Diskussion:Kreuzprodukt/Archiv

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Zumindest für Vektorprodukt. Dann aber nicht ungenau, sondern einfach nur als anderer Name. Ich war mir auch nicht sicher, ob es da nicht irgend eine mathematische Beziehung gibt. Mengentechnisch spannt man ja sozusagen eine neue Dimension damit auf und in der Vektorrechnung geht man bei zwei Vektoren rechtwinklig in die dritte Dimension (die 2 vektoren zeigen in die anderen beiden Dimensionen). Ob das karthesische Produkt auch Kreuzprodukt heißt weiß ich nicht, zumindest verwendet man das selbe Symbol. --Coma

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Meines Wissens heisst das kartesische Produkt nicht Kreuzprodukt, obwohl es auch durch ein Kreuz bezeichnet wird. Der Artikel Vektorprodukt koennte mit diesem hier verschmolzen werden, da sie im Grunde dasselbe enthalten. --SirJective 16:05, 8. Sep 2003 (CEST)

Was ich soeben noch getan habe.--SirJective 16:09, 8. Sep 2003 (CEST)

Verallgemeinerungen

Es sollte das alternierende bzw. äußere Tensorprodukt als Verallgemeinerung angegeben werden, alternierende Multilinearformen sind ein ebensolches auf dem Dualraum der Linearformen.

MfG Lutz Lehmann, HU-Berlin

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Im Abschnitt "Ableitung der Berechnungsformel im R^3" wird die Gleichheit einer Determinanten mit einem Vektor dargestellt. Das ist so nicht korrekt, da die Determinante einer Matrix stets eine Skalar ergibt. Gemeint ist natürlich, dass man die Zeilen des Ergebnisvektors durch die Summanden der Determinante beim Anwenden des Entwicklungssatzes berechnen kann. Dennoch würde ich anregen, das noch zu ändern. --Ethyl

Ah, schön dass du das ansprichst. :) Mir ist da nämlich gerade noch etwas aufgefallen: die Determinante wird m. E. IMMER mit einem 'det' und die Matrixelemente eingeschlossen per senkrechtem Strich geschrieben, und _nicht_ mit einer Klammer! Steht aber mit einer Klammer da. Die Strichdarstellung wurde auch beim Determinanten-Artikel verwandt. -andy 80.129.77.171 00:08, 10. Jul 2005 (CEST)

Entweder det + runde Klammern oder nur senkrechte Striche, aber nicht beides zusammen.--Gunther 23:51, 19. Jan 2006 (CET)

Textvorschlag:

Für die Definition des Kreuzproduktes auf einem dreidimensionalen reellen Vektorraum $V$ werden benötigt:

• ein Skalarprodukt $\langle {-},{-}\rangle$
• eine Orientierung $\omega \in \bigwedge \!{}^{3}\,V^{*}$, d.h. eine alternierende Multilinearform vom Grad 3, die mit dem Skalarprodukt kompatibel ist, d.h. für jede Orthonormalbasis $a,b,c$ gilt $\omega (a,b,c)=\pm 1$.

Mithilfe dieser Daten kann ein Isomorphismus

${*}\colon V\to \bigwedge \!{}^{2}\,V$

definiert werden, der Hodge-Stern, der durch

$\omega (a\land {*}b)=\langle a,b\rangle$

charakterisiert ist. Das Kreuzprodukt ist dann durch die Gleichung

${*}(a\times b)=a\land b$

bestimmt.

Aus dieser Beschreibung ergeben sich unmittelbar die folgenden Eigenschaften:

• Das Kreuzprodukt ist invariant unter Drehungen.
• Geht man zur Orientierung $-\omega$ über, so wechselt das Kreuzprodukt sein Vorzeichen.

Das ist zwar ziemlich abstrakt, erklärt aber mehr als der derzeitige Abschnitt "Verallgemeinerungen".--Gunther 00:13, 20. Jan 2006 (CET)

Beziehungen zu speziellen Matrizen

Ich hab die Stelle

Genaugenommen ist das Kreuzprodukt ein antisymmetrischer Tensor mit den Komponenten:

${\begin{pmatrix}0&-a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}&-a_{3}b_{1}+a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}&0&-a_{3}b_{2}+a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}&a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}&0\end{pmatrix}}$

rausgenommen, weil sie falsch ist. Das Kreuprodukt ist eine Abbildung zwischen Vektoren und nicht zwischen Tensoren zweiter Stufe. Stefanwege 00:15, 20. Jan 2006 (CET)

"Falsch" finde ich übertrieben. Aus der Sicht eines Physikers (N.B. der ich nicht bin) ist alles ein Tensor, das sich wie ein Tensor transformiert. Und das Kreuzprodukt transformiert sich nicht wie ein Vektor, sondern wie ein Tensor zweiter Stufe (entsprechend der Darstellung $a\land b$ ohne Hodge-Stern).--Gunther 00:36, 20. Jan 2006 (CET)

Löschung rückgängig gemacht. Kreuzprodukt ist kein Vektor, sondern ein Pseudovektor. Hier weiß Wikipedia mehr als ein Schulbuch. Wäre es in der Zukunft vielleicht möglich, erst zu fragen, und dann zu löschen, als zu löschen und dann zu fragen? Nichts für ungut: Ärgerlicher wäre es, zu löschen und nichts zu sagen. Anton 18:07, 20. Jan 2006 (CET)

Ich bitte Dich eine Quelle dafür anzugeben, dass das Ergebnis des Kreuzproduktes die von Dir angegebene Matrix ist, in den Büchern Handbuch der Mathematik, Jänich: Vektoranalysis , Köcher: Lineare Algebra und Geometrie und in dem Weblink im Artikel Pseudovektor steht jedenfalls explizit ${\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

als Ergebnis des Kreuzproduktes. Da ich nicht glaube das ein wesentlicher Anteil der Mathematiker das Kreuzprodukt wie Du verwendest habe ich den entsprechenden Abschnitt wieder gelöscht. Gruß Stefanwege 20:45, 26. Okt. 2006 (CEST)

Alternative Berechnungsmethode über Determinante

Habe da mal eine Alternative Möglichkeit zur Berechnung mit einer speziellen Matrix und den Einheitsvektoren hinzugefügt, würde mich interessieren was ihr davon haltet, da dies mein erster Beitrag ist. Finde diese Möglichkeit ganz sinnvoll, da ich mit den Indices auf die herkömmliche Weise immer durcheinanderkomme.. --JohN 22:36, 25. Jan 2006 (CET)

Das steht im Prinzip schon unten bei "Verallgemeinerungen", allerdings ist dieser Abschnitt ohnehin überarbeitungsbedürftig, s.o.--Gunther 22:41, 25. Jan 2006 (CET)

Die Berechnung über Determinaten ist eine der eleganten Methoden. - Nur leider wird häufig das Minus-Zeichen vor der y-Komponente, welches sich aus dem Entwicklungssatz für Determinaten ergibt, vergessen. Jetzt hätte ich fast den Artikel demoliert. :-( Man sollte nicht so früh am morgen die Fehler bei anderen suchen. -- togeil 9:03, 21.05.2007

R1, R2

Abschnitt hierher verschoben:

Das Kreuzprodukt erscheint nur im R³ sinnvoll, während im R² schlichtweg eine für das Kreuzprodukt wichtige Dimension fehlt. Dass Ähnliches für den R¹ gilt, leuchtet ein. Dies wird deutlich, wenn man zwei zweidimensionale Vektoren als Vektoren der Grundebene des dreidimensionalen Raumes auffasst. In diesem Fall zeigt der Vektor des Vektorproduktes senkrecht nach "oben". Mit diesem Trick kann es aber auch für R² genutzt werden, und zwar zur Berechnung des Flächeninhaltes des von den Vektoren aufgespannten Parallelogrammes.

