Diskussion:Regel von de L’Hospital

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Schreibweise

Sollte man es nicht besser nach Regel von L'Hôpital verschieben? Stern !? 22:31, 2. Feb 2005 (CET)

Die selbe Frage habe ich hier (Diskussion:Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hôpital) auch schon gefragt. Ebenso wie auf der Benutzerseite desjenigen, der den Artikel verschoben hat. Allerdings ohne Reaktion. --ElRaki ?! 22:44, 2. Feb 2005 (CET)
Nein, die Schreibweise ist so korrekt. Zu Lebzeiten des Herrn wurde das os noch nicht durch ô ersetzt. -- MLang 21:27, 15. Mär 2006 (CET)
Sollte es nicht "Regel von de l'Hospital" heissen? Der Mann hiess doch "de l'Hospital" und nicht nur einfach "l'Hospital"... --80.219.229.44 22:44, 2. Jul. 2008 (CEST)
Der Mann hieß Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, also ungefähr Wilhelm Franz Anton, Markgraf von L'Hospital. Dafür, ob man da das "von" nun mitnimmt oder nicht, dürfte es keine Regel geben. --ben g 23:53, 2. Jul. 2008 (CEST)

Vollständigkeit

Es wir im Artikel erwähnt dass die Regel von de L'Hospital angewandt werden kann, wenn bei Grenzwerte gegen 0 gehen oder der Nenner gegen Unendlich.

Ich bin mir nicht ganz sicher aber, gilt sie nicht auch dann wenn beide Grenzwerte gegen Unendlich bzw. - Undendlich gehen?

Sie kann in diesem Falle gelten, (z.B. bei lim exp(x)/x), möglicherweise aber auch überhaupt nicht weiterhelfen: lim exp(x)/exp(2x). --mat lechner 8. Jul 2005 14:19 (CEST)

Die Darstellung erscheint im Vergleich zum entsprechenden Abschnitt im „Bronstein“ unvollständig. Da wird die Bernoulli-l'Hospitalsche Regel für Ausdrücke der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{0}{0}} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\infty}{\infty}} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\cdot\infty} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \infty-\infty} , , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \infty^0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1^\infty} angewendet.

Zirkelschluss

Ich denke nicht, dass man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}} mit dieser Regel berechnen kann, wie das im Moment im 2. Beispiel dargelegt wird, denn es ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x - \sin 0}{x - 0}=\sin' 0}

Um die Regel von L'Hospital zu verwenden, muss man hier die Ableitungsfunktion des Sinus kennen, doch einen Wert gerade dieser berechnet man hier. Für mich ist das ein Zirkelschluss. --Ben g 14:13, 14. Sep 2006 (CEST)

Ich bin mir da nicht so sicher ob das wirklich so ist. Der Beweis der gezeigt wird geht über den Mittelwertsatz der Differentialrechnung, soweit ich das sehen kann bezieht sich dein Einwand auf einen der Beweisschritte, aber nicht auf den letzten. Ob das wirklich ein Zirkelschluss ist hängt wohl von der Art ab in der der Mittelwertsatz gültig ist, aber das muss ich mir wohl nochmal angucken. Die Regel von L'Hospital besagt eigentlich nur, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to y}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to y}\frac{f'(x)}{g'(x)}} für den Fall dass g(y) = 0 und f(y) = 0 oder beide Funktionen einen unendlichen Wert annehmen. -- MLang 09:13, 19. Sep 2006 (CEST)
Ich sehe da kein Problem mit der Gültigkeit des Satzes in diesem Fall (gültig ist er ja), sondern ein Problem mit der Anwendbarkeit. Um den Satz anwenden zu können, muss man den Grenzwert, den man berechnet, schon kennen. --Ben g 12:38, 24. Sep 2006 (CEST)
Warum? den Grenzwert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}} kenn ich nicht, da sin 0 -> 0 und 0 -> 0 ;). Wendet man nun den Satz an erhält man, dass der Grenzwert auch beschrieben wird durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}} und das ist gleich 1. -- MLang 20:48, 24. Sep 2006 (CEST)
Dass es funktioniert, bestreite ich ja nicht. Der Punkt ist nur folgender: ist die Definition von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin'(0) = \cos(0)} . Aber gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin'(0)} musst du kennen, denn sonst kennst du den Wert des Zählers nach der Anwendung L'Hospital nicht. D.h. um den Grenzwert mit L'Hospital bestimmen zu können, musst du ihn schon kennen. --Ben g 21:07, 24. Sep 2006 (CEST)
Ok, dann ist L'Hoptial im Endeffekt einfach nur unnötig, aber nicht falsch. Es gibt ja sicherlich einen Beweis für diese Ableitung. -- MLang 23:38, 24. Sep 2006 (CEST)
Den gibt es, zum Beispiel über die Taylor-Entwicklungen von Sinus und Kosinus. Ich meine aber, unterstellen zu können, dass man die Ableitung aber nicht kennt, wenn man diesen Grenzwert bestimmen muss, nur dann landen wir in einer erkenntnistheoretischen Diskussion, die uns hier nicht weiterbringt.
Können wir uns darauf einigen, dass dieser Grenzwert zumindest kein besonders gutes Beispiel für die Anwendung von L'Hospital abgibt, weil er sehr viel direkter bestimmt werden kann? --Ben g 01:09, 25. Sep 2006 (CEST)

