Diskussion:Peano-Axiome

In der ursprünglichen Formalisierung muss unter 5. meiner Meinung '\forall n \in M' satt '\forall n \in \mathbb{N}' stehen. Dies bestätigt auch PlanetMath http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html (nicht signierter Beitrag von 91.97.114.51 (Diskussion) 11:38, 19. Aug. 2011 (CEST))

Eigentlich nicht, in der dortigen Formel ist der benannte Allquantor gar nicht explizit angegeben. Quantifikation über X (so heißt M hier) statt N wäre auch nicht gleichwertig, weil es ja bei der hier angegebenen Formalisierung Elemente geben kann, die in X - N sind. Grüße--Schreiber ✉ 15:49, 20. Aug. 2011 (CEST)

Ursprüngliche Formalisierung Punkt 5

Hallo zusammen,

ich denke unter Punkt 5 in der ursprünglichen Formalisierung ist N sogar gleich X (damit ist der Ausdruck N Teilmenge von X zwar nicht falsch, aber irreführend). Denn ist 0 Element von X (nach Voraussetzung), dann auch alle Nachfolger der Null und damit ganz N.

In der urpsürnglichen (http://www.archive.org/details/arithmeticespri00peangoog, Seite 1 unter "Axiomata") und der hier angegebenen Formalisierung kann es in der Grundmenge Elemente geben, die nicht in N sind; diese können sich auch in X befinden (die Grundmenge erfüllt ja schon die Voraussetzung des Induktionsaxioms). Grüße--Schreiber ✉ 19:30, 29. Aug. 2011 (CEST)

Beweise

Ich hätte Beweise, dass die Kommutativgestze, Assoziativgesetze und das Distributivgesetzt aus den Peano-Axiomen folgen. Sollen die in den Artikel rein oder in das Beweisarchiv? (nicht signierter Beitrag von Letkhfan (Diskussion | Beiträge) 16:57, 1. Jun. 2012 (CEST))

Gerne, besser ins Beweisarchiv. Gruß--Schreiber ✉ 18:40, 1. Jun. 2012 (CEST)

Formalisierung in der Prädikatenlogik erster Stufe

Woher stammen die in diesem Abschnitt gemachten Aussagen? In der angegebenen Literatur finde ich nichts dazu. --217.226.67.44 19:15, 6. Jun. 2016 (CEST)

Welche Aussagen meinst du konkret? Bei Hermes müsste eigentlich etwas stehen. Sonst sehr wahrscheinlich in Ebbinghaus, Flum, Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Verlag (habe ich nicht da, aber meiner Erinnerung nach). --Digamma (Diskussion) 21:17, 6. Jun. 2016 (CEST)

Wozu Axiom 4?

Aus meiner Sicht ist das vierte Axiom (Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.) vollkommen überflüssig. Denn beispielsweise ist die 7 der Nachfolger der 6, folglich ist 6 = 6, weil die 6 (also die andere 6!) ebenfalls den Nachfolger 7 hat. Das ist trivial. Oder kann mir irgendwer einen sinnvollen Grund nennen, wozu dieses vierte Axiom gut sein soll (außer, daß Peano es nun einmal so formuliert hat)?--Wikilaser (Diskussion) 23:17, 19. Jul. 2017 (CEST)

Wenn du 7 := 6´ definiert hast, dann ist ((7=7) => (6=6)) in der Tat trivial. Peano allerdings hat die natürlichen Zahlen "schematisch" beschrieben, nicht à la von Neumann definiert: "eine Menge, die diese Eigenschaft erfüllt, ist die der natürlichen Zahlen". Und gäbe es Axiom 4 nicht, dann wäre zum Beispiel auch $\mathbb {F} _{2}$ (mit der Definition 0' :=1, 1' := 1 (!)), die natürlichen Zahlen, denn: $0\in \mathbb {F} _{2}$ check, $0'=1\in \mathbb {F} _{2},1'=1\in \mathbb {F} _{2}$ check, $0'=1\neq 0,1'=1\neq 0$ check, $X{\textrm {wie}}~{\textrm {beschrieben}}\implies \{0,1\}\subseteq \{0,1\}$ check. --2001:A61:20E9:2501:35C9:7BE0:8E06:36B4 20:59, 27. Jul. 2017 (CEST)

Peano hat doch bereits in den Axiomen 1 bis 3 klar definiert, wie sich die Natürlichen Zahlen aufbauen. Selbst Axiom 5 halte ich für überflüssig, da die Einbettung einer Menge A in eine andere Menge B zur Definition der Menge A nicht benötigt wird. Diese ergibt sich durch Betrachtung der Eigenschaften der jeweiligen Mengen und hat meiner Meinung nach in der Definition einer Menge erst einmal nichts zu suchen. Aber zurück zu Axiom 4: Welches Beispiel zweier Natürlicher Zahlen gibt es denn, die beide denselben Nachfolger haben? Denn nur dann ist Axiom 4 sinnvoll. Da es aber meines Wissens kein einziges solches Beispiel gibt (bzw. gar nicht geben kann), ist Axiom 4 überflüssig. Ansonsten erkläre doch bitte noch in allgemein verständlicher Sprache, was Du mit "Und gäbe es Axiom 4 nicht, dann wäre zum Beispiel auch $\mathbb {F} _{2}$ (mit der Definition 0' :=1, 1' := 1 (!)), die natürlichen Zahlen, denn: $0\in \mathbb {F} _{2}$ check, $0'=1\in \mathbb {F} _{2},1'=1\in \mathbb {F} _{2}$ check, $0'=1\neq 0,1'=1\neq 0$ check, $X{\textrm {wie}}~{\textrm {beschrieben}}\implies \{0,1\}\subseteq \{0,1\}$ check." meinst.--Wikilaser (Diskussion) 00:20, 28. Jul. 2017 (CEST)

Peanos Definition ist generativ, d.h. sie gibt die Axiome, mit denen Mann die Natürlichen Zahlen auf der Nachfolge-Relation aufbauen kann. Sie ist nicht gedacht, "die" natürlichen Zahlen zu beschreiben oder die Menge der natürlichen Zahlen als ein gegebenes Objekt von einer anderen Zahlenmenge als gegebenem Objekt zu unterscheiden - vielmehr ist alles, was den Axiomen genügt bzw. bei gegebenen Start und den bestimmten Relationen erzeugt werden kann, etwas, das der Menge der natürlichen Zahlen in allen Arithmetischen Eigenschaften gleicht, was immer es auch sei. Und hier setzt die Argumentation des Kollegen an: wird die 1 als Nachfolger der Null definiert und als ihr eigener Nachfolger, so hast Du eine endliche Menge, bei der der Nachfolger der Null (des Startelement) ein anderes Element ist, als Null, die aber den anderen Axiomen genügt. Wenn aber ausgeschlossen ist, dass zwei Elemente der Menge der natürlichen Zahlen denselben Nachfolger haben, so kann es kein Abschlusselement in diesem Sinne geben. Und das hätten wir aus unseren naiven Vorverständnis der natürlichen Zahlen heraus auch gerne so.84.136.146.108 09:29, 28. Jul. 2017 (CEST)

