Diskussion:Linearer Operator

ohne Titel

Ich bitte um Rechtfertigung warum ein "linearer Operator" unbedingt stetig sein muß (und andere Eigenschaften). Das verkompliziert so einiges, z.B. wenn man zeigen will, daß ein beschränkter Operator, welcher linear ist, auch stetig ist.

(Ziemlich komisch, daß ein Operator welcher linear ist, nicht unbedingt ein linearer Operator ist...)

Ich mußte ich gerade auf Beschränktheit einen Paragraphen korrigieren, in welchem der Autor dies erwähnt, aber sicher nicht an die hier vorhandene Definition gedacht hat.

In fast allen Theoremen bzgl. linearer Operatoren (z.B. Hille-Yoshida, etc) wird z.b. auch die "dichte Definitionsmenge" explizit erwähnt, sodaß ich auch dies aus der Definition aussparen würde.

Warum nicht "(minimale Definition) + In den meisten Fällen werden (lin.Op.) auch (stetig,....) angenommen, da (...Rechtfertigung...)".

Ich finde, es ist ein Zeichen von ziemlich großer Unhöflichkeit, wenn man allen Anderen etwas "aufzwingt", nur weil es einem selbst (in seinem beschränkten(!) Arbeitsgebiet) praktisch erscheint, und man (derzeit(!)) nicht glaubt, daß eine etwas allgemeinere Definition nützlich sein könnte.

MFH 01:21, 20. Apr 2005 (CEST)

Sorry, aber das ist seit drei Minuten schon geändert :-) -- Gunther 01:27, 20. Apr 2005 (CEST)

(*Staun*) Das ging aber schnell! (Nach über 2 Monaten ohne Änderung scheint mir doch eine Kausalität nahezuliegen, aber... mit Überlichtgeschwindigkeit???) MFH 01:48, 20. Apr 2005 (CEST)

Ich hatte Deine Änderung auf Beschränktheit gesehen und war auch zu dem Schluss gekommen, dass das hier und nicht dort geändert gehört.-- Gunther 01:50, 20. Apr 2005 (CEST)

Die Definition f"ur Operator fehlt leider. Welche ist hier die Richtige? Und: sagt man nicht ein Operator von A nach B (statt in), so wie man das auch f"ur alle anderen Abbildungen tut? --ip_adresse

Erledigt. -- Digamma 17:44, 12. Okt. 2010 (CEST)

Beschränkte lineare Operatoren

Die Äquivalenz von Beschränktheit und Stetigkeit ist etwas missverständlich formuliert, da schon vorrausgesetzt wird, daß T in L(V,W) liegt, also nach Definition beschränkt ist, was doch eigentlich Teil der Äquivalenz ist...--SnowIsWhite 14:56, 25. Jun. 2010 (CEST)

Stimmt. Korrigiert.--LutzL 16:51, 25. Jun. 2010 (CEST)

Ableitung und Integral

Beim Ableitungsoperator sollten die beteiligten Vektorräume angegeben werden.

Der Integraloperator ist nicht wohldefiniert, da das unbestimmte Integral nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist. Auch hier fehlt die Angabe der Funktionenräume. -- Digamma 17:42, 12. Okt. 2010 (CEST)

Den Operator, der einer Funktion ihre Stammfunktion zuordnet, gibt es noch immer nicht. -- Digamma 21:35, 17. Mär. 2011 (CET)

Stimmt. Aber bei festgelegter Integrationskonstante (operatoranwendungsübergreifend) ist jeder so entstehende Operator wohldefiniert und linear.

Zu den Funktionenräumen: Nun, ist es nicht so, dass die Linearität zumindest beim Differentialoperator (bzw. bei ihnen allen, denn es gibt ja räumeabhängig ziemlich viele) unabhängig von den Räumen gilt? Bzw. ist Linearität nicht ein entscheidendes Element der Definition ist, was Differenzieren sein soll? --Daniel5Ko 22:51, 17. Mär. 2011 (CET)

Ich habe nun ein bestimmtes Integral daraus gemacht. Mit unbestimmten kann ich mich eh nicht anfreunden. Daniel5Ko Deine Frage verstehe ich nicht so ganz? Mir fällt kein Beispiel ein, bei dem durch den Wechsel, des Definitionsbereichs die Linearität verloren geht. --Christian1985 (Diskussion) 23:45, 17. Mär. 2011 (CET)

Äh, mir auch nicht. Hab' ich mich komisch ausgedrückt? Hast du dich verparst? Darum geht's ja gerade: Angabe der Funktionenräume ist unnötig, weil alle Differentialoperatoren (nahezu direkt per Definition) linear sind. --Daniel5Ko 00:36, 18. Mär. 2011 (CET)

Und noch 'was: Die Wiedereinführung von ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ ist total schlecht. Was ist denn $x$? Wen interessiert, wie die Funktionen ihre Argumente benennen? $x\mapsto \sin(x)+\tan(2x)$ ist die selbe Funktion wie $y\mapsto \sin(y)+\tan(2y)$. --Daniel5Ko 00:49, 18. Mär. 2011 (CET)

