Diskussion:Potenzfunktion

Exponent

Ist es sinnvoll, den Exponenten auch im allgemeinen Fall $n$ zu nennen, auch wenn er keine natürliche Zahl ist?

Das Problem sollte mit der neuen Formulierung am Anfang erledigt sein, oder?--BFeuerbacher 16:15, 25. Aug. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 09:26, 21. Feb. 2015 (CET)

algebraisch konvergieren

Was heißt das? Der Link bei "algebraisch" wird auf "Algebra" weitergeleitet, das ist wenig hilfreich.--Digamma 13:22, 22. Jan. 2007 (CET)

Da ich keine Antwort erhalten habe, habe ich nur "algebraisch" einfach gestrichen.--Digamma 11:30, 28. Jan. 2007 (CET)

das denke ich nicht es könnte auch nur konvergieren sein (nicht signierter Beitrag von 92.200.191.92 (Diskussion | Beiträge) 12:08, 24. Mär. 2010 (CET))

$n\in \mathbb {R}$

Ich dachte zunächst, der Artikel würde sich nur mit Potenzfunktionen mit natürlichem oder ganzem Exponent beschäftigen, weil der Exponent n heißt. Erst als ich ihn ergänzen wollte um die Angabe, dass man auch Potenzfunktionen mit beliebigem reellen Exponenten betrachten kann, fiel mir auf, dass da ja "$n\in \mathbb {R}$" steht.

Ich denke, das wird andern auch so ergehen. Ein n legt nahe, dass es sich um eine natürliche Zahl handelt. Ich würde das deshalb gerne ändern, etwa durch ein s ersetzen. Andererseits ist es ja tatsächlich sinnvoll, bei natürlichem Exponenten diesen mit n zu bezeichnen. Eine Änderung führt dann vermutlich bei denen zu Verwirrung, die sich nur für natürliche Exponenten interessieren.

Weiß da jemand einen Ausweg?--Digamma 11:27, 28. Jan. 2007 (CET)

Das Problem sollte mit der neuen Formulierung am Anfang erledigt sein, oder?--BFeuerbacher 16:15, 25. Aug. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 09:26, 21. Feb. 2015 (CET)

x^x

Hat die Funktion $x^{x}$ einen eigenen Namen? Es ist ja eigentlich weder Potenz- noch Exponentialfunktion. Auch ihre Ableitung und Stammfunktion lässt sich nicht mit den üblichen Ableitungsregeln ermitteln. Einen eigenen Artikel gibt es für x^x auch nicht. :-( --RokerHRO 17:34, 26. Jan. 2008 (CET)

Natürlich lassen die sich ermitteln! $x^{x}=e^{ln(x)*x}$ und dann verwendest Du einfach die Ketten-/Produktregel :-) -- Pberndt _(DS) 19:33, 8. Jul. 2010 (CEST)

Damit kann man die Ableitung ermitteln - aber kann man so auch eine Stammfunktion bestimmen?!--BFeuerbacher 16:15, 25. Aug. 2010 (CEST)

Die Stammfunktion existiert nicht: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%5Ex --217.234.245.95 09:17, 16. Jan. 2015 (CET)

Du missverstehst die Ausgabe des Computerprogramms. Natürlich existiert eine Stammfunktion, die gegebene Funktion ist ja stetig. Aber die Stammfunktion kann nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Damit ist aber zumindest die Frage von Benutzer:BFeuerbacher mit nein zu beantworten. --Digamma (Diskussion) 16:53, 16. Jan. 2015 (CET)

Definitionsbereich und dessen Bild?

So wie es jetzt da steht, fehlt bei der Definition der Definitionsbereich und das Bild des letzteren. Für negative $n$ ist das nicht ganz uninteressant. Stefan Neumeier 15:49, 26. Okt. 2009 (CET)

Erledigt. Wegen der vielen notwendigen Fallunterscheidungen und der ganzen mathematischen Bezeichnungen für die Mengen wirkt das aber jetzt sehr unübersichtlich und (für Schüler) wohl kaum verständlich. Verbesserungsvorschläge?!?--91.65.208.71 18:27, 27. Jan. 2010 (CET)

Nochmals überarbeitet; jetzt ist es hoffentlich halbwegs übersichtlich...--BFeuerbacher 16:15, 25. Aug. 2010 (CEST)

Ergänzungen zum Thema "Wurzeln aus negativen Zahlen" von Boris Averbukh und Heino Guenther

