Diskussion:Lie-Algebren-Kohomologie

Dual?

Nicht dass ich viel davon verstehe, aber müssen bei $d_{k}:\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}\rightarrow \Lambda ^{k+1}{\mathfrak {g}}$ nicht noch Sternchen an die g's, damit es zusammenpasst? -- HilberTraum (Diskussion) 20:26, 19. Mär. 2013 (CET) Ist korrigiert. --Suhagja (Diskussion) 03:20, 20. Mär. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Suhagja (Diskussion) 03:20, 20. Mär. 2013 (CET)

Oben haben sowoh $\Lambda$ als auch ${\mathfrak {g}}$ einen Stern. Ist das wirklich richtig? Wenn die $g_{i}$ aus dem Dualraum stammen, wie ist dann da die Lie-Klammer auf dem Dualraum definiert? --Chricho ¹ ² ³ 15:59, 25. Mär. 2013 (CET)

Das ist nun einmal die in der Literatur übliche Definition, weshalb wir dabei bleiben sollten, auch wenn es zuggbnweise verwirrend ist. Das Stern beim Lambda ist einfach nur ein Platzhalter fur den Index (die Dimension). Wirklich verwirrend ist aber, dass man das Differential natuerlich eigentlich auf $Hom(\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}},\mathbb {R} )$ definiert, was aber auf kanonische Weise zu $\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}^{*}$ isomorph ist. (Und in der Literatur wird letztere Schreibweise verwendet, weil man so auch die Algebra-Struktur nutzen kann, wahrend man die Hom-Gruppe eben zur Definition des Differentials braucht.) Ich werde mal versuchen, das im Text klarzustellen. --Suhagja (Diskussion) 07:14, 26. Mär. 2013 (CET) So, ich hoffe, jetzt ist es besser. Für den Isomorphismus $Hom(\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}},\mathbb {R} )=\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}^{*}$ finde ich keinen passenden Interwikilink, aber er ist ja eigentlich recht offensichtlich. --Suhagja (Diskussion) 07:21, 26. Mär. 2013 (CET) Das Gleichheitszeichen war schon beabsichtigt, weil es sich ja um einen kanonischen Isomorphismus handelt.--Suhagja (Diskussion)|

Apropos Literatur: Hier fehlen noch Quellenangaben ... -- HilberTraum (Diskussion) 09:34, 26. Mär. 2013 (CET) Ist eingefügt.--Suhagja (Diskussion) 11:44, 26. Mär. 2013 (CET)

Dass es egal ist, ob man den Stern innen oder außen schreibt, dürfte wohl jedem klar sein, der schonmal ein Tensorprodukt/eine Graßmann-Algebra in die Hand genommen hat. Aber muss es wirklich $\Lambda ^{*}$ sein? Wie wäre es mit $\Lambda ^{\bullet }$? So kenne ich das gelegentlich mit (Ko-)Homologien etc. --Chricho ¹ ² ³ 12:18, 26. Mär. 2013 (CET)

Ich habe die Notationen jetzt denen aus Kettenkomplex und Graßmann-Algebra angepaßt. Ist sicher sinnvoll, einheitliche Bezeichnungen zu verwenden.--Suhagja (Diskussion) 14:09, 26. Mär. 2013 (CET)