkende Leute gedacht, und deshalb wird klassische Logik und Mathematik verwendet. Aber die Erkenntnis, dass die KM eine echte Teilmenge der Mathematik ist, lässt sich nur auf diese Weise treffen, die KM ist nicht mächtig genug, als dass man mit ihr selbst zeigen könnte, dass sie nicht mächtig genug ist ;)

Dass KM eine echte Teilmenge der Mathematik istbedeutet im Übrigen, dass jeder Satz aus der KM auch in der Mathematik gültig ist, solange man gleiche Dinge nur gleich bezeichnet. Mit dem, was die KM als 'reellen Zahlen' bezeichnet, übrigens eine sehr interessante Menge, kann man auch in der Mathematik arbeiten, sie ist dort eben eine echte Teilmenge der reellen Zahlen (konkret: Nicht alle irrationale Zahlen sind auch K-reelle Zahlen, weil nicht jede beliebige Nachkommastellenfolge bei der KM möglich ist)

Natürlich ist es durchaus möglich, dass Du kein Intuitionist bist und Dich nur so gibst, oder dass Du Intuitionist bist und trotzdem eine perfekt neutrale und selbstkritische Sicht über die KM in die Wikipedia schreibst. So ganz ist das aber offensichtlich noch nicht erreicht. Nun, meiner Meinung nach ist zumindest erkennbar, dass Du Dich bemühst, was sehr lobenswert ist.

Zum Unterschied zwischen Bishop und Lorenzen kann ich nichts sagen. Vielleicht kannst Du dazu ja etwas erarbeiten.

Cantor habe ich verbessert, vielen Dank für den Hinweis.

Gute Nacht. Ich würde mich übrigens freuen, wenn Du mich mal im ICQ anschreiben wurdest (meine Nummer ist 87348258, kostenlosen Client gibts unter [1]), vielleicht meldest Du dich ja mal. Das ist eine direktere Form der Kommunikation und vielleicht können wir so besser zusammenarbeiten.

--Rtc 01:25, 22. Jul 2005 (CEST)

Danke für das ICQ Angebot und den Tipp. PaCo 14:49, 22. Jul 2005 (CEST)

Als Beispiel dafür, wie relevante Erwähnungen des Intuitionismus/Konstruktivismus mit Quellenangaben aussehen können, kannst Du Dir mal den Artikel Ultrafinitismus anschauen, dort findet sich folgender Absatz:

Obwohl Ultrafinitismus eine Form des Konstruktivismus ist, wird er sogar von den Konstruktivisten als unpraktikabel angesehen. Der Konstruktive Logiker A. S. Troelstra verwarf ihn in Constructivism in Mathematics (1988) mit: Es gibt derzeit keine befriedigende Ausarbeitung (no satisfactory development exists at present).

Das ist eine Darlegung von Fakten, weil die Begründung stichhaltig ist, denn es wird zumindest mit einer Primärquelle belegt. Nun könnte man einwenden, dass eventuell andere Konstruktivisten nicht dieser Auffassung sind, dies müsse erst erforscht und in einem Journal zur Wissenschaftsgeschichte publiziert werden, aber eine Primärquelle ist zumindest eine 'harte' Begründung um so eine Aussage erst einmal stehen zu lassen. Das heißt natürlich nicht, dass jetzt jeder Artikel mit Zitaten aus konstruktivistischer Literatur zu pflastern ist, der nur irgendwie mit einem Satz zusammenhängt, den ein Konstruktivist mal gesagt hat. Es sollte schon wirklich sehr relevant für das Thema sein, aber das ist es im Beispiel, da der Ultrafinitismus eine Einschränkung des Konstruktivismus ist und deshalb natürlich interessant ist, wie die Vertreter des Konstruktivismus darüber denken. --Rtc 20:25, 22. Jul 2005 (CEST)

Typisch an Lorenzen Philosophie war, mit den Menschen zu sprechen und nicht journalistisch über sie.

In der Wikipedia haben wir einen neutralen Standpunkt, nicht den Standpunkt der Organisation/Sache/Person, die beschrieben wird.

(Das stellt schon wieder eine Behauptung ohne angemessene Quelle dar, weil ich ihn halt so erlebt habe :) )

Wikipedia hat den expliziten Grundsatz, dass eigene Erfahrungen keine gültigen Quellen sind, solange sie nicht durch ein unabhängiges Medium festgehalten und überprüft wurden. D.h. Du kannst zu einer Zeitung gehen und ein Interview darüber machen lassen oder einen Artikel über Deine Eindrücke über ihn schreiben, und bei einer anerkannten Zeitschrift veröffentlichen lassen, dann ist das als Quelle zulässig.

Daran, dass Lorenzen die klassische Analysis (sogar mit Differentialgeometrie mit Stokes-Formel, Diff.+Intr. Lorenzen 1965) rekonstruiert hat, sieht aber jeder "Gutwillige", dass er kein Finitist gewesen sein kann, von Ultra ganz zu schweigen. (Wieder keine ordentliche Quelle, da Primärliteratur.)

Nicht nur deshalb, sondern auch weil es Deine Interpretation davon ist. Du sagst es sei 'offensichtlich', aber vielleicht gibt es spätere oder frühere Schriften, in denen er eine andere Auffassung vertrat. Genaues ließe sich nur sagen, denn ein fachartikel darüber existiert, wo sich jemand wissenschaftlich mit dieser Frage beschäftigt hat.

Im übrigen hat Lorenzen nicht die klassische Analysis rekonstruiert. Er hat eine Analysis der berechenbaren Zahlen entwickelt.--Rtc 22:25, 22. Jul 2005 (CEST)

Ich klinke mich - das ahnst du sicher schon - fürs erste aus diesen Diskussionen aus. Nix für ungut. PaCo 20:57, 22. Jul 2005 (CEST)

Hallo Paul, Du hast über das Wochenende Konstruktive Mathematik und klassische Logik 'umgearbeitet'. Es waren zwar auch einige kleinere Änderungen darunter, die gut waren, aber die vielen schlechten standen in keinem Verhältnis dazu und insgesamt ging es einfach zu weit, was Du kommentarlos gelöscht, geändert und insbesondere gefärbt hast. Der Artikel ist deshalb nun vorerst gesperrt, hoffentlich bis eine Lösung für a) Deinen äußerst populistischen Schreibstil, b) Deine ständige Verwendung von Konstruktivismus- und Intuitionismus-Slang statt den bekannten mathematischen Begriffen, c) Deine Fehlinterpretation des NPOV sowie d) Deine destruktive Änderungspraxis gefunden ist. Ich hoffe, Du verstehst, warum das notwendig war. Ich möchte Dir dringend empfehlen, Dich mit dem Editieren von Artikeln aus den Bereichen Logik und Mathematik, besonders KM und Intuiitionismus und anderen damit im Zusammenhang stehenden Dingen zu enthalten, weil Du in meinen Augen einfach zu befangen bist. Ich hätte es gerne anders gelöst, aber Du hast leider überhaupt kein Interesse an meinem Angebot bezüglich ICQ gezeigt. --Rtc 22:46, 1. Aug 2005 (CEST)

Hallo Rtc,

last first: Komme mit dem ICQ nicht klar. Gibt es irgendwo eine Einführung? Was hat das mit miranda zu tun?? Fragen über Fragen.

Miranda ist eins von mehreren Programmen, mit denen man am ICQ teilnehmen kann. Einführung siehe [[2]]

In diesem Serrzirkuss hier hast Du fürs erste gewonnen. Wieso Du hier der Chef bist und nach welchen Regeln das tickt, kriege ich auch noch raus, dann gehts halt weiter. - Im Prinzip glaube ich, dass Du halbwegs redliche Motive hast - und denkst ich währe verbohrt - und insofern habe ich auch die Geduld noch ein bisschen zu warten.

Das ist schonmal ein im Ansatz falsches Denken. Das Problem sind nicht irgendwelche Regeln oder Motive, das Problem sind oben genannte Punkte a) bis d). Solange Du die nicht abstellen kannst, wird vermutlich nichts weitergehen. Ich habe auch nicht gewonnen und darum geht es überhaupt nicht. Es geht darum, dass Wikipedia gewinnt, durch gute, verständliche, und insbesondere neutrale Artikel.

Du hast viel Arbeit reininvestiert. Ich auch. Seis drum. Geärgert habe ich mich schon, finde es auch fürs erste ziemlich unfair, aber das hat auch bis morgen Zeit, das zu klären.

Ich bin weder der Chef noch war es unfair. Die Seite wurde von einem unabhängigen Admin gesperrt, nachdem ich den Sachverhalt dargelegt hatte, UND ich hatte Dir gesagt, dass ich das tun werde, wenn Du nicht die Probleme zumindest im Grundsatz abstellst. Ich hatte noch nichtmal verlangt, dass sie auf eine alte Version geändert wird, aber Deine 'Überarbeitungen' haben den Admin scheinbar davon überzeugt, dass dies notwendig ist. Ich bin mir sicher, dass Du viel Arbeit investiert hast. Das Problem ist, dass Du diese Arbeit leider in größtenteils falsche Arbeitsweisen investiert hast und die Artikel insgesamt nicht verbessert, sondern verschlechtert hast, insbesondere bezüglich Neutralität und Kritischen Elementen und zwar permanent und vorsätzlich, auch nachdem Du darauf hingewiesen wurdest. Du hast insbesondere vorsätzlich kritisierende Elemente und andere große Teile, die Dir wohl nicht ins Bild passten aus Konstruktive Mathematik entfernt.

Zur Sache: Du hast eine Sache falsch verstanden. Das tertium non datur hat eine ganz andere Funktion als Du denkst: Der (logische) Intuitionismus ermöglicht eine axiomatische Mathematik (aus Sicht von jemand, der sich überhaupt um Grundlagen schert). Die konstruktive Mathematik kommt (ich belege das gerne) mit der klassischen Logik aus. Falls Du diesen Zusammenhang bestreitest, sag mal warum. PaCo 23:33, 1. Aug 2005 (CEST)

Ich bestreite diese Sache nicht und habe sie denke ich auch nicht falsch verstanden. Das Problem sind nicht solche Dinge, sondern dass eben solche Dinge nur einen kleinen Teil Deiner Arbeit ausmachen, den anderen, beanstandeten Teil Deiner Arbeit kennst Du. Aber das weißt Du.

Ich empfehle Dir, in Zukunft Durch Einsicht und Taten (bzw. nicht-Taten) zu glänzen. Ich habe die wichtigen Dinge jetzt bereits mehrmals erwähnt und finde die ständige Diskutiererei mit Dir eher kontraproduktiv. Es ist nun an der Zeit, die wichtigen Dinge auch anzufangen zu verstehen.--Rtc 01:01, 2. Aug 2005 (CEST)

Du willst unbedingt hier super Streit machen. Du bist nicht derjenige der hier gezielt auf mich "Jagd" machen darf. Du darfst mir auch nicht vorschreiben, in welchen Artikel ich schreibe. Mir langts. Ich schreibe zu den Sachen von denen ich was verstehe. Hör doch auf dann zu einem Admin zu gehen. In beiden entsprechenden Artikeln sind sachliche Fehler von Dir drin drin. Das kann ich nachweisen. Du verstehst nicht viel vom Hilbertschen Formalismus. Ich werde mir halt die Struktur hier ansehen und durchsetzen, notfalls auch über einen Admin, dass Du hier nicht weiter Blödsinn schreibst. PaCo 01:23, 2. Aug 2005 (CEST)

Hallo Paul, niemand behauptet, die Sachen, die ich geschrieben habe wären vollkommen richtig. Vielleicht kannst Du es nachweisen, was sehr zu begrüßen wäre, aber Du tust es nicht, sondern löschst und änderst, in Deiner Formulierung 'überarbeitest' es stattdessen kommentarlos. Und niemand macht Jagd auf Dich oder so etwas. Ich schreibe Dir nicht vor, welchen Artikel Du schreibst, ich apelliere nur an Deine Selbsterkenntnis, dass Du zu emotional gebunden bei vielen Themen bist, an denen Du bisher mitgearbeitet hast und dass Du deshalb von Dir aus die Arbeit daran vielleicht besser freiwillig einstellen solltest. Schau Dir ruhig die 'Struktur' an, aber sei bitte nicht enttäuscht, wenn Du feststellst, dass die meisten in diesem IMO einschlägigen Fall nicht Deine Meinung teilen.--Rtc 01:59, 2. Aug 2005 (CEST)

Ich habe den Artikel gesperrt, weil mich mehrere Personen drum gebeten haben. Ich habe mir den Artikel nicht angeschaut und habe das eigentlich auch nicht vor. Ich weiß das es eher unüblich ist, aber ich bin mir sicher, ihr zweit klärt das auf einem sehr vernünftigen Weg und dann entsperre ich den Artikel auch gerne wieder. Ich bin nicht Rtc und außer mir hat keiner Zugriff auf den Account. Zur Benutzerstruktur siehe Wikipedia:Benutzer und Wikipedia:Machtstruktur.. Sollte einer von euch Fragen haben, die noch nicht im Handbuch beantwortet werden, immer her damit.. --da didi | Diskussion 01:55, 2. Aug 2005 (CEST)

Ihr merkt es selber, oder? Jeder unbefangene Leser kann es sehen:

Rtc sagt: MD hat gesperrt, weil er es inhaltlich geprüft hat. MD sagt: Er hat es nicht geprüft. - MD sagt mehrere haben ihn angesprochen und dann sagt er: ihr zwei schafft das schon.

