Diskussion:Newtonverfahren

Struktur des Artikels

Aufhänger ist unplausibel

Eine Skizze am Anfang wäre zum Einstieg anschaulicher als eine recht unplausible Fixpunktgleichung. Die Ableitung von f fällt vom Himmel. Anhand der Skizze weiter unten hat man sofort und geometrisch anschaulich für die Steigung an f in x_n:

(f(x_n) - 0)/(x_n-x_{n+1}) = f'(x_n),

und das ist einem Formelwirbel vorzuziehen, find ich. Zumindest beim Einstieg.

--Georg-Johann 10:59, 1. Feb 2005 (CET)

Korrekter ist, dass man eine Korrektur r zum Punkt x in Richtung Nullstelle bestimmen möchte und nur Wert und Ableitung in x zur Verfügung hat. Es soll also gelten f(x+r)=0, wir kennen das Taylorpolynom in x, d.h. wissen, dass f(x+r)≈f(x)+f'(x)r gilt und lösen nach r auf, r≈-f'(x)^-1f(x). Also setzen wir als nächstbeste Näherung x+r=x-f'(x)^-1f(x) an. Dabei kann f durchaus ein Vektor und f' die Jacobimatrix sein. Setzt man die Beschränktheit von f"(x) (das ist ein von x abhängiger Tensor 3. Stufe) auf einer Umgebung der Nullstelle voraus, dann kann man das Taylor-Restglied abschätzen und Fixpunkttheorie betreiben.--LutzL 12:53, 1. Feb 2005 (CET)

Ich habe - vor einiger Zeit schon - die geometrische Motivation an den Anfang gestellt, so dass für eine "mathematisch interessierte Oma mit Abitur-Kenntnissen" der Inhalt bis zu den historischen Bemerkungen ausreichend und verständlich sein sollte. Evtl. sollte in diesem Bereich noch was dazu stehen, dass für praktische Zwecke die Iteration mehrfach ausgeführt wird, mit jeweils einem anderen von genügend vielen Startpunkten im Suchbereich. --LutzL 16:06, 24. Feb 2005 (CET)

Vorschläge zum Inhalt

Anfangsbedingungen

Hier eine Kritik zu den Anfangsbedingungen des Newton-Verfahrens, besser: Voraussetzungen.

Es muss nicht gelten, dass dass f'(x) überall stetig invertierbar ist. Aber wenn dies gilt, dann kann keine Division durch Null, also kein Abbruch des Verfahrens aus diesem Umstand geschehen.

Auch gibt es Fälle, bei denen die Funktion bis zur anzunähernden Nullstelle Extrema oder auch Sattelpunkte besitzt, das Newton-Verfahren aber trotzdem konvergiert, das hat nichts damit zu tun, dass "dort" die Ableitung f'(x) gegen 0 ginge, wie bisher im Artikel steht.

Weiter zu bemängeln wäre: Wenn f streng monoton steigt, dann kann f trotzdem einen Sattelpunkt bzw, einen Punkt mit f'(x) = 0 haben, wie das Beispiel f(x) = x³ - 3 zeigt.

Stattdessen sollte dort die Voraussetzung so stehen, dass bei einer in einem Intervall konvexen bzw. konkaven und streng monotonen Funktion f das Newton-Verfahren stets konvergiert, wenn man den Startpunkt geeignet wählt (z.B. bei konvex und strengmonoton wachsendem f im Intervall bereich rechts von der Nullstelle).

Könnte zudem erklärt werden, was es mit dem Doppelpunkt in der Gleichung auf sich hat ? (oder sollen alle im Regen stehen gelassen werden, die das nicht wissen ?) (nicht signierter Beitrag von 2A02:1205:5019:C900:1D3F:3BA4:61B6:30CC (Diskussion | Beiträge) 20:51, 11. Jul 2016 (CEST))

03.01.2005: Nach meiner Kritik oben und keiner Gegenkritik habe ich jetzt den Artikel im Unterartikel "Anfangsbedingungen" geändert. Gruß Sylvie

Der Abschnitt "Anfangsbedingungen" ist immer noch etwas mysteriös. Es könnte etwas dazu gesagt werden, wann das Verfahren global, d.h. unabhängig vom Startpunkt, konvergiert. Darauf scheinen zumindest die Bemerkungen zur Konvexität und Monotonie hinzudeuten.--LutzL 16:06, 24. Feb 2005 (CET)

Konvergenz für Polynome

Ein Resultat von Jean-Claude Yakoubsohn (Toulouse): "A Universal Constant for the Convergence ...", Postscript besagt:

Seien P(Z) ein univariantes Polynom, z eine komplexe Zahl und sei u>0 minimal mit |P^(k)(z)/P'(z)| ≤ u^k-1 für alle k≥2, setze h:=u*|P(z)/P'(z)|.

Ist h<0.1624, so konvergiert das Newtonverfahren mit z als Startpunkt, für die Konvergenz gilt

|z_n+1-z_n| ≤ aⁿ |z₁-z₀| (h/a²)^(2ⁿ-1)

bei a≈0.4044, damit h/a²<0.9902

Der Bearbeiter Xavier Gourdon hat auf seiner Website genauer Postscript newton.ps auch einiges zum Thema zu bieten.--LutzL 15:34, 6. Jan 2005 (CET)

Die Webseite ist wirklich interessant. Findest Du das Resultat nicht aber etwas sehr speziell? Viele Gruesse --DaTroll 15:40, 6. Jan 2005 (CET)

Deshalb habe ich es ja nur in die Diskussion gesetzt. Aber es ist ja eine Erwähnung von Kantorowitsch geplant, dort ist eine Abschätzung über ein Intervall notwendig, hier nur die Bestimmung der Ableitungen in einem Punkt. Gruß zurück--LutzL 15:49, 6. Jan 2005 (CET) PS: Wo sind die kleinen Umlaute unter dem Editierfenster geblieben?

Ich hab keine Ahnung. Aber da ist jetzt ein Link auf die Sonderzeichentabelle, da kann man sich die kleinen Umlaute rauskopieren. Viele Gruesse --DaTroll 15:52, 6. Jan 2005 (CET)

Kleine Umlaute wieder da.--LutzL 11:50, 4. Feb 2005 (CET)

Gauß-Newton-Verfahren

Moin, ich fände einen Verweis auf das Gauß-Newton-Verfahren ganz nett. Da zum einen der Artikel ja schon als möglicherweise exzellent gehandelt wird und ich zum anderen nicht so recht weiß, wo dieser Verweis angebracht wäre (Varianten des Newton-Verfahrens? Anwendungen?), stelle ich das mal hier einfach zur Diskussion. Gruß --Alex 21:27, 2. Mai 2005 (CEST)

Heronverfahren

Ich finde, man sollte erwähnen, dass das babylonische Wurzelziehen auch als Heron Verfahren bekannt ist. --Sebastian Queißer 01:10 13 Juli 2003 (MEZ)

Danke für die Ergänzungen. Den Begriff "Heron Verfahren" kenne ich (bisher) nicht. Könntest Du das noch entsprechen ergänzen? Außerdem fehlt im Abschnitt "Berechnung von Quotienten" eine Bemerkung, für welche Anfangswerte x_0 das Verfahren konvergiert. Kannst Du dazu Angaben machen?

Ich weiß nur nicht, welcher Begriff der häufiger verwendete ist und auf welchen man verlinkt. Mit den Anfangswerten bin ich mir nicht sicher, sollte aber doch für Startwerte größer 0 konvergieren. Kleiner Null dürfte schlecht sein, da sich bei Null eine Polstelle befindet. Wenn das jemand bestätigt, trage ich es ein... --Sebastian Queißer 16:40 13. Juli 2003

Gerade ist mir noch aufgefallen, dass man natürlich auch aufpassen muss, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{n+1}} nicht kleiner Null wird. Könnte man da folgende Aussage formulieren: Das Verfahren konvergiert, solange Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0<ax_n<2} gilt; oder so ähnlich?