Also, einerseits finde ich diese Ergänzungen ja sinnvoll. Andererseits werden dadurch die zahlreichen nötigen Fallunterscheidungen meiner Ansicht nach noch unübersichtlicher - und außerdem braucht man als Schüler Wurzeln aus negativen Zahlen normalerweise sowieso nicht (in der Schulmathematik sind die nicht definiert). Vorschlag: die Ergänzungen zwar beibehalten, aber in einem eigenen Abschnitt zusammen fassen. Wenn in den nächsten Wochen niemand was dagegen sagt, werde ich das wohl im August mal in Angriff nehmen.--BFeuerbacher 16:10, 11. Jul. 2010 (CEST)

Vorsicht: Hier ist nicht ${\sqrt {-1}}$ gemeint, sondern ${\sqrt[{2n+1}]{-1}}$. Dass ungerade Potenzen zu negativen Zahlen führen können, ist Schulstoff und dass man die wieder umkehren kann, zumindest in meiner Erinnerung, auch. Ich finde allerdings auch, dass der Abschnitt insgesamt unübersichtlich ist. Von daher finde ich das gut. Vielleicht wäre es gut, wenn Du bei der Gelegenheit auch den Begriff der negativen Wurzel präzisierst/vermeidest? (Um eine Verwechslung mit komplexen Zahlen, was zumindest mir ersten Moment passiert ist, auszuschließen) --Pberndt _(DS) 17:50, 11. Jul. 2010 (CEST)

Mir ist schon klar, dass hier nicht komplexe Zahlen gemeint sind. Aber zumindest in den Schulbüchern, die ich kenne, steht, dass z. B. die dritte Wurzel aus -8 eben nicht definiert ist, obwohl -2 hoch 3 gleich -8 ist. Darüber, wie man das besser formulieren könnte, müsste ich auch erst mal nachdenken - haben die Herren Averbukh und Guenther, die das ganze Thema ja aufgemacht haben, denn nichts weiteres dazu zu sagen...?--BFeuerbacher 22:04, 12. Jul. 2010 (CEST)

Da die Herren Averbukh und Guenther anscheinend nicht daran interessiert sind, ihre Ergänzungen auch übersichtlich einzuarbeiten, habe ich's jetzt endlich mal versucht - wie angekündigt.--BFeuerbacher 16:15, 25. Aug. 2010 (CEST)

Dass in der "Schulmathematik" Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert seien und quasi totgeschwiegen würden, ist glatt gelogen. Manche Mathelehrer verderben zwar tatsächlich die Jugend, aber die Schulbücher behandeln den Fall durchaus. - Herzlichen Dank aber für die größere Änderung! :-) --Stefan Neumeier 17:32, 25. Aug. 2010 (CEST)

Dann hast du andere Schulbücher als ich. In allen, in die ich reingeschaut habe (Lambacher-Schweizer Algebra 2, Analysis Wirtschaft (Cornelsen-Verlag), Mathematik für die berufliche Oberstufe Technik (Bildungsverlag EINS), Leistungskurs Infinitesimalrechnung 2 (bsv Mathematik)) steht immer ausdrücklich drin, dass der Radikand größer gleich Null sein muss. Auch Übungs-Bücher aus dem Stark-Verlag verwenden diese Konvention, soweit ich sehe. Und auch das Uni-Buch "Analysis 1" von Forster sagt erst mal, dass die k-te Wurzel nur für positive Zahlen definiert ist - erst als Nachbemerkung sagt er, dass die Funktion für ungerade k auch auf ganz $\mathbb {R}$ definiert werden kann (nicht, dass das üblich wäre!). Könntest du bitte Beispiele für Schulbücher nennen, in denen explizit drinsteht, dass man auch (ungerade) Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen kann? --BFeuerbacher 11:59, 26. Aug. 2010 (CEST)

Abschnitt: Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen

Ich halte diesen Abschnitt (jetzt) für vollständig entbehrlich und schlage seine ersatzlose Löschung vor. --Stefan Neumeier 17:39, 25. Aug. 2010 (CEST)

Warum hältst du den Abschnitt für entbehrlich? Da werden doch eindeutig sinnvolle Erweiterungen des Konzepts diskutiert.--BFeuerbacher 11:59, 26. Aug. 2010 (CEST)

Die "eindeutig sinnvollen Erweiterungen" stehen ja gleich darunter. Der von mir inkriminierte Abschnitt ist eine Doppelung, die zudem halbgare Formulierungen enthält und außerdem die Wurzel vorwegnimmt, die im Artikel bis hierher gar nicht erklärt wird. Ich habe mal sogar versucht, diesen Abschnitt etwas umzuformulieren und ihn hier als Vorschlag reinzustellen. Ich habs doch gelassen, es ist jeder Satz unnötig. Bitte hier mein Kommentar:

Im Allgemeinen sind Wurzeln aus negativen Zahlen bekanntlich nicht definiert.