Ok, Peano sagt in seinen Axiomen nicht, daß sich Zahl und Nachfolger um 1 unterscheiden müssen. Aber wenn die 1 als Nachfolger der 1 definiert würde (was bei den Natürlichen Zahlen nicht der Fall ist), dann wäre das ein Zirkelschluß, weil die 1 dann auch Vorgänger der 1 wäre, was wiederum die 0 als Vorgänger ausschließen würde. Wenn man jedoch die 0 als Startelement definiert und die 1 als Nachfolger der 0, dann ist der Vorgänger der 1 die 0, was ausschließt, daß die 1 als Nachfolger der 1 definiert werden kann. Peano hat in den ersten drei Axiomen klar definiert, daß 0 eine Natürliche Zahl ist, und daß sie die erste Natürliche Zahl ist (sprich kein Nachfolger einer Natürlichen Zahl ist), und daß jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat. Und da ein Nachfolger nicht gleich ihrem Vorgänger sein kann, ist entsprechend meiner Überlegungen Axiom 4 sinnlos.--Wikilaser (Diskussion) 10:52, 28. Jul. 2017 (CEST)

Nein, das wäre kein Zirkelschluss. In 1-3 ist nur ausgeschlossen, dass die Null Nachfolger einer Zahl ist. Dass jede Zahl einen eigenen Nachfolger hat, garantiert erst Axiom 4, und damit ist aber auch scihergestellt, dass keine Zahl mit ihren Nachfolger identisch sein kann (dann dann wäre sie Nachfolger ihres Vorgängers und ihrer selbst), so wie es 2001:A61:20E9:2501:3 oben beschrieben hat.

Axiom 4 stellt nicht etwa sicher, daß jede Natürliche Zahl ihren eigenen Nachfolger hat, sondern es impliziert sogar, daß es mehrere Natürliche Zahlen geben könne, die den gleichen Nachfolger haben können, und stellt sicher, daß diese dann gleich seien. Und ein solches Beispiel gibt es in den Natürlichen Zahlen wie erwähnt nicht. Und zwar ausschließlich wegen der Axiome 1 bis 3.--Wikilaser (Diskussion) 00:36, 29. Jul. 2017 (CEST)

Aus den Axiomen 1-3 und 5 ergibt sich aber nicht, dass ein Nachfolger nicht gleich seinem Vorgänger sein kann. Um das sicherzustellen, braucht es eben auch Axiom 4. --Mark (Diskussion) 11:10, 28. Jul. 2017 (CEST)

Es kann aus meiner Sicht niemals eine Zahl ihr eigener Nachfolger sein. Ein Nachfolger ist IMMER eine ANDERE Zahl. Das sagt ja schon das Wort Nachfolger an sich aus, dafür braucht man nicht auch noch ein extra Axiom. Folglich reichen die Axiome 1 bis 3 völlig aus. Und Axiom 5 braucht es ebenfalls nicht, da man (wie weiter oben schon erwähnt) die Einbettung in eine andere Menge (beispielsweise N in Z) über die Betrachtung und Vergleich ihrer jeweiligen Eigenschaften erhält.--Wikilaser (Diskussion) 00:20, 29. Jul. 2017 (CEST)

Die Bedeutung des Worts "Nachfolger" ist nicht Bestandteil der Axiome. Die Axiome dienen gerade dazu, die intuitive Vorstellung, die man mit den Wörtern verbindet, mathematisch zu fassen. --Digamma (Diskussion) 08:18, 29. Jul. 2017 (CEST)

Selbstverständlich ist diese Bedeutung Bestandteil der Peano-Axiome. Ansonsten hätte Giuseppe Peano dieses Wort nicht verwendet (bzw. nicht verwenden dürfen). Zur Definition des Begriffs "Nachfolger" siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Nachfolger_(Mathematik) --Wikilaser (Diskussion) 10:09, 29. Jul. 2017 (CEST)

Ich versuche das Argument der ersten Antwort oben noch ein bisschen zu verdeutlichen.

Man nehme eine Menge $M$ (als Kandidat für $\mathbb {N}$) mit genau zwei Elementen $0$ und $a$ (das Element $a$ sei von $0$ verschieden). Man definiert. $0'=a$ und $a'=a$.

Dann sind für diese Struktur die Axiome 1 - 3 erfüllt. Die Struktur ist aber offensichtlich kein geeignetes Modell für die Menge der natürlichen Zahlen. Und das liegt daran, dass sie Axiom 4 nicht erfüllt. --Digamma (Diskussion) 08:51, 29. Jul. 2017 (CEST)

Und für welche konkreten Natürlichen Zahlen ist die Definition a' = a tatsächlich erfüllt? Nenne mir bitte ein tatsächlich existierendes Beispiel!

Und weiterhin bleibt der Zirkelschluß in dieser Annahme (0' = a und a' = a) bestehen, denn wenn a bereits als Nachfolger der 0 definiert ist, dann kann a nicht zugleich als Nachfolger von a selbst definiert werden, das ist ein Widerspruch in sich.--Wikilaser (Diskussion) 10:01, 29. Jul. 2017 (CEST)

Und für welche konkreten Natürlichen Zahlen ist die Definition a' = a tatsächlich erfüllt? Für keine. Denn die natürlichen Zahlen erfüllen ja Axiom 4. Die Axiome dienen doch dazu, die natürlichen Zahlen von anderen Strukturen zu unterscheiden, sie zu charakterisieren.

denn wenn a bereits als Nachfolger der 0 definiert ist, dann kann a nicht zugleich als Nachfolger von a selbst definiert werden, das ist ein Widerspruch in sich.. Nein. Das ist eine Folgerung aus Axiom 4. Nach Definition definiert der Strich zunächst nur irgendeine Zuordnung. Welche Eigenschaften diese hat, ergibt sich aus den Axiomen. Ohne die Axiome kann man gar nichts folgern. Dass a nicht der Nachfolger von a sein kann, ergibt sich erst aus Axiom 4. Nochmal: Aus der Bezeichnung "Nachfolger" kann man in der Mathematik gar nichts folgern. Namen sind Schall und Rauch. --Digamma (Diskussion) 10:09, 29. Jul. 2017 (CEST)

