Diskussion:Konvexe Menge

Verbindungsstrecke

Ich find es ein bisschen schade, dass die Definition der Verbindungsstrecke (anscheinend ersatzlos) entfernt wurde.

Auch wundere ich mich über die Streichung des reellen beim Vektorraum. Gibt es denn eine Verbindungsstrecke auch in einem Vektorraum über Q oder über C, und wenn ja, wie ist sie dort definiert? Der Begriff der Konvexkombination als

"Linearkombinationen αa + βb, für die 0 ≤ α, β ≤ 1 und α+β=1 gilt"

macht in einem Vektorraum über einem nicht geordneten Körper nicht wirklich Sinn, oder? --SirJective 00:03, 18. Dez 2004 (CET)

Die Verbindungsstrecke habe ich nicht entfernt, sondern nur nach unten verschoben - siehe konvexe Hülle. Ich halte es für wichtig, daß die Einleitung möglichst "allgemeinverständlich" ist (möglichst wenig Formeln und Fachausdrücke :-) -- darum habe ich auch den Vektorraum nur in Klammer erwähnt.

Mit dem Entfernen des Attributs "reell" war ich wohl ein bißchen vorschnell. Die Definition ist zwar durchaus sinnvoll (zwischen 0 und 1 können auch in C nur reelle Zahlen liegen -- die komplexen Zahlen sind "teilweise geordnet", es ist durchaus üblich, die Ordnung der reellen Zahlen auch in C beizubehalten!), aber kaum gebräuchlich, und auf Q und andere Teilkörper von R kann man in der Erklärung ohne weiteres verzichten. (Ich habe an solche Beispiele gedacht: in C ist z.B. der Einheitskreis |z| <= 1 konvex.)

--Peter S 21:26, 18. Dez 2004 (CET)

Hast recht, die Verbindungsstrecke ist weiter unten definiert - ich hab's ja selbst zitiert *g*

Die teilweise Ordnung auf C ist ein interessanter Punkt, der mir neu ist. Falls du damit eine Halbordnung meinst: Würdest du wirklich "2+i <= 2+i" schreiben? Ich kann mir durchaus vorstellen, die reflexiv-transitive Hülle der Ordnung von R in C zu bilden. In der würde dann aus "0 <= a" bereits folgen, dass a reell ist.

Konvexe Mengen in nichtreellen Vektorräumen hab ich selbst noch nie gesehen, kann mir aber durchaus vorstellen, die Definition auf beliebige geordnete Körper zu erweitern (und nicht alle von denen sind Teilkörper von R). --SirJective 22:49, 18. Dez 2004 (CET)

Nein "2+i <= 2+i" ist nicht üblich (und würde nur zu Komplikationen führen). Von konvexen Gebieten in C zu sprechen ist normal. Aber das erhält man leicht auch, indem man C als Vektorraum über R auffaßt. Wie gesagt, ich habe das "reell" zu schnell entfernt. Man müßte übrigens auch Körper mit char/=0 ausnehmen. Was im Artikel vielleicht noch fehlt, wären Details zur Konvexität ohne Vektorraumstruktur (hyperbolische Geometrie, Riemannsche Geometrie). Und natürlich mehr Resultate zu konvexen Mengen (bzw. entsprechende Links) --Peter S 19:31, 22. Dez 2004 (CET)

Da wir keine Halbordnung auf C haben, sehe ich also folgendes als eine Konvention:

Seien a, b aus C, dann gilt a <= b genau dann, wenn a, b aus R und a <= b bzgl. der Ordnung von R.

Ich bin mit dieser Notation etwas vorsichtig, weil ich sie nie selbst gebraucht habe.

Natürlich erhält man den üblichen Konvexitätsbegriff für Teilmengen von C, indem man C als R-VR auffasst, und sicherlich hab ich in meinen Vorlesungen auch den einen oder anderen Satz über konvexe Gebiete gehabt. Körper der Charakteristik ungleich 0 schließt man in dem Moment aus, wo man sich auf geordnete Körper konzentriert, denn diese Körper können nicht geordnet werden. Aber das ist vermutlich eine Verallgemeinerung, die nicht von großem Interesse ist. Bleiben wir also bei reellen Räumen.