"So ähnlich" klingt gut ;-) Das muss ich mir gelegentlich mal näher ansehen. In der Zwischenzeit kannst Du ja den nichtssagenden Zusatz "mit geeignet gewählten x0" reinschreiben. Allerdings hat die Iteration gegen 1/a auch keine praktische Bedeutung. Ich würde das ganze Beispiel weglassen. --Benutzer:tsor 20:40 13. Juli 2003

Lokale Konvergenz

Das Fixpunktverfahren konvergiert für echt nichtlineare Gleichungen meist auch nur lokal, es stimmt also nicht, dass es für Polynome höheren Grades mit mehreren Nullstellen nicht geeignet ist. Tinuriand 10:42, 17. Mär 2004 (CET)

Warum hast Du Begriffe wie zyklisch rausgenommen und: "Das heißt der Satz von Banach kann nicht gelten." oder "Geometrische Deutung: Einzugsbereiche von Nullstellen"? --Paddy 14:57, 17. Mär 2004 (CET)

Also das zyklisch ist halt ein Spezialfall der Divergenz, der auch nur in speziellen Fällen auftritt. Ich dachte halt, das muss nicht unbedingt rein. Was den Satz von Banach angeht, so ist die alte Aussage schlicht falsch. Auch bei Polynomen mit beliebig vielen Nullstellen kann man das Fixpunktverfahren nutzen, um Nullstellen zu suchen. Das geht nicht bei allen Polynomen, aber wieviele Nullstellen das Polynom bzw. allgemein die Fkt. hat, hat mit der Anwendbarkeit des Fixpunktsatzes nichts zu tun. "Geometrische Deutung: Einzugsbereiche von Nullstellen": Der alte Satz darüber: "Das Verfahren verbessert nur eine Nullstellen-Näherung, wenn es konvergiert." ist redundant (das Newton-Verfahren sucht Nullstellen und ist ein Iterationsverfahren. Was soll es also sonst machen?) und hat nur wenig mit dem von Dir angesprochenen zu tun. Also habe ich es durch eine andere Bemerkung ersetzt. Zum Einzugsbereich der Nullstellen habe ich bei "Konvergenz" noch etwas ergänzt (lokal konvergent). Das könnte man natuerlich noch etwas verdeutlichen, dann würde ich das aber da machen und nicht bei den Bemerkungen.--Tinuriand 15:41, 17. Mär 2004 (CET)

In der Vorlesung Grundlagen der numerischen Schaltungs- und Feldberechnung, die eigentlich nur um Numerik geht, schreibt der Prof. Mathis:

http://www.tet.uni-hannover.de/education/vorlesungen/numsim/NumV_A2_3_802.ppt

auf Slide 36:

Bem.:

) Schon bei Polynomen gibt es oft mehr als eine Nullstelle von f, Satz von Banach kann nicht gelten!
) Konvergenzbeweis wird anders geführt, Satz von Kantorovitch
) Das Verfahren “verbessert” nur eine Nullstellen-Näherung, wenn es konvergiert; geometrische Deutung: Einzugsbereiche von Nullstellen

--Paddy 18:01, 17. Mär 2004 (CET)

Mhmh. Also wenn ich mir die Slides zum Fixpunktsatz und zum Newtonverfahren angucke, beschleicht mich der Verdacht, dass er das selbst nicht ganz verstanden hat. Zumindest sind die Slides über den Fixpunktsatz irreführend: Er redet bei den Voraussetzungen von einem normierten Raum M, in dem die Abbildung kontrahierend sein muss. Das ist ungenau: wichtig ist die Existenz eines vollständigen normierten Raumes, in dem die Abbildung eine Kontraktion ist. Das heißt: es reicht eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen, über denen die betrachtete Funktion eine Kontraktion ist. Für Polynome kann es also gut sein, dass das Polynom zwei Nullstellen hat und in einer kompakten Umgebung um jede Nullstelle eine Kontraktion ist.

Er hat schon recht: Polynome sind niemals global (also über ganz R) kontraktiv, aber das ist für den Fixpunktsatz nicht notwendig. Leider ist mir kein schönes Beispiel eingefallen. Ich bin mir aber todsicher, dass eins existiert, wo man mit dem Fixpunktverfahren alle Nullstellen eines Polynoms finden kann. Ein eher laues Beispiel: x(x-1). Das Fixpunktverfahren findet ohne Probleme die Nullstelle 0, die Nullstelle 1 aber vermutlich nicht (der Fixpunktsatz kann für die zweite Nullstelle keine Aussage machen). Man sollte auch nicht vergessen, dass der Banachsche Fixpunktsatz nur ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz liefert. Gelten die Voraussetzungen des Satzes nicht, kann halt keine Aussage gemacht werden, konvergieren kann das Verfahren trotzdem.

Ein Link dazu: http://www.informatik.hu-berlin.de/~mstigge/a1/skript/html/node17.html --Tinuriand 11:56, 18. Mär 2004 (CET)

Es muss ein vollständiger metrischer Raum sein, jede abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen normierten Raumes ist ein solcher. Nicht die Funktion muss kontraktiv sein, sondern der zugehörige Newton-Operator. Dieser ist in einer kleinen Umgebung jeder Nullstelle kontraktiv, sofern die erste Ableitung regulär und die zweite existent ist in einer größeren Umgebung der Nullstelle.--LutzL 16:06, 24. Feb 2005 (CET)

Du scheinst ja auf dem Gebiet echt fit zu sein. Ich habe das vor 2 Jahren gehört. Also mische ich mich da nicht mehr ein. Danke, daß Du Dich darum kümmerst. --Paddy 14:07, 18. Mär 2004 (CET)

Jo, ich promoviere in Numerik. Da bleibt schon was hängen :-) --Tinuriand 14:40, 18. Mär 2004 (CET)

Bitte mach was daraus. Scheue Dich nicht etwas zu löschen. Aber bitte mache es besser! --Paddy 01:40, 19. Mär 2004 (CET)

Einleitung/linearität

Ok, das mit dem Exponenten war nicht ganz richtig, aber ein Link auf lineare Funktion ist auch ein bisschen unglücklich. Wenn man das mit den Exponenten als Beispiel angibt? Oder einen Artikel nichtlineare Funktion.

aus dem Review

Derzeit hat der Artikel eine in meinen Augen gute Einleitung auf Abiturniveau, dann einen Teil etwas komplexerer Betrachtungen zur Konvergenz (die den Begriff der quadratischen Konvergenz untermauern sollen) und am Ende Hinweise zum mehrdimensionalen Fall. Zwischendurch sind weitere Bruchstücke eingestreut, teilweise noch Themen auf Abiturniveau behandeln, die überarbeitet und an passender Stelle weiter oben einsortiert werden müssten. Ich habe auf Beiträge der Originalautoren gewartet, da diese Stücke teils heftig diskutiert wurden.--LutzL 07:10, 16. Mär 2005 (CET)

Also die Autoren sind ja im wesentlichen Paddy, Du und ich. Paddy hat ja schon aufgefordert, Mutig zu sein, ich sehe hier also keine Probleme. Nach nochmaligem Lesen muss ich sagen, dass die Gliederung insgesamt noch zu wuenschen uebrig laesst. Die "Bemerkungen" sind irgendwie komisch platziert, ebenfalls die Abbruchkriterien. Ein kleinerer Punkt: wieso die Kategorie Analysis, Numerik ist doch ausreichend? Was noch wirklich fehlt ist eine Erwaehnung Deiner Newton-Fraktale. Viele Gruesse --DaTroll 15:11, 18. Mär 2005 (CET)

Die seltsame Gliederung kommt daher, dass ich "schwammige" Aussagen unter den "harten Fakten" lassen wollte. Die "weiteren Bemerkungen" könnten noch etwas ausgebaut werden, Konvergenz muss evtl. aufgespalten werden in "verständliche" Aussage oben, Beweis/Rechnung zum Ende. Newton-Fraktale schön und gut, ich bin mir über die Stelle unschlüssig. en und fr sind keine wirkliche Hilfe, da allgemein viel kürzer. Kategorie Analysis, da das Thema auch in eine gute Analysis-Vorlesung gehört, so in die Nähe des Inverse/Implizite-Funktionen-Theorems, welches eine ähnliche Aussage wie der erste Konvergenzsatz macht.