Ich sagte so etwas nicht. Das möchtest Du vielleicht so lesen, aber es stimmt nicht. Wenn Du anderer Meinung bist, zitiere mich bitte korrekt und leg mir nicht irgendwelche Sachen in den Mund! --Rtc 12:44, 2. Aug 2005 (CEST)

Du schreibst oben: "... Die Seite wurde von einem unabhängigen Admin gesperrt, nachdem ich den Sachverhalt dargelegt hatte, UND ich hatte Dir gesagt, dass ich das tun werde, wenn Du nicht die Probleme zumindest im Grundsatz abstellst. Ich hatte noch nichtmal verlangt, dass sie auf eine alte Version geändert wird, aber Deine 'Überarbeitungen' haben den Admin scheinbar davon überzeugt, dass dies notwendig ist..." Wenn weder Du noch der Admin den Quatsch mit der Entsprechung Mathematik ~ Metamathematik (KM) wieder reingesetzt haben wollte, warum steht es jetzt dort?? PaCo 14:29, 2. Aug 2005 (CEST)

Ein ebenfalls unabhängiger Dritter hat Deine Änderungen schnell überflogen und mir dann empfohlen, den Admin zu bitten, die neutralere Version wiederherzustellen, und obwohl ich skeptisch war, dass Du gereizt reagierst habe ichs dann mal so gemacht, schließlich hat der mehr Erfahrung als ich..--Rtc 16:09, 2. Aug 2005 (CEST)

Ich wäre sehr froh, wenn sich mal inhaltlich ein Dritter wirklich hier unvoreingenommen einmischt, weil Rtc mich hier mit seinen Punkten als wiki-unneutral darstellt, was wirklich nicht stimmt und weil ich seine Fehler, auf die ich ihn die ganze Zeit anspreche nicht im Ansatz korrigieren darf. Sogar die Gleichsetzung Mathematik entspricht Metamathematik bei den Konstruktivisten ist wieder reinrevertet worden. PaCo 08:51, 2. Aug 2005 (CEST)

Bitte klärt es auf der Diskussionsseite der jeweiligen Artikel, und zwar mit Belegen. Anders kommt Ihr nicht weiter, ich fürchte, es gibt hier einfach keinen fachlich kompetenten Schiedsrichter, der über wahr und falsch urteilen könnte.--Gunther 11:20, 2. Aug 2005 (CEST)

Das sehe ich ganz genauso. Wenn Du Belege für Deine 'Verbesserungs'vorschläge für die zum großen Teil aus der englischen Wikipedia (und nicht von mir!) stammende momentane Fassung hast, dann bitte gib sie an. Und damit meine ich keine Aussagen von einem Konstruktivisten, sondern unabhängige. --Rtc 12:44, 2. Aug 2005 (CEST)

Der Punkt mit den Belegen gilt mMn für Euch beide, die WP ist keine ausgesprochen zuverlässige Quelle. Wenn im Text klarwird, dass die Sichtweise eines Konstruktivisten dargestellt wird, spricht auch nichts gegen eine KM-Quelle.--Gunther 12:52, 2. Aug 2005 (CEST)

Korrekt.--Rtc 16:09, 2. Aug 2005 (CEST)

Mal ein Beispiel: Reelle Zahlen werden in der KM als Abstraktion von den Unterschieden aus zwei Chauchy-Folgen rationaler Zahlen definiert, deren Differenz eine Nullfolge ist. Das kann ich belegen. Soll ich? Mit Jahreszahl und Seitenzahl und mehreren Autoren. Im Artikel steht zur Zeit sinngemäß: Die KM arbeitet nicht mit Chauchyfolgen. Einfach Quatsch! PaCo 14:29, 2. Aug 2005 (CEST)

Genau solche Sachen sollst Du belegen, aber, das wirst Du nicht können, weil sie nicht stimmen. Die KM arbeitet ausschließlich mit *berechenbaren*, nicht mit beliebigen Cauchy-Folgen. Das Problem ist, dass Du mit solchen Aussagen wieder implizit konstruktivistischen Slang benutzt. Mit 'Cauchy-Folgen' implizierst du 'existierende Cauchy-Folgen', und in der KM-sprache ist 'existierende'='berechenbare'. Ich streite nicht ab, dass viele Sachen, die Du sagst, stimmen, wenn man die Sätze konstruktivistisch interpretiert. Allerdings, und das habe ich schon mehrmals gesagt, wird in der Wikipedia die allgemein anerkannte, mathematische Sprache benutzt und nicht die konstruktivistische. Es geht darum, dass der Leser es versteht (und der wird nur in vernachlässigbaren Prozentzahlen Konstruktivist sein, wie Du mir sicherlich zustimmst), und da kann IMO nicht die Benutzung der konstruktivistischen Sprachregelung geduldet werden. --Rtc 14:42, 2. Aug 2005 (CEST)

Mir ist ehrlich gesagt auch nicht klar, warum man stattdessen Informatiker-Sprache benutzen sollte. Solange klar ist, dass nicht die klassischen Begriffe gemeint sind, kann man doch ruhig innerhalb der Formulierungswelt der KM bleiben.--Gunther 14:46, 2. Aug 2005 (CEST)

Da muss ich heftig widersprechen. Das wäre der Gegenteil eines neutralen Standpunktes. Ist der Artikel über die Englische Sprache in englisch geschrieben? Nein. Ist der Artikel über Rap als Rap verfasst? Nein. Sollte der mathematische Konstruktivismus mit konstruktivistischer Sprache beschrieben werden? Die Antwort dürfte klar sein.

Der normale Leser wird auf keinen Fall das Hintergrundwissen haben, die konstruktivistische Sprache zu entschlüsseln und an den passenden Stellen 'berechenbar' einzufügen. Wenn er den Begriff 'Cauchy-Folge' sieht und nicht weiß, was das ist, wird er unter 'Cauchy-Folge' nachschauen und dann natürlich etwas lesen, was nicht zu dem passt, was im Artikel steht. Im übrigen ist das nichts Informatiker-spezifisches, sondern völlig mathematisch nur dass sich die Mathematiker mit diesen Dingen kaum mehr beschäftigen (eben weil es inzwischen die Informatik gibt, die das tut). --Rtc 15:07, 2. Aug 2005 (CEST)

Verzeih, aber das Argument ist sehr schwach. Sollen jetzt alle mathematischen Artikel so umgeschrieben werden, dass sie keine Fachbegriffe mehr enthalten? NPOV heißt neutrale Sichtweise, und die Sprache hat mit der Sichtweise primär nichts zu tun.

Klar sollen die mathematischen Artikel nicht umgeschrieben werden. Ich würde sagen, die mathematischen Begriffe in ihrer mathematischen Bedeutung gehören zur deutschen Sprache, denn das ist das, was die überwältigende Mehrzahl der Leute darunter verstehen. Aber nicht in ihrer konstruktivistischen Bedeutung. Dies führt automatisch dann zu nicht-neutralen Sichtweisen. Ein Vergleich zum Selbsthinken: Stell Dir einen Artikel über Finanzen vor, den ein Aktienmensch geschrieben hat. In der Sprache des Aktienmenschen sei mal aus welchem Grund auch immer die Aktie eine sichere Geldanlage. Nun könnte dieser Mensch in 'seiner' Sprache schreiben 'Mit sicheren Geldanlagen lassen sich hohe Zinsen erwirtschaften' und dabei verschweigen, was er unter sicherer Geldanlage versteht, genauso wie der konstruktivist schreibt 'die reellen Zahlen sind abzählbar' oder 'die reellen Zahlen sind auch bei den Konstruktivisten mit Cauchy-Folgen definiert' und dabei verschweigt, was er unter reelle Zahlen und Cauchy-Folge versteht.

Natürlich muss man im Artikel mit der nötigen Vorsicht vorgehen, damit klar ist, was jeweils gemeint ist. Das ist übrigens auch bei der Formulierung "berechenbare Cauchy-Folge" der Fall: Ist damit eine berechenbare Folge gemeint, die eine Cauchy-Folge ist, oder eine berechenbare Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_n)} , die "berechenbar Cauchy" ist, d.h. für die es eine berechenbare Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N(\epsilon)} gibt, so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |a_n-a_m|<\epsilon} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n,m>N(\epsilon)} gilt, oder sind diese beiden Begriffe äquivalent?--Gunther 15:18, 2. Aug 2005 (CEST)

Siehst Du, das ist schon ein ziemliches Problem. Ich bin Deiner Meinung, dass 'berechenbare Cauchy-Folge' noch zu ungenau ist. Ich weiß es nicht wie die Konstruktivisten es genau definieren, denn ich kenne ich mich mit KM nicht aus. Was ich aber weiß, ist dass nicht die mathematische Definition von Cauchy-Folge gemeint ist.--Rtc 15:37, 2. Aug 2005 (CEST)

Selbstverständlich kann in einem Artikel über Konstruktivismus die konstruktivistische Terminologie "geduldet" werden, genau wie in einen Artikel über Marxismus die marxistische Terminologie verwendet wird, auch wenn die der modernen Volkswirtschaft widerspricht. Und auch im Artikel Rap kann es gut sein, dass manche Begriffe anders verwendet werden als in der Musikwissenschaft allgemein üblich. --Fuzzy 15:21, 2. Aug 2005 (CEST)

Kannst Du stellen in den entsprechenden Artikeln anführen, in denen es so praktiziert wird? Im übrigen könntest Du übersehen haben, dass für die Begriffe des Konstruktivismus bereits mathematische Begriffe existieren.--Rtc 15:44, 2. Aug 2005 (CEST)

Alle beliebigen Cauchy-folgen rationaler Zahlen:

• Paul Lorenzen, Differential und Integral. Eine konstruktive Einführung in die klassische Analysis. FaM 1965
• "Folge (mathematisch)" in der Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie (Mittelstraß) A-G 1980

Artikel ist von Christian Thiel, der auch darauf verweist, dass dieses Verfahren von Dedekind stammt, also keinen konstruktiver Slang. PaCo 14:53, 2. Aug 2005 (CEST)

Nochmal: Ich kann nicht herausbekommen, woher die Falschinformationen des englischen WP-Artikels stammen. Möglicherweise falsch, oder Bezug auf Bishop. PaCo 15:04, 2. Aug 2005 (CEST)

Alle zitierten Werke wurden von Konstruktivisten (Paul Lorenzen, Christian Thiel) verfasst oder verwenden daher die konstruktivistische Sprache oder definieren Begriffe konstruktivistisch, deshalb sind sie als beleg *unbrauchbar* sind! Zitiere bitte unabhängige Autoren. Dazu kommt noch, dass der Artikel '... Einführung in die klassische Analysis' suggeriert, dass es dort um eine beschreibung der klassischen Analysis geht, nich tum die der konstruktivistischen. Im übrigen solltest Du entsprechende Textstellen zitieren und nicht nur eine grobe Literaturquelle angeben, schließlich bist Du hier wohl der einzige, der die entsprechenden Bücher hat!--Rtc 15:12, 2. Aug 2005 (CEST)

PL: Einf.Analysis ist kein Artikel sondern ein gebundenes Standardwerk. Seite 54.

Dass die Texte KMern stammen, habe ich nicht bestritten, sondern ich wollte belegen, was ich belegen sollte. Der Satz mit den Cauchy-Folgen im jetzigen Artikel ist unbelegt und schlicht falsch und es grenzt schon an Frechheit, dass ich mich verteidigen muss. PaCo 15:20, 2. Aug 2005 (CEST)

Das Buch von PL ist ein Standardwerk bezüglich was? Mathematik oder konstruktivismus? Wenn Du nur konstruktivistische Autoren als Beleg aufführen kannst, heißt das, Du könntest in den Artikel schreiben 'Konstruktivisten vertreten den Standpunkt...', aber das tatest Du nicht. Würdest Du es so schreiben, wäre schon eine Menge geholfen. --Rtc 15:44, 2. Aug 2005 (CEST)

Wenn Du meine Beiträge zu dem Artikel gelesen hättest, anstatt sie zu reverten, hättest Du das lesen können. PaCo 15:57, 2. Aug 2005 (CEST)

Alles was ich lesen konnte waren ohne irgendwelche Grundlage und ohne Begründung gelöschte größere Textpassagen, emotionale Färbung bestender Dinge, umformulieren in konstruktivistischen Slang und eine *kleine* Anzahl guter Änderungen. Alles scheint mit dem Paradigma geschehen zu sein "erzähle es aus dem Standpunkt der Konstruktivisten und erwähnt dann kurz etwas Kritik als Ausgleich um einem neutralen Standpunkt' genüge zu tun". Aber das sind ja beides dann Standpunkte, während der neutrale Standpunkt garkein Standpunkt ist, sondern nur eine Beschreibung von Tatsachen.--Rtc 16:16, 2. Aug 2005 (CEST)

Cauchy-Folgen

Der Gebrauch des Terminus' Cauchy-Folgen ist absolut identisch zwischen KM und axiom.M.

Falsch. Im übrigen färbst Du hier Deine Aussage schon wieder mit 'axiomatisch'. Die konstruktive Mathematik ist genauso axiomatisch wie die Mathematik. Was Du vermutlich meinst ist Intuitionismus, wenn ich es richtig verstanden habe, werden dort Axiome ganz abgelehnt und man arbeitet mit Äpfel, Birnen und Streichhölzern statt mit abstrakten Dingen, oder so ähnlich.

Nur in der axiom. Mathematik werden undefinite Mengen solcher CFolgen betrachtet.

Richtig. Genau deshalb eben obiges falsch. Denn das widerspricht dem, was Du im ersten Satz gesagt hast. Wenn Du nun 'undefinit' noch durch den mathematischen Begriff unberechenbar ersetzt, bekommst du sogar eine Aussage, die ein Mensch mit mathematischer Bildung verstehen kann.

Eine Ersetzung durch berechenbar ist unnötig und vermutlich auch falsch. PaCo 15:38, 2. Aug 2005 (CEST)

'unnötig', 'Vermutlich'... Subjektive, unbelegte Betrachtungsweisen. Du merkst schon das Problem. --Rtc 15:48, 2. Aug 2005 (CEST)

Hallo? In dem Artikel wie er jetzt ist sind eindeutig nachgewiesen Fehler drin. Nicht vielleicht. Sondern bestimmt. In meiner Überarbeitung sind noch gar keine Fehler überhaupt erwähnt worden. PaCo 15:54, 2. Aug 2005 (CEST)

Es macht irgendwie keinen Sinn mit Dir zu diskutieren, mal sagst Du 'vermutlich', dann ist es plötzlich 'eindeutig nachgewiesen', obwohl es nicht der Fall ist.

Zwei von Dir stammende Sätze über Cauchy-Folgen sind falsch.

a) welche, b) behauptest Du. Diese Sachen stammen aus dem englischen Artikel und klingen äußerst plausibel.

Metamathematik ist falsch.

Nicht belegt, dass es falsch ist. Um die KM zu betrachten und Aussagen über ihre Korrektheit zu beweisen, braucht man die Mächtigkeit der Mathematik, bei den Konstruktivisten offenbar genannt 'Metamathematik'.

Du merkst nicht, dass keiner Deine absurden Neutralitätsfimmel teilt, weil Du über eine Sache "neutral" schreiben willst, ohne die Sache zu kennen und ihr angemessen zu werden. Was die KM Metamathematik nennt, (lorenzen hat ja 62 ein Buch mit diesem Titel geschrieben, musst Du schon der KM überlassen, alles andere ist Deine Eigenforschung. Die KM hat in der Metamathematik versucht die widerspruchsfreie kalkulatorischen Systeme zur Hilfe zu nehmen um das Hilbertprogramm zu vollenden, die axiomatische M. als widerspruchsfrei zu beweisen. Das ist nicht dasselbe wie Mathematik. PaCo 17:06, 2. Aug 2005 (CEST)

Bitte verzichte auf den gefärbten Begriff 'axiomatische Mathematik'. Das wäre schon mal ein Anfang. Sprich stattdessen einfach von Mathematik.