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Begründung: (1) Kreuzprodukt läßt sich in jedem Raum definieren, siehe unten im Artikel. Ist Rⁿ nicht sinnvoll? (2) Der Trick ist ein Taschenspielertrick, da nicht R2, sondern Ebenen in R3 betrachtet werden. Anton 21:38, 19. Apr 2006 (CEST)

(1) Für die Produkte mit $n-1$ Faktoren interessiert sich doch niemand ernsthaft, und ein analoges Produkt $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ existiert swiw nicht. (2) Ich würde das als eine Merkhilfe für die Flächeninhaltsformel des von zwei Vektoren im $\mathbb {R} ^{2}$ aufgespannten Parallelogramms sehen. Muss hier aber nicht sein, da hast Du Recht.--Gunther 23:17, 19. Apr 2006 (CEST)

Länge entspricht Vektor?

Ich stolper immer wieder über die Formulierung Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$. Kann eine Länge einer Fläche entsprechen? Es handelt sich immerhin um unterschiedliche Größen (im R^1 und R^2). Ich würde Die Länge ist proportional zur Fläche ... vorschlagen. Ich kann mich aber auch irren ... Wadi 15:45, 13. Sep. 2007 (CEST)

Im mathematischen Raum gibt es keine Längen- und Flächeneinheiten. Längen und Flächeninhalte sind nur Zahlen. Deshalb kann auch eine Länge gleich einer Fläche sein. Korrekt wäre es also, sogar zu sagen: Die Länge dieses Vektors ist gleich der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$. --Digamma 01:28, 3. Nov. 2007 (CET)

Berechnung mittels "symbolische Determinantenschreibweise"

@KaiMartin

Du machst meine Änderung rückgängig mit der Begründung:

Unterschiedliche Typen von Objekten in den Komponenten einer Matrix sind Murks.

Das ist grundsätzlich schon richtig. Aber das war auch vor meiner Änderung und nach Deiner der Fall. Auch die Elemente $i,j$ und $k$ stehen für die Einheitsvektoren. Diese Bezeichnung sind im Deutschen wenig üblich, umso mehr aber im angelsächsischen Bereich, s. englische Wikipedia. Von dort hat das vermutlich auch der Autor.

Weil das eigentlich Murks ist, steht darüber auch "symbolische Determinantenschreibweise". Wenn man das sauber machen will, dann weist man darauf hin, dass dass für das Skalarprodukt eines dritten Vektors ${\vec {v}}$ mit dem Kreuzprodukt ${\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}$ gilt:

${\vec {v}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\det {\begin{pmatrix}v_{1}&a_{1}&b_{1}\\v_{2}&a_{2}&b_{2}\\v_{3}&a_{3}&b_{3}\end{pmatrix}}=v_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+v_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+v_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$

Aus dem Vergleich mit ${\vec {v}}\cdot {\vec {c}}=v_{1}c_{1}+v_{2}c_{2}+v_{3}c_{3}$ für alle Vektoren ${\vec {v}}$ (insbesondere für die Basisvektoren ${\vec {e}}_{i}$ folgt dann $c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$, $c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$ und $c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$.

Bei der hier im Artikel angegebenen Rechenregel geht es aber nicht um eine formale Herleitung, sondern darum, eine einfach zu formulierende und zu merkende Anleitung zum Berechnen des Kreuzprodukts zu geben. Das erfüllt die eigentlich unsinnige "symbolische Determinante" und in dieser Form ist die Formel auch in den Formelsammlungen zu finden.--Digamma 08:29, 3. Nov. 2007 (CET)

Ergänzung: Im englischen Pendant Cross product - Matrix notation stehen $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$ und $\mathbf {k}$ für die Standardeinheitsvektoren.

PS: Ich habe den ursprünglichen Autor der Stelle Stefan Birkner um eine Stellungsnahme gebeten.--Digamma 08:50, 3. Nov. 2007 (CET)

Hallo Digamma. Ok, die Determinante der Matrix mit integrierten Einheitsvektoren ergibt also eher zufällig die Formel, die man für das Kreuzprodukt braucht. Funktioniert das auch für mehr als drei Dimensionen?---<(kmk)>- 15:35, 4. Nov. 2007 (CET)

Es funktioniert in genau derselben Weise, wie sich das Kreuzprodukt überhaupt auf Räume höherer Dimension verallgemeinern lässt: Im n-dimensionalen Raum als Produkt von n-1 Vektoren. Und dass das funktioniert, ist natürlich eher kein Zufall, sondern liegt daran, dass man das Kreuzprodukt "eigentlich" über die Eigenschaft, dass $u\cdot (a\times b)$ gleich der Determinanten der aus u, a, b gebildeten Matrix ist, definiert. --Digamma 16:47, 4. Nov. 2007 (CET)

Pseudovektor

Das Kreuzprodukt ist ein Pseudovektor. Daran ändert sich auch nichts, wenn man den Hinweis darauf immer wieder löscht. Zweifel? http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product oder http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html. Anton 11:35, 4. Nov. 2007 (CET)

Ja. Ob ein ein dreier-Tupel ein Vektor ist, oder wie ein Pseudovektor, entscheidet sich danach, wie er sich unter Inversion verhält. Wie das Objekt berechnet wurde, ist dafür unerheblich. Ein Gegenbeispiel aus dem "richtigen Leben" ist das Kreuzprodukt aus der Geschwindigkeit und dem lokalen Magnetfeld. Das Ergebnis ist die Lorentzkraft, die wie jede Kraft ein Vektor ist. Die Formulierung, wie sie im Moment im Artikel steht, ist zusätzlich in sich widersprüchlich. Sie benutzt fälschlicherweise den Begriff Pseudovektor als genauere Spezifikation des Begriffs Vektor. Ich nehme daher die entsprechende Bemerkung heraus.---<(kmk)>- 15:19, 4. Nov. 2007 (CET)

"Pseudovektor" ist kein Begriff der linearen Algebra, sondern der mathematischen Physik. Es gibt verschiedene physikalische Größen, die mathematisch durch vektorwertige Funktionen beschrieben werden können, also durch Tripel beschrieben und durch Pfeile dargestellt, wobei man die Größen addieren kann, indem man die Tripel addiert bzw. die Pfeile verkettet.