\|Af'(x_{0})-I\|<1

=> Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{n+1}=x_n-A(f(x_n)-y)} konvergiert in einer Umbgebung von y0=f(x0) gegen das eindeutige Urbild von y. Das ist Newton mit festgehaltener Jacobi-Matrix.

--LutzL 16:14, 18. Mär 2005 (CET)

Direckt nach der Erklärung sollte ein konkretes Beispiel rein, an dem man das Verfahren verfolgen kann (dazu könnte man auch den Absatz historisches ausbauen). Gegenbeispiele sollte noch erklären, zu was es Gegenbeispiele sind (das sind Beispiele wo das Verfahren nicht funktioniert, oder?). Konvergenzordnung sollte kurz erklärt werden. Fixpunkt(iteration) sollte erklärt werden. Sind die verwendeten Zeichen (z.B. beim Fixpunkt) standard? Die lassen den Artikel nämlich ziemlich abschreckend wirken, es wäre aus dieser Sicht besser einen lateinischen Buchstagen zu benutzen. Die Anfangsbedingungen sollte man in Zusammenfassung und Bemerkungen umwandeln und dementsprechend ergänzen. In ihr sollte alles Wichtige ohne Beweise und mathematischer Schreibweise wiederholt werden und darauf sollte in der Einleitung hingewiesen werden.--G 11:27, 23. Mär 2005 (CET)

Hi, wie konkret soll es denn sein? Das Wurzelziehen als Beispiel scheint Dir nicht zu reichen, aber jeden einzelnen Rechenschritt aufzuschreiben halte ich für etwas übertrieben. Gegenbeispiele sollte jetzt etwas besser stehen. Konvergenzordnung hat einen eigenen Artikel. Fixpunkt und Banachscher Fixpunktsatz gibt es auch, ersteres ist nicht informativ, letzteres zuviel davon. Die Zeichen gehen zumindest mit einem Teil der aktuellen Literatur konform, wer sich für höhere Mathematik interessiert, sollte auch mit griechischen und Frakturbuchstaben zurechtkommen. Altenativ könnte überall z.B. auf x^* geändert werden, für eine solche Aktion habe ich keine Zeit, wenn es jemand - durchgängig - macht, hätte ich auch nichts dagegen. Wie ich irgendwo weiter oben schonmal schrieb, im Artikel oben alles, was im 1D-Fall solide ist, danach kommen einige Erbstücke, die zu überarbeiten sind und ganz unten, recht solide, Bemerkungen zum mehrdimensionalen Fall. Die Anfangsbedingungen gehören zum mittleren Teil, etwas ist auch schon weggelöscht. -- LutzL 13:09, 29. Apr 2005 (CEST)

Die Betonung sollte auf direkt nach der Erklärung liegen und nicht auf konkret. Das Beispiel sollte dann in den gleichen Einzelschritten wie die Erkläung zerlegt werden. Bei der Erklärung von Fixpunkt dachte ich einfach an einen Nebensatz, damit nicht unbedingt das Wort nachgeschlagen werden muss. Wenn es nicht ungewöhnlich ist halte ich eine Änderung gut (x^* wird schon unter lineare Konvergenz benutzt, oder?), das ist aber ein eher unwichtiger Punkt (könnte man vielleicht auch durch eine Suche und Ersetze Funktion eine Textverarbeitungsprogramms beschleunigen). Bei der Verständlichkeit ist es mir wichtig, dass auch eher unvorbereitet Laien, die noch wissen was eine Nullstelle und eine Funktion ist, zumindest wissen, wofür die Funktion benutzt wird und dass Personen mit guter Schulmathematik rein aus der Wikipedia den Großteil des Artikels verstehen.--G 18:54, 29. Apr 2005 (CEST)

Wenn der Satz falsch war dann bitte nicht löschen sondern korrigieren.--G 14:57, 30. Apr 2005 (CEST)

Der Teil der Aussage, der korrekt war, war schon weiter oben abgedeckt. Man könnte das approximative quadratische Konvergenzverhalten im allgemeinen Teil als Resultat schon erwähnen, um die Konvergenzgeschwindigkeit zu erläutern. Es fehlt, vor dem theoretischen Teil, noch eine Aussage über global konvergente Fälle, sowas wie monoton+konvex=>Konvergenz unabhängig vom Startpunkt. War mal in den alten Diskussionen angedacht, wurde aber nicht weiter verfolgt. -- LutzL 07:42, 2. Mai 2005 (CEST)

Ich würde es trotzdem gern sehen. Der Artikel ist ziemlich kompliziert und es ist durchaus möglich, dass jemand nicht den gesamten Artikel liest oder sich nicht mehr erinnert. Ein kleiner Einleitungssatz dürfte nicht stören und macht den Artikel nach meiner Meinung wieder ein bisschen einfacher.--G 22:24, 2. Mai 2005 (CEST)

Bild

Ich fand das nichtbewegte Bild genauso informativ und besser, weil man in Ruhe Zeit hat, sich anzugucken was passiert. Wenn niemand was dagegen hat, wuerde ich es wieder direkt nach oben stellen. Von mir aus kann die Animation auch ganz raus, weil sie eben keinen zusaetzlichen Informationswert hat. Viele Gruesse --DaTroll 13:21, 20. Apr 2005 (CEST)

Ob das Bild oben oder unten steht, ist wohl nicht das Problem. Das die Animation keinen zusätzlichen Informationswert hat ist schon deshalb falsch, weil sie mehr Informationen enthält. Der wirkliche Wert liegt aber darin, dass nur die Animation den Ablauf der Iterationsschritte darstellen kann, weil sie eine zeitliche Dimension nutzt. Hast Du mal versucht, Dich in die Gedanken eines Abiturienten zu versetzen, der das Verfahren verstehen muss, auch wenn ihn das Thema nicht so begeistert? Ralf Pfeifer 19:54, 23. Apr 2005 (CEST)

Also ich habe zwei Probleme mit dem Bild: Zum einen ist es, dass es mit animierten Bildern beim Drucken Schwierigkeiten gibt, was bei statischen eben nicht der Fall ist, zum anderen ist es, dass der Name "Ralf Pfeifer" explizit in die Graphik übernommen wurde - das finde ich problematisch, da ich persönlich die Wikipedia als Gemeinschaftprojekt verstehe und da persönliche Widmungen nicht viel zu suchen haben.
Versteht mich bitte nicht falsch, das Bild an sich ist hervorragend gestaltet - ich würde jedoch einer statischen Variante (im selben Design) den Vorzug geben. Was aber dann auch unbedingt sein sollte ist, dass das animierte Bild per eigenen Link aufrufen kann, um sich die Schritte im einzelnen anzusehen. Tom1200 00:54, 13. Mai 2005 (CEST)

Das Problem mit dem Drucken ist richtig. Hier muss man abwägen, was man will: Entweder man nutzt in der wikipedia die zusätzlichen Möglichkeiten des Browsers um Inhalte besser 'rüberzubringen oder man beschränkt sich auf die Möglichkeiten von Printformaten. Denn was heißt das? Das Printmedium hat Vorteile, ich kann Druckwerke überall ohne Hilfsmittel lesen. Das elektronische Format kann mehr darstellen, aber ich brauche dafür technische Hilfsmittel. Sollen elektronische Formate alle Nachteile der Printmedien und der elektronischen Medien erhalten, ohne die Vorteile zu nutzen? Meine Meinung: Nö.