Aus der Annahme der Widerspruchsfreiheit der 'kalkulatorischen Systeme' auf die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu schließen ist ein Zirkelschluss. Diese 'kalkulatorischen Systeme' sind gleichmächtig mit der (nicht auf konstruktivistische Axiome eingeschränkte) Mathematik, deshalb entspricht das, was die K'isten Metamathematik nennen einfach nur der Mathematik. Du willst einen Unterschied machen wo keiner ist. --Rtc 17:28, 2. Aug 2005 (CEST)

Die KM lässt sich mit der KM selbst nicht formalisieren und die Korrektheit der KM lässt sich nicht konstruktiv beweisen. Das folgt trivialerweise aus dem Unvollständigkeitssatz oder auch dem Halteproblem. --Rtc 16:54, 2. Aug 2005 (CEST)

Berechenbarkeit ist vermutlich nicht richtig und sicherlich Informatikerslang.PaCo 16:24, 2. Aug 2005 (CEST)

Schön, dann BELEGE bitte diese Vermutung. Informatikerslang? Sicherlich nicht. Es ist ein ganz natürlicher Begriff. --Rtc 16:54, 2. Aug 2005 (CEST)

.. Du hast bis dato noch keinen einzigen Fehler eingesehen.

Ich habe im Gegensatz zu Dir noch nie einen Artikel von Dir komplett revertet. Du revertest, obwohl Du eingestehst das richtige Sachen drin waren schon mehrfach. PaCo 16:24, 2. Aug 2005 (CEST)

Ja, und zwar weil Du für jede Verbesserung gleichzeitig fünf Verschlechterungen einführst. Du nutzt die Verbesserung von Tippfehlern aus, um huckepack gleich wieder eine emotionale Färbung und nicht neutrale Sichtweise irgendwo einzufügen. Beispiel: [[3]] -- Gegen das Revert hast Du Dich gewehrt mit der Begründung, Cantor würde mit C geschrieben statt mit K. Das ist in der Tat eine sinnvolle Änderung, aber der rest ist einfach die Verbiegung des neutralen Standpunktes in einen unkritischen, der wichtige Dinge verschweigt. Dieses Schema zeigt sich bei fast allen Deinen Änderungen. Wenn nun eine kleine Änderung okay ist und dafür viele andere nicht, ist eine Revert unter Berücksichtung der Umstände durchaus gerechtfertigt IMO. --Rtc 16:45, 2. Aug 2005 (CEST)

Welche Früchte soll die Diskussion tragen, wenn Du nur das als richtig anerkennt, was Du selbst sagst, auch wenn es sich selbst widerspricht?

Ist nicht die Wahrheit und das kann jeder Unvoreingenommene sofort sehen. PaCo 16:24, 2. Aug 2005 (CEST)

Aber sicher doch. --Rtc 16:45, 2. Aug 2005 (CEST)

Es geht nicht darum, dass jemand Fehler erwähnt in deiner Überarbeitung, sondern, dass Du die Überarbeitung begründest, z.B. den massenhaft kommentarlos gelöschten Text, Entfernung kritischer Aussagen, etc. --Rtc 16:12, 2. Aug 2005 (CEST)

Doch. Was von mir richtig war sollst Du stehen lassen und was von Dir falsch ist löschen. So einfach ist das. Dieses gedankenlose Admin-Revert macht das nicht. PaCo 16:24, 2. Aug 2005 (CEST)

Richtig. Aber Du vergisst die andere Seite. Dass das, was von Dir falsch ist, gelöscht werden sollte und was von mir richtig ist stehen gelassen werden sollte. Genau das tust Du aber nicht. Die überwiegende Anzahl Deiner Änderungen war die entfernung von Dingen von mir, die richtig waren und die Hinzufügung von Dingen von Dir, die falsch oder nicht neutral waren. --Rtc 16:45, 2. Aug 2005 (CEST)

Axiomatische Mathematik

Die axiomatische Mathematik deduziert aus Axiomen. Das ist ein spezielles Vorgehen. In der konstruktiven Mathematik wird dies nicht gemacht sondern konstruiert. Das ist ein wichtiger, vielleicht der wichtigste Unterschied. Ein Mathematiker kann beides tun und sehen wie weit er mit dem einen oder dem anderen kommt. Das auszuarbeiten war der große Erfolg des Hilbertschen Formalismus. PaCo 17:41, 2. Aug 2005 (CEST)

Du machst Unterschiede, wo keine sind. Konstruieren ist vom Prinzip her auch axiomatisch und deduktiv, nur die Axiome selbst unterscheiden sich in der KM im Vergleich zur Mathematik, und zwar fehlen solche, die deduktionen zulassen ohne explizite Konstruktion. --Rtc 17:49, 2. Aug 2005 (CEST)

Hehe...*Lachend Purzelbäume schlagend* Du willst einen Artikel über konstruktive Mathematik schreiben. Gebt mir was gegen Lachkrämpfe. PaCo 17:58, 2. Aug 2005 (CEST)

Upppps der Link war falsch. Trauer. Schluck. Es gibt keinen Artikel hier über Formalismus. Na Peter Steinberg hatte mich gewarnt. PaCo 17:43, 2. Aug 2005 (CEST)

Sperrung aufheben?

Hallo Michael,

die Diskussionen über die Sperrungen zu den beiden Artikeln sind eingeschlafen. Alle bisherigen Beiträge dazu deuten darauf hin, dass Rtc einen überzogenen Neutralitätsbegriff hat. Ich möchte Dich bitten (Du wurdest von Rtc als unabhängiger Admin genannt) eine Aufrechterhaltung einer Sperrung in der Diskussion Konstruktive Mathematik kurz zu begründen, oder aber die Sperrungen aufzuheben. Ich verspreche, nach einer Aufhebung der Sperrung nicht irgendetwas rückzureverten, vielmehr werde ich 24 Stunden gar nichts ändern und dann schrittweise, möglichst in breitem Konsens an den Artikeln weiterarbeiten. PaCo 12:14, 3. Aug 2005 (CEST)

Ich habe aufgehört zu diskutieren, als Deine Argumente nur noch aus "*Lachend Purzelbäume schlagend*" bestanden. Unabhängige Begründungen für Deine Änderungen hast Du bislang noch keine einzige vorgelegt, und von den Belegen aus Primärquellen hast Du noch kein einziges Mal die Textstelle zitiert, nur ungefähre Angaben mit Seitenzahl etc. Niemand kann so nachvollziehen, was dort tatsächlich steht, weil außer Dir niemand die Bücher besitzt. Die meisten Deiner Löschungen sind völlig fehl am Platz (z.B. die Aussage von Hilbert), die Änderungen auf konstruktivistischen Slang macht die Seite unleserlich und die Färbungen machen das ganze nicht mehr neutral.

Von einem Neutralitätsfimmel kann garkeine Rede sein. Ich meine schau Dir doch mal an, worum es hier eigentlich geht: [[4]]. Fast wäre schon ein Löschantrag für den Artikel angebracht, weil Du bislang keine von Konstruktivisten unabhängigen Belege angeben konntest. Es ist fragwürdig, ob so ein Thema, über das uns keine unabhängigen Informationen bekannt sind, überhaupt in eine Enzyklopädie aufgenommen werden kann.

Ich erinnere nochmal daran, dass die Informationen, die nun im Artikel stehen alle mehr oder weniger aus der englischen Wikipedia sind, manche nicht direkt aus dem entsprechenden Artikel, sondern von anderen Artikeln (z.B. en:computable numbers, welche die KM ebenfalls erwähnen. Diese sind alle plausibel und verständlicher als wenn man es im konstruktivistischen Slang schreibt. Worum es geht, ist grade, dass du hier nun darlegst, welche Änderungen Du gerne vornehmen möchtest, warum diese Änderungen notwendig sind und mit welchen Quellen Du diese Änderungen belegen kannst. Dafür ist die Sperrung da, um den Artikel inhaltlich zu diskutieren, nicht um Dir eins auszuwischen oder so. Würde der Artikel nun entsperrt, würde es genauso weitergehen wie vorher.

--Rtc 12:47, 3. Aug 2005 (CEST)

Paul hat angeboten, Änderungen am Artikel jeweils vorher hier zu diskutieren. Damit gibt es keinen Grund mehr, die Seite weiter zu sperren. - Du willst doch nicht etwa, dass der Artikel jetzt dauerhaft gesperrt bleibt, weil du keine Lust auf Diskussionen mehr hast? Das würde nun wirklich nicht dem Wiki-Prinzip nicht entsprechen. --Fuzzy 12:58, 3. Aug 2005 (CEST)

Am besten ist es wohl, wenn Du (oder ich) mit ein paar anderen (Gunther, fuzzy, ...) an den Artikeln weiterarbeitesn und nicht im Alleingang. Ich kann damit leben, dass der Artikel so (in meinen Augen ganz falsch und schlecht) bleibt. Heraus muss allerdings auf jeden Fall die Übersetzung Metamathematik (KM) und Mathematik. Und die Aussagen über Cauchy-Folgen.

Nein, auf keinen Fall. Was das Problem ist, Du liest den Artikel und gibst den Wörtern konstruktivistische Bedeutung, z.B. dem Begriff Cauchy-Folge. Dann ist er natürlich falsch. Aber Du musst die Wörter mathematisch interpretieren. Dann stimmts.

Zitate liefere ich Dir alle gerne, ich tippe das auch gerne ab. Allerdings darf es dann nicht darum gehen, dass ich etwa recht hätte. Sondern ich liefere Dir die Zitate, wenn Du sie verwenden willst für den Artikel. Sonst ist das Banane. PaCo 13:09, 3. Aug 2005 (CEST)

Du solltest die Zitate für die Diskussion verwenden, nicht für den Artikel. Es geht alleine darum, Deine Aussagen zu belegen. --Rtc 13:15, 3. Aug 2005 (CEST)

Das möchte ich natürlich auch nicht. Trotzdem würde ich mich freuen, wenn er einfach damit anfangen würde. Wenn sich zeigt, dass das so funktioniert, könnte der Artikel dann entsperrt werden.

Ich möchte aber natürlich auch nicht, dass nun jede kleine Änderung hier diskutiert wird. Ich denke, die Verhältnismäßigkeit ist klar, wenn man sich die Änderungen anschaut. Wenn Paul ein kleines bisschen feinfühliger wäre bezüglich was er ohne weiteres ändern kann und wo diskussion dringend notwendig ist, wäre das schon ein großer Fortschritt. Noch mehr, wenn er endlich mal auf mein Angebot eingehen würde, das ich ihm bezüglich ICQ schon vor einer Woche gemacht habe.--Rtc 13:15, 3. Aug 2005 (CEST)

Verwendete Sprache

Wir sollten die Diskussion über die zu verwendende Sprache beenden. Rtc scheint alleine zu stehen mit seinem Vorschlag, die Sprache der Berechenbarkeit zu verwenden.

Also, ich würde es nicht die Sprache der Berechenbarkeit nennen, sondern es ist einfach viel allgemeiner die mathematische Sprache. Paul steht alleine mit seinem Vorschlag, nicht diese Sprache verwenden. Alle anderen haben keine wirklich gefestigte Meinung, zumindest habe ich diesen Eindruck. Ich habe zumindest die englische Wikipedia als Bezugspunkt, außerdem habe ich mal pragmatisch einen Bekannten gefragt, was er von dem Artikel hält; in der mathematischen Sprache verstand er, worum es geht, in der konstruktivistischen Sprache fand er es hingegen hochgradig verwirrend.

Die KM ist eine echte Teilmenge der Mathematik. Für quasi jeden Begriff A gibt es einen mathematischen Begriff B, so dass B der konstruktivistischen Interpreration von A enspricht und weitaus geläufiger und verständlicher ist, als A einfach implizit in der konstruktivistischen Form zu verwenden.

Die Argumente kann ich natürlich nicht wirklich objektiv abwägen, aber solange es nicht um einen "point of view" geht, sondern nur um die Darstellung einer wissenschaftlichen Theorie, kann der NPOV nicht verletzt sein.

Der Konstruktivismus ist keine wissenschaftliche Theorie, sondern eine Weltanschauung (oder, besser ausgedrückt, eine Richtung der Philosophie der Mathematik), die den Standpunkt vertritt, Existenz müsse mit Berechenbarkeit gleichgesetzt werden. Das ist ein reiner Point of view und hat mit Theorie nichts zu tun.

Worum es in dem Artikel geht, ist die *Auswirkungen* dieses POV zu beschreiben (z.B. wie die Begriffe ihre Bedeutung ändern), nicht von diesem POV aus die Philosophie selbst. Nochmal: Der Artikel über die englische Sprache in der deutschen Wikipedia wird nicht auf englisch verfasst.

Zur Vermeidung von Missverständnissen sollten wir also ab jetzt von "konstruktiv" und "klassisch" sprechen, auch wenn das für einige von uns ungewohnt klingen mag.--Gunther 13:30, 3. Aug 2005 (CEST)

Dieser Kompromissvorschlag würde IMO die Situation nicht verbessern. Bestenfalls würde er wohl nur darin enden, dass nun überall 'berechenbar' durch 'konstruktiv' bzw. 'konstruierbar' ersetzt würde -- aber das ist kein Gewinn in meinen Augen.

Allgemein gut, dass Du mal diesen Grundsatzpunkt eröffnet hast. Ich denke, es scheitert zum großen Teil eben an der Sprache.

Nochmal meine Bedenken zusammengefasst: Wenn in dem Artikel einfach Begriffe wie 'reelle Zahlen' und 'Cauchy-Folge' in ihrer konstruktivistischen Bedeutung ohne weiteren Kommentar verwendet würden, wird a) der Leser es im allgemeinen Fall missverstehen b) wird dadurch der Text automatisch mit dem Standpunkt des Konstruktivismus gefärbt. Nochmal zur Erinnerung:

 Der Artikel über die englische Sprache in der 
 deutschen Wikipedia wurde auch nicht auf 
 englisch verfasst.

--Rtc 14:45, 3. Aug 2005 (CEST)

Bitte trenne klar zwischen Weltanschauung und wissenschaftlicher Theorie. Die philosophische Interpretation des Existenzquantors ist Weltanschauung und hat hier nichts verloren, der Rest ist Wissenschaft.

Wenn Du die philosophische interpretation des Existenzquantors entfernst, bleibt vom Konstruktivismus aber nichts mehr übrig! Da der wissenschaftliche Teil des Konstruktivismus eine echte Teilmenge der Mathematik ist, gibt es keine wissenschaftliche Theorie, die im Konstruktivismus anders wäre als in der Mathematik. Alleine die Begriffe werden anders bezeichnet.

Und um auf dem Niveau Deines Vergleichs zu bleiben: Der Artikel über die sorbische Sprache ist auch nicht auf englisch geschrieben, obwohl englisch doch viel verbreiteter ist.