Man stellt dann allerdings fest, dass sich die Koordinaten dieser "Vektoren" bei Koordinatentransformationen unterschiedlich verhalten können. Dies führt zur Unterscheidung zwischen "kovarianten" und "kovarianten" Vektoren und zwischen "echten" Vektoren und "Pseudovektoren". Dies bezieht sich in dieser Form aber nicht auf die Mathematik, sondern auf die physikalische Größe.

Wenn man die Objekte mathematisch sorgfältiger modelliert, also Vektoren nicht einfach nur als Pfeilklassen oder als Tripel, so führt dies mathematisch z.B. zur Unterscheidung zwischen Tangentialraum (darin leben kontravariante Vektoren) und Kotangentialraum (kovariante Vektoren). Für manche Objekte braucht man aber ganz andere Vektorräume, die nur "zufällig" auch dreidimensional sind, z.B. die Vektorräume der Bivektoren oder der 2-Formen oder die Liealgebra so(3). Diese drei sind die richtigen mathematischen Modelle für solche physikalischen Größen, die als Pseudovektoren bezeichnet werden. Die Tatsache, dass der euklidische physikalische Raum mit einem Skalarprodukt ausgestattet und orientiert ist, erlaubt es dabei, gewisse dieser Räume zu identifizieren (zumindest in kartesischen Koordinaten).

Das Pendant zum Kreuzprodukt ist dann beispielsweise das Dachprodukt, eine bilineare Abbildung, die von zwei Vektorräumen zum Vektorraum der Bivektoren führt, bzw. eine, die zwei 1-Formen eine 2-Form zuordnet.--Digamma 16:13, 4. Nov. 2007 (CET)

Vielen Dank für die Ausführungen. Im Augenblick geht der Artikel nicht über die Beschreibung der Rechenregeln im R3 hinaus. Wenn andere Artikel mehr hergeben (z.B. axiale / polare Vektoren etc), sollten hier wenigstens die Links angegeben werden.

Auch in der linearen Algebra läßt sich die Defintion des Kreuzprodukts auf den RN erweitern, bzw enthält sie den R3 als Spezialfall. Aber ich befürchte, in diesem Artikel wird es immer wieder herausgelöscht werden, weil die Anschauung fehlt.

Guter Hinweis zur Lorentzkraft. Tatsächlich ist das Magnetfeld selbst ein Pseudovektor, weshalb die Kraft als Vektorprodukt eines Vektors mit einem Pseudovektor wieder ein Vektor ist . Anton 21:35, 4. Nov. 2007 (CET)

Wenn ich mal wieder Zeit finde, werde ich mich vielleicht dem Artikel etwas näher widmen. Wenn Du ihn erweitern möchtest, nur zu. Ich denke, dass zum Beispiel der Abschnitt im Artikel in der englischen Wikipedia, wo auf das Verhältnis zu Pseudovektoren hingewiesen wird, ganz gut ist und weitgehend übernommen werden kann. Ansonsten ist der Artikel noch recht chaotisch. Es gibt also viel zu tun :-) --Digamma 22:41, 4. Nov. 2007 (CET)

Der Abschnitt "Polare und axiale Vektoren im R³" ist ziemlich sinnlos: "Das Kreuzprodukt ... gibt Anlass, die Vektoren in zwei verschiedene Klassen einzuteilen,...". Wie dieser "Anlass", bzw. die Klasseneinteilung tatsächlich aussieht, wird natürlich verschwiegen. Ohne einen zusätzlichen Bezug gibt es auch keine solche Einteilung. Man kann sich z.B. auf einen Punkt beziehen, dann sind alle Ortsvektoren von diesem Punkt aus polare Vektoren. Oder man betrachtet Tangentenvektoren einer bestimmten Orientierung bezüglich einer orientierten Kurve (z.B. die "Geschwindigkeit" längs einer parametrisierten Kurve). Auch solche Vektoren sind polare Vektoren. Ein Beispiel für einen axialen Vektor ist das Kreuzprodukt aus Ortsvektor und orientiertem Tangentenvektor (die "Winkelgeschwindigkeit") längs einer orientierten Kurve. Das Kreuzprodukt spielt hier nur eine Nebenrolle. Der eigentliche "Anlass" für die Einteilung ist die Wahl der Orientierung, die man zur Berechnung des Kreuzproduktes verwendet. Inhaltlich relevant für den Artikel sind eigentlich nur die Aussagen über den Wechsel der "Signatur" (von wem wird dieser Begriff in diesem Zusammenhang eigentlich verwendet?) bei der Multiplikation mit einem polaren Vektor. -- Theowoll 16:14, 16. Feb. 2011 (CET)

Außer dem unglücklich formulierten ersten Satz (was gibt wirklich den Anlass) und dem evtl. ungebräuchlichen Begriff "Signatur" scheint mir der Absatz nicht sinnlos zu sein. Die Klasseneinteilung wird zwar nicht definiert (das ist wohl auch kaum die Aufgabe dieses Artikels), aber zumindest durch Beispiele verdeutlicht. Die Aussage, dass man für eine solche Einteilung einen zusätzlichen Bezug bräuchte, verstehe ich nicht.

Die Aussagen darunter "das Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren ist ein axialer Vektor, ..." ist doch richtig, oder? --Digamma 18:50, 16. Feb. 2011 (CET)

PS: Das Kreuzprodukt aus Ortsvektor und Tangentialvektor ergibt nicht die Winkelgeschwindigkeit, sondern, bis auf einen Faktor 1/2 die "Flächengeschwindigkeit" (aus dem 2. Keplerschengesetz), das kinematische Analogon zum Drehimpuls. --Digamma 18:50, 16. Feb. 2011 (CET)