Vielleicht hilft dir das:

Die Formulierung von Axiom 4 im Artikel

$\forall n,m(m,n\in \mathbb {N} \Rightarrow (m'=n'\Rightarrow m=n))$

ist logisch äquivalent zu

$\forall n,m(m,n\in \mathbb {N} \Rightarrow (m\neq n\Rightarrow m'\neq n'))$

Diese alternative Formulierung ist vielleicht einsichtiger. --Digamma (Diskussion) 10:14, 29. Jul. 2017 (CEST)

Das sehe ich nicht als logisch äquivalent an, diese beiden Aussagen haben eine völlig unterschiedliche Qualität!--Wikilaser (Diskussion) 10:24, 29. Jul. 2017 (CEST)

Deine alternative Formulierung würde ich als Peanos Axiom 4 gelten lassen (wenn er es gleich so formuliert hätte, gäbe es meinen Einwand gegen Axiom 4 gar nicht), denn sie sagt tatsächlich aus, daß jedes m von jedem n verschieden sei und folglich auch jedes m' von jedem n' verschieden sei.--Wikilaser (Diskussion) 10:29, 29. Jul. 2017 (CEST)

Daß 1 nicht Nachfolger der 1 sein kann, ergibt sich aus der Definition, daß 1 bereits der Nachfolger der 0 ist. Das genügt.

Man kann auch nicht sagen, daß Axiom 4 erfüllt sei, wenn es kein einziges konkretes Beispiel für zwei Natürliche Zahlen gibt, die beide denselben Nachfolger haben.--Wikilaser (Diskussion) 10:20, 29. Jul. 2017 (CEST)

1. Doch die beiden sind logisch äquivalent. Man nennt das die Kontraposition. Die Aussage "Wenn A, dann B" ist logisch äquivalen zu "Wenn nicht A, dann nicht B". Alltagsbeispiel: Die Aussage "Wenn es regnet, ist die Straße nass" ist logisch äquivalent zu "Wenn die Straße nicht nass ist, regnet es nicht".

2. Meine äquivalente Formulierung von Axiom 4 besagt nicht, dass jedes m von jedem n verschieden sei, sondern sie sagt: "Wenn m und n verschieden sind, dann sind auch n' und m' verschieden". Die Voraussetzung "Wenn m und n verschieden sind" muss deshalb explizit formuliert werden, weil im allgemeinen verschiedene Variablen durchaus auch denselben Wert annehmen können.

3. Daß 1 nicht Nachfolger der 1 sein kann, ergibt sich aus der Definition, daß 1 bereits der Nachfolger der 0 ist. Nein, dies ergibt sich erst aus einem Axiom, das besagt, dass verschiedene Zahlen auch verschiedene Nachfolger haben.

Natürlich ist das eine offensichtliche Aussage. Aber genau dazu sind Axiome da: Die offensichtlich richtigen Aussagen zu formulieren, damit man daraus dann andere, weniger offensichtliche Aussagen beweisen kann. --Digamma (Diskussion) 10:56, 29. Jul. 2017 (CEST)

Dein Beispiel mit dem Regen trifft hier aber nicht im übertragenen Sinne zu, wie Du das gern hättest. Überträgt man Peanos 4. Axiom auf das Regenbeispiel, dann müßte es so lauten: Für jede nicht überdachte Straße gilt, wenn es regnet, wird sie naß. Daraus folgt aber nicht, daß jede (oder auch eine ganz bestimmte) Straße nicht überdacht sein müsse. Jetzt klar?

Deine alternative Formulierung lese ich so: Für alle m und n gilt, wenn m und n Elemente der Natürlichen Zahlen sind, dann folgt daraus, daß m und n verschieden sind, und daraus wiederum folgt, daß auch m' und n' verschieden sind. Entsprechend lese ich auch Peanos Axiom 4.--Wikilaser (Diskussion) 23:28, 29. Jul. 2017 (CEST)

Ich habe noch einmal über die Lesart der Formulierung nachgedacht und muß feststellen, daß man es wohl doch nicht so lesen kann, wie ich es tat. Denn sonst hieße Peanos Axiom 4: Für alle m und n gilt, wenn m und n Elemente der Natürlichen Zahlen sind, dann folgt daraus, daß m und n gleich sind und daraus wiederum folgt, daß auch m' und n' gleich sind. Und das kann keinesfalls sein. Allerdings bleibt in Deiner Lesart die Möglichkeit bestehen, daß zwei Natürliche Zahlen m und n erlaubt sind, die denselben Nachfolger haben. Also quasi 1a und 1b mit jeweils dem Nachfolger 2. Und das ist in jedem Falle falsch, da es von jeder Natürlichen Zahl nur eine einzige gibt. Mein Einwand bleibt also bestehen, daß Peanos Axiom 4 nicht sauber formuliert ist hinsichtlich seines Zwecks. Man muß sich ja vor Augen führen, daß es die Natürlichen Zahlen bereits gab, bevor sich irgendwer darüber Gedanken gemacht hat, wie man eine eindeutige mathematische Definition dieser Menge formulieren kann.--Wikilaser (Diskussion) 21:26, 31. Jul. 2017 (CEST)

Ferner muß in der Definition einer Menge nicht darauf eingegangen werden, daß im Umgang mit mathematischen Operationen verschiedene Variablen gleich sein können. Das ist für die Definition einer Menge nicht von Belang.--Wikilaser (Diskussion) 23:34, 29. Jul. 2017 (CEST)

Fazit: Ich würde die Natürlichen Zahlen wie folgt definieren:

1.) Null ist eine Natürliche Zahl.

2.) Jede Natürliche Zahl hat eine Natürliche Zahl als Nachfolger, die um 1 größer ist als sie selbst.

3.) Null ist kein Nachfolger einer Natürlichen Zahl.