Hm.. ja okey, Du kannst das gerne wieder so abändern wie Du es für besser hälst, mein Herz hängt nicht dran. Bezüglich der Differentialoperatoren, es gibt aber natürlich auch nicht lineare Differentialoperatoren. :) Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 01:03, 18. Mär. 2011 (CET)

@Daniel: Vielleicht bin ich zu pingelig. Aber für mich macht es keinen Sinn, von linearen Abbildungen zu sprechen, wenn man die beteiligten Vektorräume nicht angibt. -- Digamma 21:26, 19. Mär. 2011 (CET)

Ist ja ganz richtig. Aber "der" genannte Operator sind eigentlich unendlich viele verschiedene, wenn man jeweils die konkreten Räume angibt. (Siehe z.B. das D in Michael Spivak: Calculus on Manifolds, um S. 31) Und sinnvoll vereinigen kann man die Räume, soweit ich sehe, auch nicht.

Ach, und noch was: Damit eine Abbildung linear ist, muss man nicht Quell- und Ziel-Vektorraum angeben können, sondern lediglich nachweisen können, dass sie ein Vektorraumhomomorphismus ist. Geeignete Quantorennutzung dürfte hier zum Ziel führen. --Daniel5Ko 02:38, 20. Mär. 2011 (CET)

Damit sie ein Vektorraumhomomorphismus ist, muss sie von einem Vektorraum in einen Vektorraum führen :) Aber lassen wir das. -- Digamma 11:19, 20. Mär. 2011 (CET)

Orthogonale Projektion und Norm

Fehler: Orthogonale Projektion kann auch Operatornorm 0 haben, ändere das (nicht signierter Beitrag von 91.66.109.107 (Diskussion) 22:41, 21. Mai 2011 (CEST))

OK.--LutzL 13:38, 23. Mai 2011 (CEST)

Die Menge E

Finde ich es nur nicht, oder ist die Menge E, die bei Starke Operatortopologie verwendet wird, gar nicht definiert? --Jobu0101 09:20, 16. Feb. 2012 (CET)

Acht Zeilen darüber steht: "Im Unendlichdimensionalen gibt es dagegen verschiedene nicht-äquivalente Topologien. Seien nun $E$ und $F$ Banachräume und $(T_{i})_{i\in I}$ eine Folge (oder auch ein Netz) in $L(E,F)$." --Digamma 14:04, 16. Feb. 2012 (CET)

Definitionsbereich

Im Artikel: "Bei der Betrachtung unbeschränkter linearer Operatoren lässt man oft auch Operatoren zu, deren Definitionsbereich (Domäne) lediglich ein Unterraum des betrachteten Raumes ist"

Das klingt indirekt so, als ob dies bei beschränkten=stetigen Operatoren oder allgemein bei linearen Operatoren (die beschränkt=stetig oder unbeschränkt=unstetig sein können) nicht der Fall sei.
In "Lineare Operatoren in Hilberträumen: Teil I Grundlagen" (Joachim Weidmann, 2000, Teubner) werden auch bei linearen Operatoren (und dann auch bei beschränkten=stetigen linearen Operatoren) Unterräume als Definitionsbereich zugelassen.
Bei einer beschränkten Definition von "linearer Operator" und einer allgemeineren Definition bei "unbeschränkter linearer Operator" könnte es zudem widersprüchlich wirken (da Untervektorräume auch Vektorräume sind, wohl nur ein scheinwiderspruch). -91.63.247.22 04:23, 14. Nov. 2013 (CET)

Der Unterschied ist, dass man stetige Operatoren auf einem dichten Unterraum stets eindeutig zu stetigen Operatoren auf dem gesamten Raum fortsetzen kann, so dass es oft keinen Anlass gibt, die geschilderte Situation zu betrachten. Prominentes Beispiel wäre die Fouriertransformation, die via Fourier-Integral zuerst auf dem dichten Unterraum $L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )$ definiert wird, um dann durch stetige Fortsetzung auf den gesamten Raum ausgedehnt zu werden. -- Gibt es Anlässe, zu denen stetige Operatoren auf nichtdichten Unterräumen betrachtet werden?--LutzL (Diskussion) 12:50, 14. Nov. 2013 (CET)

Beispiel antilinearer Operator

Dieser Abschnitt ist mir nicht ganz klar.

Wie man dem Abschnitt "Definition" entnehmen kann ist das komplexe Skalarprodukt offenbar ein antilinearer Operator.

In dem Abschnitt Beispiel antilinearer Operator wird jedoch behauptet: "Diese liegt darin begründet, dass ein komplexes Skalarprodukt \langle .,.\rangle in der zweiten Variablen antilinear ist."

Das verstehe ich nicht. Zum einen die Begründung an sich nicht, zum anderen ist das komplexe Skalarprodukt in der ersten Komponente antilinear und nicht in der zweiten. Wenn damit etwas völlig anderes gemeint ist so bitte ich um eine ausführliche Erklärung.

--Specialsymbol (Diskussion) 18:57, 18. Jul. 2014 (CEST)

In welcher Komponente es linear und in welcher antilinear ist, ist uneinheitliche Konvention. --Chricho ¹ ² ³ 19:07, 18. Jul. 2014 (CEST)