Bedingungen für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)\to{\infty}, g(x)\to{\infty}}

Wenn ich den Forster und auch den Holdgrün richtig verstehe, dann muss nicht notwendig gefordert werden, dass der Funktionenquotient im zweiten Fall die Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\infty}{\infty}} hat, es muss ledeglich der Nenner ungleich Null sein, damit die Regel von de L'Hospital gilt. Die Grenzwerte müssen nur für den Fall gleich sein.

schwer verständlich für Schüler

meine Absicht war es, kurz die Regel von L'Hôpital zu rekapitulieren - allerdings finde ich die Form der Darstellung hier sehr schwer verständlich für Schüler. Deutlich besser geschieht es auf der englischen Wiki, wo die Einleitung eigentlich alles Wesentliche enthält... Vielleicht sollte man ähnlich auch hier vorgehen.

Im Artikel L'Hospital über die Person selbst ist eine ganz kurze und verständliche Erklärung enthalten, was die Regel eigentlich ist. Imho könnte man die durchaus auch in diesen Artikel übernehmen. Es ist aber mit fast allen mathematischen Artikeln in der (deutschen) Wikipedia so, als Schüler blickt man da sehr selten durch. Jussty 02:46, 31. Mai 2007 (CEST)
Ich hab jetzt mal versucht, den Artikel in diesem Sinne zu ändern. Hats was genutzt? -- Peter Steinberg 00:58, 4. Jun. 2007 (CEST)

Beschränkung aufs Wesentliche

Ich denke eine Darstellung ohne die einseitigen Grenzwerte wäre übersichtlicher: 

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle lim_{x->a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=lim_{x->a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}

Wenn a und b Null- oder Polstellen von f bzw g sind.

Diese Darstellung wäre auch mathematisch sicher nicht weniger korrekt (im Zweifelsfall wären die Vorraussetzungen schäfer)

Entdecker

Vielleicht könnte jemand das einbauen: (en:L'Hôpital's rule)
The rule is believed to be the work of Johann Bernoulli since l'Hôpital, a nobleman, paid Bernoulli a retainer of 300₣ per year to keep him updated on developments in calculus and to solve problems he had. (Moreover, the two signed a contract allowing l'Hôpital to use Bernoulli's discoveries in any way he wished.)<ref>Maor, Eli, e: The Story of a Number. P. 116. Princeton University Press, 1994.</ref>
Danke und Gruss, Saippuakauppias ⇄ 00:08, 14. Nov. 2007 (CET)

Wann existiert ein Grenzwert?

Sofern ich in Schule, Studium und Referendariat richtig aufgepasst habe, ist ein Grenzwert eine Zahl . Wie kann man dann behaupten, dass für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty } der Grenzwert „offensichtlich“ existiert? Wenn überhaupt kann man hier von einem uneigentlichen Grenzwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \infty} sprechen, welcher aber bei L'Hospital nicht gefragt ist! Gruß Axpde 13:58, 23. Nov. 2007 (CET)