Das zweite Problem verstehe ich. Andererseits möchte ich nicht, dass das Bild überall auftaucht -vielleicht sogar bei denen, die sonst alles als geistiges Eigentum einsperren und verkaufen- ohne den Hinweis auf die Quelle, zu der ich gerne die wikipedia und natürlich mich selbst zähle. Ich werde aber die Grafik noch einmal überarbeiten und den Hinweis dezenter gestalten. Ralf Pfeifer 18:21, 14. Mai 2005 (CEST)

Danke für die rasche Antwort. ad Drucken; ich denke hier vorwiegend an die Leute, die sich die Artikel z.B. in der Bibliothek ansehen und dann einen Druck nach Hause mitnehmen. An sich stimme ich mit dir überein, dass man die Möglichkeiten der elektronischen Hilfsmittel so gut wie möglich ausnützen soll. Eigentlich ist es eine Schwäche der Wikipedia-Software, dass sie so etwas wie eine Druckversion nicht anbietet (schließlich ist z.B. das "[Bearbeiten]" auf dem Ausdruck störend). (somit haben auch elektronische Medien Schwächen ;) Tom1200 21:53, 14. Mai 2005 (CEST)

Der Name "Ralf Pfeifer" mitten im Bild lenkt ungemein ab bei der Betrachtung. Meiner Meinung nach sollte das da weg. Auf der Informationsseite sind alle diese Infos ohnehin gespeichert. Ich plädiere dafür, die Animation gegen eine Version ohne Widmung zu ersetzen, auch weil das insbesondere in diesem trockenen mathematischen Gebiet nichts zu suchen hat (bzw. den Leser keineswegs interessiert).

Ich habe gerade den Artikel gelesen und mich am "Ralf Pfeifer" gestört. Und dann sehe ich in der Diskussion, dass ich damit nicht alleine bin. Provkant gefragt: Wer ist Ralf Pfeifer? Der Hinweis hat nichts im Bild verloren. Sonst kann ja jeder Fotograph anfangen, in seine Fotos sein Wasserzeichen einzublenden. Wenn man bei Wikipedia Bilder hochlädt, dann ist es halt eben so, dass diese auch woanders verwendet werden können. Dafür gibt's ja die Lizenz. Die Graphik finde ich ansich gut. Aber bitte das "Ralf Pfeifer" und der Wiki-hinweis raus. Kann man das auch irgendwo melden? (nicht signierter Beitrag von 62.206.211.29 (Diskussion) 11:41, 15. Mär. 2012 (CET))

Fraktalbild

Ich bin etwas verwirrt: Die Bildunterschrift gehört ganz klar zu Nummer 008. Einen Zusammenhang zum Artikeltext sehe ich in 007 nicht: ich sehe da keine kreisförmigen Einzugsgebiete, ich kann noch nichtmal erkennen, wo die Nullstellen liegen. Viele Gruesse --DaTroll 09:01, 4. Mai 2005 (CEST)

Im anderen Bild sind aber die Einzugsbereiche beliebig bunt. Ich schrieb auch von kreisförmigen Bassins innerhalb der Einzugsbereiche. Ideal wäre eine Mischversion, die die Iterationsanzahl in Helligkeitsabstufungen darstellt. Ich meine, sowas in der Wikipedia schon gesehen zu haben, in einer anderen Sprache. Hatte vorhin keine Zeit nachzuschauen. Im englischen en:Newton's method gibt es entsprechende Bilder für die fünften Einheitswurzeln. "Basin of attraction" for x⁵ − 1 -- LutzL 11:26, 4. Mai 2005 (CEST)

Newton-Verfahren 20. April

Ein in meinen Augen sehr guter Artikel über das Newton verfahren. Gut mathematisch Unterlegt und mit sehr guten Grafiken. Auch leicht nachvollziehbare Beispiele sind vorhanden.

contra - sorry, aber derzeit kontra. Weniger wegen des Inhalts (die Animation ist z.B. einfach super) sondern mehr wegen der Form. Die blauen Beweisboxen gefallen mir nicht sonderlich (vor allem mit dem weißen Tex davor) und Formulierungen wie "Schauen wir uns die Ableitung N'f(x) einmal genauer an" sind Lehrbuchdeutsch aber nicht Enzyklopädiedeutsch. Auch vom Javascript-Beispiel zur Berechnung halte ich nichts. MfG --APPER\^☺☹ 12:20, 20. Apr 2005 (CEST)

Die bemängelte Formulierung ist weg, ob man nun in Komplizenschaft mit dem Leser "wir" oder sachlich neutral "man" formuliert, ist Geschmackssache. Die Idee mit den Beweisboxen stammt aus dem ersten als exzellent erklärten Mathe-Artikel Ackermannfunktion, ich habe die Farbe von Hellblau auf das dort verwendete Hellbgelb geändert, damit sind auch die TeX-Boxen weniger abstechend. Es wurde schon diskutiert, aber mangels Kapazitäten noch nicht realisiert, die TeX-Boxen auf transparenten Hintergrund umzustellen. -- LutzL 12:57, 29. Apr 2005 (CEST)

Danke für das Lob der Animation. Aber auch ich finde, dass der Artikel keinen roten Faden hat. Die Beweise gehören zu dejn wikiBooks. Ralf Pfeifer 23:20, 2. Mai 2005 (CEST)

pro Inhaltich fundierter Artikel. Tolle Annimation zur Veranschaulichung. Ich finde die Beweiskästen nett und der Übersicht sehr dienlich. Schließlich kann jeder Leser entscheiden, ob er den Beweis nachvollziehen will oder lieber überspringen. Was gegen ein Programmierbeispiel bei einem mathematischen Iterationsverfahren wie dem Newtonverfahren spricht, geht mir nicht in den Sinn. -- Wladyslaw 13:34, 20. Apr 2005 (CEST)

contra: Konkrete Änderungsvorschläge im Review (siehe Diskussion:Newton-Verfahren); es wäre meiner Meinung nach möglich und nötig den Artikel besser verständlich zu machen.--G 16:00, 21. Apr 2005 (CEST)

Das ist Mathematik, das kann man nicht als Comic darstellen...--139.20.28.188 14:41, 22. Apr 2005 (CEST)

Ich denke ich bin nicht der ungebildetste und schlechteste in Mathe und behaupte, dass 90% der Personen ohne Mathestudium (also die Zielgruppe dieses Artikels) schwere Verständnisprobleme hat. Ich habe den Artikel fürs Review komplett durchgesehen und ein paar Vorschläge gemacht die meiner Meinung nach den Artikel einfacher machen oder wichtige Infos für Laien hervorheben.--G 18:44, 22. Apr 2005 (CEST)

contra: Teilweise gefällt mir der Artikel gut (vor allem der Anfang bis einschließlich Historisches), insgesamt bemängel ich aber zwei wichtige Punkte:

Die Sprache ist die eines Lehrbuchs oder einer Vorlesung (wir-Form, Abschnitt Bemerkungen, Beweise).
Die Gliederung ist nicht übersichtlich und nicht verständnisfördernd: der Abschnitt Gegenbeispiele kommt, bevor überhaupt von Konvergenz die Rede war. Der Abschnitt Newton-Verfahren als Fixpunktiteration erschließt sich (glaube ich) nur, wenn man sowohl das Newton-Verfahren als auch den Banachschen Fixpunktsatz bereits kennt, und selbst dann finde ich ihn ziemlich unverständlich geschrieben. Auf den ersten Blick scheint es, als würde hier nur nocheinmal die Iterationsgleichung hergeleitet.

