Diskussion:Lineares zeitinvariantes System

Methodik

• "zeitinvariantes dynamisches System" Was nun, zeitinvariant oder dynamisch? Oder vielleicht eine zeitinvariante Dynamik?

Zeitinvariant bedeutet, egal ob jetzt oder später der Lichtschalter(Eingangssignal) betätigt wird, das Licht(Ausgang) reagiert immer bezogen auf den Zeitpunkt des Einwirkens.

Dynamisch heist z. B. eine Flasche wird gekippt und langsam läuft das Wasser heraus/Wasserkocher an langsam danach erwärmt sich das Wasser..., Betrachtung über Zeit, Spektrum, Laplace-Operator also nicht a^2 + b^2 = c^2 sondern a(t)^2 + b(t)^2 = c(t)^2

Mik81 16:54, 21. Aug 2005 (CEST)

• Was ist ein System?

Black-Box mit Eingängen und Ausgängen, abgeschlossen.

LTI-System ist eine durch DGl. beschreibbares System.

Regelkreis in Regelungstechnik

Mik81 17:11, 21. Aug 2005 (CEST)

• "Sind alle Elemente von D gleich Null, dann hat das System keinen Durchgriff (Regelfall).": Was heißt das? ..

hm. sollte das nicht unter Zustandsraumdarstellung aufgelistet sein? - nunja: wenn alle Elemente von D =0 bedeutet dies, dass der Ausgang des Systems nicht unmittelbar (linear) Abhängig ist, d.h. eine Änderung am Eingang beeinflusst NUR die Zustände (Zustandsvektor ${\vec {x}}$), welche daraufhin den Ausgang beeinflussen. Der Eingang wird also nicht direkt 'durchgereicht'. --Galliumarsenide 19:16, 11. Jan. 2007 (CET)

• "Eingangswerte u haben dann nur zeitversetzt Einfluss auf die Ausgangswerte y.": Mit Zeitdifferenz Null.

• "Hierin ist Z das Zählerpolynom in ω, und N das Nennerpolynom in ω." Was soll dieser Satz? Außerdem sind das keine Polynome, sondern trigonometrische Reihen.

• "Sind alle Koeffizienten beider Polynome konstant,": Wenn es denn Polynome wären, wovon sollten sie den abhängen?

• Was hat der erste Teil mit dem zweiten zu tun? Es herrscht ein vollkommener Bruch in Methodik und Begrifflichkeiten.

LutzL 16:33, 28. Jun 2005 (CEST)

• (KW) Zunaechst einmal zu dem vermeintlichen Widerspruch zwischen dynamischem System und Zeitinvarianz: Das steht klar und deutlich im Text "Sind die Matrizen A Systemmatrix, B Eingangsmatrix, C Ausgangsmatrix und D Durchgriffsmatrix konstant, so ist das System linear und zeitinvariant". Dass mancher nicht wirklich weiss, was man sich darunter vorzustellen hat, ist zwar verstaendlich, aber eben auch das abstrakte Wesen der Mathematik. Ein paar Anwendungsbeispiele koennten (sollten) hier in einem eigenen Kapitel uU angefuegt werden. Das Beispiel mit dem Lichtschalter trifft die Sache allerdings nicht wirklich, denn zustandsfreie Schaltlogik hat keine Dynamik.

• (LL) Hi, das ist nicht wirklich Mathematik, sondern Formelspielerei. Die aufgeschriebene lineare autonome Algebro-Differentialgleichung stammt aus der Regelungstheorie. Ein Verweis oder eine Erklärung, warum gerade diese Darstellung sinnvoll ist, fehlt.

• (KW) Wie bereits festgestellt, handelt es sich um Mathematik, nicht um Regelungstechnik, Signalverarbeitung oder Mechatronik, das sind nur Anwendungsgebiete. Insofern ist der Verweis auf die "Signaltheorie" falsch und die Verweise auf Filter im allgemeinen Teil fehl am Platz. Man kann ja gerne Beispiele in entsprechenden Kapiteln einfuegen.

• (LL) S. oben. Es ist weder Mathematik noch eines der anderen Gebiete. Damit es Mathematik werden könnte, müsste von diesem DAE-System (differential-algebro-equations) die Lösbarkeit, Struktur der Lösungsmenge etc. geschildert werden.

• (KW) Was hier sicher nicht hin gehoert, ist eine Vorlesung in Systemtheorie, es waere allerdings wuenschenswert, wenn wir mit anderen bestehenden und nochzu schreibenden Artikeln sowie entsprechenden Links in lexikalischer Form die Thematik abdecken koennten. Es fuehrt aber nichts drumherum, dass dieser Artikel in Gaenze nur mit entsprechenden mathematischen Vorkenntnissen verstanden werden kann.