Das bekanntlich haben wir schon widerlegt. Man kann nicht erst sagen, es sei etwas nicht definiert und dann anschließend eine Definition geben. Wenn, dann erweitert man die alte Definition.

Man kann jedoch ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulassen.

Bis hierher ist noch nicht gesagt, wie ungerade Wurzeln aus positiven Zahlen aussehen. Das kommt erst im darunterstehenden Abschnitt.

Für ungerades n und beliebiges x \in \mathbb{R} definiert man: \sqrt[n]{x} ist diejenige reelle Zahl y, für die y^n = x gilt.

Das ist (fast) die banale Definition überhaupt von einer Wurzel, nämlich eine Lösung einer Potenzgleichung zu sein, und wird nicht wegen negativen Radikanden eingeführt.

Beispielsweise wäre nach dieser Definition die Lösung der Gleichung x3 = − 8 gegeben durch x = \sqrt [3]{-8} = -2 (wohingegen man nach der üblichen Definition ohne Wurzeln aus negativen Zahlen x = -\sqrt[3]{8} = -2 schreiben müsste).

Wozu der Konjunktiv? Wie lautet die "übliche Definition"? Das liest sich alles sehr spekulativ und nicht gerichtsfest (obwohl alles geklärt ist, siehe Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen).

Sorry, ich halte den Abschnitt immer noch für ziemlich vollständig entbehrlich. --Stefan Neumeier 17:16, 26. Aug. 2010 (CEST)

Ach so, war teilweise ein Missverständnis - irgendwie dachte ich, du meintest einen anderen Abschnitt (hätte wohl noch mal nachlesen sollen... ;-) ). Trotzdem finde ich, dass zumindest einige Sätze in dem Absatz immer noch stimmen, z. B. sind in der Tat im Allgemeinen Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert. Nur für den Sonderfall ungerade Wurzeln gibt es eine Definition! Zu deiner Bemerkung, dass bisher nirgends gesagt wurde, wie ungerade Wurzeln aus positiven Zahlen aussehen: das wird hier als bekannt vorausgesetzt; ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind (meiner Ansicht nach) aber eben nicht allgemein bekannt. Ich habe mehrere Schulbücher genannt, in denen Wurzeln eben eindeutig nur für positive Zahlen definiert sind. Was du als "fast banale" Definition bezeichnest, ist in diesem Schulbüchern eben gerade nicht die gängige Definition. Die übliche Definition ist eben (und so wird das auch in dem Artikel zur Wurzel, auf den du selbst verweist, dargestellt!), dass Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert sind, und dass man deswegen für die Lösung der Gleichung $x^{3}=-8$ nicht schreiben darf $x={\sqrt[{3}]{-8}}$, sondern schreiben muss: $x=-{\sqrt[{3}]{8}}$.--BFeuerbacher 18:12, 26. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe den Abschnitt jetzt leicht umformuliert (für die Behauptung, dass in in Schulbüchern die Definition von Wurzeln nur für nicht-negative Radikanden üblich ist, habe ich übrigens weiter oben Belege gebracht); gefällt's dir so besser?--BFeuerbacher 16:17, 27. Aug. 2010 (CEST)

Ich mags überhaupt nicht, wenn ich so ein Gestrüpp von Argumenten auseinanderfieseln und mich dann bloß wiederholen muss. Wenn nix Neues kommt, ziehe ich mich aus der Diskussion zurück. Hier noch einmal:

Die Wurzel ist auch im zitierten Artikel Wurzel von vornherein als Lösung einer Potenzgleichung erklärt und nicht wie hier quasi nachträglich eingefügt, um negative Radikanden zu verarbeiten. Die Floskeln im allgemeinen und Sonderfall sind unüblich und unschön; ich habe schon das Stichwort Erweiterung gebracht. Bevor man über Wurzeln und dann insbesondere solche mit negativem Radikanden spricht, sollte man sie definieren, erst recht, wenn der Artikel Potenzen behandelt. Wenn die Wurzel als bekannt vorausgesetzt wird, braucht man nicht einmal den Artikel Potenzfunktion zu schreiben. Mal anders gesagt: Setze die Definition der Wurzel mal nicht als bekannt voraus, sondern formuliere eine Definition und füge sie in genau den Abschnitt ein, in dem Du Wurzeln aus negativen Zahlen erklären möchtest.