Mehr ist nicht erforderlich, da sich die vollständige Induktion aus diesen drei Axiomen ableiten läßt. Die Einbettung in eine andere Menge (beispielsweise N in Z) ist nicht erforderlich, da man ja hierfür einfach nur die Definition der Menge Z neben die der Menge N zu stellen braucht und so die Eigenschaften beider Mengen miteinander vergleichen kann. Und der Zusatz in Axiom 2 stellt sicher, daß es keine zwei gleichen Natürlichen Zahlen geben kann.--Wikilaser (Diskussion) 21:34, 31. Jul. 2017 (CEST)

Wenn man gerade dabei ist, die natürlichen Zahlen zu definieren, ist völlig unklar, was „um 1 größer“ bedeuten soll. Also sowohl das Wort „größer“ als auch das komische Symbol „1“ ;-) -- HilberTraum (d, m) 22:00, 31. Jul. 2017 (CEST)

Naja, wenn man so pedantisch auf die Formulierung achtet, dann ist Peanos Formulierung auch nicht so klar, wie das manche gern hätten. Ein paar Voraussetzungen waren ja schon gegeben. Schließlich waren die Natürlichen Zahlen als solche ja bereits da, bevor sich jemand Gedanken über eine eindeutige Formulierung einer Definition dieser Menge gemacht hat. Es bestand ja zu Peanos Lebzeiten auch schon Einigkeit über die Ziffern und deren Bedeutung, sowie darüber, was größer bzw. mehr und was kleiner bzw. weniger bedeutet. Also ist Peano selbst schon von bestimmten Voraussetzungen ausgegangen, zum Beispiel was dieses ominöse n' sein solle.--Wikilaser (Diskussion) 23:30, 31. Jul. 2017 (CEST)

Das Schöne an den Peano-Axiomen ist ja, dass man alles, was man über die natürlichen Zahlen weiß, vergessen kann. Dann nimmt man die Axiome und kann damit alles beweisen, was man vorher sowieso schon wusste ;-) -- HilberTraum (d, m) 19:55, 1. Aug. 2017 (CEST)

Wenn es denn nur so wäre. Ist es aber nicht. Denn Axiom 4 erlaubt ausdrücklich das Vorhandensein zweier Natürlicher Zahlen mit gleichem Nachfolger, also gewissermaßen 1a und 1b mit jeweils Nachfolger 2. Sinnvoll formuliert müßte es dies aber gerade unterbinden, da es das bei den Natürlichen Zahlen nicht gibt.--Wikilaser (Diskussion) 22:31, 1. Aug. 2017 (CEST)

Nein, im Gegenteil. Axiom 4 verbietet, dass es zwei natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger gibt. Es besagt nämlich: Wenn n und m den gleichen Nachfolger haben, dann sind n und m gar nicht zwei verschiedene natürliche Zahlen, sondern in Wirklichkeit dieselbe natürliche Zahl. --Digamma (Diskussion) 23:00, 1. Aug. 2017 (CEST)

Wo steht da etwas von "verbieten"? Da steht: "Wenn n und m Elemente der Natürlichen Zahlen sind ...". Und das besagt, daß n und m zwei (und nicht eine!) Natürliche Zahlen sind. Diese haben nun den gleichen Nachfolger. Das besagt jedoch nicht, daß sie auch den gleichen Vorgänger haben. Es kann also durchaus sein, daß die eine ähnlich der Null kein Nachfolger einer Natürlichen Zahl ist, während die andere ein Nachfolger einer Natürlichen Zahl ist. So erhalten wir zwei Natürliche Zahlen, die gewissermaßen nebeneinander stehen, die zwar gemäß Axiom 4 gleich (im Sinne von gleich groß oder von gleichem Wert) sind, jedoch trotzdem unterschiedliche Eigenschaften haben. Und deshalb ist Axiom 4 kein Verbot zweier gleicher Natürlicher Zahlen, sondern eine Erlaubnis hierfür.--Wikilaser (Diskussion) 00:44, 3. Aug. 2017 (CEST)

Quatsch. Zur Übung kannst du dir ja mal überlegen, was es für eine Menge $X$ bedeutet, wenn man fordert $\forall x,y\in X.\ x=y$. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:22, 3. Aug. 2017 (CEST)

Sinnvoller als Peanos Formulierung wäre dann doch eher: Für alle m und n Element N gilt, m ist ungleich n. Dann hätte man direkt das Verbot zweier gleicher Natürlicher Zahlen und bräuchte nicht den völlig unnötigen Umweg über denkbare bzw. mögliche Natürliche Zahlen mit gleichen Nachfolgern gehen. Begreifst Du den Unsinn, den Peano da fabriziert hat?--Wikilaser (Diskussion) 11:54, 3. Aug. 2017 (CEST)

Hmm? $\forall m,n\in \mathbb {N} .\ m\neq n$ bewirkt, dass $\mathbb {N}$ leer ist. Das will man sicher nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 13:00, 3. Aug. 2017 (CEST)

Wie kommst Du denn darauf, daß die Vorgabe $\forall m,n\in \mathbb {N} .\ m\neq n$ bewirken könne, daß $\mathbb {N}$ leer wäre? Bedenke bitte, daß bereits das erste Axiom bewirkt, daß $\mathbb {N}$ nicht leer ist, sondern ein erstes Element enthält. Das zweite Axiom erweitert die Menge $\mathbb {N}$ dann auf unendlich viele Elemente. Das dritte Axiom stellt sicher, daß Null die erste Natürliche Zahl ist. Falls wir jetzt überhaupt noch ein Axiom benötigen, dann eines, das besagt, daß keine zwei Natürlichen Zahlen gleich sein dürfen. Ein solches Axiom ist nur notwendig, wenn nicht klar ist, was n' bedeuten soll.--Wikilaser (Diskussion) 03:19, 4. Aug. 2017 (CEST)

Wende dein Axiom auf $m=0$ und $n=0$ an. Dann folgt $0\neq 0$. Das ist ein Widerspruch. Also gibt es gar keine 0.

Nein, wir brauchen kein Axiom, das besagt, daß keine zwei Natürlichen Zahlen gleich sein dürfen, denn zwei verschiedene Dinge sind logischerweise nicht gleich. Denn "gleich" bedeutet in der Mathematik immer "dasselbe". --Digamma (Diskussion) 10:33, 4. Aug. 2017 (CEST)

m = 0 und n = 0 ist keine Anwendung meines Axioms, sondern denkbares Ergebnis zweier mathematischer Operationen! Mein Axiom lautet in Worten: Wenn m und n Natürliche Zahlen sind, dann sind sie ungleich. Das bedeutet, wenn m eine Natürliche Zahl ist, und n eine andere Natürliche Zahl ist, dann sind sie ungleich. m muß dabei kein Nachfolger von n sein, sondern lediglich wie n ein beliebiges Element der Natürlichen Zahlen, nur nicht dasselbe, da jedes Element in einer Menge nur eine Bezeichnung haben kann. Die Tatsache 1 = 1 muß nicht in der Definition einer Menge angegeben werden. Das ist trivial.--Wikilaser (Diskussion) 12:13, 4. Aug. 2017 (CEST)

$\forall m,n\in \mathbb {N} .\ m\neq n$ impliziert $\forall n\in \mathbb {N} .\ n\neq n$. Ist es damit offenkundiger, dass Leerheit bewirkt wird?