Die naheliegende Interpretation des ersten Satzes scheint mir zu sein, dass das Kreuzprodukt eine Einteilung in axiale und polare Vektoren liefert. Das ist aber Unsinn, denn es braucht deutlich mehr um zu verstehen, wie so eine Einteilung aussieht (das habe ich mal mit zusätzlichen Bezug umschrieben und versucht, Beispiele dafür zu geben). Die Phrase "gibt Anlass" ist so dehnbar, dass man da wahrscheinlich alles hinein interpretieren kann. Damit ist die entsprechende Aussage frei von Information. Ich bevorzuge eine möglichst präzise Sprache, die einen nicht ratlos am Kopf kratzend zurück lässt. Wie ich schon andeutete, ist die Aussage über den Wechsel der "Signatur" in Ordnung (aber besser im Artikel über axiale Vektoren aufgehoben). Eine andere Frage, die dem Leser in den Sinn kommt, ist die nach dem Vektorraum. Die Begriffe "axial" und "polar" kommen aus der Physik (wie die Beispiele aus dem Abschnitt). Dort sind z.B. Ortsvektor und Geschwindigkeitsvektor keine Elemente desselben Vektorraumes, denn man kann sie nicht addieren. Aber man kann das Vektorprodukt bilden (das liefert natürlich, bis auf die Masse als Faktor, den Drehimpuls). Also muss der Begriff "Vektorprodukt" irgendwie verallgemeinert werden für Vektoren aus verschiedenen Räumen (die aber nicht ganz unabhängig voneinander sind, da man Orientierung und Orthogonalität benötigt). Solche Fragen bereiten bei der Anwendung natürlich keine Probleme, wenn man weiß, wie man mit Einheiten rechnet. Aber in diesem sonst durchgängig mathematisch gehaltenen und leicht verständlichen Artikel sind die Aussagen des diskutierten Abschnitts ziemlich unverständlich bzw. fehl am Platze. -- Theowoll 21:44, 16. Feb. 2011 (CET)

Der Abschnitt wurde von einem Physiker eingefügt, dem es offenbar wichtig war, dass das in diesem Artikel erscheint. Die Aussage über die "Signatur" (heißt das nun tatsächlich so, und wird es so definiert?) ist unter Pseudovektor sicher auch nicht fehl am Platz, aber hier meiner Meinung nach auch nicht.

Den ersten Absatz verstehe ich als Einleitung zu dieser Aussage. Deshalb kann man ihn nicht einfach streichen. Aber vielleicht umformulieren. Ich versuche mich mal daran. Vielleicht kannst du dann deine Meinung dazu sagen.

Zu dem Argument mit den verschiedenen Vektorräumen: Das Problem hat man in der Physik nicht nur bei vektoriellen Größen, sondern auch bei skalaren. Man kann auch eine Temperatur und einen Druck nicht addieren. Die Werte "leben" also auch in verschiedenen "Räumen" (in 1-dimensionalen Vektorräumen). Und bei vektoriellen Größen muss man nicht nur das Kreuzprodukt verallgemeinern auf Vektoren verschiedener Vektorräume, sondern auch das Skalarprodukt (Kraft mal Ortsänderung) und auch die skalare Multiplikation (${\vec {F}}=m{\vec {a}}$). Dasselbe gilt auch für die Multiplikation zwischen Skalaren. Ich denke, man sollte das nicht zu sehr problematisieren: mathematisch sieht man eben von der Einheit ab, dann leben Skalare einfach in $\mathbb {R}$ und (polare) Vektoren im Tangentialraum von $\mathbb {R} ^{3}$. Die Vektorräume verschiedener vektorieller Größen hängen so zusammen, dass man zumindest Richtungen identifizieren kann. Formal kann man wohl sagen, dass der eine aus dem andern hervorgeht durch das Tensorprodukt mit einem eindimensionalen Vektorraum (z.B. der Vektorraum der Kraftvektoren aus dem Vektorraum der Beschleunigungsvektoren durch das Tensorprodukt mit dem Raum der Massen). -- Digamma 21:35, 17. Feb. 2011 (CET)

Deine überarbeitete Version des Abschnitts ist (meiner Meinung nach) deutlich besser. Die Begriffe "Signatur" und "Parität" scheinen in der klassischen Physik ungebräuchlich zu sein. "Parität" konnte ich in diesem Zusammenhang nur bei A. Sommerfeld ("Vorlesungen über theoretische Physik. Band 3. Elektrodynamik", 2001, S. 284) finden: "In Gl. (2) ist nur das Quadrat des Skalarproduktes invariant, weil das Produkt aus einem polaren Vektor und einem axialen Vektor ein Pseudoskalar ist, der bei Spiegelung im Raum sein Vorzeichen ändert. Man nennt heute das Verhalten gegen räumliche Spiegelung „Parität". E•B hat die Parität —1, für (E•B)² ist sie gleich +1.". Ansonsten ist der Begriff in der Quantenmechanik üblich, wo er das Verhalten von Wellenfunktionen bei Spiegelung beschreibt. Den Begriff "Signatur" findet man selten (in der klassischen Physik konnte ich gar keinen Gebrauch finden). In S. Flügge (ed., "Encyclopedia of physics" 5-1 "Principles of quantum theory I", 1958, S. 106) benutzt W. Pauli diesen Begriff (neben "Spiegelungsmoment") für das Verhalten von Wellenfunktionen. F. Schwabl ("Quantenmechanik für Fortgeschrittene - QM II", 2000, S. 103) benutzt "Signatur" für das Verhalten von Operatoren unter Zeitumkehr. -- Theowoll 19:21, 18. Feb. 2011 (CET)

Gibt es einen anderen passenden Begriff für die Einteilung in polare und axiale Vektoren? Auf die Zahlenwerte kommt es ja hier nicht an, sondern nur darauf, dass es zwei Typen gibt. Damit man so etwas ähnliches schreiben kann, wie bisher da steht: "Bei der vektoriellen Multiplikation mit einem polaren Vektor ${\vec {b}}$ wechseln Vektoren ihre ...".

Die Alternative wäre, wie im Artikel Pseudovektor einfach die Fälle aufzuzählen: "Das Kreuzprodukt zweier polarer oder zweier axialer Vektoren ist ein Axialvektor. Das Kreuzprodukt aus einem polaren und einem axialen Vektor ist ein Polarvektor."

Dazu eine neugierige Frage: Wo kommt überhaupt das Kreuzprodukt zweier axialer Vektoren vor? -- Digamma 21:42, 18. Feb. 2011 (CET)

Determinantenschreibweise

Warum wird das Kreuzprodukt oft in Form einer Determinante, die Vektoren enthält, geschrieben? --88.78.241.29 15:40, 2. Mai 2008 (CEST)

Das Kreuzprodukt, wird Als reine Merkhilfe so geschrieben. Mathematisch ist es flasch (klar schon mal ne matrix mit Vektoren und Skalaren gesehen deren Determinate berechnet werden konnte(abgeshen davon ist sie nicht wirklich quadratisch)): aber es ist eine gute Merkhilfe, da man entweder mit Entwicklung nach der 1 Spalte oder mit der Leibnitzformel hier relativ schnell, das Kreuzprodukt rechnen kann. Aber vieleicht sollte man dazu schreiben das dies eine Merkregel ist und das man niemals versuchen sollte diese Determinate tazächlich zu bestimmen.--213.47.44.204 00:18, 4. Jun. 2009 (CEST)

Betragsstriche

$|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=\left|{\vec {a}}\right|\,\left|{\vec {b}}\right|\,\sin \theta \,{\vec {n}}\,.$

Bitte *genau* hinsehen. Mit den Betragstrichen auf der linken Seite gilt das auf keinen Fall, denn dann wäre eine reelle Zahl gleich einem Vektor. Ich hab das zwar auch zuerst übersehen, aber das ${\vec {n}}$ ist da wohl wichtig. Sollte ich etwas übersehen haben, bitte erklären. Danke. -- Der Hâkawâti ✉ 17:35, 9. Mai 2009 (CEST)