Tja, dafür müsste man den Artikel schon lesen. Zitat unter "Präzise Formulierung": "oder beide bestimmt divergieren". Außerdem hast du durch deinen Edit das zweite Beispiel zerstört, welches eine Anwendung von L'Hospital war. Deswegen werde auch ich diesen Edit revertieren. --Tolentino 09:39, 26. Nov. 2007 (CET)
So, wie Du es jetzt formuliert hast, ist es auf jeden Fall besser, als es vor meinem edit war. Zu lesen, dass bei einer (egal ob bestimmt oder unbestimmt) divergenten Funktion der Grenzwert unendlich "existiert", ließ jedenfalls sich meine Fußnägel aufrollen. Selbst wenn man unter Heranziehung einer geeigneten Topologie plus und minus unendlich zur Menge der Reellen Zahlen "hinzufügt", so sollte man generell lieber von (bestimmter oder unbestimmter) Divergenz sprechen! Soweit d'accord?
Danke aber dafür, dass Du nicht stupide alles revertiert hast und zumind. meine Simplifizierungen beibehalten hast, vorher war die Argumentation nämlich in jedem Fall etwas wackelig! Gruß Axpde 16:52, 26. Nov. 2007 (CET)

Mal ein Versuch ohne Beispiele

Ich denke nicht, dass die Beispiele im Artikel den Leser, der wissen möchte, wie die Regel lautet und wann er sie anwenden darf, wirklich weiterbringen. Zum Teil setzen sie m. E. auch zuviel voraus (so werden im letzten Beispiel ohne Not die Landau-Notation mit entsprechendem Kalkül und die Reihenentwicklungen der trigonometrischen Funktionen vorausgesetzt). Ob die gerade vorgenommene Entfernung der Beispiele wirklich der Weisheit letzter Schluss ist, ist eine andere Frage. Für Vorschläge für ein oder zwei sowohl inhaltlich als auch optisch gefällige Beispiele wäre ich jedenfalls jederzeit offen. -- Carbidfischer 23:31, 12. Jan. 2009 (CET)