Was die anderen Axiome sagen, spielt hierfür erstmal keine Rolle. Aber wenn man außerdem fordert, dass $\mathbb {N}$ nicht leer ist, gibt es $\mathbb {N}$ eben nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 10:48, 4. Aug. 2017 (CEST)

Du bist gedanklich immer noch bei einer mathematischen Operation, bei der zwei Variable denselben Wert annehmen können (und Peano war es auch), das ist der Haken. Hier geht es aber um eine Konstruktionsvorschrift (in diesem Fall um die Definition der Menge $\mathbb {N}$). Also die Frage, welche Eigenschaften soll die Menge haben, damit sie eindeutig durch die Definition beschrieben wird? Und da ergibt es absolut keinen Sinn, von zwei gleichen Zahlen zu sprechen, weil man die ja gerade nicht konstruieren will. Die Absicht ist, von jeder Natürlichen Zahl nur genau eine zu konstruieren.--Wikilaser (Diskussion) 12:13, 4. Aug. 2017 (CEST)

Vielleicht ist dir nicht klar, wie verschachtelte Quantoren funktionieren. $\forall x,y\in \mathbb {N} .\ \phi$ ist dasselbe wie $\forall x\in \mathbb {N} .\forall y\in \mathbb {N} .\ \phi$ ist dasselbe wie $\forall p\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} .\ \phi [\pi _{1}(p)/x,\pi _{2}(p)/y]$ (jedenfalls, wenn $p$ nicht frei in $\phi$). Wenn du nur über Paare verschiedener Elemente sprechen willst, musst du $\forall p\in (\mathbb {N} \times \mathbb {N} )\setminus \Delta \mathbb {N} .\ ...$ nehmen (mit $\Delta \mathbb {N} :=\{(n,n)\mid n\in \mathbb {N} \}$), oder $\forall x,y\in \mathbb {N} .\ x\neq y\Rightarrow ...$. Und natürlich gilt $\forall x,y\in \mathbb {N} .\ x\neq y\Rightarrow x\neq y$, ohne, dass man es fordert. --Daniel5Ko (Diskussion) 13:05, 4. Aug. 2017 (CEST)

Warum müssen Mathematiker immer so furchtbar kompliziert denken bzw. kommunizieren? Kannst Du das, was Du sagen willst, nicht in einfachen Worten ausdrücken? Und dabei vor allem auch auf meinen vorherigen Beitrag eingehen? Zu gut Deutsch: Schreib das, was Du in mathematischer Zeichensprache geschrieben hast, bitte in deutschen Worten, die auch ein Laie verstehen kann. Danke!--Wikilaser (Diskussion) 00:04, 5. Aug. 2017 (CEST)

Ergänzung: Wenn es möglich ist, Verschachtelungen wegzulassen, dann sollte man sie auch weglassen. Schon mal etwas von Ockhams Schere gehört?--Wikilaser (Diskussion) 00:07, 5. Aug. 2017 (CEST)

Gut, dann ganz verständlich: Du erzählst kaum nachvollziehbaren Blödsinn. Man kann nur raten, was helfen könnte. Ein konkretes Eingehen auf deinen letzten Beitrag (nicht darauf beschränkt) halte ich für kaum möglich. Deine wirre Ausdrucksweise schiebe ich aufs nicht-Verstehen von Quantoren. Lerne die. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:45, 5. Aug. 2017 (CEST)

Was bitte ist so schwer daran zu verstehen, daß mögliche Ergebnisse von mathematischen Operationen nichts, aber auch gar nichts in der Definition einer Menge zu suchen haben? DAS genau ist nämlich der Hintergrund von Peanos 4. Axiom. Anhand eines Beispiels anschaulich dargestellt sagt Peano nichts anderes aus als:

2x3+1=7 und (25-1):4+1=7

Daraus folgt 2x3=(25-1):4

Hierbei ist 2x3=m und (25-1):4=n

Und jetzt erkläre mir mal, aus welchem Grund das (auch allgemein formuliert) für die Definition der Menge der Natürlichen Zahlen relevant sein soll!--Wikilaser (Diskussion) 03:09, 6. Aug. 2017 (CEST)

$\mathbb {N}$ wird nicht durch Angabe schon vorhandener Elemente definiert, sondern abstrakt. Analog zur Ring-Definition, wo man sagt, ein Ring sei irgendeine Menge $R$ zusammen mit Operationen $0\colon R,1\colon R,+\colon R\times R\to R,\cdot \colon R\times R\to R$, für die dann ein paar Axiome gelten, ist $\mathbb {N}$ irgendeine Menge zusammen mit Operationen $0\colon \mathbb {N} ,{\mathsf {S}}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$, für die dann ein paar Axiome gelten. --Daniel5Ko (Diskussion) 19:51, 6. Aug. 2017 (CEST)

Klar muß man die Menge $\mathbb {N}$ erst einmal abstrakt definieren. Aber dann kann im Falle von Peanos Axiomen alles mögliche als $\mathbb {N}$ gelten, weil der Abstand zwischen zwei Elementen der Menge von Peano nicht definiert wurde. Für eine eindeutige Definition müßte dann sehr viel mehr definiert werden, beispielsweise welche Ziffer welche Bedeutung haben soll bzw. welches Zahlensystem man verwenden will (wobei man hierfür ja schon wieder $\mathbb {N}$ definiert haben müßte). Peano geht offenbar stillschweigend davon aus, daß jeder, der mit seinen Axiomen zu tun bekommt und sich auf dieser Grundlage ein Bild von den Natürlichen Zahlen machen will, genau weiß, was er (Peano) insbesondere mit n' meint. Das ist aber gar nicht so klar, wie er das gerne hätte.--Wikilaser (Diskussion) 00:32, 7. Aug. 2017 (CEST)

Meinst Du hiermit ("$\mathbb {N}$ wird nicht durch Angabe schon vorhandener Elemente definiert") mein obiges Beispiel für m und n, oder meinst Du damit meine Variante von Axiom 2, wonach n' stets n+1 sei, so daß auch der Abstand zweier aufeinanderfolgender Natürlicher Zahlen klar festgelegt ist?--Wikilaser (Diskussion) 00:37, 7. Aug. 2017 (CEST)

Es wird keine Aussage getroffen, wie die Elemente von $\mathbb {N}$ aussehen. Es wird also auch kein "Abstand" von n zu ${\mathsf {S}}(n)$ festgelegt, da dafür keine Grundlage da ist.

Ist in geeigneter Weise anhand der abstrakten Schnittstelle rekursiv die Funktion $+\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ definiert, etwa per

$0+m:=m$,

${\mathsf {S}}(n)+m:={\mathsf {S}}(n+m)$,

kann man einen "Abstand" definieren: Falls $n+m=k$, hat $m$ den Abstand $n$ zu $k$.