Ich halte den inkriminierten Abschnitt auch in seiner Umarbeitung für vollständig entbehrlich. Es steht schon alles im nachfolgenden Abschnitt Potenzfunktion#Definitions-_und_Wertemenge_2.

Im übrigen halte ich Schulbücher als Referenz ungeeignet; es gibt keine "Schulmathematik" (höchstens kann man das, was halbgare Mathelehrer an der Tafel vermitteln, so bezeichnen - die Schulbücher sind nämlich gar nicht so schlecht). Für solche Sachen würde ich anständige Lehrbücher der Analysis wie etwa Heuser heranziehen. --Stefan Neumeier 17:44, 27. Aug. 2010 (CEST)

Ich verstehe echt nicht, was du eigentlich willst. Im Artikel "Wurzel" wird, ebenso hier wie im Artikel Potenzfunktion, am Anfang ausgesagt, dass der Radikand eine nichtnegative Zahl sein soll. Die Erweiterung auf ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen kommt erst weiter unten, genauso wie hier im Artikel Potenzfunktion auch. Also ist es auch da "nachträglich eingefügt" - genau das, was du hier bemängelst! Außerdem ist es nun mal nach meiner Erfahrung so, dass Schüler Wurzeln aus nichtnegativen Zahlen kennen - diese müssen also nicht extra definiert werden; ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind dagegen nicht allgemein bekannt, deshalb habe ich dafür hier eine extra Erklärung eingefügt. Warum du der Ansicht bist, alles (!) (nicht etwa "alles Wesentliche", sondern wörtlich "alles"!) würde schon im nachfolgenden Abschnitt stehen, ist mir völlig schleierhaft - meiner Ansicht nach stehen im nachfolgenden Abschnitt *Erweiterungen*, die auf dem vorher gesagten aufbauen! Und die "Floskeln" "im Allgemeinen" und "Sonderfall", die du bemängelst, kommen in meiner Neufassung überhaupt nicht vor. Wenn lieber "anständige Lehrbücher der Analysis" willst: ich habe weiter oben schon den Forster erwähnt; wenn dir der Heuser lieber ist, dann zitier' doch bitte mal, was der genau dazu zu sagen hat. Aber meiner Ansicht nach sind Schulbücher hier eben doch die sinnvollere Quelle - weil jemand, der Mathematik studiert, wohl deutlich seltener auf Wikipedia was zu Potenzfunktionen nachlesen wird, als ein Schüler! Also sollte man den Artikel ja wohl auch für letztere schreiben. Ach ja, als Abschluss noch: ich bin übrigens Mathelehrer - bin ich also nun auch "halbgar", was auch immer du darunter eigentlich verstehst?--BFeuerbacher 19:15, 27. Aug. 2010 (CEST)

Frage

Ich denke, dass n € R eine falsche Formulierung ist. Sei n 1/2. Dann lautet die Funktion: f(x)= x^(0.5) . Diese Funktion ist keine Potenzfunktion mehr, sondern eine Wurzelfunktion. Meiner Meinung nach ist die richtige Darstellung n € Z /{0} . Ich mache keine Aenderungen im Artikel und warte auf eure Meinungen dazu. (nicht signierter Beitrag von U.erdo (Diskussion | Beiträge) 10:01, 26. Aug. 2010 (CEST))

Deine Konvention hat den Nachteil, dass z.B. $x^{e}$ mit ihr gar keinen Namen mehr hätte (und nicht mal so zerlegbar ist, dass die Funktionen der Zerlegung Namen haben). Da alle wichtigen Rechenregeln für beliebige relle Exponenten gelten, würde ich bei n∈ℝ bleiben. --Pberndt _(DS) 11:08, 26. Aug. 2010 (CEST)

x^(0.5) ist eine Potenz von x, also ist eine Funktion mit diesem Term eine Potenzfunktion. Wurzelfunktionen gehören zu den Potenzfunktionen (das steht doch schon im Abschnitt "Spezialfälle"!), sie sind keine eigene Funktionsklasse!--BFeuerbacher 11:59, 26. Aug. 2010 (CEST)