Ich halte eine Entfernung größerer Teile des Artikels ohne vorherige Diskussion für nicht akzepabel. Insbesondere ist eine Diskussion darüber jetzt erst recht nicht mehr möglich. Daher bitte ich dich, die Beispiele wieder einzustellen. Dann kann man auch darüber reden. --Tolentino 09:05, 15. Jan. 2009 (CET)
Eine Diskussion ist jetzt genauso möglich wie zu jedem anderen Zeitpunkt. Die Version vor meinen Bearbeitungen ist weiterhin unter http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Regel_von_L%E2%80%99Hospital&oldid=55077031 abrufbar. -- Carbidfischer 09:18, 15. Jan. 2009 (CET)
  • Gerade der Punkt "wann er sie anwenden darf" wird durch nichts besser erläutert durch die explizite Angabe von Gegenbeispielen, bei denen das Weglassen einer Voraussetzung ein fehlerhaftes Ergebnis liefert.
  • Um überhaupt einen Nutzen von diesem Artikel zu besitzen, muss für den Leser natürlich die Kenntnis von Differentialrechnung vorausgesetzt werden. Das ist auch so in Ordnung, denn voraussetzungslose Artikel zu schreiben, insbesondere in der Mathematik, ist eine Illusion. In diesem Kontext halte ich eine Verwendung der normalen trigonometrischen Funktionen für angemessen.
  • Das Niveau mathematischer Artikel darf nicht nur auf Schülerniveau beschränkt bleiben. Natürlich muss eine Schülerleserschaft bei diesem Artikel berücksichtigt werden, aber sie darf nicht den Artikel zu 100% "kapern". Beispielsweise haben Studenten ebenfalls sehr häufig mit Grenzwertberechnung zu tun, welche eine Berechtigung haben, einen kleinen Teil des Artikels auf ihre Bedürfnisse zugeschnitten zu haben. Welcher Teil ist das? Es ist die Diskussion, welches Verfahren angemessener ist: L'Hospital oder O-Kalkül, also eine kritische Hinterfragung der Methodik. Die trigonometrischen Funktionen sind die simpelsten Potenzreihen, die keine Polynome sind - man könnte sie allenfalls durch die Exponentialfunktion ersetzen. Eine Diskussion der zwei Methoden (in denen in der L'Hospital in den meisten Fällen sich als völlig ineffizient oder nutzlos erweist!) darf doch nicht deswegen unter den Tisch fallen, weil der Artikel zu 100% nur auf Schüler zugeschnitten werden soll.
  • Im Übrigen: Ich habe in der Schule die Potenreihenentwicklungen der trigonometrischen Funktionen durchgenommen. Es ist mit Sicherheit eher einer der seltenen Fälle, dass der Gymnasialunterricht so weit vorankommt. Aber das Motto: "Man orientiere sich am unteren Level der Leserschaft" ist gewisslich ebenfalls fehl am Platze. --Tolentino 09:33, 15. Jan. 2009 (CET)
Ich kann deine Position nachvollziehen, bin deswegen aber immer noch nicht glücklich mit den bisherigen Beispielen. Am ehesten kann ich mich noch mit den Gegenbeispielen anfreunden, diese sollten aber dann durch Links und ggf. zusätzliche Erläuterungen so gestaltet werden, dass auch der unkundige Leser die nötigen Informationen erhält. Wenn schon die Reihenentwicklung von Sinus und Cosinus nicht explizit angegeben wird, sollte zumindest ein Link auf Sinus und Kosinus#Definition als Taylorreihe nicht fehlen. Wenn jemand diese Entwicklung auswendig weiß, muss er ja nicht auf diesen Link klicken.
Entsprechendes galt eigentlich für den ganzen Artikel, viele wichtige Begriffe waren nicht verlinkt und zum Teil eher spezielle Notation wurde nicht eingeführt. Links zu setzen und ggf. Notation zu erläutern schadet ja demjenigen nicht, der bereits weiß, worum es geht, er muss ja nicht auf die Links klicken. Ich habe versucht, den allgemeinen Teil des Artikels möglichst weitgehend so zu gestalten. Die anschauliche Erklärung finde ich allerdings immer noch nicht so wirklich anschaulich, vielleicht wäre da eine Skizze hilfreich.
Mit den Beispielen könnte ich grundsätzlich – ggf. ergänzt um Links und kurze Erläuterungen – auch leben (das dritte Beispiel wäre eher etwas für ein Analysis-Übungsblatt als für einen Enzyklopädieartikel, Wikipedia ist keine Trickkiste). Schön wäre es natürlich, wenn sowohl Beispiele als auch Gegenbeispiele in irgendeiner Form hübsch aussähen, im Moment zerschießen leider die standardmäßig zu groß und mit Serifen gesetzten Formeln das Layout.
Deine Meinung dazu? -- Carbidfischer 10:39, 15. Jan. 2009 (CET)
Im Grunde genommen stimme ich dir zu; auch beim dritten Beispiel bin ich ein bisschen skeptisch. Ob man wirklich drei Stück benötigt, ist unbedingt diskutierenswürdig. Allerdings ist kein Beispiel auch keine Lösung; ein ordentlich durchgeführtes Beispiel sollte nicht fehlen.
Die Warnbeispiele hingegen halte ich beide für relevant; das eine, weil es illustriert, dass alle Voraussetzungen geprüft werden müssen; das andere, weil es eine kritische Hinterfragung zur O-Kalkül-Alternative liefert, die meiner Meinung nach meistens überlegen ist. Das ist zwar nicht für Schüler relevant, jedoch für Studenten von überaus großer Bedeutung. Gruß, --Tolentino 12:40, 15. Jan. 2009 (CET)
Die warnenden Beispiele und die ersten beiden Anwendungsbeispiele habe ich jetzt etwas schöner formatiert wieder eingefügt. Meinetwegen können sie im Artikel bleiben, solange niemandem bessere einfallen. -- Carbidfischer 13:42, 15. Jan. 2009 (CET)
Okay, ich habe noch die Anwendungsbeispiele (als "Pro") und Warnbeispiele (als "Kontra") in zwei Gruppen getrennt. An den beiden Anwendungsbeispielen im Konkreten hänge ich nicht fest; wenn jemand dort was Besseres findet, dann kann man das gerne besprechen. --Tolentino 16:51, 15. Jan. 2009 (CET)
Ehrlich gesagt, vermag ich inhaltlich garkeinen Unterschied zwischen L'Hospital und dem Landau-Kalkül zu erkennen. Um die Taylorentwicklung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} zu bestimmen, mußt Du deren Ableitungen ausrechnen. Du brauchst alle Ableitungen bis zur ersten, die in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} nicht verschwindet. Genau diese Ableitungen mußt Du auch bei der (ggf. wiederholten) Anwendung von L'Hospital prüfen. Im Grunde sind es nur zwei verschiedene Notationen für ansonsten identische Rechnungen. (Natürlich kann die Wahl der „richtigen“ Notation in der Praxis durchaus wichtig sein, damit man den Wald zwischen den ganzen Bäumen erkennen kann.) --131.188.3.21 15:46, 1. Apr. 2009 (CEST)
Natürlich sehe ich einen Unterschied zwischen L'Hospital und Landau-Kalkül. Es sind auch nicht dieselben Rechnungen. Das Herleiten der Taylorentwicklung von trigonometrischen Funktionen (wie Sinus) ist eine andere Rechnung als das Ableiten von irgendwelchen Ausdrücken, die den Sinus enthalten.
Um ein ganz kleines Beispiel zu bringen: Für die Entwickung von
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin^2(x) = (x - \frac{1}{6}x^3 + O(x^5))\cdot(x - \frac{1}{6}x^3 + O(x^5)) = x^2 - \frac{1}{3}x^4 + O(x^6)} (für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow 0} )
muss man nicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin^2(x)} 5-mal ableiten. Für die Berechnung
bräuchte man bei L'Hospital 4 Schritte, die sich unterscheiden vom Herstellen des Taylorpolynoms 3. Ordnung des Sinus. --Tolentino 16:07, 1. Apr. 2009 (CEST)