Es ergibt sich, dass der Abstand zwischen $n$ und ${\mathsf {S}}(n)$ gerade $1:={\mathsf {S}}(0)$ ist. Hierfür wird aber u.a. mindestens die Injektivität von ${\mathsf {S}}$ benötigt. --Daniel5Ko (Diskussion) 14:19, 7. Aug. 2017 (CEST)

"Es wird keine Aussage getroffen, wie die Elemente von $\mathbb {N}$ aussehen." Wenn darüber keine Aussage getroffen wird, woraus ergibt sich dann der Abstand von 1 zwischen jeden zwei aufeinanderfolgenden Natürlichen Zahlen? Wenn m+n=k gilt, dann gilt natürlich auch k-n=m, aber daraus kann man nicht ableiten, daß m-n=1 gilt. Für letztere Gleichung kann jeder beliebige Wert anstelle der 1 entstehen, solange nicht m+1=n (bzw. 0+1=n und n+1=n') definiert ist.--Wikilaser (Diskussion) 14:36, 9. Aug. 2017 (CEST)

Ich sprach vom Abstand zwischen $n$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathsf S(n)} . Man kann zeigen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall n,k \in \N.\ k+n = \mathsf S(n) \Rightarrow k = \mathsf S(0)} . --Daniel5Ko (Diskussion) 21:01, 9. Aug. 2017 (CEST)

Von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathsf S(n)} ist in den Peano-Axiomen überhaupt nicht die Rede. Wenn Du damit argumentieren willst, dann erkläre erst einmal, was genau das sein soll. Und was den Rest angeht, so ist das erst einmal eine reine Behauptung, gezeigt (bzw. bewiesen) wird damit überhaupt noch nichts.--Wikilaser (Diskussion) 03:18, 10. Aug. 2017 (CEST)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathsf S} ist das, was im Artikel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-)'} genannt wird. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:06, 10. Aug. 2017 (CEST)

Schön, und nun beweise, statt nur zu behaupten, daß der Abstand zwischen $n$ und ${\mathsf {S}}(n)$ gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 := \mathsf S(0)} ist. Bitte in allgemein verständlicher Sprache. (Wozu ist eigentlich der Doppelpunkt vor dem Istgleich (also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle := } ) gut?)--Wikilaser (Diskussion) 22:34, 10. Aug. 2017 (CEST)

Ich beweise: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall k,n\in\N.\ n+k=\mathsf S(n) \Rightarrow k=\mathsf S(0)} (das ist nicht ganz, was ich oben schrieb, aber Kommutativität von + kann man ggf. auch beweisen).

Hierzu sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k\in \N} beliebig. Zu zeigen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall n\in\N.\ n+k=\mathsf S(n) \Rightarrow k=\mathsf S(0)} .

Dazu definiere ich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X := \{n\in \N\mid n+k=\mathsf S(n) \Rightarrow k=\mathsf S(0) \}} . D.h. für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\in\N} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\in X} äquivalent zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n+k=\mathsf S(n) \Rightarrow k=\mathsf S(0)} . Wenn ich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \N \subseteq X} beweisen kann, ist das gerade die gewünschte Aussage. Nach Axiom 5 reicht es dazu aus, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\in X} und $\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in X$ zu zeigen. Also machen wir das. Der erste Teil ist einfach: Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0+k=\mathsf S(0)} , dann ist wegen der Def. von + auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=\mathsf S(0)} . Für den zweiten Teil sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\in \N} beliebig und gelte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H\colon n+k=\mathsf S(n) \Rightarrow k=\mathsf S(0)} . Zu zeigen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathsf S(n)+k=\mathsf S(\mathsf S(n)) \Rightarrow k=\mathsf S(0)} . Nehmen wir also $G\colon {\mathsf {S}}(n)+k={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(n))$ an. Nun ist $k={\mathsf {S}}(0)$ zu zeigen. Hierzu wenden wir $H$ an, und haben nun zu zeigen: $n+k={\mathsf {S}}(n)$. Wegen der Injektivität von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathsf S} reicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathsf S(n+k)=\mathsf S(\mathsf S(n))} . Dies ist aufgrund der Definition von + aber äquivalent zur Annahme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} , also sind wir fertig.

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle :=} schreibt man Gleichungen, die per Definition gelten sollen. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:55, 10. Aug. 2017 (CEST)

Erst einmal danke für die Erklärung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle :=} .

Nun hast Du Dir zwar eine Menge Mühe gemacht, aber meiner Bitte, es in allgemein verständlicher Sprache zu schreiben, nicht entsprochen. Schade. Soweit ich es richtig verstehe (vorbehaltlich möglicher falscher Interpretation irgendwelcher anderer Formelzeichen), zeigt Deine Beweiskette möglicherweise, daß der Abstand zwischen allen n und n' stets gleichmäßig k beträgt, aber nicht, daß k gleich 1 ist. k könnte also auch gleich Pi sein, dann wäre der Abstand zwischen allen so definierten Zahlen stets gleich Pi, was aber nicht der Menge der Natürlichen Zahlen entspräche.--Wikilaser (Diskussion) 10:25, 11. Aug. 2017 (CEST)

Ich habe gezeigt: Für alle Abstände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathsf S(n)} gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=1} .

An den Formeln gibt es übrigens nichts zu interpretieren oder zu verstehen, wenn man nur prüfen will, ob ein Beweis stimmt (vorausgesetzt, es ist ein vollständiger Beweis, und nicht nur eine Skizze, bei der der Leser alles mögliche ergänzen soll). --Daniel5Ko (Diskussion) 11:51, 11. Aug. 2017 (CEST)

Ich kann da nirgends erkennen, daß Du gezeigt hättest, k sei gleich 1. Du schreibst einfach, aus diesem oder jenem ergäbe sich irgendetwas. Aber wie sich das ergibt, läßt Du offen. An keiner einzigen Stelle Deines "Beweises" erscheint eine Stelle, an der Du Deinen "Formelzeichensalat" kürzt, so daß am Ende k = 1 übrigbleibt. Daher nochmal meine Bitte (besser: Aufforderung), Deinen "Formelzeichensalat" in allgemeinverständlicher Sprache auszudrücken. Vielleicht kommen wir dann ja der Sache näher. Nebenbei bemerkt halte ich Axiom 5 für überflüssig, da (wie ich bereits mehrfach geschrieben habe) die Einbettung einer Menge A in eine Menge B für die Definition der Menge A gar nicht erforderlich ist.--Wikilaser (Diskussion) 22:57, 11. Aug. 2017 (CEST)