Ja du hast recht, die Norm des Vektors wäre sicherlich richtiger, aber wenn man den Betrag des Vektors als Länge versteht oder beziehungsweise definiert könnte man es so durch gehen lassen. und außerdem finde ich es so ganz okay trotz klarer Falschheit ist gibt irgendwie den zusammenhang zwischen dem Kreuzprodukt und der Fläche eines Parallelogramms wieder,. Aber klar es ist Falsch. Besser Wäre: Die Länge des Vektors ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\,\left|{\vec {b}}\right|\,\sin \theta \,$ oder sowas in der Art--213.47.44.204 00:18, 4. Jun. 2009 (CEST)

Betrag des Kreuzprodukts

Im Artikel Spatprodukt (Abschnitt Geometrische Herleitung), der auf diesen Artikel verweist, wird benutzt, dass der Betrag des Kreuzprodukts die Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist, was hier zwar mittels

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left(\left|{\vec {a}}\right|\,\left|{\vec {b}}\right|\,\sin \theta \right)\,{\vec {n}}\,$

implizit erwähnt, aber nicht bewiesen wird. Sollte der Beweis (bzw. überhaupt die explizite Behauptung) nicht mit in diesem Artikel vorkommen?

Stefan Uhlemann 19:23, 30. Nov. 2009 (CET)

In einem Lexikon sollten Beweise nur ausnahmsweise vorgeführt werden, wenn der Beweis besonders wichtig ist.---<(kmk)>- 02:30, 2. Apr. 2010 (CEST)

Wenn jemand Muße hat, kann er natürlich gerne einen Beweis ins Beweisarchiv einstellen. --Tolentino 10:57, 2. Apr. 2010 (CEST)

$\sin ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta =1-\left({\frac {{\vec {a}}{\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right)^{2}$ in $\left|{\vec {a}}\right|\,\left|{\vec {b}}\right|\,\sin \theta$ einsetzen, ergibt: ${\sqrt {{\vec {a}}^{2}{\vec {b}}^{2}-\left({\vec {a}}{\vec {b}}\right)^{2}}}$ Durchgerechnet stimmt dies mit dem Betrag des Kreuzproduktes überein. Was jetzt noch fehlt ist der Beweis, dass das Kreuzprodukt den Normalvektor ergibt.--193.110.129.66 14:07, 31. Jul. 2011 (CEST)

Schreibweise mit Levi-Chivita-Symbol

Alternativ zu der Komponentenschreibweise könnte man auch noch eine weitere Schreibweise mit dem Levi-Chivita Symbol angeben: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\vec {e_{k}}}$ -- Malte 18:13, 11. Dez. 2009 (CET) (ohne Benutzername signierter Beitrag von Malte84 (Diskussion | Beiträge) )

Jupp. Der totalantisymmetrische Tensor dritter Stufe sollte auf jeden Fall rein, denn das ist Stoff der Grundvorlesungen Physik.---<(kmk)>- 02:28, 2. Apr. 2010 (CEST)

Lagrange-Identität

Ich habe noch Betragsstriche um "sin(theta)" gesetzt - wenn auf der linken Seite ein positiver Ausdruck steht, muss der rechte Ausdruck auch positiv sein -- Walterh60 19:56, 6. Jul. 2010 (CEST)

Der ist automatisch positiv, da $\theta$ zwischen 0° und 180° liegt. -- Digamma 22:52, 6. Jul. 2010 (CEST)

Es sollte aber dann schon zur Definition des Kreuzprodukts hinzugefügt werden, dass $\theta$ zwischen 0° und 180° zu wählen ist.-- Walterh60 20:44, 7. Jul. 2010 (CEST)

Doppeltes Kreuzprodukt: Graßmann-Identität

Mir ist, wie vermutlich vielen, die es nicht schon von vornherein wissen, nicht klar, was die Bedingung "drei Vektoren, deren Komponenten kommutieren" bedeutet. Diese Bedingung taucht auch weiter unten bei Jacobi-Identität auf. Der Artikel "Kommutator (Mathematik)" ist hier keine Hilfe. (nicht signierter Beitrag von 92.224.212.178 (Diskussion) 08:52, 23. Okt. 2010 (CEST))

Ich habe den Satz mal herausgenommen. Im Artikel geht es eigentlich nur um Vektoren im $\mathbb {R} ^{3}$. Die Komponenten sind also reelle Zahlen und für diese gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: $ab=ba$.

Man kann das Konzept des Vektors auch insofern verallgemeinern, dass die Einträge andere mathematische Objekte sind, z.B. Funktionen, Matrizen oder Operatoren. In diesem Fall gilt die Graßmann-Identität nur dann, wenn für die beteiligten Einträge das Kommutativgesetz gilt. Das wollte uns der Autor sagen.

Zum Beispiel gilt die Graßmann-Identität nicht, wenn einer der beiteiligten "Vektoren" der Nabla-Operator ist, denn dessen Komponenten ${\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}},{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}}$ sind Differentialoperatoren und das "Produkt" ist die Anwendung des Differentialoperators auf eine Funktion. Hierfür gilt das Kommutativgesetz nicht: ${\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}}f$ ist die partielle Ableitung von $f$, das Ergebnis ist eine Funktion. Hingegen ist $f{\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}}$ ein Differentialoperator, nämlich einfach nur das Produkt aus $f$ und ${\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}}$. -- Digamma 14:48, 23. Okt. 2010 (CEST)

Zwei Komponenten

Wies mit zwei Vektorkomponenten funktioniert interessiert auch jeden zweiten Studenten. (nicht signierter Beitrag von 77.58.105.53 (Diskussion) 00:20, 13. Jan. 2011 (CET))

Meinst Du 2-dimensionale Vektoren? Da gibt es kein Kreuzprodukt. Das Kreuzprodukt gibt es nur für zwei Vektoren im 3-dimensionalen Raum. -- Digamma 06:41, 13. Jan. 2011 (CET)

Das ist nicht ganz richtig (z.B. siehe Spivak: Calculus on Manifolds). Es gibt ein "Kreuzprodukt" als Abbildung

$\times :(K^{n})^{n-1}\rightarrow K^{n}$.

Es benötigt also $n-1$ Vektoren des $\mathbb {R} ^{n}$ und erzeugt aus denen einen Vektor im $\mathbb {R} ^{n}$. In 2 Dimensionen benötigt man also nur einen Eingangsvektor, und das "Kreuzprodukt" von $(a,b)$ ist $(-b,a)$.