Du hast recht, sobald man eine Geometrie hat, in der man Strecken definiert, kann man konvexe Mengen definieren. Dies wäre eine interessante Ergänzung zu diesem Artikel. Aber über dieses Thema weiß ich leider nicht mehr als das, was ich mir schnell selbst herleiten könnte. ;)

--SirJective 20:38, 22. Dez 2004 (CET)

Wieso soll das keine Halbordnung (ich ziehe "teilweise Ordnung" vor) sein? Zwei komplexe Zahlen sind genau dann vergleichbar, wenn sie reell sind. (das ist natürlich transitiv). Aber das ist wirklich nur Bequemlichkeit. Man kann dann halt schreiben (a+bi)(a-bi) >= 0 u.ä. --Peter S 21:16, 22. Dez 2004 (CET)

Ganz einfach: Eine Halbordnung ist reflexiv, d.h. eine komplexe Zahl müsste mit sich selbst vergleichbar sein. Aber damit weichen wir vom eigentlichen Thema ab. --SirJective 13:42, 23. Dez 2004 (CET)

Stimmt - aber es gibt auch strenge Halbordnungen ;-) Wir sind damit aber wirklich "Off Topic" --Peter S 19:21, 5. Jan 2005 (CET)

Skizzen

Ich finde die Skizzen etwas unglücklich, weil dort die "erlaubten" Punkte diskret zu liegen scheinen. In dem Kontext ist es so nicht offensichtlich, dass das Herz nichtkonvex ist. Speziell die obere Verbindungsstrecke enthält hier gerade keinen der diskreten Punkte, der außerhalb liegt. Vorschlag: Das Punktgitter einfach entfernen. Auch die Verbindungslinie unten links "schrammt" nur gerade so an der Offensichtlichkeit vorbei. --19:15, 15. Aug 2006 (CEST)

Konvexität des R^3 ohne 0

Ich glaube mich aus der Lin. Algebra-Veranstaltung zu erinnern, dass der R3 ohne 0 konvex ist, das wurde aber nie bewiesen. Ich denke diese Menge sollte mit einer kleinen Erläuterung auch erwähnt werden. --Ff-Sepp 13:31, 16. Apr. 2007 (CEST)

Lieber nicht, denn mit $A={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}$ und $B={\begin{pmatrix}-1&0&0\end{pmatrix}}$ liegt deren Konvexkombination ${\tfrac {1}{2}}A+{\tfrac {1}{2}}B={\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}}$ nicht in $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{{\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}}\}$.--Hagman 22:05, 25. Mai 2007 (CEST)

Überarbeitung

Die Verallgemeinerungen habe ich aus den Artikeln en:Convex metric space, en:Geodesic convexity und en:Convex set.

In diesen drei Artikeln wird folgende Lit angegeben: (ha, jetzt bin ich froh über citebook, gibts ja gar nicht :-)

1. Mohamed A. Khamsi, Kirk, William A.: An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. Wiley-IEEE, 2001, ISBN 0471418250. und Irving Kaplansky: Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0821826948.
2. Tamás Rapcsák: Smooth nonlinear optimization in Rⁿ (=  Nonconvex Optimization and its Applications 19). Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1997, ISBN 0-7923-4680-7, S. xiv+374.
3. Soltan, Valeriu, Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity, Ştiinţa, Chișinău, 1984 (russisch?!)

Falls da jemand was von passend findet, bitte Bescheid geben oder innen Artikel eintragen. Ich werde bei meinem nächsten Bib-Besuch Ausschau halten nach passenden deutschen Quellen.

weitere Punkte

• keine Ahnung, wie sich konvexe Mengen bei unendlich dimensionalen VR verhalten.
• Bitte mal wegen Typos schauen
• Der Teil über konvexe Menge#Krümmung von Kurven passt vielleicht besser in einen anderen Artikel? Welchen würdet ihr vorschlagen? Das war halt bei nichtkonvexe Menge enthalten. --χario 20:21, 26. Nov. 2008 (CET)

konvexe mannigfaltigkeit

trifft das "mindestens eine" so zu (mir erscheint das jetzt so exakter (btw der englische artikel ist da mehr als dubios)), oder fehlt da die forderung dass die geodäte global (unter allen kurven) längenminimierend sein soll? --perk bekannt als 77.22.250.139 13:00, 18. Okt. 2009 (CEST)

Meine Recherchen haben bis jetzt ergeben, dass eine Riemann'sche Mfg. total konvex heißt, wenn die minimale Geodäte von beliebigen zwei Punkten in der Mannigfaltigkeit liegt. Und außerdem habe ich noch den Satz "Every point of a Riemannian manifold lives at the center of a convex ball such that any two points in that ball are joined by a unique segment contained in the ball." gefunden. Vielleicht ist geodätsch konvex, dann eine schwächere Definition der Konvexität. Leider fehlen ja jegliche Literaturangaben. --Christian1985 15:16, 18. Okt. 2009 (CEST)

naja zweiteres ist klar und hab ich ja auch so in den artikel eingefügt (diese eigenschaft wird im beem and ehrlich simple convex genannt), das theorem, das das garantiert, hab ich im artikel Exponentialabbildung erwähnt..