Inhaltlich fällt mir außerdem auf, dass die Wahl des Anfangswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} zunächst gar nicht erwähnt wähnt. Im ersten Beispiel tauchen irgendwelche Anfangswerte auf (ohne dass gesagt wird, dass sie willkürlich sind). Im Abschnitt "Anfangsbedingungen" wird dann das erste mal vom "Startwert" gesprochen (und dann aber Voraussetzungen aufgezählt, die zwar erfüllt sein müssen, damit das Newtonverfahren durchführbar ist, aber eigentlich nichts mit Anfangsbedingungen zu tun haben).

Formal finde ich, dass vollständige Beweise nicht in die Wikipedia gehören. Man kann die blauen Kästen aber auch nicht einfach weglassen oder überspringen, weil sich die Diskussion der Konvergenzgeschwindigkeit darauf bezieht. --Yonatan 18:29, 21. Apr 2005 (CEST)

Zur Sprache s. oben. Die Gegenbeispiele stehen jetzt an einer besseren Stelle, wäre nett, wenn jemand dazu Diagramme machen könnte. Die zweite Herleitung ist eine zweite Herleitung, zur Motivation stehen jetzt ein paar Worte mehr. Und ja, man braucht den Fixpunktsatz zumindest als Idee, auch wenn er nicht wirklich für diesen Beweis gebraucht wird. Die Sache mit den Anfangswerten ist problematisch, ist zwar bei der geometrischen Motivation jetzt erwähnt, aber evtl. nicht wirklich verständlicher. Zur Beweise oder nicht verweise ich auf die Ackermannfunktion, dort kommt ein Beweis bzw. eine Beweisskizze für dieses doch recht „esoterische“ Thema vor. Man könnte die Rechnungen etwas kürzen, nur dann ist die Beweisskizze erst recht nur für „Eingeweihte“ nachvollziehbar. -- LutzL 12:57, 29. Apr 2005 (CEST)

contra: Weil zu viele Fachbegriffe nicht verlinkt sind. Bsp.: oszillieren, polynomial, Term, Iterationsvorschrift, Divergenz, Konvergenz, reelle Funktion, logarithmisch, superlinear, nichtlinear, Vektor, Neumannbedingungen, approximieren. Bei dem Originaltitel "Methodus fluxionum et serierum infinitarum" sollte erwähnt werden, dass das Latein ist. Boris Fernbacher 21:19, 4. Mai 2005 (CEST)

Anwendung des Newtonverfahrens

Die Inhalt des Artikels ist sehr ausführlich und vielseitig und dank Beispielen auch sehr verständlich. Was mir jedoch fehlt, sind praktische Anwendungen des Newton-Verfahrens, vielleicht im Bereich Wirtschaft, Technik oder Physik. Nach dem jetzigen Stand spielt das Verfahren nur in der Mathematik eine Rolle, was ich jedoch stark bezweifle. Zudem könnte man die Herleitung des Verfahrens erläutern. --Golden arms 15:39, 23. Mai 2005 (CEST)

Direkt im ersten Satz steht eigentlich alles: Es ist das Standardverfahren zur Loesung nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme. Die "Anwendungsbeispiele" finde ich allerdings auch nur so mittel gewaehlt.

Die Herleitung wird Dir dagegen ueber eine ganze Bildschirmseite nahegebracht. --DaTroll 16:27, 23. Mai 2005 (CEST)

Lesenswert-Diskussion

Das Newtonsche Näherungsverfahren, auch Newton-Raphsonsche Methode, (benannt nach Sir Isaac Newton 1669 und Joseph Raphson 1690) ist in der Mathematik das Standardverfahren zur numerischen Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen. Im Falle einer Gleichung mit einer Variablen lassen sich zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung f(x) = 0, d.h. Näherungen der Nullstellen dieser Funktion finden. Die grundlegende Idee dieses Verfahrens ist, die Funktion in einem Ausgangspunkt zu linearisieren, d.h. ihre Tangente zu bestimmen, und die Nullstelle der Tangente als verbesserte Näherung der Nullstelle der Funktion zu verwenden. Die erhaltene Näherung kann wieder Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt dienen. Diese Iteration wird so oft wiederholt, bis die Änderung in der Näherungslösung eine festgesetzte Schranke unterschreitet. Das unendlich oft fortgesetzte Iterations-Verfahren konvergiert im günstigsten Fall mit quadratischer Konvergenzordnung, die Zahl der korrekten Dezimalstellen verdoppelt sich dann in jedem Schritt.

Pro Antifaschist 666 00:26, 27. Sep 2005 (CEST)

Pro Anschaulich, umfangreich, mathematisch fundiert... top. -- mkill - ノート 07:47, 29. Sep 2005 (CEST)

Pro Gefällt mir. Wird auch mal Zeit für so schöne Mathe-Artikel. --Udq8 10:55, 29. Sep 2005 (CEST)

Kontra Mir ist das zu unübersichtlich. Die Formeln sollten auf ein unbedingt notwendiges Maß reduziert werden. --Schwalbe ^Disku 14:34, 30. Sep 2005 (CEST)

Pro--G 23:39, 30. Sep 2005 (CEST)

Newton Methode zur min- bzw. maximierung

Die Newton-Methode wird auch zur minimierung oder maximierung von Funktionen eingesetzt, indem eine Nullstelle der ersten Ableitung f' gesucht wird. Könnte das jemand in den einleitungstext schreiben? Ich formulier leider recht schlecht :) 14:11, 21. Sep 2006 (CEST)

Ich halte das ehrlich gesagt nicht fuer erwaehnenswert. Das Newton-Verfahren findet Nullstellen, dass das Nullstellen der ersten Ableitung sein koennen, ist keine grosse Sache. --P. Birken 14:18, 21. Sep 2006 (CEST)

Allerdings ist diese Nullstellensuche der Ableitung das zentrale Verfahren der nichtlinearen Optimierung. Wer den Begriff des Newton- oder Quasi-Newtonverfahrens dort aufgeschnappt hat und hier nachschlägt, wird evtl. nicht mit dem Verfahren hier klarkommen, bzw. nicht erkennen dass es überhaupt dasselbe ist, sondern annehmen das es zwei Verfahren mit diesem Namen gibt. Siehe auch die Englische Version des Artikels. 14:33, 21. Sep 2006 (CEST)

OK, das stimmt. Das sollte unter "Varianten des Newton-Verfahrens" abhandelt werden. Unterschreiben kannst Du uebrigens mit ~~~~. --P. Birken 14:39, 21. Sep 2006 (CEST)

Verbesserungsvorschläge zum Absatz Lokale quadratische Konvergenz

Ich finde Formeln im Wiki im Allgemeinen sehr beängstigend. Aus diesem Grunde wünschte ich mir, dass sie etwas intuitiver zu lesen wären. Verwirrend fand ich ohnehin, dass (a-x) durch (x-a) vertauscht wurde. Also, hier mein Ansatz zur Verbesserung:

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f } eine zweimal stetig differenzierbare reelle Funktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a } eine Nullstelle von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f } , in welcher die Ableitung keine Nullstelle hat. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion transversal, d.h. nicht-berührend, die x-Achse schneidet. Sei x ein Punkt nahe bei a. Dann kann die Taylor-Formel zweiten Grades (mit Restglied)

	$0=f(a)=f(x+(a-x))=f(x)+f'(x)(a-x)+{\tfrac {1}{2}}f''(\xi )(a-x)^{2}$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi \in [x, a] }
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow a-x=\frac{f(x)}{f'(x)}+\frac{f''(\xi)}{2\,f'(x)}(a-x)^2}	nach der Differenz (a-x) umgestellt werden,
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow a - N_f(x)=a - x-\frac{f(x)}{f'(x)}= \frac{f''(\xi)}{2\,f'(x)}(a-x)^2}	Nun so umstellen, dass der Newton-Operator auf der rechten Seite erscheint,
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow \Bigl\|N_f(x)-a\Bigr\|\le\frac{M_2}{2m_1}\|x-a\|^2} .	Die Abschätzung gilt, falls I ein Intervall um a ohne Nullstelle der Ableitung f'(x) ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_1=\min_{x\in I}\|f'(x)\|} sowie $M_{2}=\max _{x\in I}\|f''(x)\|$ Schranken der Ableitungen von f sind.