Du verdrehst hier etwas. Der Vergleich wäre, dass der Artikel über die sorbische Sprache nicht auf sorbisch geschrieben ist. Er ist auf deutsch geschrieben nicht weil Deutsch verbreiteter als englisch oder sorbisch sein könnte, sondern weil dies nun mal die deutschsprachige Wikipedia ist. Und in der deutschen Sprache hat der Begriff 'reelle Zahl' etc. nun mal die mathematische Bedeutung, nicht die Konstruktivistische. Wäre dies eine konstrukvitistische Enzyklopädie, könnte man die konstruktivistische Sprache verwenden.

Natürlich müssen die verwendeten Begriffe erklärt werden, aber wie oben gezeigt wird dieses Problem auch nicht dadurch gelöst, dass man überall "berechenbar" davorschreibt.--Gunther 15:37, 3. Aug 2005 (CEST)

Ich sehe nicht, warum das Problem dadurch nicht zumindest teilweise gelöst würde. Der Leser kann so unter dem mathematischen Begriff nachschauen und findet die korrekte Erklärung. Bei einer konstruktivistischen Benutzung der Begriffe mit implizitem 'berechenbar' ist das nicht der Fall. --Rtc 15:54, 3. Aug 2005 (CEST)

Ad KM als Teilmenge der Mathematik: Es gibt ja Sätze in der KM, und über die kann man beispielsweise schreiben (Gerücht: Satz von Brouwer: jede reelle Funktion ist stetig).

Das ist ein normaler, gültiger mathematischer Satz, wenn man die Worte nur so interpretiert, wie die konstruktivisten es tun. Überall an geeigneten Stellen das implizierte 'existierend' einfügen und wg. Konstruktivismus durch 'berechenbar' ersetzen.

Ad deutsche Sprache: Nein, in der deutschen Sprache können Preise reell sein, aber nicht Zahlen. In der mathematischen Fachsprache ist das anders. Deutlicher ist der Unterschied z.B. bei "stetig" zu sehen: "stetiges Wachstum".

Ist die mathematische Fachsprache ein Teil der deutschen Sprache? Ich würde sagen, ja, das ist sie.

Ad "berechenbar" als Allheilmittel: Wie oben gezeigt, ist nicht klar, was eine berechenbare Cauchy-Folge ist.

Darum geht es ja auch nicht, es geht darum, abzugrenzen, dass keine 'klassische' Cauchy-Folge gemeint ist. 'berechenbare Cauchy-Folge' ist immer noch besser als 'Cauchy-Folge' ganz ohne Zusatz, oder?

Nahezu alle mathematischen Artikel sind in der jeweiligen Terminologie des Teilgebietes geschrieben. Warum sollte das bei der KM anders sein? Möchtest Du den Graphentheoretikern oder den Liegruppisten die Verwendung des Wortes Wurzel verbieten, weil das ja missverstanden werden kann? Natürlich sind die Unterschiede bei der KM grundlegender, aber darauf kann man ja im Artikel hinweisen. Wie gesagt, was eine KM-Cauchy-Folge ist, muss man ohnehin genau definieren, völlig egal, in welcher Sprache das geschieht.--Gunther 16:22, 3. Aug 2005 (CEST)

Das Problem ist ja nicht, dass die KM eine eigene Sprache hat, sondern dass diese Sprache sich mit der mathematischen Sprache überschneidet; unterschiedliche Dinge werden bei der KM mit Bezeichnungen versehen, die bereits eine Bedeutung haben. Würde die KM für 'ihre' Cauchy-Folge stattdessen Brouwer-Folge verwenden, hätte ich nichts dagegen, dass der Artikel diese Bezeichnungen auch verwendet. Das ist aber nicht der Fall. Es ist einfach nicht neutral, Bezeichnungen in einem Artikel in einer anderen Bedeutung zu verwenden, als das, was die unbestritten wirklich überwältigende Mehrheit der Leser darunter versteht. --Rtc 17:05, 3. Aug 2005 (CEST)

Zum letzten Satz: Wie schon mehrfach gesagt: Man muss natürlich dazusagen, was gemeint ist. Die Sprache der KM steht im Konflikt zur Sprache in anderen Bereichen der Mathematik, aber wie die o.a. Beispiele zeigen, ist das ganz normal. Die überwältigende Mehrheit der Leser versteht unter "Wurzel" so einen komischen Haken um Zahlen herum, der etwas mit Potenzen zu tun hat. Darf man deshalb in der Graphentheorie und in der Theorie der Liegruppen nicht mehr über Wurzeln reden? Bei jedem mathematischen Text muss man die Wörter so interpretieren, wie es in dem jeweiligen Teilbereich üblich ist, ansonsten kommt natürlich Unsinn heraus. (Und ich finde "berechenbare Cauchy-Folge" schlechter als "Cauchy-Folge", weil es fälschlicherweise suggeriert, der Begriff sei dadurch erklärt.)--Gunther 17:27, 3. Aug 2005 (CEST)

'Cauchy-Folge' ohne jegliche Anmerkung suggeriert noch bedeutend stärker, der Begriff sei dadurch erklärt. Man muss natürlich dazusagen, was gemeint ist. Ich denke, darauf können wir uns einigen. Die Frage ist, wie das zu tun ist. Als alternative zur kompletten Definition der konstruktiven Mathematik fand ich eben die Verwendung von mathematischen Begriffen am naheliegendsten. Ist meine Lösung nicht die pragmatischste? Du kritisierst meine Lösung und ich stimme zu, dass sie nicht perfekt ist, aber eine richtige Alternative fehlt bisher. Und ich möchte nochmal betonen, dass ich diese Lösung aus der englischen Wikipedia abgeschaut habe, die bedeutend erwachsener ist in solchen Bereichen. --Rtc 17:33, 3. Aug 2005 (CEST)

"Die Begriffe reelle Zahl, Cauchy-Folge usw. haben in der konstruktiven Mathematik eine andere Bedeutung als in der zur Unterscheidung als "klassisch" bezeichneten Mathematik. Die Definitionen sind meist formal analog, durch die anderen Eigenschaften des konstruktiven Existenzquantors sind die Begriffe aber nicht äquivalent zu den "klassischen" Entsprechungen." Oder so ähnlich.--Gunther 17:44, 3. Aug 2005 (CEST)

Cauchy-Folgen

Es gibt einen Reclamband von Lorenzen (Theorie der technischen und politischen Vernunft 1978) in dem er (Seite 65) die reellen Zahlen über Chauchy-Folgen einführt. Ich kann das gerne hier zitieren, aber das ist Arbeit und, Rtc, ich mache diese Arbeit gerne, aber mache mir dann nicht hinterher den Vorwurf, dass ich das zitiert habe. Ich will die Diskussion weiterbringen und sonst garnichts. Also: Ich tippe das gerne ab, wenn es von jemand gewünscht wird. PaCo 17:47, 3. Aug 2005 (CEST)

Mächtigkeit von Mathematik ???

Von Mächtigkeit von Mathematik von Mathematik zu reden ist eine Eigenforschung von Dir, Rtc, das gehört hier nicht hin und ist auch durchaus nicht sinnvoll. Nochmal: Du darfst der KM nicht vorschreiben, wie sie das Wort Metamathematik definiert. Metamathematik (sowohl bei Hilbert und den Formalisten als auch bei Lorenzen und Kleene Schütte usw.) sind Untersuchungen über die Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit, wobei die Mathematik, oder die Mathematiken der Gegenstand der Untersuchung ist, also nicht mit ihnen gleichgesetzt werden kann. PaCo 16:37, 3. Aug 2005 (CEST)

Das ist selbstverständlich nicht meine Eigenforschung.

• K. Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38 (received 17 Nov 1930, published 1931), pp. 173-198. Translated in van Heijenoort: From Frege to Gödel. Harvard University Press, 1971.
• K. Gödel: Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications (1951). Printed in Collected works / Kurt Gödel v.III; edited by Solomon Feferman. Clarendon Press ; New York : Oxford University Press, 1995. pp. 304-323.
• Alan Turing, On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 42 (1936), pp 230-265. online version.

Wo und wie wird denn "Gleichmächtigkeit mit der Mathematik" auf englisch genannt, wie ist der englische Ausdruck? Ich habe von den Arbeiten Gödels die deutsche Fassung und da finde ich es nicht. Wo steht da, wie die Konstruktivisten, das Wort Metamathematik verwenden. PaCo 17:35, 3. Aug 2005 (CEST)

Das ist eine triviale Folgerung aus den obigen Arbeiten. Du musst sie nur lesen und verstehen (was unabhängig von der Diskussion sicherlich nicht falsch ist!). Wenn Du 1234827+1992736 rechnen willst, wirst Du diese Aufgabe mit Ergebnis auch nicht wörtlich in einem Text über Algebra finden.--Rtc 17:40, 3. Aug 2005 (CEST)

Du weist den Gebrauch des Worts Metamathematik nicht nach. Ich schon. PaCo 17:49, 3. Aug 2005 (CEST)

Du sagst, die Metamathematik würde mit den Methoden der KM versuchen zu beweisen, dass die Mathematik widerspruchsfrei ist. Gödel hat bewiesen, dass dies nicht möglich ist: Ein System kann nicht zum Beweis seiner eigenen Widerspruchsfreiheit verwendet werden. Die KM ist aber eine echte Teilmenge der Mathematik, d.h. alles KM-beweisbare ist auch beweisbar in der Mathematik. Annahme: die KM kann die Widerspruchsfreiheit der Mathematik beweisen. Folgerung: Die Mathematik kann ihre eigene Widerspruchsfreiheit beweisen. Widerspruch zu Gödel. Klar, kein echter, weil Du meinst ja, dass sie es nur 'versucht'. Aber sind die Konstruktivisten wirklich so blöd, das noch weiter zu 'versuchen', obwohl Gödel bewiesen hat, dass dieser Versuch sinnlos ist?! Meine Hypothese, die KM-Metamathematik zeige mit mathematischen Methoden Eigenschaften der KM klingt viel Plausibler. Das ist nur ein schuss ins blaue, aber er macht wenigstens sinn! --Rtc 17:56, 3. Aug 2005 (CEST)

Zunächst mal: (nicht ironisch!) Du bist nicht blöd und der Gedankengang ist aus Deiner Sicht konsequent. Die Konstruktivisten sagen nun. Diese Probleme liegen am axiomatischen Vorgehen. Würde man konstruktiv-kalkulatorisch vorgehen, so stimmen die Ergebnisse von Gödel nicht mehr. - So. Kannst Du sagen das ist alles nichts, Du kannst sagen, das Du nicht so vorgehen willst, aber Du darfst nicht behaupten, die KM verwendet das Wort Metamathematik wie Mathematik. Aus meiner Sicht ist es übrigens nicht Unfug die axiomatische Mathematik (auf dem Weg über die KM) als widerspruchsfrei zu beweisen. Anyway. Solche Beweise sind nicht gleichmächtig mit der Mathematik die ihr Gegenstand ist.PaCo 18:10, 3. Aug 2005 (CEST)

Soweit ich es verstanden habe und nach allem was ich gelesen habe, ist das 'konstruktiv-kalkulatorische' Vorgehen eines von vielen Arten, axiomatisch vorzugehen. Ich kann mir auch nicht vorstellen, dass dies anders sein könnte. Wenn es nicht irgendwo Axiome gibt, z.B. ein Konstruktionsmittel, dann könnte ja in der KM jeder alles behaupten und alles wären persönliche Sichtweise. Möchte Dich nur mal zitieren:

   => |   (fang mit einem Strich an, also: 1 )
 n => n|  (wenn du ein paar Striche hast, füge einen weiteren an) 

Was haben wir da? Zwei Peano-Axiome! --Rtc 18:24, 3. Aug 2005 (CEST)

Das sind Operationssymbole, also Tätigkeiten, keine Aussagen. PaCo 18:29, 3. Aug 2005 (CEST)

Und?! Es sind trotzdem Axiome! (Und durchaus Aussagen, und zwar, dass so die natürlichen Zahlen konstruiert werden) --Rtc 18:38, 3. Aug 2005 (CEST)

Konstruierende Operationen sind keine Aussagen und insofern können es keine Axiome sein, die vom Typ her immer aus Aussagen bestehen.PaCo 18:52, 3. Aug 2005 (CEST)

Ich sehe da folgende axiomatische Aussagen:

• Ein Strich ist eine natürliche Zahl
• Wenn Du eine natürliche Zahl n in Form von ein paar Strichen hast und einen weiteren anhängst, dann hast Du eine weitere natürliche Zahl.

Berechnungen ohne Aussagen darüber, was diese Berechnungen bedeuten sollen führen ja irgendwie zu nichts, oder? Ohne Axiome keine Garantie, dass obiges nicht eine konstruktion von reellen Zahlen ist, oder von einem kaffeekochenden Vollwaschautomaten. ;) --Rtc 01:52, 4. Aug 2005 (CEST)

Grade gefunden: [[5]] -- ab "Tatsächlich gibt es innerhalb der Mathematik auch eine Opposition gegen diesen Platonismus, nämlich die Konstruktivisten." diesen Text kannte ich vorher nicht, er scheint genau das auszusagen, was ich auch geschrieben habe bezüglich Mächtigkeiten; ziemlich am Ende des entsprechenden Absatzes.

Außerdem Auswahlaxiom: "Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig, der auf das Auswahlaxiom verzichtet." -- das klingt auch stark danach dass die KM ein axiomatisches System ist, das eine Teilmenge der mathematischen Axiome benutzt.

Der Einwand klingt logisch. Das ist der Nachteil, wenn man "neutral" über die Konstruktivisten schreibt. Sie selber sagen es nicht so, sondern gehen garnicht axiomatisch vor. PaCo 09:38, 4. Aug 2005 (CEST)

Im übrigen möchte ich noch folgendes zur Diskussion stellen: Die Widerspruchsfreiheit der KM ist nur beweisbar im Rahmen eines mächtigeren Systems, z.B. der Mathematik, und hängt damit ab von deren Widerspruchsfreiheit. Die KM kann wie alle anderen Systeme gemäß Gödel nicht ihre eigene Widerspruchsfreiheit beweisen. Auf welchen Beweis durch welches mächtigere System stützen sich also die K'isten, wenn sie behaupten, die KM sei widerspruchsfrei?

Dadurch, dass die KM ihre Gegenstände "kennt" und nur mit diesen arbeitet, greifen die (genialen!!) Widerspruchsbeweise a la Cantor und Gödel nicht. Sie greifen nur, wenn man Indefinites voraussetzt und dann über die Axiome quasi Absurdes daraus folgert.

Dann möchte ich noch eine Frage in den Raum stellen: Wie genau grenzt sich der Intuitionismus vom Konstruktivismus ab?