Anwendung

In diesem Abschnitt wird eigentlich erst erklrät, was der Satz besagt. Die Überschrift passt daher teilweise nicht. Zusätzlich würde ich mich über einen wirklichen Abschnitt "Anwendung" freuen, der beschreibt wo in Technik und Wissenschaft der Satz häufig anwendung findet, wo man also es neben mathematischer "Spielerei" mit Quotienten von Grenzwerten zu tun hat. --source 15:20, 4. Aug. 2009 (CEST)

Der Satz ist eine Methode, um konkrete Grenzwerte auszuwerten. Nimm dir selber ein Physik-Buch in die Hand, und jedesmal, wo du Grenzwert findest, hast du ein Beispiel, warum es sinnvoll ist, Grenzwerte zu berechnen. --Tolentino 21:28, 5. Aug. 2009 (CEST)

"Grenzwerte von Funktionen, die sich als Quotient zweier gegen 0 konvergierender oder bestimmt divergierender Funktionen schreiben lassen"

Was sind denn das für Funktionen? --source 15:23, 4. Aug. 2009 (CEST)

  • Zwei gegen 0 konvergierende Funktionen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = x^2} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) = \sin^2(x)} (für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \rightarrow 0} ).
  • Quotient zweier gegen 0 konvergierender Funktionen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{\sin^2(x)}} .
  • Grenzwert von einer Funktion, die sich als Quotient zweier gegen 0 konvergierenden Funktionen darstellen lässt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}F(x)} .
  • Ausrechnen mit L'Hospital: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{2x}{2\sin(x)\cos(x)}} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{f''(x)}{g''(x)} = \frac{2}{2\cos^2(x) - 2\sin^2(x)}} . Iteriertes Anwenden der Regel von L'Hospital liefert . --[[
Damit will ich nicht behaupten, dass dies die eleganteste Methode ist (O-Kalkül wäre schneller), aber das war ja auch nicht die Frage. --Tolentino 21:33, 5. Aug. 2009 (CEST)

Aussprache des Namens

nach den französischen Ausspracheregeln müsste hospital "ospital" ausgesprochen werden (also mit s !). bis jetzt habe ich aber nur die Aussprache ohne "s" gehört (2 Mathelehrer und 2 -professoren). Ist die Ausspracheangabe gesichert? (nicht signierter Beitrag von 77.183.209.103 (Diskussion) 19:37, 14. Feb. 2011 (CET))

In der französischen Sprache wird seit sehr langer Zeit das /s/ vor harten Konsonanten - im Normalfall - nicht mehr ausgesprochen. Erst im 18. Jh. wurde das aber in der Rechtschreibung berücksichtigt. An das weggefallene "s" erinnert seither ein Zirkumflex, wie in "hôpital". --131.152.227.74 16:37, 6. Mär. 2012 (CET)

mehrfache Anwendung der Regel

Eine "Dienstleistung" an den Leser wäre die Zusammenfassung der mehrfachen Anwendung der Regel. Àla n-fache Differenzierbarkeit, f(x)=...=f(n)(x)=g(x)=...=g(n-1)(x)=0 und g(n)(x)≠0. -- Nomen4Omen (Diskussion) 09:26, 16. Apr. 2012 (CEST)

Beweisskizze fehlerhaft

f und g sind laut Formulierung nur auf dem offenen Intervall definiert zu dem x_0 nicht gehört. Somit existieren f(x_0) und g(x_0) gar nicht. (nicht signierter Beitrag von 141.51.124.87 (Diskussion) 13:35, 5. Feb. 2014 (CET))