Den Kreuzprodukten ist gemeinsam, dass der Ergebnisvektor senkrecht (im Standardskalarprodukt) auf allen Eingangsvektoren steht und dass das Kreuzprodukt der ersten $n-1$ Einheitsvektoren den $n$-ten Einheitsvektor ergibt. Außerdem ist das Kreuzprodukt multilinear. Man beachte, dass die Reihenfolge der Eingangsvektoren natürlich relevant ist, weil das Kreuzprodukt alternierend (und insbesondere nicht kommutativ) ist. --Tolentino 08:04, 13. Jan. 2011 (CET)

Danke. Das weiß ich alles, ich habe den entsprechenden Abschnitt im Artikel selbst geschrieben. :-) Das war nur die schnelle Pauschal-Antwort. Möglicherweise meint der Fragestellung auch eine Funktion, die zwei Vektoren den Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Parallelogramms zuordnet, also die Determinante. -- Digamma 13:57, 13. Jan. 2011 (CET)

PS: Kann es sein, dass es zwei Konventionen für das Vorzeichen gibt, die in ungerader Dimension übereinstimmen? Die mir bekannte Konvention, die im Artikel steht, liefert in 2D das umgekehrte Vorzeichen. -- Digamma 14:02, 13. Jan. 2011 (CET)

Hm, ich würde naheliegenderweise das Kreuzprodukt so definieren, dass $\times (e_{1},\ldots ,e_{n-1})=e_{n}$ ist, aber ich will gar nicht ausschließen, dass man andere Autoren noch einen alternierenden Faktor $(-1)^{n+1}$ zum $e_{n}$ dazupacken. Das ist letztlich doch alles nur Geschmackssache. --Tolentino 21:27, 13. Jan. 2011 (CET)

Regel von Sarrus

Hallo Digamma, da Du gerade das Bildchen mit der Regel von Sarrus wieder aus dem Kreuzprodukt geschmissen hast: Wäre es nicht besser, das Bild doch drin zu lassen? Ich gehe einfach vom unbeleckten Leser aus, der, so wie es jetzt dasteht, erstmal grübeln muss, wie wohl diese seltsamen Kombinationen von Indizes zustandekommen... Will sagen, wer dieses Diagonalschema einmal verinnerlicht hat, für den sind das sicherlich "peanuts", für den Anfänger dagegen... Oder noch anders: Wenn ich meinen verschiedenen Schülern viermal am Tag dasselbe zu 'nem bestimmten Mathe-Thema erkläre, versuche ich dabei nie vergessen, dass die das wahrscheinlich zum allerersten Mal hören, und dann auch nur 45 Minuten lang, ich dagegen zum x-ten Mal, und dann auch noch viermal so oft wie sie. Will sagen: Kein Wunder, dass sie in der kurzen Zeit da oft irgendwas nicht kapieren, das für mich inzwischen selbstverständlich ist. Weshalb ich mich auch immer wieder darum bemühe, mich bei der Stoffvermittlung nicht allzuweit von der "Froschperspektive" zu entfernen und mir dabei jede "Eselsbrücke", jedes zusätzliche Bildchen legitim erscheint, wenn es nur das Verständnis erleichtert. Wenn's dann einmal "klick" gemacht hat, klar, ist eine Formel meist das Elegantere, doch bis dahin... Na ja, das wollte ich nur sagen. Weil im Moment, wer die Berechnungsvorschrift nachvollziehen will, sie wohl oder übel doch wieder in das Sarrus-Schema "zurückübersetzen" muss, und da wäre es ja deutlich bequemer, wenn das auch gleich dastünde, oder? --Qniemiec 23:02, 8. Mai 2011 (CEST)

Bei Regel von Sarrus finde ich das Bild ja auch angebracht. Hier macht die Merkregel aber sowieso nur für diejenigen Sinn, die Determinanten schon berechnen können. Alle andern merken sich besser direkt die Formel für das Kreuzprodukt, bzw. ein Rechenschema dafür. (Das könnte man darstellen). Wenn man es mit Hilfe dieser "symbolischen" Determinante berechnet, dann sollte man meiner Meinung nach den Laplaceschen Entwicklungssatz benutzen und nicht Sarrus.

Ansonsten: Wikipedia ist ein Nachschlagewerk, kein Lehrbuch. Da muss man sich als Leser eben Zeit nehmen und gegebenfalls einen Absatz mehrmals lesen. -- Digamma 12:56, 9. Mai 2011 (CEST)

Merkregel für Graßmann Identität

Ich habe als weitere Merkregel für die Graßmann Identität "Backup", wie "bac-cab" angegeben. Ich finde, dass es eine schöne Merkregel ist und irgendwer hat's gelöscht als "Privattheorie". Das finde ich gemein. Ich meine, es ist doch eine schöne Merkregel, oder? Was meint ihr dazu? (nicht signierter Beitrag von Xor (Diskussion | Beiträge) 00:44, 8. Sep. 2006 (CEST))

schreib die Regel doch bitte nochmal hierher (hab keine Lust/Zeit) zum suchen. (nicht signierter Beitrag von 89.57.28.7 (Diskussion | Beiträge) 08:10, 11. Nov. 2006 (CET))

Siehe Wikipedia:Theoriefindung. --P. Birken 10:46, 11. Nov. 2006 (CET)

Verallgemeinerung auf n-Dimensionen

Erst man vielen Dank an Tolentino für die Überarbeitung.

Ein paar Anmerkungen: 1. Auf einem beliebigen $n$-dimensionalen euklidischen Vektorraum gibt es keine Determinante. Dafür sollte man sich evtl. auf $K^{n}$ beschränken. Will man das nicht, dann muss man eine Orientierung einführen und eine Determinantenform, die auf einer positiv orientierten ONB den Wert 1 annimmt. (Man kann die Orientierung natürlich durch eine Determinantenform definieren.)

2. Für n=3 macht das keinen Unterschied, aber dann, wenn n gerade ist:

(1) $\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n-1},w)$

ist dann nicht dasselbe wie

(2) $\det(w,v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n-1})$

Du definierst das Kreuzprodukt mittels (1), die Berechnung mittels formaler Determinante entspricht aber (2). Ich weiß im Moment nicht, welche der zwei Definitionen die übliche ist. Für ungerade Dimension macht es keinen Unterschied, bei gerader Dimension ändert sich aber das Vorzeichen.