--Rtc 02:36, 4. Aug 2005 (CEST)

Nimm mir nicht übel, dass ich etwas schreibe, was ich schon mal schrieb: Grob gesagt, folgert der Intuitionismus (Logik!) aus den Grundlagenproblemen der (axiomatischen) Mathematik heraus, die Logik für (auch: zukünftige) Aussagen über unendlich-unbestimmte Mengen zu revidieren. Die KM (M!) geht den umgekehrten Weg: Sie will die Grundlagenfragen der Mathematik beantworten (Widerspruchsfreiheit, Nachvollziehbarkeit), ohne dabei (also dafür!) die Logik zu ändern. Die KM kommt mit der zweiwertigen klassischen Logik aus. (Kann ich bei Nachfrage aus PL: Diff + Integr zitieren) PaCo 09:32, 4. Aug 2005 (CEST)

Hm... einerseits sollen keine Axiome benutzt werden, andererseits soll die Logik nicht geändert werden. Die ist aber axiomatisch. Ich glaube Du missverstehst irgendetwas. Jede Form der Mathematik muss irgendwo Axiome haben, weil ohne Axiome keine Aussagen und keine Beweise möglich sind. Das Resultat wäre dann ein zusammenhangloses Etwas, wo jeder nur irgendwelche Symbolfolgen hinschreibt, die ohne jede festgelegte Bedeutung sind, sondern jedem zur persönlichen Interpretation überlassen. Es keine Mathematik mehr, wo man sagen kann der Satz X gilt, sondern es wäre eine reine Glaubensphilosophie, wo jeder an seine persönliche Interpretation von irgendwelchen Symbolfolgen glaubt. Nach allem was ich gelesen habe, ist das nicht der Fall beim Konstruktivismus, denn der sagt ja ganz strikt "Die natürlichen Zahlen werden folgendermaßen konstruiert: ...". So ein Satz ist eindeutig eine axiomatische Aussage.

Na, die Konstruktionen sind Modelle für die Axiome.PaCo 14:42, 4. Aug 2005 (CEST)

Dann wäre es natürlich keine axiomatische Aussage, sondern eine normale Aussage, fußend auf denjenigen Axiomen, für welche die Konstruktionen Modelle sind. Aber dann hast Du ja schon wieder Axiome.... --Rtc 15:09, 4. Aug 2005 (CEST)

Der Satz mit 'KM kommt mit der zweiwertigen klassischen Logik aus' ist außerdem wieder gefärbt; dadurch implizierst Du, dass die KM normalerweise mit etwas mächtigerem arbeitet. Das ist aber nicht der Fall, die KM arbeitet normalerweise mit einer echten Teilmenge der zweiwertigen Logik, der intuitionistischen, also etwas schwächerem. Klar sind das dann auch alles gültige Aussagen der klassischen Logik.

Die Lorenzensche Analysis kommt mit der Klassischen Logik aus, das zitiere ich aber erst, wenn du mir nicht vorwirfst dass ich Gefärbtes zitiere. PaCo 14:42, 4. Aug 2005 (CEST)

Du kannst (und sollst) auch gefärbtes zitieren. Worauf es ankommt ist, dass es mindestens folgende Bedinungen erfüllt:

a) nicht aus dem Zusammenhang gerissen,

b) unverfälscht, d.h. wörtlich zitiert wurde (wenn in Deinen Augen ein Fehler im zitierten ist und sei es nur ein Tippfehler, zitiere es mit Fehler und markiere die Stelle mit '[sic]'),

c) mit genauer Quellenangabe, d.h. Detailgrad Seitennummer, so dass jemand, der das Buch besitzt, problemlos nachprüfen kann, ob das Zitat stimmt,

d) deutlich markiert, d.h. Anführungszeichen drum herum.

--Rtc 15:09, 4. Aug 2005 (CEST)

Es wäre mir wirklich lieber, wenn Du die Abschnitte genau zitieren könntest. Ich glaube so kommen wir nicht weiter.

Allgemein wäre ich übrigens ganz froh, wenn Du ein bisschen weniger mit Lorenzen argumentierst und stattdessen entsprechende Stellen von Brouwer nennst, der ja Hauptvertreter ist. Überhaupt finde ich es nicht gut, dass der Artikel über KM ausschließlich Literatur von Lorenzen auflistet und garnichts von Brouwer. Ich kann mir vorstellen, dass viele Missverständnisse aufkommen könnten, weil Du eventuell die Lorenzensche Auffassung der KM vertrittst, die gegebenenfalls philosophischer Natur ist und tatsächlich keine formalen, auf Axiomen fundierenden Aussagen macht bzw. garkeine solche Betrachtung vornimmt. Aber ich finde, ein Artikel über KM sollte schon die Auffassung von Brouwer beschreiben, weil diese offensichtlich bei weitem relevanter ist. Die von Lorenzen kann ja dann in einem gesonderten Abschnitt dargestellt werden oder auf der Seite von Lorenzen selbst.

--Rtc 14:30, 4. Aug 2005 (CEST)

Unabhängig von der Frage, was Metamathematik für uns Wiki-Leute ist, habe ich Metamathematik aus der Übersetzungstabelle von Rtc gestrichen. Warum? Weil wir nicht gegen die erklärte Auffassung der KM sagen dürfen, was die KM unter Metamathematik versteht.PaCo 13:03, 4. Aug 2005 (CEST)

Abgesehen davon, dass ich der Meinung bin, dass der Begriff Metamathematik durchaus entfernt werden kann, weil momentan ungeklärt ist, was die KM damit überhaupt meint (bzw. ob sie überhaupt etwas meint, oder ob das Lorenzen-spezifisch ist), so habe ich bislang die erklärte Auffassung der KM noch nicht in Form eines Zitats eines Hauptvertreters gesehen, wo eine definition vorgenommen wird. --Rtc 14:30, 4. Aug 2005 (CEST)

Länge der Diskussionsseite

Die Länge der Diskussionsseite wird langsam aber sicher unübersichtlich. Welche Lösungen bieten sich denn da an? Kann man Dinge einfach löschen oder gibts irgendwelche archivierungsmöglichkeiten?

Also Erster Satz merkwürdig kann wegen mir raus, vielleicht kannst Du Deine texte Löschen, wo Du durchgestrichen hast, wegen mir kann alles raus, was Gezeter wegen Sperrung ist, aber bitte keine Inhaltlichen Sachen. (Deine Angewohnheit in den Beiträgen selbst zu antworten ist nicht so mein Geschmack, ich finds unübersichtlich, aber habs dann auch machmal übernommen...) PaCo 18:17, 4. Aug 2005 (CEST)

Solange wir hauptsächlich hier unten schreiben, ist doch egal, wieviel da oben steht. Löschen ist unüblich, stattdessen werden alte Diskussionen meist auf eine Unterseite verschoben.--Gunther 11:05, 5. Aug 2005 (CEST)

Kannst Du mal eine solche Unterseite anlegen? --Rtc 13:43, 5. Aug 2005 (CEST)

Zitat: Cauchy-Folgen

Folgender Satz des Artikels ist definitiv falsch: "Diese Konstruktion ist jedoch nicht hinreichend in der konstruktivistischen Mathematik, da die Folgen unendlich sind und eine überabzählbare Anzahl davon nicht berechenbar." Ich vermute er ist noch in der alten englischen Fassung, weil die englische WP nur die frühen Arbeiten von Bishop zur Kenntnis genommen hat. Lorenzen Reclam 1978 (Zusammenhassung von 1965) Seite 65: "Zur Definition von reellen Zahlen kann man nach [recte: nach oder auch] Cauchy-Folgen rationaler Zahlen benutzen." Später auf derselben Seite: "Die durch Abstraktion bezüglich dieser Äquivalenzrelation entstehenden abstrakten Objekte werden reelle Zahlen genannt." Hervorhebung im Original. Er bezieht sich hier auf die von mir oben genannte Abstraktion aus zwei konzentrierten Folgen, deren Differenzfolge eine Nullfolge ist. PaCo 09:43, 5. Aug 2005 (CEST)

Nur weil Lorenzen später etwas anderes gesagt hat, kann Lorenzens Aussage nicht einfach so als die der Konstruktivisten allgemein dargestellt werden. Die deutsche Wikipedia beschreibt Dinge *in der deutschen Sprache*, aber nicht aus einem regionalen deutschen Standpunkt heraus (der NPOV ist unabhängig von der Sprache zu wahren). Diesbezüglich haben Brouwer und Bishop bedeutend mehr Gewicht, und ich muss nochmal betonen, dass es mir garnicht gut gefällt, dass alle Literaturhinweise direkt oder indirekt ausschließlich Lorenzen betreffen.

Unabhängig davon sagt Lorenzen nun nichts aus, was dem von Dir zitierten Satz widersprechen würde, wenn man seine Aussagen im Kontext der konstruktivistischen Sprache betrachtet: Zur Definition der konstruierbaren reellen Zahlen kann man auch konstruierbare Cauchy-Folgen rationaler Zahlen benutzen. Dadurch, dass Konstruktivisten immer implizit den Standpunkt vertreten, etwas kann nur existieren, wenn es konstruierbar ist, ergeben sich eben solche anderen Bedeutungen.

Vielen Dank, dass Du endlich mal ein Zitat gebracht hast. So lassen sich die Dinge viel besser diskutieren. --Rtc 13:41, 5. Aug 2005 (CEST)

axiomatisch

Der Satz: "Formal betrachtet handelt es sich um ein axiomatisches System" am Anfang ist Quatsch. Die Konstruktivisten sagen: Wir gehen nicht axiomatisch vor, sondern liefern konstruktive Modelle. Rtc ist wie einer, der sich nur mit Elefanten auskennt und deshalb sagt: Eine Pferd ist so ähnlich wie eine Kuh und das ist auch die Familie der Elefanten und die haben große Ohren, die Pferde ja auch.

Der NPOV gebietet aber grade, dass eben nicht der Artikel aus Sicht der Konstruktivisten geschrieben wird, sondern dass ihre Sicht *be*schrieben wird. Es steht ja da, dass dies eine formale Betrachtung ist, und keine konstruktivistische. Ich sehe nichts, was dagegen spräche, dass man die KM auch formal betrachten kann. Dafür sprechen die zahlreichen Aussagen auf diversen Webseiten sowie die englische Version des Artikels, die ich bereits angegeben habe. Möglicherweise hat einer der Vertreter der KM selbst sogar eine formale Sicht auf das ganze gehabt? Wobei außerdem immer noch die Frage ist, wie ein Modell nicht immer in Bezug zu einem axiomatischen System stehen und trotzdem eine Aussage treffen soll.

Bitte verstehe mich nicht falsch. Der Artikel ist in seiner momentanen Version ganz bestimmt nicht optimal und er beschreibt die KM auf formale Weise, der Standpunkt von Lorenzen fehlt völlig. Aber das heißt nicht, dass nun die formale Beschreibung entfernt werden sollte. Das heißt, dass Du einen Abschnitt einfügen solltest, wo Lorenzens Sicht auf das ganze *be*schrieben wird (nicht aus Lorenzens Sicht heraus). Allerdings, und das ist mein hauptsächliches Bedenken, sollte das ganze auch verständlich sein. Dazu solltest Du seine Sicht auf die Grundlagen beschrieben, z.B. das Konstruktionsmittel etc. --Rtc 13:27, 5. Aug 2005 (CEST)

Am besten ist sicherlich man beginnt mit dem alten Kronecker-Zitat:"Die natürlichen Zahlen schuf der liebe Gott, alles andere ist Menschenwerk.", um die frühe konstruktivistische Mathematik zu illustrieren. - Lorenzen hat dazu übrigens (nur den ersten Halbsatz zitierend) gesagt: "Aber zählen müssen wir sie selber." - Dass Brouwer konstruktive Mathematik gemacht habe, ist mir unbekannt. Meines Wissens hat er Topologie gemacht und intuitionistische Logik. Hermann Weyl, Poincare, Bishop kann man zu Lorenzen dazunehmen, wobei es kein Wunder ist, dass Lor. es weiter entwickelt hat, weil er später gelebt hat.PaCo 14:24, 5. Aug 2005 (CEST)

Weyl und Poincaré hatten auch noch anderes zu tun ;-) --Gunther 14:28, 5. Aug 2005 (CEST)

Hehe, allerdings! :) - Und Lorenzen auch (Formalismus, Protophysik, Logik, Modallogik, Orthosprache, Techniktheorie, Politiktheorie, Sprachphilosophie ...) PaCo 14:33, 5. Aug 2005 (CEST)

Akzeptiert, Brouwer hatte mit Konstruktiver Mathematik direkt wohl nichts zu tun, hatte das falsch im Gedächtnis. Dann ersetze Brouwer durch Bishop. --Rtc 14:42, 5. Aug 2005 (CEST)

Kopf völlig neu

Habe mal den Kopf des Artikels völlig neu gestaltet. Was haltet ihr davon? Bitte melden, bitte diskutieren, gerne ändern. - Vielleicht wäre es gut, es kommt so ein Achtung hier Baustelle-Tag da rein. PaCo 09:01, 6. Aug 2005 (CEST)

Du hast einmal mehr Dinge entfernt, bei denen Du anderer Auffassung bist (dass man es formal axiomatisch beschreiben kann), hast manches kompliziert/unverständlich gemacht ("einheitlich bestimmbar", "konstatiert") und mal wieder deutlich gefärbt, und zwar sowohl Pro

die es ablehnen von Objekten zu sprechen [...], die nicht nachvollziehbar und in endlichen Verfahren konstruierbar sind

als auch Contra

oder deren Existenz zuzugestehen

Der neutrale Standpunkt IST KEIN Standpunkt. Du hast hier versucht einen 'neutralen' Standpunkt zu konstruieren indem Du die Sache von zwei verschiedenen Standpunkten aus beschrieben hast. Genau das ist aber falsch, und das was ich die ganze Zeit kritisiere. Alle relevanten Standpunkt werden neutral beschrieben, nicht alle möglichen Dinge von allen relevanten Standpunkten aus.

Die neue Definition ist nicht sehr gut. Eine Definition sollte angeben, um was es geht, nicht um was es nicht geht.

Allgemein kann ich nur sagen, eine konstruktivere Zusammenarbeit wäre, wenn Du nicht versuchst, den Artikel, selbst in Teilen neu umzuschreiben, das bringt so einfach nichts, denn die Sachen, die drin stehen sind durchaus nicht falsch und bedürfen momentan keiner wirklichen Umformung. Worum es vielmehr geht sind *Ergänzungen*, für die es *belegende Quellen* gibt. Ich habe mal den Kopf wieder auf die alte Fassung zurückgesetzt (Die neue Fassung war vielleicht zum Großteil nicht falsch, aber leider ein Rückschritt, s.o.) und einen Absatz von Dir in einen neuen Abschnitt gewandelt, wobei ich skeptisch bin, ob das, was Du geschrieben hast, nicht ohne Quellen mit einem großen Fragezeichen zu sehen ist.