Danke für den Hinweis: Ich habe noch einen Beweisschritt ergänzt. -- HilberTraum (Diskussion) 18:43, 5. Feb. 2014 (CET)

Schön, dass sich da so schnell was getan hat. Allerdings kann man f und g doch nur dann in x_0 stetig fortsetzen mit 0, wenn die einseitigen Grenzwerte 0 sind. Im "zweiten Fall" sind f und g dort bestimmt divergent und somit kann man sie dort nicht stetig fortsetzen. Ich habe es mir jetzt nicht bis ganz im Detail überlegt, aber wahrscheinlich kann man in diesem Fall mit den Reziproken Funktionen argumentieren. (nicht signierter Beitrag von 94.218.255.42 (Diskussion) 21:07, 7. Feb. 2014 (CET))

Ich habe noch explizit dazu geschrieben, dass der Fall „0/0“ behandelt wird. Der Fall „∞/∞“ ist wohl beweistechnisch etwas komplizierter, aber muss vielleicht hier auch gar nicht genau aufgeführt werden, es soll ja nur eine Beweisskizze sein. -- HilberTraum (Diskussion) 16:59, 8. Feb. 2014 (CET)

Polstellenordnung?

Meiner Meinung nach macht im komplexen Fall k nur als Nullstellenordnung Sinn. Wenn man f und g als auf ganz D holomorph voraussetzt, können sie ja in a gar keine Pole haben. Man könnte natürlich a als Polstelle voraussetzen, aber dann dürfte L’Hospital für die Limesberechnung i. A. nichts bringen, denn beim Ableiten wird ja die Polstellenordnung immer größer. Man hat doch auch im Komplexen Fälle wie f(z) = sin(z), g(z) = z im Auge. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 21:12, 26. Aug. 2014 (CEST)

Manchmal kann es Sinn ergeben, Polstellen abzuleiten:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\log(x)}{x^{-1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{-1}}{-x^{-2}}=\lim_{x\to 0}-x=0}
Die erste Gleichung leitet an den Polstellen ab. Die zweite Gleichung transformiert Polstellen in Nullstellen, indem die Kehrwerte genommen werden. Insgesamt kann also die Erhöhung der Polstellenordnung manchmal dazu führen, das Problem zu vereinfachen. --V4len (Diskussion) 10:57, 27. Aug. 2014 (CEST)
Im Komplexen Falle hat log aber gar keine Polstelle, weil der Logarithmus überhaupt nicht auf einer Umgebung der Null (als gewöhnliche Funktion) definiert ist. Allenfalls hat der Logarithmus bei Null einen "Verzweigungspunkt", aber das ist etwas anderes. Und sogar im Reellen Falle wird es schwierig, dem Logarithmus eine Polstellenordnung zuzuordnen. Da die Ordnung beim Ableiten auf Eins erhöht wird, müsste der Logarithmus ja einen Pol der Ordnung Null haben, oder? --Cosine (Diskussion) 11:14, 27. Aug. 2014 (CEST)
Ich habe nochmal im freitag busam nachgeschaut, dort steht nur ordnung, und diese ist über die Laurent-Reihe definiert, heißt f hat in a ordnung -k (!) gdw die laurententwicklung im punkt a für alle summenglieder mit index echtkleiner -k verschwindet und -k der größte index ist, für den dies gilt. demnach wird sowohl nullstellen als auch polordnung abgedeckt. leider ist da der aktuelle aufbau der wikipedia sehr ungünstig, da eine unschöne fallunterscheidung nötig wäre, um die hier diskutierte regel auf diesen fall zu verallgemeinern. hat irgendjemand eine idee? --NikelsenH (Diskussion) 16:09, 27. Aug. 2014 (CEST)
Hab auch nochmal geschaut: Freitag/Busam meinen hier auf alle Fälle nur Nullstellenordnungen: Zum einen werden f und g als analytisch auf ganz D vorausgesetzt, also auch an der Stelle a. Außerdem darf doch k in der Aufgabe nicht negativ sein wegen der zu zeigenden Formel, dort kommt ja die k-te Ableitung vor. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 17:54, 27. Aug. 2014 (CEST)
so gesehen stimmt es, implizit wird gesagt dass es sich um nullstellen handelt. ich revertiere mal, dann sind wir auf der sicheren seite. wenn jemand was eindeutiges findet, das dafür spricht, dass es sich um pol und nullstellen handelt kann er es ja wieder ändern. schönen abend noch --NikelsenH (Diskussion) 19:06, 27. Aug. 2014 (CEST)
Danke! Ich hab auch nochmal in A. Herz: Repetitorium Funktionentheorie geschaut. Da wird der komplexe L’Hospital auch nur für Nullstellen angegeben. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 20:27, 27. Aug. 2014 (CEST)