• (LL) Selbst mit mathematischen Vorkenntnissen ziehe ich keinen Erkenntnisgewinn aus diesem Artikel.

• (KW) Was den Bruch angeht, der ergibt sich dadurch, dass das LZI-System einmal im Zeitbereich, und einmal im Bildbereich definiert wird. Vielleicht koennte man das in der Formulierung deutlicher herausstellen.

• (LL) Es findet auch ein Bruch dahingehend statt, dass von einem mehrdimensionalen DAE-System zu einem eindimensionalen Filter, d.h. einer Differenzengleichung übergegangen wird.

• Bezueglich der Mathematik moechte ich auf den verlinkten Beitrag zu Polynomen und auf die infinitesimale Mathematik im Allgemeinen verweisen. Der elmentare Unterschied zwischen einem Wert (hier: Zeitwert), und einem Anderen, eben gerade auch, wenn er unendlich(infinitesimal) nah ist, ist hier Grundlage! Der Durchgriff eines Systems muss allerdings in diesem Artikel nicht unbedingt bespochen werden.

• Äh? Was soll mir dieser Wortschwall sagen? Dass Du keine Ahnung von höherer Mathematik hast? Was sind nichtkonstante Koeffizienten eines univariaten Polynoms? Was ist der Durchgriff? Die Impulsantwort? Die übertragungsfunktion? Sollte man einen Löschantrag stellen, da keiner der Autoren den Sinn dieses Artikels erleuchten kann?

(KW)--Käptn Weltall 11:26, 1. Okt 2005 (CEST)

(LL)--LutzL 12:50, 4. Okt 2005 (CEST)

ZuTun

• Ausführung zum Begriff typische technische Übertragungsglieder
• Linearisierung nichtlinearer Systeme
• kleinere Abbildungen für Systemeigenschaften
• weitere Beispiele z. B. mit Bezug auf die Modalanalyse

ToDo von --Mik81 10:56, 15. Feb 2006 (CET)

Es fehlt dringend eine Erklärung der Symbole. Wenn man es nicht schon kennt hilft einem der Artikel so nichts, da reicht schon ein anderes Fachgebiet - von OMA ganz zu schweigen. Dabei bitte auch berücksichtigen, dass Lineare zeitinvariante Systeme auch zu anderen Gebieten, z.B. der Physik passen.--Ulrich67 19:26, 1. Jan. 2011 (CET)

Nur Polynome ? Nur kontinuierlich?

Mal eine Frage: wieso ist H(s) stets eine gebrochen, rationale Funktion? Oft ist es so, aber ein Bandecho wird z.B. Verzögerungsglieder der Form exp{-sT} erbringen, das ist nicht wirklich ein (endliches) Polynom. Zumindest in der theoretischen Betrachtung treten also Polynome und solche Vefrzögerungsterme auf (mit der unangenehmen Eigenschaft, dass unendlich viele Pole bzw. Nullstellen schon bei Einsatz eines Verzögerungsgliedes entstehen). Über diese Verzögerungen kommt man leicht zu den zeitdiskreten Systemen, die selbstverständlich ebenfalls LZI sind. Auch diese fehlen. --Herbert Eppler 11:50, 9. Feb. 2008 (CET)

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lineares_zeitinvariantes_System&diff=59878803&oldid=59781853

Nur fuer mein Verstaendnis: weshalb entlinkt, und was bedeutet BKL? Traute Meyer 20:15, 9. Mai 2009 (CEST)

Entlinkt: Es wurde ein wikilink entfernt. Und zweiteres siehe WP:BKL.--wdwd 20:28, 25. Jul. 2009 (CEST)

Gleichung

Also bei " s(t)=...=s(t)*δ(t) " habe ich ein ungutes Gefühl! Also ergibt sich durch Faltung eines Signals mit einem Dirac-Impuls wieder das Eingangssignal? E.E. 11:22, 26.07.2011 (CEST) (ohne Benutzername signierter Beitrag von 62.206.134.138 (Diskussion) )

Genauso ist es. Die Distribution δ(t) ist also das sogenannte „Eins-Element“ der Faltungsoperation. --Reseka 12:38, 26. Jul. 2011 (CEST)

Mechanikbeispiel

Das Beispiel ist nicht glücklich gewählt, da bei dem Fall in Luft fast immer Newton-reibung (F~v²) und nicht Stokes-Reibung (F~v) vorliegt. --MichaelE (Diskussion) 17:06, 24. Jun. 2015 (CEST)

Vorwort

Liebe Kolleginnen und Kollegen,
meines Erachtens ist auch die Herleitung für LTI Systeme von äußerster Bedeutung. Diese ist auf dieser Wikipedia Seite jedoch noch nicht vorhanden. Deswegen hab ich hier einen kleinen Eintrag geschrieben, den ich gerne als eigenes Kapitel einbinden würde.
Ich bitte an dieser Stelle um konstruktive Kritik zu diesem Vorschlag,
Liebe Grüße!
--Cichx (Diskussion) 20:15, 23. Jan. 2017 (CET)