Falls jemand den Verbesserungsvorschlag für echt besser hält, dann kann diese Person ihn ja übernehmen. Grüße Michael

Ist etwas ungünstig, da die Formeln eh schon breit sind und nicht jeder einen hochauflösenden Monitor hat. Das aktuelle Format kann sicher noch verschönert werden, insbesondere, indem lange Zeilen vermieden werden. Wenn Du aus Deinem Vorschlag Teile zur Erhöhung der Lesbarkeit im Artikel einbauen möchtest, dann nur zu. Nur die Tabelle würde ich draußen lassen. Dass TeX hier häßlich aussieht (z.B. Serifen im Mathemodus, serifenlos außen, sollte wenn, dann andersherum sein), ist ein altes Problem.--LutzL 09:37, 29. Mai 2007 (CEST)

Java-Programm

Das ist nicht wirklich sauber programmiert. Der Abbruch nach 99 iterationen und dann noch die Bedingung x==xold passen nicht zur Beschreibung. x==xold benutzt die ungenauigkeit in einem Rechner, ist aber nicht wie einstellbar, wie oben mit den epsilons angedacht. Die Genauigkeit ist somit Rechnerabhängig, was nicht sein sollte.

Das ist kein Java-Programm, sondern eine Routine in ECMA-Skript, auch als Javaskript bekannt. Für eine Quick'n'Dirty-Implementation ist das OK.--LutzL 09:39, 29. Mai 2007 (CEST)

Probleme des Newton-Verfahrens

Im Artikel zur Optimierung wird kurz erwähnt, dass das Newton-Verfahren nicht robust ist. Ebenso werden dort Lösungsansätze genannt (Globalisierungsstrategien).

Könnte ein (mathematisch) erfahrener Autor das bitte auch in diesem Artikel ergänzen und wenigstens so weit ausführen, dass man weiß, wo (oder unter welchen Begriffen) man mehr zu dem Thema findet?

Die mangelnde Robustheit wird hier erklaert. Global kovergente Newton-Verfahren sind sicherlich ein Todo. --P. Birken 11:46, 21. Sep. 2007 (CEST)

bild newton-iteration

läuft etwas schnell die animation. etwas sehr schnell --Micha81 06:08, 26. Mär. 2008 (CET)

Neue Galerie

Also ich finde die neue Galerie etwas zu ausführlich und nicht repräsentativ. Die wesentliche Anwendung des Newton-Verfahrens liegt sicher nicht in der komplexen Ebene, auch wenn das eine wichtige Anwendung ist. Deswegen bin ich der Meinung dass die Galerie so etwas den Rahmen sprengt. Kann man das vielleicht kürzen? Oder in einen anderen Artikel einbauen? Newton-Fraktal vielleicht? --P. Birken 21:13, 2. Apr. 2008 (CEST)

Hi. Der Punkt ist: die Galerie *ist* repräsentativ. Zumindest für Polynome mit Grad > 2, die nicht von der Form z^n sind. Es ist in dem Sinne repräsentativ, dass die Einzugsgebiete der Nullstellen unendlich zerklüftet sind, und dass sich in jeder Umgebung von ∞ Startwerte finden, die gegen eine beliebige Nullstelle konvergieren.

Vom Standpunkt der Numerik aus ist das Newton-Verfahren eine lokale Methode: für Werte, die nah genug an einer Nullstelle sind, kann man Konvergenz zeigen und klassifizieren. Es gibt jedoch praktisch keine Resultate zur globalen Dynamik des Verfahrens. Die Untersuchungen dazu reichen zurück bis 1879, als A. Cayley das Newton-Verfahren auf C ausdehnte, um mehr über dessen globale Eigenschaften zu erfahren. Und mehr oder weniger frustriert aufgab. Die Galerie soll eine Vorstellung darüber geben, was während der Iterierens global geschieht, und dass die Verhältnisse bei weitem nicht so einfach liegen, wie man zunächst glaubt. Diesen Vorstellung können die Bilder m.E. recht gut vermitteln, auch ohne grosses Formelwerk.

Die Galerie ist nicht repräsentativ, was den zyklischen Attraktor angeht. Nach Barna konvergieren für ein reells Polynom, dessen sämtliche Nullstellen im reellen liegen, fast alle Startwerte gegen eine Nullstelle. Allein diese Aussage ist ohne komplexe Zahlen nicht zu machen (dann liegen immer alle Nullstellen im Reellen). Gleichwohl treten zyklische Attraktoren üblicherweise nicht auf. Dennoch habe ich dieses Beispiel bewusst gewählt, um diesen Fall nicht aussen vor zu lassen. Selbst in der WP ist an manchen Stellen über das Newton-Verfahren zu lesen "so lange iterieren, bis man nah genug an einer Nullstelle ist"...

Was die Bildbeschreibungen angeht, gebe ich dir recht. Sie ist ausführlich. (Aber allemal besser als nur ein Bild "Newton-Fraktal für..." und aus. Was fängt man damit an? Ist das Fraktal nun pink, gelb oder blau?) Evtl. wäre die Galerie besser gegen Ende des Artikels platziert, ich hatte den Ort nach Thema gewählt.

Der Artikel "Newton-Fraktal" ist m.E. ziemlich unglücklich, da das Newton-Fraktal von f einfach die Julia-Menge zu N_f und ausserdem nicht immer fraktal ist.

--Georg-Johann 23:58, 2. Apr. 2008 (CEST)

OK, also Du willst globale Konvergenz und Divergenz illustrieren. Nun ist an dem Punkt noch nicht mal lokale Konvergenz erklärt und an der Situation im Komplexen und von quadratischen Funktionen im Besonderen dürften die meisten der Anwender überhaupt kein Interesse haben. Das ist mein Problem: damit wird eine spezielle Anwendung des Newton-Verfahrens auf mehr als einer Bildschirmseite ausgebreitet. --P. Birken 11:58, 6. Apr. 2008 (CEST)

Am Artikelaufbau wurde nichts geändert, und die Funktion (bzw die Eigenschaften des zugehörigen Newton-Verfahrens) wird vorher besprochen, siehe Newton-Verfahren#Konvergenzbetrachtungen. Solch ein Aufbau – erst erläuternde und anschaulich deskriptive Ausführungen und erst dananch Formeln und Herleitungen – finde ich angemessen. Hier handelt es sich um einen enzyklopädischen Artikel und nicht um ein Mathematikbuch, Beweise und Herleitungen sollten m.E. in den Hintergrund treten.

Wieso die Anwendung des Newton-Verfahrens zum Auffinden von Nullstellen "eine spezielle Anwendung" ist, verstehe ich nicht ganz. Das Beispiel wird natürlich konkret, indem es sich auf die vorher besprochene Funktion bezieht, die auch beliebig kompliziert gewählt werden könnten... zudem sind die kompexen Zahlen allgemeiner als die reellen, und nicht umgekehrt.

Woran Leser dieses Artikels Interesse haben (oder nicht haben dürfen) vermag ich nicht zu beurteilen.

--Georg-Johann 17:32, 9. Apr. 2008 (CEST)

Es ist doch gerade unsere Aufgabe als Autoren, genau das zu beurteilen. Die von Dir gezeigte Anwendung besteht darin, Nullstellen eines komplexen Polynoms dritten Grades zu finden. Kein Mensch macht das mit dem Newton-Verfahren, wenn er nicht gerade Fraktale erzeugen will. Die Anwendungen des Newton-Verfahrens liegen doch gerade in der Berechnung von Nullstellen, wo Computeralgebrasysteme zu langsam oder nicht fähig sind.