Schreibweise (fortgesetzt)

Dieses Thema ist anscheinend wieder aktuell (s. Versionsgeschichte des Artikels). Vielleicht wäre es sinnvoll, hier aufzulisten, welche deutschsprachige Lehrbücher welche Schreibweise(n) verwenden. Hier ein Anfang:

  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen (= Grundkurs Mathematik). 12., verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-11544-9, doi:10.1007/978-3-658-11545-6.
Satz 10 auf S. 190 ist als „Regeln von de l’Hospital“ gekennzeichnet; im Namens- und Sachverzeichnis findet man den Namen „Hospital, Guillaume-François-Antoine de l’H.“ sowie die Bezeichnung „Hospitalsche Regeln“. Auf S. 192 findet man den Passus „Wegen […] kann man erneut Hospital anwenden“.
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 11. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-42231-X.
Satz 50.1 auf Seite 287 heißt „Regel von de l’Hospital“; eine Fußnote gibt seinen Namen als „Guillaume François Antoine Marquis de l’Hospital“ an.
  • Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Differential- und Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung. 6. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-41850-4.
Satz 2.4 auf Seite 127 heißt „Die Regeln von De L’Hospital“. Der Eintrag im Namen- und Sachverzeichnis (S. 523) heißt „L’Hospital-Regel“.
  • Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Linearen Algebra und der Analysis. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-1971-2, doi:10.1007/978-3-8274-2255-2.
Satz 8 auf Seite 251 heißt „1. Regel von de L’Hospital“; Seite 252 gibt seinen Namen als „Marquis Guillaume Francois Antoine de L’Hospital“ an. Satz 9 auf derselben Seite heißt „2.Regel von de L’Hospital“.

Das sind die Bücher, die ich zur Hand habe. --GroupCohomologist (Diskussion) 12:55, 21. Mär. 2016 (CET)

Ehrlich gesagt finde ich das mit den Schreibweisen etwas überbewertet. Richtlinie ist, was in der Literatur steht und wenn eine IP daherkommt und das rausnimmt muss man das meiner Meinung nach nicht nochmal diskutieren. Im Zweifel die Schreibweisen mit Fußnoten zementieren und die entsprechenden Weiterleitungen einrichten. Unter welchem Lemma der Artikel dann steht sollte sich nach der häufigsten Schreibweise in der deutschen Fachliteratur richten. LG --NikelsenH (Diskussion) 21:15, 21. Mär. 2016 (CET)
Ich sollte vielleicht klarstellen, dass ich erst heute – und das rein zufällig – von dieser Meinungsunterschied erfahren habe. Dann fiel mir auf, dass die Einleitung vier bis fünf verschiedene Bezeichnungen zwar auflistet, aber ohne irgendeine Variante konkret zu belegen. Ich meine, das müsste nachgeholt werden. Und ich stimme dir vollkommen zu: Einschlägig ist, was man in der deutschsprachigen Fachliteratur findet. --GroupCohomologist (Diskussion) 21:28, 21. Mär. 2016 (CET)
Ich werde die nächsten Tage mal einige Einzelnachweise nachrüsten und mir die Weiterleitungen anschauen. Dann hat das Hand und Fuß bzw. ist wasserdicht. LG und schönen Abend noch --NikelsenH (Diskussion) 21:33, 21. Mär. 2016 (CET)

Jetzt konnte ich zwei weitere Bücher konsultieren:

Seite 105: „Regeln von L’Hôpital“, „Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital“; Seite 106: „L’Hôpitalsche Regeln“
Seite 439: „Guillaume François Antoine de l’Hospital“; Seite 443 „Regeln von de l’Hospital“, „Bernoulli-l’Hospitalsche Regel“; S. 484 „Bernoulli-l’Hospitalsche Formel“

Kann jemand vielleicht bei Königsberger nachschauen?