Müsste nicht am Anfang des Artikels statt n aus Z stehen: n aus Z ohne die Null? Das wurde bereits oben erwähnt. (nicht signierter Beitrag von 81.62.188.75 (Diskussion) 14:11, 20. Okt. 2014 (CEST))

Warum sollte die 0 ausgeschlossen werden? Da $x^{0}$ immer gleich 1 ist, ergibt sich dann die konstante Funktion mit dem Wert 1. --Digamma (Diskussion) 15:41, 20. Okt. 2014 (CEST)

Dazu muss aber der Ausdruck $0^{0}$ definiert sein. (nicht signierter Beitrag von 81.62.120.72 (Diskussion) 14:48, 22. Okt. 2014 (CEST))

Revert Edit 104276968 von IP 77.184.215.233

Dieser Artikel heißt „Potenzfunktion“. Im Einleitungssatz dann den Begriff auf „Allgemeine Potenzfunktion“ umzubiegen und mit der Begründung, dass er dadurch unpassend geworden ist, dann einen etablierten Abschnitt ersatzlos zu streichen, ist bestimmt nicht okay. Wenn der Begriff etabliert ist, wäre sicherlich ein Abschnitt zu der Nomenklatur „Allgemeine“ gut. Ansonsten siehe oben. Über das Entfernen dieses Abschnittes herrscht offenbar keine Einigkeit. -- pberndt 21:15, 11. Jun. 2012 (CEST)

Elastizität

Die schöne Eigenschaft der Potenzfuntkion ist, dass sie eine konstante Elastizität besitzt. Dies ist der Grund, weshalb die Funktion einige Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften hat (z.B. Modellierung der Erfahrungskurve). Wäre es sinnvoll einen Abschnitt zur "Elastitztät" der Funktion einzufügen? (nicht signierter Beitrag von 141.31.64.213 (Diskussion) 11:02, 19. Nov. 2015 (CET))

Ich denke schon. Allerdings scheint es den Begriff nur (oder vor allem) in den Wirtschaftswissenschaften zu geben. In der Mathematik ist er mir noch nie begegnet, ich musste erst mal nachschlagen. --Digamma (Diskussion) 00:07, 20. Nov. 2015 (CET)

Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen (mal wieder)

Hier sollte das Problem bei dieser Def. erwähnt werden:

$-2={\sqrt[{3}]{-8}}{\stackrel {(2)}{=}}(-8)^{1/3}=(-8)^{2/6}={\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=2$ Ups!

Soweit ich weiß, wird dieses Problem dadurch gelöst, dass man Schritt (2) verbietet. -- UKoch (Diskussion) 19:40, 11. Jun. 2017 (CEST)

Nach dem, was im Artikel steht, ist der Schritt $(-8)^{2/6}={\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}$ der verbotene. --Digamma (Diskussion) 10:31, 12. Jun. 2017 (CEST)

Hallo Digamma, danke für die schnelle Antwort! Ja, so muss man den Artikel wohl interpretieren. Hast Du Zugang zu entsprechender Literatur? Soweit ich weiß, wird diese Def. in manchen osteuropäischen Ländern verwendet. -- UKoch (Diskussion) 21:07, 15. Jun. 2017 (CEST)

Hallo UKoch, nein, ich habe keine entsprechende Literatur. Ich selbst würde in solchen Fällen immer die Schreibweise als Potenz mit gebrochenen Exponenten vermeiden und höchstens die Schreibweise mit der Wurzel verwenden. --Digamma (Diskussion) 10:53, 16. Jun. 2017 (CEST)

Hm, schade. Ich fände es für den Artikel interessant, aufzudröseln, wo welche Konvention verwendet wird und was daraus folgt. -- UKoch (Diskussion) 21:41, 16. Jun. 2017 (CEST)

r reelle Zahl

Ich denke die Definition von

$f\colon x\mapsto x^{r}\qquad r\in \mathbb {R} .$

ist unvollständig. Wie ist das zum Beispiel für $x=2$ und $r=\pi$ definiert? So wie es da steht geht das nur mit $r\in \mathbb {Q}$. (nicht signierter Beitrag von 193.170.2.72 (Diskussion) 10:28, 27. Apr. 2018 (CEST))

In diesem Artikel geht es um die Potenzfunktion. Wie Potenzen definiert sind, sollte im Artikel Potenz (Mathematik) erklärt sein. --Digamma (Diskussion) 16:05, 27. Apr. 2018 (CEST)