Was die lokale Konvergenz angeht, so hast Du recht, die wird vorher erwähnt. Grundsätzlich stimme ich Dir ja zu, was Deine Einschätzung von Enzyklopädieartikeln angeht, nur finde ich weiterhin diese Galerie nicht wirklich illustrativ. --P. Birken 21:11, 9. Apr. 2008 (CEST)

*click* für Beschreibung

Die Situation ist für meromorphe Funktionen nicht anders, ebenso für transzendente Funktionen auch nicht grundsätzlich verschieden (jedoch weniger erforscht). Das Newton-Verfahren ist doch unabhängig von CA-Systemen existent. Ansonsten würden sich viele mathematische Artikel in der WP mit nem lapidaren Verweis zu "CA-System" bescheiden. Fändst Du denn wo was wie nebenstehend -- nach entsprechender Bearbeitung/Betextung -- illustrativer? Von unten nach oben ist's die Situation in R. Oder ist globale Dynamik generell uninteressant?

--Georg-Johann 23:02, 9. Apr. 2008 (CEST)

Ich weiß eigentlich nicht, warum man auf komplexe Beispiele überhaupt dermaßen ausführlich eingehen sollte. Was Deine Bemerkung zu CA soll, verstehe ich nicht: Das Newton-Verfahren ist eins der meistgenutzten Verfahren zur numerischen Lösung nichtlinearer Gleichungen und Beispiele die auch was mit der Praxis zu tun haben, sind besser als solche, die mit der Praxis gar nichts zu tun haben. Beim Bild rechts muss ich gestehen dass ich das ohne Betextung nicht verstehe. --P. Birken 18:51, 11. Apr. 2008 (CEST)

Es geht in diesem Fall nicht darum, das Newton-Verfahren für eine bestimmte Funktion explizit zu machen und dadurch zu erläutern. Dies geschieht ja bereits an mehrfach anderen Stellen des Artikels ausgiebigst.

Für die globale Untersuchungen ist es nun mal günstig, diese über C zu machen. Die komplexen Zahlen sind ja kein Selbstzweck, sondern viele Ergebnisse, die man über C erhält, lassen sich über R nur sehr mühsam oder garnicht gewinnen. Diese Untersuchungen sind unabhängig davon, ob man bei der konkreten Anwendung in R rechnet oder in C. Das Konzept, den reellen Horizont hinter sich zu lassen, um an Ergebnisse zu kommen, ist ja nicht neu. Über C ist eben vieles einfacher, weil es der algebraische Abschluss von R ist. In der Funktionentheorie ist das zB auch nicht anders. Das Verständnis von Konvergenzradien etwa ist kaum möglich, wenn man über R bleibt (etwa arctan), über C sieht man jedoch sofort, wo es hakt (an einer Singularität).

Für ein dynamisches System wie hier ist z.B. das Verhalten der kritischen Punkte essenziell. Sucht man Nullstellen von f, sind das hier die kritischen Punkte von N_f. Auch für reellwertige Funktionen liegen diese i.d.R nicht in R.

Ich versteh immer noch nicht, was an komplexen Zahlen schlimm ist. Das Newton-Verfahren hätte nicht die Bedeutung die es hat, wenn Konvergenz nur in der beweisbaren Umgebung der Nullstelle stattfände. Nach der globalen Dynamik zu fragen ist also durchaus spannend, auch wenn die vielzitierte mathematisch interessierte Oma (s.o.) und Leser, die nur Schulmathe als Hintergrund haben, wahrscheinlich aussenvor bleiben.

--Georg-Johann 21:27, 13. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe den Eindruck, dass Du gar nicht verstehst, worum es ir geht. Lies doch bitte nochmal meinen ersten Beitrag in diesem Thread: Das Beispiel ist einfach viel zu lang. Darüberhinaus illustriert es, wie Du aus dem Rest dieser Diskussion ablesen kannst, nicht das was Du illustrieren willst. --P. Birken 17:10, 14. Apr. 2008 (CEST)

Ich hab nur noch den Eindruck, dass wir komplett aneinander vorbei reden

--Georg-Johann 17:40, 15. Apr. 2008 (CEST)

Ich hatte ehrlich gesagt nie den eindruck, dass wir über dasselbe reden. Ich habe die Galerie erstmal entfernt. --P. Birken 22:00, 16. Apr. 2008 (CEST)

Newton-Raphson

Ich kenne noch "Newton-Raphson" als Bezeichnung für den mehrdimensionalen normalen Newton .... in der Numerik, soweit ich das sehe, kommt "Newton-Raphson" sehr häufig als Begriff vor, daher sollte der Begriff auch auf dieser Seite erscheinen, oder nicht? Flynx 15:29, 5. Jun. 2008 (CEST)

Tut es doch, steht im ersten Satz und unter Historisches. Newton hat konkrete Gleichungen 3. Grades bearbeitet, Raphson hat allgemeine Gleichungen 3. Grades behandelt, und erst Simpson hat das Verfahren in der heutigen Form formuliert. Das mehrdimensionale Verfahren wird oft Kantorowitsch zugeschrieben, mir erscheint aber 1940 als relativ spät dafür.--LutzL 08:37, 6. Jun. 2008 (CEST)

Hm, ja, das hatte ich auch gelesen, aber als ich nach "Newton-Raphson" gesucht habe, war nichts zu finden. Außerdem, mit dem N-R ist, soweit ich weiß, konkret der mehrdimensionale Fall des allgemeinen Newton-Verfahrens gemeint. Ist so auch nicht zu finden, erwähnt wird nur Gauss-Newton, was m.E. aber was anderes ist. Flynx 10:11, 6. Jun. 2008 (CEST)

Wäre wie gesagt unlogisch, da erst Simpson längere Zeit nach Newton und Raphson die allgemeine Form des eindimensionalen Verfahrens einführte. Dass die WP-Suchmaschine suboptimal ist, ist schon lange bekannt und leider unverändert. Newton-Raphson-Verfahren gibt es als Weiterleitung, warum das nicht als erstes gefunden wird, ist mir unklar. Und das mehrdimensionale Verfahren ist auch hier im Artikel beschrieben.--LutzL 14:35, 6. Jun. 2008 (CEST)

Varianten des Newton-Verfahren: Globalisierungsmethoden

Man könnte bei Variantent des Newton-verfahren noch das Gedämpfte Newton-Verfahren und das Homotopie-Newton-Verfahren als zwei Methoden zur Erweiterung des Einzugbereiches erwähnen. Allerdings müsste man dann die Einleitung des Abschnitts erweitern. Wenn ich mal Zeit habe werde ich mich mal daran versuchen, allerdings wäre ich auch nicht böse wenn mir jemand mit mehr Fachwissen zuvorkommt :-) Schönen Gruß "Wohingenau" 23:39, 6. Apr. 2009 (CEST)

^^ Das wäre wirklich eine gute Verbesserung. Ich selbst bin nur auf die Seite gekommen weil ich etwas über das gedämpfte Newton Verdahren erfahren wollte... leider ohne Erfolg. Auch interessant wäre es zu wissen was man macht wenn die Jacobi-Matrix singulär ist. Da gibt es ja scheinbar auch abwandlungen vom Newton Verfahren dafür... leider weiß ich nichts genaues, würde es aber gerne wissen. -- 94.217.133.120 14:56, 16. Jun. 2010 (CEST)

Alternative Verfahren

Es wäre gut, wenn in dem Artikel nicht nur die Varianten des NR-Verfahrens dargestellt werden würden, sondern auch auf Alternativen verwiesen werden würde (z.B. Bisection). Außerdem wäre es schön, wenn noch auf Verfahren verwiesen werden würde, welche Gebrauch von höheren Ableitungen machen (sofern es solche überhaupt gibt). --Sepp 18:24, 9. Mär. 2011 (CET)

binomische / trinomische Formel ?