und zum ersteren: ok also doch andersrum als ich dachte.. naja ist auch ne sinnvolle festlegung ich werds mal einbauen--perk bekannt als 77.22.250.139 16:32, 18. Okt. 2009 (CEST)

Trennungssätze

Sind diese Trennungssätze überhaupt besonders relevant? Stimmen überhaupt die Definitionen? Beispielsweise ist die Relation "eigentlich trennbar" nicht symmetrisch. Was ist $ri$? Der Satz über startke Trennbarkeit ist obendrein ja wohl fast nur eine Umformulierung der Definition ...--Hagman 20:21, 13. Sep. 2010 (CEST)

Worauf beziehst du dich? ...grübel... Also es gibt den Artikel Trennungssatz der hat auf jeden Fall was mit dem Artikel hier zu tun, ist aber glaub ich noch nicht mal hier verlinkt... "trennen" taucht glaub ich noch nicht mal auf, was man vielleicht nachholen könnte...--χario 22:30, 20. Nov. 2010 (CET)

Hallo, ich denke diese Diskussion hat sich schon erledigt. Der Diskussionsbeitrag von Hagman bezog sich glaube ich auf eine Artikelversion, die wieder zurückgesetzt wurde. Soweit ich mich erinnere, wurde hier ein seltsamer Trennungsbegriff mal eingeführt. --Christian1985 (Diskussion) 01:01, 21. Nov. 2010 (CET)

Konkave Menge

Hallo,

ich halte eine Quelle für den Abschnitt Konvexe_Menge#Konkav_vs._nichtkonvex für dringend erforderlich! Der einzige Treffer bei Googel Books zu "Konkave Menge" besagt, "Eine konkave Menge gibt es nicht!" [1]. Falls sich in absehbarer Zeit keine Quelle findet, werde ich den Abschnitt löschen. --Christian1985 (Disk) 16:28, 9. Dez. 2012 (CET)

Ok, aber warum hast du auch den ersten Absatz des Abschnitts entfernt? "Nichtkonvex" sollte doch schon erwähnt werden, oder? --χario 15:42, 15. Feb. 2013 (CET)

Hallo, das erschien mir als Trivialität, aber kann auch gerne wieder eingebaut werden.--Christian1985 (Disk) 17:21, 15. Feb. 2013 (CET)

Quadrat und Konvexität

Ich verstehe den letzten Satz unter "Definition für Vektorräume" nicht. Dort steht Tatsächlich schließt obige Definition auch Objekte mit planaren Rändern wie Quadrate mit ein, die man umgangssprachlich nicht unbedingt als konvex bezeichnen würde.. Wieso sollte ein Quadrat nicht konvex sein? Habe noch nie irgendjemanden getroffen, der behauptet hätte, Quadrate wären nicht konvex. Satz löschen? --Cerotidinon (Diskussion) 01:27, 8. Mär. 2013 (CET)

Weil umgangssprachlich oder auch in der Kunstgeschichte konvex "nach außen gewölbt" bedeutet. "Konvex, wie der Bauch vom Direx". Deshalb. Grüße, --χario 08:44, 8. Mär. 2013 (CET)

Okey, ohne die Erklärung fand ich den Satz auch irritierend.--Christian1985 (Disk) 09:00, 8. Mär. 2013 (CET)

Na wie wärs dann mit ner Umformulierung:

"Während "konvex" umgangssprachlich "nach außen gewölbt" bedeutet, schließt obige Definition auch Objekte mit planaren Rändern wie Quadrate mit ein."

Grüße, --χario 20:15, 9. Mär. 2013 (CET)

Konvexe Ecken

"Ecken werden konvex genannt, wenn alle Innenwinkel höchstens 180° betragen." Dieser Satz ergibt keinen Sinn. Polygone werden konvex genannt, wenn jeder Innenwinkel höchstens 180° beträgt. Ich denke, eine Ecke wird konvex genannt, wenn der Innenwinkel an dieser Ecke höchstens 180° beträgt. Kann das einer der Experten hier bestätigen? (nicht signierter Beitrag von 2.203.6.159 (Diskussion) 16:45, 18. Dez. 2021 (CET))

Gibt es für diesen Abschnitt eine vernünftige Quelle? Wenn nein, dann würde ich den ganzen Abschnitt "Krümmung von Kurven" löschen.--FerdiBf (Diskussion) 11:41, 19. Dez. 2021 (CET)

Ich weiß es nicht, da ich mich nur in der euklidischen Geometrie ein bisschen auskenne. So oder so passt der Satz mit den konvexen Ecken in den Abschnitt "Krümmung von Kurven" überhaupt nicht rein. (nicht signierter Beitrag von 2.203.6.159 (Diskussion) 11:46, 19. Dez. 2021 (CET))