Apropos Quellen, ich habe endlich die Quelle gefunden, auf welcher die englische Version aufbaut und damit nun auch die deutsche Fassung. War eigentlich offensichtlich, aber war wohl blind. Es ist

• Bridges, Douglas, Constructive Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2004 Edition), Edward N. Zalta (ed.)

Und, um es zu betonen: Dies ist eine wissenschaftliche Sekundärquelle. Ich weiß, diese Quelle kommt spät. Ich entschuldige mich dafür. (Die Quelle behandelt allerdings nicht den Lorenzschen Konstruktivismus, was wieder die Frage aufwirft, inwiefern dieser eine Relevanz im Vergleich zu den anderen Vertretern besitzt.) --Rtc 14:33, 6. Aug 2005 (CEST)

Nachtrag: Die Quelle liest sich wirklich sehr interessant. Sie erklärt wunderbar, dass Brouwer die Quelle des 'obscure' und 'polemical' Schreibstils ist, den offenbar einige Konstruktivisten übermommen haben. Außerdem, dass es durchaus auch formale axiomatische Ansätze für den Konstruktivismus gibt (Bishop) sowie dass auch Brouwer nicht nur Logik, sondern auch Mathematik gemacht hat bezüglich Intuitionismus (wenn auch auf einer 'unsachlichen' und 'obskuren' Weise ;) --Rtc 14:40, 6. Aug 2005 (CEST)

Ich habe auch die von Dir vorgeschlagene Änderung der Entfernung von "vollständig, widerspruchsfrei" nun doch nochmal durchgeführt.

1. Gemäß Gödel kann die KM ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen. Die gängige Argumentation mit dem Genzenschen Hauptsatz ist ein Zirkelschluss, da der Beweis des Genzenschen Hauptsatz die Widerspruchsfreiheit der Axiome bereits annimmt, die von einigen Konstruktivisten mit diesem Satz dann begründet werden.
2. Angenommen die KM IST widerspurchsfrei. Dann wäre sie aber gemäß Unvollständigkeitssatz nicht vollständig, da sie hinreichend mächtig ist. Deshalb ist kann das mit dem vollständig und widerspruchsfrei nicht stimmen. Die Aussage war natürlich auch nicht belegt. Ist mir durch nicht hinreichende Überprüfung wohl damals bei der Überarbeitung reingerutscht.

Jedenfalls vielen Dank an PaCo, aber das nächste mal bitte die Löschung begründen so dass man nicht selbst drauf kommen muss. Dann ist es ja kein Problem wie in diesem Fall.

Die (europäische) KM ist widerspruchsfrei, weil sie nur mit definiten Gegenständen arbeitet. Der geniale gödelsche Beweis tickt nur deshalb, weil er (wegen undefinit) zu Widersprüchen führen kann. - Komme mit Deiner Vorgehensweise leider nicht klar. - Wenn KM als Gegensatz zu Mathematik stehenbleibt (Du bist der einzige, der das so beschreibt) arbeite ich an dem Artikel nicht mehr weiter. - Die Gefahr -wenn du es allein machst- wird sein, dass der Artikel etwas amerikaforschungslastig wird, aber es gibt schlimmeres. PaCo 16:22, 6. Aug 2005 (CEST)

Dass der gödelsche Beweis konstruktivistisch nicht herleitbar ist, stimmt. (Dafür gibt es übrigens nur einen klassischen, keinen konstruktivistischen Beweis...) Dass die KM widerspruchsfrei ist, folgt daraus jedoch nicht.

"die (europäische) KM ist widerspruchsfrei, weil sie nur mit definitven Gegenständen arbeitet". Dabei implizierst Du, dass das Konzept des definitiven Gegenstandes bereits widerspruchsfrei ist. Du machst also einen Zirkelschluss. Den gleichen wie wenn Du mit dem Gentzenschen Hauptsatz argumentierst.

Die KM steht nicht im Gegensatz zur Mathematik und das wird im Text auch nicht ausgedrückt. Die Amerikaforscherlastigkeit kommt daher, weil die einzige verlässliche wissenschaftliche Sekundärquelle nichts über Lorenzen beinhaltet. Wenn Du mitarbeiten möchtest und nicht gegenarbeiten, dann solltest Du wie bereits erwähnt den Artikel *ergänzen*, und zwar mit Dingen, die Du belegbaren und angegebenen Quellen entnommen hast. Eine Notwendigkeit, den Artikel in seiner derzeitigen Form umzuarbeiten stand bislang noch nicht ernsthaft zur Debatte. Du hast kundgetan, dass Du einige Sachen für nicht korrekt hälst, das habe ich durchaus wahrgenommen, allerdings hast Du Deine Einwände bislang entweder nicht belegt, oder das eine mal, wo Du tatsächlich ein Zitat gebracht hast, stellte sich dadurch raus, dass Du die Zusammenhänge nicht richtig gesehen hattest.

Ich würde Dir vorschlagen, einfach einen Abschnitt 'Lorenzens Beiträge' aufzumachen und dann zu beschreiben, was Lorenzen erarbeitet hat und wie es sich von den Arbeiten Bishops abgrenzt. --Rtc 16:53, 6. Aug 2005 (CEST)

Nein, der Clou ist, dass der Gödelsche Beweis es braucht, dass seine Gegenstände axiomatisch sind, also dass man sich "irgendwelche" Formeln "nehmen" kann. In der KM sind die Formeln alle bekannt. - Aber lass mal gut sein. Wirklich. Ich lass Dich das hier machen, wenn Du Fragen hast, kannst Du das ja über icq machen. Ich denke das restliche Rechthaben (von mir oder Dir) ist Banane. PaCo 17:16, 6. Aug 2005 (CEST)

Ich kann hier nur raten, was Du bezüglich Gödel meinst. Erstmal widerspricht das nicht dem, was ich gesagt habe. Zweitens ist die Gesamtheit der jemals möglichen konstruktivistischen Formeln selbst nicht konstruierbar, d.h. es sind nicht alle Formeln bekannt, nur solche, die man bereits entdeckt hat. Es bleibt dabei: Die KM hat ihre eigene Widerspruchsfreiheit bisher noch nicht beweisen und mathematisch ist sogar die Erkenntnis möglich, dass sie das nie tun wird.

Ich würde mich freuen, wenn Du weiterhin mitarbeitest, aber eben nicht so wie in der Vergangenheit durch kommentarlose Löschungen und Abänderungen. Wenn Du Dir das wegen zu starker Emotionaler Bindung zum Thema nicht zutraust, dann kannst Du ja zumindest auf der Diskussionsseite vorschläge machen. --Rtc 18:39, 6. Aug 2005 (CEST)

Der Grund liegt (vor allem) in der Gleichsetzung von Mathematik und axiomatischer Mathematik. Das dauert halt seine paar Tage/Wochen/Monate, dann zeigen Dir die anderen hier, dass solche Amok-Formulierungen nicht zu Wiki passen. Würde gemeinsam das mit Dir erarbeiten, aber Dein Chefideologenslang macht mir die Zusammenarbeit made. - Und was solls. An einem schlechten KM-Artikel stirbt wiki nicht. Also machs halt. PaCo 18:54, 6. Aug 2005 (CEST)

Der größte Teil der heutigen Mathematik ist axiomatische Mathematik, und es macht sich niemand die Mühe, herauszufinden, ob es auch anders ginge. Trotzdem ist konstruktive Mathematik auch Mathematik, wenn auch ein relativ kleiner Teil, wie hier abzulesen.--Gunther 19:10, 6. Aug 2005 (CEST)

Man kann sagen: "Die Zeugen Jehowas sind auch irgendwie Christen." Würde keiner so schreiben, wäre aber wohl Rtc-neutral.

die ZJ sind in der Wikipedia als "christlich-chiliastische Glaubensgemeinschaft" definiert, also im endeffekt genau in dieser Form. --Rtc 23:40, 9. Aug 2005 (CEST)

Zu schreiben: "Anders als die Christen sagen die ZJ die Endzeit voraus" finde ich schlechten Stil, weil eben suggeriert wird, sie seien keine Christen. - Im axiomatischen Vorgehen etwas spezielles zu sehen ist kein rhetorisch-machtpolitisch-unneutrales Anliegen der europäischen KM, sondern ein mathematisches: Zwar kommt das konstruktive Vorgehen in den Ergebnissen nicht so weit wie die AM, aber dadurch, dass die konstruierten Modelle synthetisch entstanden sind, sind sie so beschaffen, dass der (geniale) 2. Gödelsche Unvollständigkeitssatz die Widerspruchsfreiheitsbeweise für diese KM-Modelle nicht mehr ausschließt. Der Vorteil der KM für die Formalistische Mathematik liegt also darin, mit den Mitteln der europäischen KM große Teile der AM als Wf zu beweisen, was der AM alleine (nach Gödel) nicht gelingen kann, weil sie analytisch vorgeht. Diese Chance überhaupt zu verstehen, gelingt nicht mehr, wenn wir Mathematik und AM gleichsetzen. PaCo 09:06, 7. Aug 2005 (CEST)

Quelle? --Rtc 22:04, 9. Aug 2005 (CEST)

Gefärbt: Lorenzen Metamathematik. Soll ich es zitieren?PaCo 01:36, 10. Aug 2005 (CEST)

Ja. Ich habe schon einmal erwähnt, dass es völlig irrelevant ist, ob der zitierte Text gefärbt ist oder nicht, solange er korrekt zitiert wird. --Rtc 01:50, 10. Aug 2005 (CEST)

Gar nicht mehr weiter?

Jetzt geht die Arbeit am Artikel gar nicht mehr weiter? - Bekomme langsam das Gefühl, es macht nur Spaß, wenn man Arbeit von mir rückgängig machen kann. Die Gleichsetzung Mathematik (KM) = berechenbare Mathematik ist unbelegt und definitiv falsch. Deshalb werde ich die Zeile löschen. Vielleicht gehts dann ja auch weiter. :) PaCo 23:13, 8. Aug 2005 (CEST)

Defintiv Falsch? Nein. Unbelegt? Auch nicht. Ich habe den Beleg bereits geliefert und wiederhole mich nur ungern.

"the results and proofs in BISH can be interpreted, with at most minor amendments, in any reasonable model of computable mathematics" [6]

--Rtc 22:09, 9. Aug 2005 (CEST)

Na ja mir ist nicht klar, wieso sich das Zitat überhaupt auf die Gleichsetzung bezieht. - Mir wird allerdings der Unterschied zwischen BISH und europäischer konstruktiver Mathematik immer deutlicher. PaCo 01:34, 10. Aug 2005 (CEST)

Strikt gesehen ist es nur eine Richtung: Alles, was in der KM wahr ist, ist auch in der BM wahr. Die andere Richtung, die für die Gleichsetzung auch noch notwendig ist, steht im Satz vornedran:

"[...]classical mathematics [...] provide models of BISH" [7]

Da die berechenbare Mathematik ganz offensichtlich ein Teilgebiet der klassischen Mathematik ist, hast Du damit Gleichheit. Sorry, dass ich die andere Richtung vergessen hatte.

Ob wirklich ein größerer Unterschied zwischen Bishop und Lorenzen existiert ist so weit noch fraglich. Vielleicht sind es nur oberflächliche Dinge, keine inhaltlichen. --Rtc 02:02, 10. Aug 2005 (CEST)

unendlich in der englischsprachigen KM

Da ich nachweisen konnte, dass der europäische mathematische Konstruktivismus unendliche Folgen benutzt, habe ich im Mittelteil die aus dem englischen WP (ohne weitere Belege) übersetzten Teile mit der Einschränkung "englischsprachig" versehen. Sachlich geht es bei der mir bekannten konstruktiven Mathematik darum, dass Folgen mit unendlichen Folgengliedern (schon konstruierter Zahlen, also zB rationaler Zahlen) erlaubt sind. In der KM sind auch unendliche Mengen solcher Folgen üblich, erst wo uneingeschränkt von "allen" reellen Zahlen gesprochen wird, ist die konstruktive Frage aktuell, welche man denn im Unterschied zur Konstruierbarkeit meine. PaCo 13:17, 9. Aug 2005 (CEST)

Ich sehe bisher keinen Nachweis. Du hast *einmal* etwas zitiert, aber da steht nicht bezüglich unendlicher Sachen drin. Ich finde die Einfügung von 'englischsprachig' eher kontraproduktiv, wenn schon solltest Du das ganze einem Vertreter zuweisen. Und vielleicht wäre ein Abschnitt über die Unterschiede zu Konstruktivismus Typ X besser als das ganze ineinander zu verweben. --Rtc 22:13, 9. Aug 2005 (CEST)

Warum soll ich dauernd Sachen nachweisen? - Wenn man mit Cauchy-Folgen reele Zahlen definiert, dann sind die Folgen unendlich, das geht gar nicht anders. Man kann außerdem über die europäische KM überall Nachweise leicht bekommen.

Das Problem ist doch dadurch entstanden, dass Du den englischen WP-Artikel hier reingesetzt hast, ohne dass klar ist, auf welche Vertreter die sich beziehen. Ich finde das unsolide. - Recht hast Du, dass Du sagst, man soll die Konstruktivismustypen nicht verweben. - Ich kann nur angeben, was Kronecker, was Weyl, was Poincaré, was Lorenzen, also Festlandeuropäer gesagt haben. Von Bishop weiß ich nichts, außer dass ich einen Papier-Artikel aus Scientific American von Okt. 1979 in deutscher Übersetzung habe ("Konstruktive Mathematik" von Allan Calder). Tatsächlich wird dort beim Bishop-Kapitel nicht mit Cauchy-Folgen gearbeitet. Das kann also die Ursache für unsere Missverständnisse sein. PaCo 01:23, 10. Aug 2005 (CEST)

Hm, warum sollst Du Sachen nachweisen? Einfach, weil das die Vorgehensweise in der Wikipedia ist. Vermutungen sind nun mal keine wirklich verlässliche Quelle und Du wirst Dich wundern, wie viel Du falsch im Gedächtnis hast, wenn Du erstmal alles präzise zu belegen versuchst, ich sage das aus eigener Erfahrung. Ich tue es ja auch, auch wenn es etwas länger gedauert hat, bis ich nun die Ursprungsquelle gefunden hatte.