3. Man sollte vielleicht noch eine explizite Darstellung der Komponenten angeben, mittels Unterdeterminanten, in dem man die Entwicklung nach der ersten Spalte ausführt. Damit ist auch denen gedient, denen die formale Determinante zu suspekt ist. Wenn ich Zeit finde, kann ich das heute abend oder über das Wochenende auch selbst machen. --Digamma 09:02, 16. Nov. 2007 (CET)

Huups, Schande über mein Haupt... Ist vermutlich noch zu früh für mich. Die hier angegebene Definition stammt aus Spivak: Calculus on Manifolds, p.83-84, Addison-Wesley, aber mit der Orientierung hab ich das echt verpeilt... --Tolentino 09:14, 16. Nov. 2007 (CET)

So, ich hab jetzt provisorisch die beiden Varianten zueinander passend eingebaut. Jetzt muss man nur noch schauen, welche der beiden Versionen die "üblichere" ist. Mit der Orientierung ist das nicht so dramatisch, wenn man eine Determinante (gibts nicht nur in $\mathbb {R} ^{n}$) als fest gewählt vorgegeben sieht - dadurch ist ja implizit die Orientierung vorgegeben. Ich vermute nur, dass an dieser Stelle die Erwähnung der Orientierung den Sachverhalt eher verdunkelt, so dass die Angabe der festen Determinante wohl ausreicht. --Tolentino 09:35, 16. Nov. 2007 (CET)

So, ist an sich klar: Das Kreuzprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$ mit Standardskalarprodukt und Standarddeterminante sollte wohl $e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}$ und nicht $-e_{n}$ liefern, und dann muss der "Vektor" $E$ in die letzte Spalte. Diese Version sollte nun die standardmäßige sein! --Tolentino 11:49, 16. Nov. 2007 (CET)

Warum ist das Kreuzprodukt über R^n nur noch ein Skalar? Das gilt nicht für R^3, hier ist irgendwas faul. (nicht signierter Beitrag von 84.74.110.52 (Diskussion | Beiträge) 01:48, 2. Apr. 2010 (CEST))

Ist die "Determinante" gemeint? Die Einträge e_1, e_2 ... e_n sind schon Vektoren, und so kommt da auch ein Vektor bei raus. Und weil man Vektoren so eigentlich nicht in Matrizen schreiben kann, heißen sie "symbolische" Matrix bzw. Determinante. --91.8.216.167 18:39, 2. Aug. 2011 (CEST)

Logisch fände ich, wenn das Kreuzprodukt über die ersten (n-1) kanonischen Einheitsvektoren gerade den n-ten ergäbe. Nach der Definition im Artikel ist das nicht (immer) so, da bei geraden n Linkssysteme entstehen (siehe Drehung im R^2). Alternativ ginge ein Korrekturfaktor (-1)^(n-1) oder so vor der Determinante. --79.243.250.104 17:39, 25. Mai 2011 (CEST)

Ich habe leider keine Quelle für die im Artikel angegebene Orientierung. Aber meines Wissens passt sie zur üblichen Orientierung des Rands eines berandeten Gebiets. Das Kreuzprodukt ist so gemacht, dass das Kreuzprodukt einer positiv orientierten Basis des Tangentialraums des Rands eines berandeten Gebiets dieselbe Richtung hat wie ein nach außen weisender Normalenvektor. -- Digamma 18:48, 25. Mai 2011 (CEST)

Und welche praktischen Vorzüge hat diese Definition gegenüber der anderen? Ich meine, wenn man einfach so mal Linkssysteme als "richtig" definiert, kann man das 2D-Koordinatensystem auch gleich spiegelverkehrt hinzeichnen;-) Ist nicht die andere Definition praktischer? Dann könnte man z.B. auch ein erweitertes Spatprodukt definieren, dass einem ohne Verwirrung in jedem R^n (n>1) verrät, ob die Vektoren ein Rechts- oder Linkssystem aufspannen (Vorzeichen). --91.8.225.222 18:07, 3. Aug. 2011 (CEST)

Die Definition mit den abwechselnden Links- und Rechtssystemen, d.h. mit den Einheitsvektoren in der ersten Spalte der Determinante, ist allem Anschein nach die standardmäßige, wenn auch inkonsistentere. Das ist wohl so wie bei den Kugelkoordinaten - statt den Winkel Theta aus der x/y-Ebene herauslaufen zu lassen, was auch konsistent mit den geographischen Koordinaten auf der Erde wäre, hat irgendwer ihn halt anders definiert und die restliche Welt hat das dann so übernommen. Wäre doch viel zu langweilig, wenn alle mathematischen Konventionen konsistent miteinander wären - wenn man nicht immer aufpassen müsste, um nicht arcsin(x) mit 1/sin(x) oder den Vektor (5, 2) mit dem Binomialkoeffizienten 5!/(2!*3!) zu verwechseln ;-) --79.243.242.115 16:53, 27. Dez. 2011 (CET)

Doppelt mit Nabla

${\begin{aligned}\mathbf {A} \times \left(\nabla \times \mathbf {C} \right)&=\nabla _{\mathbf {C} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {C} \\&=(\nabla \mathbf {C} )\cdot \mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {C} \\&=(\operatorname {grad} \,\mathbf {C} )\cdot \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot \operatorname {grad} \,\mathbf {C} \end{aligned}}$

Das wäre doch 0, was wird da bitte gemacht? Bis zum zweiten = macht es ja Sinn. --Chricho ¹ 20:21, 6. Dez. 2011 (CET)

Muss heißen $(\mathbf {A} \cdot \operatorname {grad} )\mathbf {C}$ (habe ich geändert). Die Schreibweise finde ich allerdings seltsam. Mir ist jedenfalls $\operatorname {grad}$ und $\operatorname {div}$ als Ersatz für $\nabla$ in solchen Formeln nicht geläufig. Zum Beipiel sieht $(\operatorname {div} \cdot \operatorname {grad} )\mathbf {C}$ sehr fragwürdig aus. (Dagegen ist $\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {C} )$ okay.) Wenn das keine verbreitete Notation ist, sollte es ganz entfernt werden. -- Theowoll 22:05, 6. Dez. 2011 (CET)

Ah, ich verstehe. Naja, die Notation ist in jedem Fall Verwirrend, das Nabla macht deutlich, dass man hier symbolisch die Operatoren zusammenklebt werden, grad und div zu Multiplizieren ist mir ebenfalls nicht geläufig, ich mach es mal weg. --Chricho ¹ 17:44, 7. Dez. 2011 (CET)

Insbesondere habe ich grad auch noch nicht als Symbol für die Jacobi-Matrix gesehen, diese Doppelverwendung machts nicht besser. --Chricho ¹ 17:50, 7. Dez. 2011 (CET)

Ich bin jetzt verwirrt, ich rechne das mal nach. --Chricho ¹ 18:06, 7. Dez. 2011 (CET)

Neuer Vorschlag: $\mathbf {A} (\nabla \mathbf {C} )-(\nabla \mathbf {C} )\mathbf {A}$ So ist die Notation eindeutig und so habe ich es nachgerechnet, kann das jemand verifizieren? --Chricho ¹ 18:20, 7. Dez. 2011 (CET)

Gehört das überhaupt hier in diesen Artikel oder nicht eher in einen Artikel zur Vektoranalysis? Allenfalls sollte man hier erwähnen, dass die normalen Rechenregeln für das Kreuzprodukt nicht gelten für Ausdrücke mit dem Nabla-Operator, weil dies kein üblicher Vektor, sondern ein Differentialoperator ist. --Digamma 21:05, 11. Dez. 2011 (CET)