Im Absatz "Historisches über das Newtonverfahren" steht "Nach den binomischen Formeln gilt...". Der darunter stehende Rechenvorgang ist allerdings an den trinomischen Formeln angelehnt. --Donoloam 22:41, 5. Jun. 2011 (CEST)

Noe, es werden Potenzen von (x+h) entwickelt. Zwei Variablen, also Binom. Man könnte natürlich auch den binomischen Lehrsatz zitieren, was bei der dritten Potenz als höchster leicht übertrieben ist.--LutzL 12:07, 6. Jun. 2011 (CEST)

Ok, das sehe ich ein. --Donoloam 23:03, 6. Jun. 2011 (CEST)

Erstes Beispiel

Der Satz "Die Quadratwurzel einer Zahl $a>0$ ist die positive Nullstelle der Funktion $f(x)=1-a/x^{2}$ ." ist zwar richtig, aber doch an den Haaren herbeigezogen. Es funktioniert doch auch mit $f(x)=x^{2}-a$ . ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 23:08, 30. Okt. 2013 (CET)

Da versucht man mal interessant zu sein... Und das Heronverfahren wird doch auch im Artikel behandelt, zugegebenermaßen nun ziemlich weit unten, könnte vielleicht umsortiert werden, die weiteren Beispiele vor den theoretischen Erörterungen. -- Und nein, es ist nicht an den Haaren herbei gezogen. Auf diesem Weg erhält man ein (fast) divisionsfreies Verfahren zur Quadratwurzelbestimmung, in der Computeralgebra wird das oft verwendet.--LutzL (Diskussion) 01:55, 31. Okt. 2013 (CET)

Das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen

Das Formelbeispiel im Abschnitt "Das Newton Verfahren im Mehrdimensionalen" stellt meines Erachtens das Gauß-Newton Verfahren dar und NICHT das reine Newton(-Raphson). Liest man sich im Vergleich dazu auch den Artikel zum Gauß-Newton Verfahren durch, speziell den Abschnitt "Unterschied zwischen Gauß-Newton-Verfahren und Newton-Verfahren" ist die Verwirrung komplett, da hier von einer Hesse-Matrix gesprochen wird, die im Artikel zum Newton-Verfahren nirgendwo auftaucht.

In der englischen Wikipedia findet man zum Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen ein anderes Formelwerk (mit Hesse-Matrix). Vielleicht kann das mal ein Mathematiker prüfen, ich bin mir selbst leider zu unsicher in dem Thema. --Kkrepp (Diskussion) 15:06, 6. Nov. 2013 (CET)

Nein. Abgesehen davon, dass Gauß-Newton als ein Anwendungsfall dargestellt wird, sind keine Gradienten und Hesse-Matrizen zu sehen. Und bitte den englischen Link genauer lesen, da geht es um die Anwendung des Newton-Verfahrens in der Optimierung, nicht um allgemeine nichtlineare Gleichungssysteme.--LutzL (Diskussion) 15:45, 6. Nov. 2013 (CET)

Vielleicht habe ich mich nicht ganz klar ausgedrückt. Mich irritiert, dass auf der Seite zum Newton-Verfahren (im Mehrdimensionalen) das Gauß-Newton Verfahren beschrieben wird. Ich habe mir den Abschnitt zum Vergleich der beiden Verfahren durchgelesen -- dieser Vergleich lässt sich jedoch nicht in Formeln nachvollziehen, da in beiden Artikeln für den mehrdimensionalen Fall das selbe Verfahren (Gauß-Newton) dargestellt wird.

Das ist sicherlich legitim, da das eine ein Sonderfall des anderen ist; führ aber zu Missverständnissen, wenn man beide Artikel im Kontext liest. Daher mein Vorschlag: auf der Seite zum Newton-Verfahren würde ich gerne lesen, wie das Newton-Verfahren allgemein im Mehrdimensionalen aussieht. Gruß, --Kkrepp (Diskussion) 16:18, 6. Nov. 2013 (CET)

Genauso, wie es im Artikel dargestellt wird. Ich sehe nicht, wie man das Verfahren auf dieser und der Gauß-Newton-Seite durcheinander bringen könnte. Wenn überhaupt, dann ist der Gauß-Newton-Artikel missverständlich formuliert.

Also zum Vergleichen: ** Gauß-Newton findet für ein überbestimmtes nichtlineares Gleichungssystem F(x)=0 die nächste Suchrichtung s durch Minimieren von

\|F(x)+F'(x)\,s\|_{2}^{2}

. Statt des Minimierens kann man auch direkt mit einer Pseudo-Inversen dieses System lösen, Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle s=-F'(x)^{\oplus }\,F(x)} . ** Bei der Spezialisierung des Newton-Verfahrens auf das Optimierungsproblem, die Fehlerquadratsumme

\|F(x+s)\|_{2}^{2}

zu minimieren, kommt in der quadratischen Näherung in s neben den Termen des Gauss-Newton-Verfahrens noch ein Term

F(x)^{T}F''(x)[s,s]

hinzu, der die zweiten Ableitungen der vektorwertigen Funktion F enthält. Ob man da von Hesse-Matrix reden will, ist zweifelhaft, die Hesse-Matrix der Fehlerquadratsumme ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle s^{T}F'(x)^{T}F'(x)s+F(x)^{T}F''(x)[s,s]} , kommt mit Matrix- und Tensornotation etwas kompliziert. ** Im normalen mehrdimensionalen Newtonverfahren geht man von einem regulären Gleichungssystem F(x)=0 aus, gleiche Anzahl von Variablen und Gleichungen, reguläre Jacobi-Matrix. Der Newtonschritt wird durch direktes Lösen des linearen Gleichungssystems

F(x)+F'(x)\,s=0

, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=-F'(x)^{-1}F(x)} bestimmt.

Das sind drei verschiedene Verfahren für zwei verschiedene Systeme. Gauß-Newton auf ein reguläres Problem angewandt ergibt das Newton-Verfahren. Der volle Optimierungsansatz enthält immer zweite Ableitungen, kann also nur für lineare Probleme sich auf das Newton-Verfahren reduzieren. Aber wer löst lineare Gleichungssysteme mit dem Newton-Verfahren?--LutzL (Diskussion) 18:07, 6. Nov. 2013 (CET)

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Insbesondere hast du die Ausgangspunkte für die Verfahren klar abgegrenzt dargestellt, und somit einige grundsätzliche Verständnisprobleme bei mir klargemacht... Ich habe mir daher nochmal ein Lehrbuch zur Hand genommen (und werde das in Zukunft neben der Wikipedia öfters benutzen).

Deinen Kommentar zum Gauß-Newton Artikel kann ich aber unterstützen. Neben dem Anwendungsbeispiel fehlt eine knappe, klare (mathematische) Formulierung des Grundkonzeptes. Gruß, --Kkrepp (Diskussion) 08:36, 8. Nov. 2013 (CET)

Reverses Newton-Verfahren

Ich benutze ein reverses Newton-Verfahren zur Anzeige der komplexen Nullstellen einer reellen Funktion. Der Quotient ist dabei genau umgekehrt: Teile die Ableitung durch die Ursprungsfunktion. Bei einer quadratischen Funktion die erste Ableitung, bei einer kubischen Funktion die zweite, usw. Die Nullstellen des so enstehenden Graphen zeigen die komplexen Nullstellen im Reellen an. Gibt es dafür eigentlich einen Namen? (nicht signierter Beitrag von 79.247.201.110 (Diskussion) 10:36, 13. Jan. 2017 (CET))

Berechnung von natürlichen Logarithmen.

Vielleicht wäre es schön wenn jemand auch noch etwas dazu schreiben könnte, oder erklären könnte wie man natürliche Logrtihmen mit Newton berechnen kann. (nicht signierter Beitrag von 2003:E0:5F2F:8850:7A31:C047:23BE:6A0B (Diskussion) 22:19, 8. Jan. 2020 (CET))

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