Ich machte keine Unterschiede bezüglich Typen des Konstruktivismus, weil für mich bisher keine stichhaltigen Belege existieren, dass es wirklich relevante Unterschiede gibt oder ob das nur marginal unterschiedliche Betrachtungsweisen ein und derselben Sache sind. Im übrigen ist es Wikipedia-Standard, dass man in einen Artikel über X etwas als Sicht von X reinschreiben darf, wenn einer der Hauptvertreter von X das so sieht. Wenn Du Unterschiede siehst, kannst Du gerne Standpunktzuweisungen im Text anbringen, auf welche Vertreter sich Aussagen beziehen. Da für mich Bishop einen größeren Einfluss zu haben scheint als Lorenzen, würde ich vorschlagen, einmal am Anfang Bishop als einen Hauptvertreter anzugeben und dann einen Abschnitt einzufügen, der die Unterschiede zu Lorenzen etc. beschreibt. --Rtc 02:14, 10. Aug 2005 (CEST)

Ich schicke Dir ein paar Kopien (vermutlich Einleitung Metam. und Reclam Lorenzen per Post dauert noch ein zwei Tage). Belege bitte den großen Einfluss von Bishop. (Aber zähle bei Lorenzen auch die Ehrendoktortitel aus englischsprachigen Unis mit.) Du hast die "übliche Sicht von X" hier angemahnt, aber bei Bishops Sicht (Definitionen reeller Zahlen...) weder Bishop aus- noch nachgewiesen. Das ist sehr ärgerlich. (Und ich empfinde es auch als unfair, dass man Dir alles glauben soll, ich aber alles nachweisen muss.) PaCo 09:25, 11. Aug 2005 (CEST)

Alles basierend auf [8].

in Bishop's constructive theory of the real numbers, based on Cauchy sequences with a preassigned convergence rate

das 'with a preassigned convergence rate' ist genau das, was im Artikel beschrieben wird.

Lorenzen wird in [9] nicht erwähnt, deshalb kann man davon ausgehen, dass sein Einfluss marginal war. Die Frage ist, welche größeren Erkenntnisse Lorenzen erarbeitet hat, die nicht bereits Bishop vorweisen konnte.

--Rtc 16:38, 11. Aug 2005 (CEST)

Kopf leicht überarbeitet

Ich habe mal den einleitenden Kopf leicht überarbeitet. Dabei habe ich folgendes Ziel verfolgt: Das was Rtc sagen will, habe ich so formuliert, dass es nicht mehr so offensichtlich feindlich wirkt. Gleichzeitig denke ich, dass der Sinn von dem beibehalten wurde, was er sagen will. Dass wir jetzt (aus meiner Sicht leider) von üblicher Mathematik sprechen, verschleiert immer noch die Verschiedenheit im Vorgehen. Es wird nicht deutlich, dass die KM induktiv-aufbauend, und die AM deduktiv-ableitend vorgeht. Ich finde es schade, dass die/der geneigte LeserIn das hier nicht erfährt. PaCo 11:52, 26. Aug 2005 (CEST)

Dieser Einwand ist berechtigt, allerdings ist mir bisher auch noch keine Möglichkeit eingefallen, das verständlich und gut darzustellen. --Rtc 21:57, 11. Sep 2005 (CEST)

Beispiele aus der Analysis

Der Anfang dieses Absatzes ist falsch. Ich hatte Rtc per snail-Post den Lorenzen-Reclam-Band geschickt, aus dem hervorgeht, dass in der KM reelle Zahlen als Abstraktion von Paaren konzentrierter Cauchy-Folgen definiert werden. Sinnvoll wäre hier also wohl eine Unterscheidung Bishop-Lorenzen. Falsch ist jedenfalls, wenn man sagt, reelle Zahlen werden in der KM nicht über Cauchy-Folgen definiert. Also ich warte mal zwei Tage ab. Wenn dann hier oder im Artikel nichts in dieser Sache beigetragen wird, versuche ich eine vorsichtige Hinzufügung der Definition reeller Zahlen als Abstraktion konzentrierter CF. Dann erwarte ich aber eine Diskussion vor (!) einem Revert. PaCo 12:25, 26. Aug 2005 (CEST)

Die Definition im Text ist nicht falsch und sie ist kompatibel mit der von Lorenzen; desweiteren gibt es zwischen Lorenzen und Bishop keinen Unterschied. Die Definition der reellen Zahlen über Paare von Cauchy-Folgen ist deshalb in der KM nicht hinreichend, weil eben nicht beliebige Cauchy-Folgen zugelassen sind, sondern nur solche, die Lorenzen als 'konzentriert' bezeichnet. --Rtc 15:37, 26. Aug 2005 (CEST)

Der Anfang dieses Teils ist sehr missverständlich. Er suggeriert nicht das, was Du hier schreibst. Man sollte schon suggerieren, dass in der KM CFolgen zur definition von reellen Zahlen verwendet werden und nicht das Gegenteil. Was Du hier schreibst ist insofern richtig, als dass Du wohl *meinst* (aber nicht ausdrücklich *sagst*), dass nicht "alle" Cauchy-Folgen verwendet werden. Was dort steht, suggeriert, es läge an den CF und nicht an der Konstruktivität. Bishop kommt ohne CF auch nicht zu mehr reellen Zahlen, oder? PaCo 15:46, 26. Aug 2005 (CEST)

Habe einen Verbesserungsversuch vorgenommen. --Rtc 15:54, 26. Aug 2005 (CEST)

Ein zwei Sätze zu Lorenzen unten hinzugefügt bzw. geändert

Hab mal zur Erläterung des unterschiedlichen Vorgehens unten kleine Änderungen vorgenommen. PaCo 13:05, 9. Sep 2005 (CEST)

Hilbert

@Rtc: Vielen Dank für deine Einladung zur Mitarbeit ;-( Zunächst mal habe ich mir erlaubt, einen Satz einzufügen, der Hilberts Äußerung in ihren Zusammenhang stellt. -- Peter Steinberg 23:28, 10. Sep 2005 (CEST)

...leider in einen falschen Zusammenhang und nicht auf neutrale Weise. Die Aussage von Hilbert stellt ausschließlich Kritik am Konstruktivismus dar und scheint völlig unabhängig von seinen Bestrebungen, die Mathematik vollständig auf widersrpuchsfreie Grundlagen zu stellen. Falls nicht, gib bitte eine Quelle an, die das Gegenteil belegt. --Rtc 21:00, 11. Sep 2005 (CEST)

Eine Quellenangabe zu dem zitierten Hilbert-Satz fehlt leider. Es ist deshalb nicht möglich festzustellen, was Hilbert in diesem Falle sagen wollte. Ich will den Satz trotzdem nicht anzweifeln: Er passt sehr gut zu dem, was das Hilbert'sche Programm ausmacht. Leider zitierst du ihn in einem falschen Zusammenhang und in nicht neutraler Weise.

Für Leute, die sich für Hilberts Überlegungen interessieren, hier zwei Literaturhinweise:

1. Heinz Bachmann: Der Weg der mathematischen Grundlagenforschung. Berlin, Frankfurt am Main, New York 1985²; hier: S.177ff "Das Hilbertsche Programm der Metamathematik".
2. Kurt Schütte: Beweistheorie. Berlin, Göttingen, Heidelberg 1960; hier: Einleitung, S.3

Hilberts Hauptwerk besteht darin, ein Programm zu fordern, mit dem die Mathematik auf "finite Methoden" begründet werden könnte. Falls nicht, gib bitte eine Quelle an, die das Gegenteil belegt. -- Peter Steinberg 00:34, 13. Sep 2005 (CEST)

Das Zitat (das übrigens durchaus eine Quellenangabe besitzt durch Hinweis auf das Buch, aus dem es stammt) kommt von dem wissenschaftlichen Lexikon der Stanford-Universität [10] (dort findet sich auch die genauere Quellenangabe

• Hilbert, David, 1928, "Die Grundlagen der Mathematik", Hamburger Mathematische Einzelschriften 5, Teubner, Leipzig. Reprinted in English translation in van Heijenoort 1967.

Es wäre toll, wenn Du den ursprünglichen Wortlaut des Zitats nachschlagen und meine Rückübersetzung dadurch ersetzen könntest.) Es geht in dem Abschnitt wie die Überschrift sagt rein um die Standpunkte der Mathematiker, nicht um die Frage ob diese Mathematiker in irgendwelchen nicht damit direkt zusammenhängenden Bestrebungen Erfolg hatten oder nicht. (Das wäre ad-hominem-Argumentation.)

Die Aussage von Hilbert ist mehr als eindeutig und ich weiß nicht, was daran unneutral sein soll und wie Du einen falschen Zusammenhang erkennen willst wenn Du doch die Quelle garnicht kennst. Ich kann verstehen, wenn Konstruktivisten den Standpunkt Hilberts nicht gerne hören, aber so hat er es nun mal gesagt, und als einer der Hauptvertreter der Mathematik wie sie heute betrieben wird gehört dieses eindeutige das Zitat definitiv hinein. Über den Inhalt des Zitats selbst wird NPOV-gemäß keine Wertung getroffen. Es handelt sich um eine reine Darlegung von historischen, für das Thema des Artikels relevanten Tatsachen im Rahmen der Beschreibung des Standpunktes der Mathematiker. (Im Gegensatz zum Scheitern des Hilbertprogramms, was völlig unabhängig vom Standpunkt der Mathematiker bezüglich des Konstruktivismus ist und deshalb an dieser Stelle nicht relevant.) Die angemessene Beschreibung und Zuweisung eines Standpunktes stellt selbst keinen Standpunkt dar! Im Gegenteil, es ist genau das, was vom NPOV gefordert wird.

Ich halte es für keinen guten Diskussionsstil von Dir, nicht falsifizierbare Behauptungen aufzustellen und dann zu fordern, ich solle das Gegenteil belegen (wenn es keine Quelle gibt, die das Gegenteil belegt, heißt es nicht bereits, dass es richtig ist). Im Gegenteil solltest Du eine neutrale Quelle angeben (möglichst mit wörtlichem Zitat der relevanten Stelle, das erspart mühselige Wühlereien in der Bibliothek), wo das dargelegt wird, das lässt sich dann überprüfen. Unabhängig davonhalte ich Deine Behauptung nicht grundsätzlich für falsch. Ich halte sie nur für irrelevant im Bezug auf den Konstruktivismus. Du kannst sie im Artikel über Hilbert oder über den Formalismus unterbringen, wenn sie sich belegen lässt.

--Rtc 01:04, 13. Sep 2005 (CEST)

@"Ich halte es für keinen guten Diskussionsstil von Dir, nicht falsifizierbare Behauptungen aufzustellen und dann zu fordern, ich solle das Gegenteil belegen (wenn es keine Quelle gibt, die das Gegenteil belegt, heißt es nicht bereits, dass es richtig ist)."

Klasse: Dann wirst du das künftig wohl unterlassen. Genau das wollte ich erreichen! (Natürlich unterlasse ich es dann auch.)

@"Ich kann verstehen, wenn Konstruktivisten den Standpunkt Hilberts nicht gerne hören, aber so hat er es nun mal gesagt, und als einer der Hauptvertreter der Mathematik wie sie heute betrieben wird gehört dieses eindeutige das Zitat definitiv hinein."

Leider völlig verkehrt: Hilbert war nicht "einer der Hauptvertreter der Mathematik wie sie heute betrieben wird", sondern einer der letzten Mathematiker, die versucht haben, die Mathematik auf "finiten Methoden" aufzubauen. (Allerdings hat er gehofft, dass sich die "Mathematik(,) wie sie heute betrieben wird" darauf begründen lässt. Das ist aber erwiesenermaßen nicht der Fall.) -- Peter Steinberg 23:57, 14. Sep 2005 (CEST)

Meine Aussage:

Die Aussage von Hilbert stellt ausschließlich Kritik am Konstruktivismus dar und scheint völlig unabhängig von seinen Bestrebungen, die Mathematik vollständig auf widersrpuchsfreie Grundlagen zu stellen. Falls nicht, gib bitte eine Quelle an, die das Gegenteil belegt.

Meine Aussage ist falsifizierbar, weil gemeinhin in Quellen steht, worauf eine solche Aussage abzielte. Ich stellte die Behauptung auf, dass die Aussage ausschließlich Kritik am Konstruktivismus/Intuitionismus darstellt, was leicht durch eine Quelle widerlegt werden kann, die angibt, dass diese Aussage eben nicht darauf bzw. noch auf etwas anderes abzielte.

Deine aussage:

Hilberts Hauptwerk besteht darin, ein Programm zu fordern, mit dem die Mathematik auf "finite Methoden" begründet werden könnte. Falls nicht, gib bitte eine Quelle an, die das Gegenteil belegt.

Deine Aussage ist nicht falsifizierbar, weil gemeinhin in Quellen steht, was Hilberts Programm war, nicht, was es nicht war. Nur durch eine Quelle, die belegt, dass das von Dir angegebene nicht sein Programm war, wäre doch Deiner Forderung genüge getan. Genausogut könntst Du behaupten, Hilberts Programm war eine Kaffemaschine; es wird sich nirgends eine Quelle finden, die das Gegenteil behauptet. Sonderfall: Du hast recht. Dann gib einfach die (neutrale, wissenschaftliche, unabhängige) Quelle an, wo es so steht, das wäre dann etwas falsifizierbares.

Mit "Mathematik, wie sie heute betrieben wird" meinte ich die formalistische Herangehensweise Hilberts.

--Rtc 00:46, 15. Sep 2005 (CEST)

Dies ist nun wirklich mein letzter Kommentar an dieser Stelle:

Die "Mathematik, wie sie heute betrieben wird" mag formalistisch sein, sie hat aber wenig zu tun mit der "Herangehensweise Hiberts". Die wollte den Formalismus benutzen, war aber nicht formalistisch. Eine Quelle, die das belegt: Siehe oben. (Schütte und Bachmann und wer auch immer...)

Der Formalismus (die Herangehensweise Hilberts), wollte den Formalismus benutzen, war aber nicht formalistisch? Deine Argumentation ist mir ein Buch mit sieben Siegeln..

Abgesehen davon sah ich bislang kein schlüssiges Argument, welches Deine Ergänzungen im Artikel in irgendeiner Weise in den Zusammenhang mit Hilberts Aussage stellen oder sie rechtfertigen würden. Das einzige was ich sehe ist eine gefärbte Aussage mit dem Unterton "Schaut auf diesen Mann, seine Forderung nach einem Beweis der Vollständigkeit seines Systems stellte sich als unerfüllbar heraus. Wie dreist ist dieser Mann ein anderes System zu kritisieren, wo doch sein eigenes 'gescheitert' ist?"