Ja ich habe mich auch schon gefragt, ob der Abschnitt hier überhaupt hingehört. Er passt halt recht gut zur Graßmann-Identität, aber eigentlich nicht zum Thema Kreuzprodukt. Abgesehen davon finde auch ich es schwer die Formeln nachzuvollziehen, weil man an vielen Stellen raten muss, wie das nun genau gemeint ist. --Christian1985 (Diskussion) 22:56, 11. Dez. 2011 (CET)

Graßmann-Identität für Vektorfelder

Ich glaube, dass der Absatz

Die Identität lässt sich auch für Vektorfelder, wie der Nabla-Operator ∇ beispielsweise eines ist, verallgemeinern. Seien $\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} \colon D\to \mathbb {R} ^{3}$ Vektorfelder, die zur Unterscheidung von den Vektoren großgeschrieben werden, dann gilt die Identität

$\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\mathbf {B} \,\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)-\mathbf {C} \,\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)\,.$

Mit $\cdot$ wird hier wieder das Standardskalarprodukt bezeichnet und $\mathbf {B} \,\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)$ meint, dass das Vektorfeld $\mathbf {B}$ auf die skalare Funktion $\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)$ angewandt wird. Im Abschnitt Doppeltes Kreuzprodukt mit Nabla-Operatoren werden einige Beispiele mit dem Nabla-Operator und der (verallgemeinerten) Graßmann-Identität aufgeführt. Aufgrund seiner Aussage wird die Graßmann-Identität auch BAC-CAB-Formel, genannt.

falsch ist. Die Graßmann-Identität gilt für Vektorfelder punktweise, d.h. Skalarprodukt und Kreuzprodukt werden an jeder Stelle für die entsprechenden Vektoren genommen. Das Produkt auf der rechten Seite vor der Klammer ist die skalare Multiplikation des Vektors mit einer Zahl. Es ist nicht die Anwendung des Vektorfelds auf die dahinter stehende Funktion im Sinne einer Richtungs-Ableitung gemeint. --Digamma 13:39, 16. Dez. 2011 (CET)

Ohje ich habe da nur versucht den vorhandenen Abschnitt verständlicher zu gestalten. Eine Quelle habe ich leider nicht. Es kann durchaus sein, dass auch dadurch Fehler entstanden sind.--Christian1985 (Diskussion) 18:01, 18. Dez. 2011 (CET)

Ich denke, ich werde den gesamten Teil über Kreuzprodukte bei Vektorfeldern löschen und es dabei belassen, zu warnen, dass die Rechenregeln nicht für den Nabla-Operator gelten und dafür auf den Artikel Nabla-Operator verweisen. --Digamma 19:08, 18. Dez. 2011 (CET)

Betragsstriche für Sinus

Wenn man die Länge des Vektorprodukts mit dem Sinus hinschreibt, muss der Sinus in Betragsstriche, denn der kann negativ sein. (nicht signierter Beitrag von 94.229.157.121 (Diskussion) 19:14, 11. Apr. 2013 (CEST))

Der Winkel zwischen zwei Vektoren liegt per Definitionem im Intervall $[0,\pi ]$ (d.h [0°,180°]). In diesem Intervall sind die Werte des Sinus größer gleich 0. --Digamma (Diskussion) 22:43, 11. Apr. 2013 (CEST)

Lie-Algebra

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kreuzprodukt&diff=55481420&oldid=55463801

IMHO ist $\mathbb {R} ^{3}$ schon richtig. Ist etwas verwirrend, Ich wollte das, wie der Abschnitt dazugekommen ist auch schon ändern, habs aber noch rechtzeitig gemerkt. Das 'K' von K-Vektorraum bezieht sich auf die Menge der Skalare, nicht auf die Menge der Vektoren. So gibt es auch einen $\mathbb {R}$-Vektorraum $\mathbb {C} ^{3}$. Da das Kreuzprodukt AFAIK aber nur auf $\mathbb {R} ^{3}$ definiert ist, kann $\mathbb {K} ^{3}$ nicht stimmen. -- Der Hâkawâti ✉ 15:21, 18. Jan. 2009 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 21:06, 9. Apr. 2014 (CEST)

Determinante

Sollte nicht noch dieser Zusammenhang rein?

det(a,b,c)=(a x b).c

So wurde das Kreuzprodukt bei uns in der Vorlesung sogar definiert, hier fehlt dieser Zusammenhang aber gänzlich. --131.188.24.20 10:52, 27. Jan. 2010 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 21:06, 9. Apr. 2014 (CEST)

Kreuzproduktmatrix

Ich habe die Änderung zurückgesetzt, weil:

1. Das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor ist kein Skalarprodukt, sondern ein Matrizenprodukt.
2. Die Schreibweise der Matrix ist völlig unüblich
3. Vektoren sollten so geschrieben werden wie im Rest des Artikels.

Eine inhaltliche Anmerkung: Die Abbildung ${\vec {b}}\mapsto {\vec {a}}\times {\vec {b}}$ ist eine lineare Abbildung, weil das Kreuzprodukt selbst bilinear ist. Wie jede lineare Abbildung im $\mathbb {R} ^{3}$ besitzt sie eine Darstellungsmatrix. Das ist die beschriebene "Kreuzproduktmatrix". Der Sachverhalt ist also ziemlich offensichtlich, die Frage ist, welche Relevanz er besitzt. --Digamma 19:21, 10. Mai 2010 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 21:07, 9. Apr. 2014 (CEST)

Nabla

Gehört das Zeug mit dem Nabla-Operator wirklich hierher? Sollte man das nicht eher irgendwo in der Vektoranalysis unterbringen? Mich stört z.B. auch, dass die Vektoren hier fett und groß geschrieben werden. Wenn man schon die Rechenregeln für Kreuzprodukte mit dem Nabla-Operator aufnimmt, dann sollte man diese symbolische (!) Schreibweise für die Rotation zuerst erklären. --Digamma 20:00, 10. Mai 2010 (CEST)

Mit der Änderung vom 18.12.2011 erledigt.

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Digamma (Diskussion) 21:38, 9. Apr. 2014 (CEST)

Orientierung

Hier werden zwei Dinge vermischt.

1. Dass das Tripel (a, b, a \times b) dieselbe Orientierung hat wie das Tripel der kanonischen Einheitsvektoren (e_x, e_y, e_z). Dies gilt im mathematischen Modellraum R^3.

2. Dass im Anschauungsraum (d.h. in der mathematischen Idealisierung des realen physikalischen Rraum, also des Raums, in dem wir uns bewegen und unsere Hände benutze können) kartesische Koordinaten so gewählt werden, dass die Koordinatenrichtungen der 3-Finger-Regel der rechten Hand gehorchen.

--Digamma 01:35, 3. Nov. 2007 (CET)

Endlich erledigt. --Digamma (Diskussion) 21:39, 29. Aug. 2016 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Digamma (Diskussion) 21:39, 29. Aug. 2016 (CEST)