Meine Meinung: Wegen Forster und Heuser sollte das Lemma „Regel von de l’Hospital“ heißen. --GroupCohomologist (Diskussion) 18:33, 24. Mär. 2016 (CET)

Schließe mich dir an wegen dem Lemma, sind ja schließlich Standardwerke. Mehr deutschsprachige Quellen als den Forster kann ich im Moment leider nicht auftreiben, habe zurzeit keinen Zugriff auf die UniBib. LG --NikelsenH (Diskussion) 18:45, 24. Mär. 2016 (CET)

Also damit keine falschen Vorstellungen kursieren, beide Schreibvarianten sind korrekt und beide sind auch in der (deutschen) Fachliteratur zu finden (das Thema wurde auch in der Vergangenheit diskutiert). Der Grund für das Vorkommen beider Schreibweise war eine französische Rechtschreibreform nach dem Tode l'Hospitals, die die "osp"-Variante abgeschafft hatte. Welche Variante in der deutschen Fachliteratur derzeit häufiger ist, weiß ich nicht, allerdings muss der Artikel im Suchraum unter beiden Varianten auffindbar sein und beide Varianten sind im artikel zu erwähnen. Welche der Varianten nun den eigentlichen Artikel und welche für den Redirect erwähnt werden ist letztlich egal.--Kmhkmh (Diskussion) 06:50, 2. Apr. 2016 (CEST)

Absichtserklärung Verschiebung: Bitte mitdiskutieren

Ich beabsichtige, diesen Artikel auf dem Lemma Regel von de l’Hospital zu verschieben. Aber aus gegebenem Anlass – siehe @Ittis Halbschutz – stelle ich diesen Schritt zuerst zur Diskussion.

Begründung: Zwar ist die obige Literaturübersicht noch nicht abgeschlossen; aber das Ergebnis ist jetzt schon absehbar, denn „Regel von de l’Hospital“ ist die Schreibweise, die die beiden Standardwerke Forster und Heuser verwenden.

Diese Diskussion könnte insbesondere @NikelsenH, Spuk968, Horst Gräbner, Andy king50, HilberTraum interessieren. Wenn keine Diskussion zu Stande kommt, werde ich um 13:00 Uhr MESZ am Mi 30. März veschieben.

Wie oben schon erklärt: verschieben --NikelsenH (Diskussion) 12:41, 25. Mär. 2016 (CET)
Ist sicher nicht die wichtigste Sache, kann aber gerne auch verschoben werden. Königsberger schreibt übrigens „L’Hospitalsche Regel“. -- HilberTraum (d, m) 15:44, 25. Mär. 2016 (CET)


Neuauflage der Diskussion: Der Artikel wurde 2016 von Regel von L’Hospital zu Regel von de l’Hospital verschoben. Das de einzufügen war korrekt, da der Mann Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital hieß. Allerdings wird sein Name sowohl historisch als auch in der Mathematik meist mit großem L geschrieben. Von den sieben oben referenzierten Werken tun dies vier. Die französische WP, die bei der Schreibweise Expertin sein müsste, schreibt das L auch groß. Auch meine Mathevorlesungen benutzen konsequent Großschreibung (sie gelten vielleicht nicht als Fachliteratur, geben aber Hinweise auf die Verwendung in solcher). Falls nötig, kann ich in der Unibibliothek noch mehr Werke nach Schreibweisen durchforsten, aber ich sehe nicht, warum es die Diskrepanz zwischen den Namen der Person und der Regel geben sollte, wenn die Schreibweise des Namens (mit L) eindeutig auch in der Literatur weit verbreitet und vermutlich dominant ist. Die Entscheidung wurde damals von GroupCohomologist (der übrigens ursprünglich auch für Großschreibung war) an nur zwei Werken festgemacht, obwohl die Mehrheit der Bücher L verwendete. Ich finde nicht, dass man bei Schreibweisen einigen Werken mehr Bedeutung beimessen sollte als anderen, schließlich werden die Autoren ihre Version nicht stundenlang überdacht und recherchiert haben, sondern sie haben vermutlich einfach die Schreibweise übernommen, die sie gelernt haben bzw. die ihnen am meisten gefiel. Darum sind hier die Mehrheit der Bücher und die historisch dominante Schreibweise des Namens ausschlaggebend. Ich werde den Artikel also demnächst nach Regel von de L’Hospital verschieben, wenn niemand große Einwände hat. --π π π | die wichtigsten hier fehlenden Artikel 13:02, 18. Dez. 2019 (CET)

+1 für großes L --Tim Sutter (Diskussion) 06:17, 27. Jan. 2020 (CET)
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