--Rtc 01:38, 15. Sep 2005 (CEST)

Zwei Sätze Hilbertzitat entfernt

Habe mal die Sätze im Zusammenhang mit dem rückübersetzen Hilbertzitat entfernt. Sie betreffen die Logik und nicht die Mathematik. Wenn man schon einen "feindlichen" Satz von Hilbert hier unbedingt zitieren will, sollte man den von dem Paradies Cantors nehmen, weil er sich auf Mathematik bezieht. Aber in einem Artikel über KM braucht gar nicht sooooo viele gegnerische Standpunkte durch "feindliche" Zitate gestützt werden. :) PaCo 23:57, 18. Sep 2005 (CEST)

O.k., dieser Hilbert-Satz ist so blumig, dass er auch ohne nähere Erklärung stehen bleiben kann. Wieder mal ein Kompromiss. Nur führt das alles dazu, dass kein Uneingeweihter mehr verstehen kann, was die gegensätzlichen Standpunkte eigentlich sind. Also zu einer schlechten Enzykopädie. Ich seh auch nicht, wie sich das bessern soll, solange Leute wie Rtc weiter werken, ohne ihren Standpunkt mal in Frage zu stellen. Schade. -- Peter Steinberg 22:39, 19. Sep 2005 (CEST)

Ich sehe das auch so, dass das zu einer schlechten Enzyklopädie führt. Immer noch suggeriert der Artikel zB, reelle Zahlen könne man nicht über Cauchy-Folgen einführen. - Ich buche das ab unter: Das ist der Preis, den man für "Toleranz" und "Kollegialität" zahlen muss. Dafür geht es hier nicht so zu wie bei den Artikeln zum Islam oder zu Rechtsradikalität. - Und wer wirklich etwas über KM wissen will, der findet auch Wege das herauszufinden trotz dieses Artikels :) PaCo 10:57, 20. Sep 2005 (CEST)

Ich finde, es geht nicht um Kollegialität und Toleranz. Eine falsche Aussage sollte nie wegen dieser Dinge in der Wikipedia verbleiben. Dass suggeriert würde, dass reelle Zahlen nicht über Cauchy-Folgen eingeführt werden könnten, sehe ich nicht. Es geht nur nicht ohne Einschränkungen. Sogar bei Lorenzen steht doch, dass die Cauchy-Folgen konzentriert sein müssen. --Rtc 13:16, 20. Sep 2005 (CEST)

Vielleicht geht es Dir nicht um Kollegialität, Du legst sie ja auch selten an den Tag, aber Du profitierst davon. - Man sagt "konzentriert", um nicht schon den zu definierenden Grenzwert zu benutzen, wie es bei "Konvergenz" der Fall wäre.PaCo 18:38, 20. Sep 2005 (CEST)

Nein. Das attribut konzentriert ist eine Einschränkung der Cauchy-Folgen bezüglich der 'Konvergenzgeschwindigkeit'. --Rtc 18:50, 20. Sep 2005 (CEST)

Solange es noch keine reellen Zahlen gibt, konvergieren die fraglichen Cauchy-Folgen nicht. Unter "konzentriert" würde ich mir nur vorstellen, dass die beiden Folgen eine Intervallschachtelung definieren (deren Größe gegen null geht, d.h. die anschaulich gesprochen nur ein reelles "Zentrum" hat).--Gunther 19:01, 20. Sep 2005 (CEST)

Aber die konstruktivistischen 'reellen Zahlen' werden doch darüber *definiert* --Rtc 19:35, 20. Sep 2005 (CEST)

Ja, eben deshalb kann man sie bei der Definition noch nicht verwenden. Reelle Zahlen werden klassisch ja auch als Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen, nicht als Äquivalenzklassen konvergenter Folgen definiert. Erst nach der Definition kann man feststellen, dass alle Cauchyfolgen konvergieren.--Gunther 19:37, 20. Sep 2005 (CEST)

Deshalb habe ich 'Konvergenzgeschwindigkeit' auch in anführungszeichen gesetzt. --Rtc 20:12, 20. Sep 2005 (CEST)

Um die Mutmaßungen mal zu beenden: Dieser Text definiert "konzentriert" als Synonym zu "Cauchyfolge".--Gunther 20:27, 20. Sep 2005 (CEST)

Sehr gut, dass Du eine zugängliche Quelle gefunden hast. Aber dass konzentriert als Synonym zu Cauchyfolge definiert würde stimmt nicht. --Rtc 20:48, 20. Sep 2005 (CEST)

Beispiel: Betrachte Abzählung f: Nat -> Turing aller Turingmaschinen. Betrachte die Folge der Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n := (0,b_0 b_1 ... b_n)_2} (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i} : Nachkommastellen in Binärdarstellung), wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i} angibt, ob die Turingmaschine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(i)} gerstartet auf dem leeren Band nach spätestens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Berechnungsschritten gehalten hat oder nicht. Die Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n} ist eine Cauchy-Folge (sogar eine berechenbare, deshalb evtl. kleine Korrekturen am Artikel notwendig), aber keine konzentrierte Folgekonvergiert aber nicht gegen eine berechenbare Zahl. --Rtc 20:57, 20. Sep 2005 (CEST)

PS: falls diese interessante Folge bislang noch nicht betrachtet wurde, darf sie gerne nach mir benannt werden ;) --Rtc 20:59, 20. Sep 2005 (CEST)

Ich kenne als Quelle bislang nur o.g. Text, der die beiden Begriffe synonym verwendet. Welche Quelle hast Du, wie lautet Deine Definition von "konzentrierte Folge"? (Und: Was hat das genau mit dem Artikel zu tun?)--Gunther 22:06, 20. Sep 2005 (CEST)

Tatsächlich. Ich hatte den Text 'klassische analysis als konstruktive Theorie' von Paul Lorenzen im Kopf, den Paul Conradi mir zugeschickt hat. Allerdings ist dort die Situation doch etwas komplizierter als ich dachte und konzentrierte Folge wird ebenso scheinbar als analog zu Cauchyfolge definiert wie in dem Text von Dir, obwohl der Kontext eventuell etwas anderes suggeriert: "Zur Definition der reellen Zahlen kann man nach [sic] Cauchy-Folgen rationaler Zahlen benutzen, die konzentriert sind". (S. 65 im Reclam-Band 'Theorie der technischen und politischen Vernunft', wo der o.g. Text enthalten ist)

Jedenfalls ist klar, dass o.g. Folge keine zulässige Folge im Konstruktivismus ist und wenn Paul Lorenzen die reellen Zahlen eventuell falsch definiert (möglicherweise stimmts aber doch wegen anderer Logik), dann berührt das ja nicht die Tatsachen. --Rtc 22:42, 20. Sep 2005 (CEST)

Lorenzen schreibt: "Eine Folge rationaler Zahlen ist dabei zu definieren als eine Funktion, deren Argumente die natürlichen Zahlen sind und deren Werte rational sind. Jede Folge muß also durch einen Term T(n) darstellbar sein." (S.65) Einen 'Term' T(n) jedoch definiert er auf S. 63 als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a_0+a_1n+a_2n^2+\dots}{b_0+b_1n+b_2n^2+\dots}}

(wobei er Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i} undefiniert lässt, aber ich nehme an, er meint damit natürliche Zahlen). Nun, mit dieser Definition stimmt sein oben zitierter Satz nicht, da nicht jede Funktion, deren Argumente natürliche Zahlen und deren Werte rational sind auch durch einen Term T(n) darstellbar sein muss – siehe die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(n) := a_n} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n} definiert wie oben, bei der alle Funktionswerte rational sind, die aber nicht durch einen 'Term' T(n) darstellbar ist. Denn für jeden solchen Term ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle lim_{n\to\infty} T(n)} eine berechenbare Zahl, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle lim_{n\to\infty} f(n)} aber nicht.

Die Definition der reellen Zahlen durch Lorenzen scheint mir im übrigen noch nicht einmal alle berechenbaren Zahlen zu enthalten, da vermutlich die transzendenten Zahlen so nicht darstellbar sind? --Rtc 23:55, 20. Sep 2005 (CEST)

Das sieht nach ziemlichem Unsinn aus, denn der Grenzwert der Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T(n)} ist rational oder unendlich...--Gunther 00:08, 21. Sep 2005 (CEST)

Unsinn das was ich geschrieben habe oder das was Lorenzen geschrieben hat? ;) --Rtc 00:18, 21. Sep 2005 (CEST)

Das kann ich so natürlich nicht sagen, aber

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_0+a_1n+\ldots+a_dn^d}{b_0+b_1n+\ldots+b_en^e}=\begin{cases}a_d/b_e& d=e \\ 0 & d<e \\ \infty& d>e\end{cases}}

--Gunther 00:24, 21. Sep 2005 (CEST)

Einleuchtend, weil

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a_0+a_1n+\cdots+a_dn^d}{b_0+b_1n+\cdots+b_en^e}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{a_dn^d+\cdots+a_1n+a_0}{b_en^e+\cdots+b_1n+b_0}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{a_d+\cdots+a_1\frac{n}{n^d}+a_0\frac1{n^d}}{b_e\frac{n^e}{n^d}+\cdots+b_1\frac{n}{n^d}+b_0\frac1{n^d}}}

Kann die Ausführungen von Lorenzen also nur mit einem dicken Fragezeichen sehen. Folgt man den Cauchy-Folgen, dann definiert er die vollen reellen Zahlen, folgt man den Termen, dann definiert er nur die rationalen Zahlen. --Rtc 00:48, 21. Sep 2005 (CEST)

Die Diskussion wird immer skuriler. Vielleicht könnten wir einen Artikel "Rtc-Folge" anlegen, den Rtc dann unbegrenzt ausbauen darf, damit im übrigen Artikelraum wieder eine produktive Arbeit möglich wird. -- Peter Steinberg 23:29, 20. Sep 2005 (CEST)

Ich habe das so verstanden, dass mit Term in dem Zusammenhang mit C-Folge die Funktionsvorschrift gemeint ist, mit der man die Folge definiert. Sehe die Problematik nicht so. PaCo 10:37, 22. Sep 2005 (CEST)

Ok, richtig. Lorenzen definiert Funktion auf diese Weise, was ich übersehen hatte. Insofern ist "Eine Folge rationaler Zahlen ist dabei zu definieren als eine Funktion, deren Argumente die natürlichen Zahlen sind und deren Werte rational sind. Jede Folge muß also durch einen Term T(n) darstellbar sein." (S. 65) nicht mehr widersprüchlich. Allerdings definiert er damit dann, wie Gunther oben ausgeführt hat, nur die rationalen Zahlen und nicht die reellen Zahlen, da der Grenzwert jeder solchen Folge, die eine Cauchyfolge ist, rational ist. Dies ist ein ziemlicher Unterschied zum restlichen Konstruktivismus, wo immerhin z.B. transzendente Zahlen möglich sind.

--Rtc 14:17, 22. Sep 2005 (CEST)

Konzentrierte C-Folge

Normalerweise definiert man Konvergenz von Folgen ja so: Eine Folge (x_i) in X heißt konvergent gegen a wenn gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall {\epsilon > 0} \ \exists \ N \in \mathbb{N} : \forall \ n > N \quad d(a, x_n) < \epsilon}

Wenn man nun als Konstruktivist a als reelle Zahl erst durch die Folge definieren will, dann wählt man statt a ein geeignetes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_m} ebenfalls mit m > N. Der Rest sind Worte. Ich zitiere gerne, was Lorenzen in Differential und Integral als "konzentrierte Cauchy-Folge" definiert, aber es ist genau dies.

Erstmal: Darin sind wir absolut einer Meinung, schließlich macht er es auf S. 65 ja genau so. Dann würden aber die (überabzählbaren) reellen Zahlen definiert, nicht nur die Bishop-konstruierbaren. Siehe [11]:

in Bishop's constructive theory of the real numbers, based on Cauchy sequences with a preassigned convergence rate

'konzentierte' Folge heißt ja offenbar einfach nur Cauchy-Folge (weiß nicht, warum Lorenzen das doppelt betont als konzentrierte Cauchy-Folge) und bedeutet nicht 'with a preassigned convergence rate' (siehe unter berechenbare Zahlen bezüglich was das bedeutet). Jedenfalls ist Lorenzens Aussage 'Jede Folge muß also durch einen Term T(n) darstellbar sein.' nicht konsistent mit seiner Definition des Begriffs konzentierte Folge, die Du oben angegeben hast, wie Gunther gezeigt hat. --Rtc 01:18, 21. Sep 2005 (CEST)

Nun mal cool bleiben: konzentrierte Folgen und Cauchyfolgen sind das Selbe. In deiner Definition von Konvergenz fehlt die Forderung, dass "a" auch existieren soll. Es müsste also heißen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exists a \, \forall {\epsilon > 0} \ \exists \ N \in \mathbb{N} : \forall \ n > N \quad d(a, x_n) < \epsilon}

Wenn a nicht existiert, haben wir halt keine rationale Zahl, sondern eine (neue) reelle Zahl. Nicht nur Konstruktivisten definieren reelle Zahlen auf diese Weise. (Allerdings reicht nicht ein Paar von Cauchyfolgen aus, es muss schon eine Restklasse sein. )

Das Einzige, was Konstruktivisten anders machen: Sie sprechen nicht von vorn herein von "allen" Cauchyfolgen, sondern wollen für eine wie die andere eine Konstruktionsvorschrift!. Davon gibt's natürlich nur abzählbar viele! (Und für die Äqulivalenzklassen davon erst recht.) -- Peter Steinberg 01:04, 21. Sep 2005 (CEST)

Bitte! Dann stimmen wir ja überein, denn nichts anderes sagt der Artikel: "Eine mögliche Definition der reellen Zahlen in der Analysis benutzt Paare von Cauchy-Folgen der rationalen Zahlen. Diese Konstruktion ist jedoch ohne weitere Einschränkungen nicht hinreichend in der konstruktivistischen Mathematik, da eine überabzählbare Anzahl solcher Folgen nicht berechenbar wäre." --Rtc 01:21, 21. Sep 2005 (CEST)

Ob Rtc es nun glaubt oder nicht, diese Sätze sind

1. schwer zu verstehen
2. suggerieren, dass die KM *keine* Cauchy-Folgen zur Definition reeller Zahlen benutzen

Beides kann man leicht vermeiden. Aber kaum ist mal ein klarer verständlicher Satz da, sagt Rtc er sei nicht neutral. PaCo 09:16, 21. Sep 2005 (CEST)

Vielleicht lässt sich das deutlicher ausarbeiten, dass eingeschränkte Cauchy-Folgen ('with pre-assigned convergence rate') verwendet werden. --Rtc 12:57, 21. Sep 2005 (CEST)

Erfinde doch nicht immer so einen Quatsch! Nein, sie werden ja gerade nicht eingeschränkt. Schon gar nicht in der convergence rate. Nur, dass alle Folgenglieder und auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} rational sind. Das ist allerdings beim genaueren Hinsehen keine Einschränkung.PaCo 18:30, 21. Sep 2005 (CEST)

Doch, sie sind eingeschränkt -- so stehts bei [12] und ist nur logisch. Wenn sie nicht eingeschränkt wären, dann ergäbe das die klassische Definition der reellen Zahlen. --Rtc 19:49, 21. Sep 2005 (CEST)

konzentrierte C-Folgen werden bei Lorenzen nicht eingeschränkt. Spezielle unberechenbare Sonderzahlen (machen zwar die Überabzählbarkeit aus, aber man kann nur drei oder vier nennen) kommen in der KM nicht vor, ansonsten gibt es keine Einschränkungen bei Lorenzen, das weißt Du auch. PaCo 22:58, 21. Sep 2005 (CEST)