Ich stelle die Trollfütterung ein. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:27, 12. Aug. 2017 (CEST)

Unterlasse bitte persönliche Angriffe! Ich bin nun einmal kein Mathematiker, das macht es für mich schwer. Das heißt aber nicht, daß ich nicht logisch denken kann. Ich versuche ja zu verstehen, kann aber Deinen Argumenten nicht folgen, da Du nicht bereit bist, sie in allgemein verständlicher Sprache auszudrücken. Schade, daß Du aufgibst.--Wikilaser (Diskussion) 21:57, 12. Aug. 2017 (CEST)

Wenn du aufrichtig lernbereit und interessiert bist, sprich mich persönlich an. Die letzten mindestens ca. 10 Beiträge hatten hier streng genommen nichts verloren. --Daniel5Ko (Diskussion) 03:21, 13. Aug. 2017 (CEST)

Ich melde mich in den nächsten Tagen. Danke für's Gesprächsangebot!--Wikilaser (Diskussion) 12:06, 17. Aug. 2017 (CEST)

@Wikilaser: Du verrennst dich da in etwas. Ich habe weiter oben geschrieben: Die Voraussetzung "Wenn m und n verschieden sind" muss deshalb explizit formuliert werden, weil im allgemeinen verschiedene Variablen durchaus auch denselben Wert annehmen können. Lass dir das mal durch den Kopf gehen. Wenn man schreibt "Für alle m und n Element N gilt", dann können die Variablen m und n durchaus dieselbe Zahl bezeichnen. Also macht es keinen Sinn, zu fordern Für alle m und n Element N gilt, m ist ungleich n. Denn dann wäre auch jede Zahl von sich selbst verschieden. Was natürlich Quatsch wäre. Deshalb steht in Axiom "Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \ne m} " auf der Seite der Voraussetzungen. "Wenn m und n unterschiedliche Zahlen sind, dann sind auch ihre Nachfolger verschieden."

Etwas grundsätzlicher: Ich finde es sehr vermessen, zu behaupten, dass Peano Unsinn fabriziert hätte. Meinst du, das wäre in den vergangenen 100 Jahren niemandem aufgefallen, wenn es so wäre? Ist es nicht viel wahrscheinlicher, dass du Peano falsch verstehst, oder sonst Denkfehler machst, als dass einer der Begründer der modernen Mathematik und der modernen Logik hier Unsinn produziert hätte? --Digamma (Diskussion) 23:06, 3. Aug. 2017 (CEST)

Nochmal grundsätzlich: Bei der Definition einer Menge (hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \N} ) spielt die Möglichkeit, daß in mathematischen Operationen zwei Variablen m und n durchaus denselben Wert annehmen können, überhaupt keine Rolle. Da geht es einzig und allein darum, eine eindeutige Formulierung zu schaffen, bei der am Ende ausschließlich das gewünschte Ergebnis herauskommt, und nichts anderes. Man muß sich also im Falle der Peano-Axiome einmal die Natürlichen Zahlen als noch nicht existent denken und sich dann anhand der Axiome alles, aber auch wirklich alles konstruieren, was die vorliegenden Axiome ermöglichen. Und da ergibt es überhaupt keinen Sinn, von zwei Natürlichen Zahlen mit gleichem Nachfolger zu sprechen. Denn das will man ja gerade nicht konstruieren.--Wikilaser (Diskussion) 03:19, 4. Aug. 2017 (CEST)

Nochmal grundsätzlich: Bei der Definition einer Menge (hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \N} ) spielt die Möglichkeit, daß in mathematischen Operationen zwei Variablen m und n durchaus denselben Wert annehmen können, überhaupt keine Rolle.

Das spielt eine Rolle für die Formulierung der Eigenschaft, um die es in Axiom 4 geht.

Und da ergibt es überhaupt keinen Sinn, von zwei Natürlichen Zahlen mit gleichem Nachfolger zu sprechen. Denn das will man ja gerade nicht konstruieren.

Und deshalb muss man formulieren, dass es da nicht gibt. Das ist Axiom 4.

Allgemein ist das übrigens einfach die Aussage, dass die Nachfolgerfunktion "injektiv" ist: Zwei unterschiedliche Zahlen haben unterschiedliche Funktionswerte. Näheres zu diesem Begriff im Artikel Injektivität. --Digamma (Diskussion) 10:28, 4. Aug. 2017 (CEST)

Vielleicht wird es so klarer: Die Möglichkeit, daß zwei Variablen in einer mathematischen Operation denselben Wert annehmen können und in diesem Fall (!) gleich sind, kann man für den Umgang mit Variablen in mathematischen Operationen definieren. Da ergibt es einen Sinn. Aber für die Definition einer Menge ist der Umgang mit Variablen in einer mathematischen Operation schlicht irrelevant. Da geht es ausschließlich um eine Beschreibung der Eigenschaften der Menge, mehr nicht.

Nun wollen wir eine Menge definieren (bzw. eine eindeutige Definition einer breits vorhandenen Menge angeben), die aus den Elementen 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... etc. besteht. Was müssen wir hierfür festlegen? Wir müssen die Null als Element der Menge festlegen (Axiom 1), wir müssen festlegen, daß sie das erste Element der Menge ist (Axiom 3), wir müssen festlegen, daß sie überhaupt einen Nachfolger hat (Teil von Axiom 2), wir müssen festlegen, daß der Nachfolger ebenfalls einen Nachfolger hat (Teil von Axiom 2), und wir müssen (falls dies gewünscht wird und nicht als selbstverständlich vorausgesetzt werden soll) festlegen, um welchen Wert sich Element und Nachfolger unterscheiden sollen (hierfür sehe ich in Peanos Axiomen keine Maßgabe). Mit diesen Angaben ist die Menge vollständig definiert. Mehr braucht es nicht.--Wikilaser (Diskussion) 12:29, 4. Aug. 2017 (CEST)

Hallo Wikilaser, könntest du bitte mal in Erwägung ziehen, dass die Denkfehler hier bei dir liegen könnten und nicht bei Peano und den anderen Mathematikern, die das bisher so akzeptiert haben? --Digamma (Diskussion) 20:41, 7. Aug. 2017 (CEST)

Hallo Digamma, bisher haben mich die vorgetragenen Argumente nicht überzeugt. Denke u.a. einmal daran, daß Peano in seinem Axiom 1 bereits die Existenz der Zahl 0 als bekannt voraussetzt, genauso wie er voraussetzt, daß n' um 1 größer sein müsse als n. In dieser Hinsicht definiert er nämlich in seinen Axiomen nichts.--Wikilaser (Diskussion) 14:36, 9. Aug. 2017 (CEST)