Lösung von linearen zeitinvarianten Differentialgleichungen

Gegeben ist ein explizites lineares System von Differentialgleichungen der Form

${\begin{aligned}{\frac {dx(t)}{dt}}=A\,x(t)+b\,u(t),\,x(t=0)=x_{0}\end{aligned}}$

mit dem Zustandsvektor $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, der Systemmatrix $A\in \mathbb {R} ^{nxn}$,dem Eingang $u(t)\in \mathbb {R}$, dem Eingangsvektor $b\in \mathbb {R} ^{n}$ und der Angangsbedingung $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$. Die Lösung solch eines Gleichungssystems setzt sich aus einem homogenen und einem partikulären Anteil zusammen.

Homogene Lösung

Setzt man den Eingang gleich null, erhält man die homogene Differentialgleichung

${\begin{aligned}{\frac {dx(t)}{dt}}=A\,x(t),\,x(t=0)=x_{0}\end{aligned}}$

Die Lösung solch einer Differentialgleichung kann mit Hilfe der Taylorreihendarstellung beschrieben werden:

${\begin{aligned}x(t)=S(t)x_{0}=(E+S_{1}t+S_{2}t^{2}+...+S_{n}t^{n}+...)x_{0}\end{aligned}}$

wobei $E$ die Einheitsmatrix ist. Setzt man diese Lösung in Gleichung \ref{eq2} ein, erhält man:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}(S(t)x_{0})&=A\,S(t)x(t)x_{0}\\(S_{1}+2\,S_{2}\,t+...+n\,S_{n}\,t^{n-1}+...)x_{0}&=(A+AS_{1}t+AS_{2}t^{2}+...+AS_{n}t^{n}+...)x_{0}\end{aligned}}$

Es wird ein Koeffizientenvergleich durchgeführt um die unbekannten Matrizen $S_{n}$ bestimmen zu können:

${\begin{aligned}S_{1}&=A\\S_{2}&={\frac {1}{2}}AS_{1}={\frac {1}{2!}}A^{^{2}}\\S_{3}&={\frac {1}{3}}AS_{2}={\frac {1}{3!}}A^{3}\\&...\\S_{n}&={\frac {1}{n!}}A^{n}.\end{aligned}}$

Nachdem die Fundamentalmatrix $S_{n}$ ähnlich aufgebaut ist wie eine skalare Exponentialfunktion, ist folgende Schreibweise verbreitet:

${\begin{aligned}S(t)=e^{At}=E+At+{\frac {1}{2!}}A^{2}t^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}t^{3}+...+{\frac {1}{n!}}A^{n}t^{n}+...\end{aligned}}$

Partikuläre Lösung

Es wird der Fall betrachtet, dass $u(t)\neq 0$ und $x_{0}=0$:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}x(t)=Ax(t)+bu(t)\end{aligned}}$

Gesucht ist die partikuläre Lösung

${\begin{aligned}x_{p}(t)=S(t)p(t)=e^{At}p(t),\end{aligned}}$

wobei $p(t)$ ein unbekannter Funktionsvektor mit $p(0)=0$ ist. Aus den beiden oberen Gleichungen, folgt:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}x_{p}(t)&=Ax_{p}(t)+bu(t)\\p(t){\frac {d}{dt}}S(t)+S(t){\frac {d}{dt}}p(t)&=Ax_{p}(t)+bu(t)\\A\,S(t)p(t)+S(t){\frac {d}{dt}}p(t)&=Ax_{p}(t)+bu(t)\\A\,x_{p}(t)+S(t){\frac {d}{dt}}p(t)&=Ax_{p}(t)+bu(t)\\\end{aligned}}$

Damit kann $p(t)$ bestimmt werden zu:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}p(t)=S^{-1}(t)+bu(t)\\\end{aligned}}$

Unter Zuhilfenahme der Eigenschaften der Fundamentalmatrix erhält man durch Integration:

${\begin{aligned}S(t)p(t)&=S(t)\int _{0}^{t}S^{-1}(\tau )bu(\tau )d\tau \\x_{p}(t)&=\int _{0}^{t}S(t-\tau )bu(\tau )d\tau \\x_{p}(t)&=\int _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}bu(\tau )d\tau \\\end{aligned}}$

Die Lösung einer linearen zeitinvarianten Differenzialgleichung lautet somit:

${\begin{aligned}x(t)=e^{At}x_{0}(t)+\int _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}bu(\tau )d\tau \\\end{aligned}}$

--Cichx (Diskussion) 20:24, 23. Jan. 2017 (CET)