Ursprüngliche Formalisierung allgemein

Es wäre sinnvoll, wenn die ursprüngliche Formalisierung von Giuseppe Peano zunächst unverändert angeführt würde. Immerhin ist dies ein Lexikon. Natürlich kann man im weiteren Verlauf des Artikels dann auch eine modernere Fassung erwähnen. Aber zuerst gehört meiner Meinung nach die Originalversion in den Artikel.--Wikilaser (Diskussion) 19:28, 31. Aug. 2017 (CEST)

So funktioniert Mathematik aber nicht, genauso wenig wie die Naturwissenschaften. Du wirst in einem Physikbuch auch die Newtonsche Physik nicht in Newtons Originalversion finden. Das funktioniert schon deswegen nicht, weil sich die Sprache und der Formalismus geändert haben. --Digamma (Diskussion) 21:58, 31. Aug. 2017 (CEST)

@Digamma: Der Artikel hält sich an Peanos zweite Fassung aus dem Jahr 1898. In heutigen Logiklehrbüchern werden die Axiome auch anders formuliert (außer sie wollen gezielt die historische Form beibehalten, weiß nicht, ob das vorkommt – übrigens fangen heutige Physikbücher auch oft mit den Newton’schen Gesetzen an, auch wenn es aus moderner Sicht nicht sofort einsichtig ist, inwiefern diese eine in sich abgeschlossene Axiomatisierung der Mechanik bilden, und man sich wundert, dass doch das erste im zweiten enthalten ist, das dritte nur eine Symmetriesituation unter anderen ist, und außerdem mindestens auch etwas von den „Korollaren“ auch herbeigezogen werden muss), dass zum Beispiel die Wertebereiche von Funktionen in den Axiomen 1 und 2 festgelegt werden, aber der Definitionsbereich des Nachfolgers außerhalb der Axiome irgendwo en passant bestimmt wird, irritiert heute. Und in Prädikatenlogik zweiter Stufe würde man es noch anders schreiben. Wenn man schon erwähnt, dass die erste Fassung noch die 1 als kleinste natürliche Zahl ansetzte, dann sollte man ruhig auch die anderen Unterschiede erwähnen. Ich setze das demnächst mal um. --Chricho ¹ ² ³ 16:39, 8. Sep. 2017 (CEST)

Zahlengruppe für Indikatoren

Ich hätte da ja so eine Idee. Allerdings müssten dafür, soweit ich das überblicke, die Peano-Axiome neu formuliert oder at Acta gelegt werden.

1. Zahlen definieren sich dadurch, dass, wenn man zwei unterschiedliche von ihnen addiert oder subtrahiert, man eine Zahl als Ergebnis erhält, welche sich von beiden Operanden unterscheidet (a±b≠a oder b). Die 0 wäre demnach keine Zahl.
2. Indikatoren definieren sich dadurch, dass, wenn man eine Zahl oder einen Indikator mit einem Indikator multipliziert oder durch einen Indikator teilt, man im Ergebnis ganz sicher einen Indikator erhält. Die 0 wäre demnach ein Indikator.
3. Subtrahiert man zwei gleiche Zahlen voneinander, erhält man als Ergebnis als initialen Indikator die 0 (a-a=0; -a-(-a)=0).
4. Multipliziert oder dividiert man eine Zahl mit einem Indikator, so ist das Ergebnis ganz sicher ein Indikator. Alle Indikatoren lassen sich deswegen mit 0, 0/0, 1/0 und -1/0 definieren:

Bezeichnung	Definition	Vorzeichen	Auswirkung
0	0=0	neutral	initial
NaN	0/0=NaN	neutral	terminierend
+∞	1/0=+∞	positiv	keine
-∞	-1/0=-∞	negativ	keine

Aus diesen Definitionen lassen sich alle weiteren Rechenvorschriften für Indikatoren ableiten und aus den Ableitungen erschließt sich nur NaN als terminierender Indikator. Die Idee kam mir bei einer Diskussion Division_(Mathematik), in welcher 1/0=undefiniert gilt. Ein Argument für diese Handhabung ist, dass 0*unendlich im Umkehrschluss ja nicht 1, sondern 0 wäre. Aber mal ehrlich - nach welcher Definition ist 0*x=0? Müsste im Umkehrschluss dann nicht auch 0/0=x gelten? Tut es aber nicht, denn 0/0 ist undefiniert. 0*x=0 taucht, wie alle sehen können, ja auch in dem Beweis für 1/0=undefiniert auf, welcher natürlich angesichts meiner Argumentation von eben nicht mehr zieht, denn es gibt ein Element a≠0 für das 0*x=a gilt, nämlich NaN und das kommt zustande, wenn man für x einen der anderen Indikatoren einsetzt. x/0 lässt sich immerhin noch auf x*(1/0) bringen, also ganz konkret auf die Multiplikation einer beliebigen Zahl oder Indikator mit einem Indikator. Indikatoren sollten natürlich Teil aller reellen Zahlen sein, nur halt mit dem Unterschied, dass sie keinerlei Wert haben. Was haltet ihr davon? Aber kommt nicht auf die Idee, nach Referenzen zu fragen, denn die z.zT. einzig existierende dürfte sich allein in meinem Kopf befinden. --217.81.68.108 11:49, 10. Nov. 2017 (CET)

Dieser Artikel behandelt aber nun mal die Peano-Axiome und nicht Alternativen dazu. Wenn es solche Alternativen gibt, dann müssten sie in einem andern Artikel dargestellt werden. Wikipedia dient aber nicht dazu, neue Ideen zu veröffentlichen, sondern etabliertes Wissen. Also, ganz ohne inhaltlich zu deinen Gedanken Stellung zu nehmen: Wikipedia ist dafür nicht der richtige Ort. --Digamma (Diskussion) 20:32, 11. Nov. 2017 (CET)

Nun, es ist mehr oder minder bereits etabliertes Wissen und findet in der IEEE 754 Anwendung, die bei manchen Mathematikern, bei denen das Argument 0*x≠0 weil 0/0≠x nicht zieht, während sie selbst gerne mit 1/0≠∞ weil 0*∞≠1 argumentieren, als Blödsinn abgetan wird und man solle sich doch dazu mal die Peano-Axiome ansehen, wenn man es nicht glauben möchte - aber es waren auch Mathematiker, die an der Formulierung dieser Norm beteiligt waren. Seis drum, dann bleibt Wikipedia halt rein Wissenschaftlich - was auch immer das bedeuten mag (z.B. Holzweg oder nicht). --217.81.74.151 14:31, 12. Nov. 2017 (CET)