Diskussion:Reihe (Mathematik)

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Allgemeinverständlichkeit

Ich Zweifel die Allgemeinverständlichkeit an. Für die Allgemeinheit wird insbesondere der Einleitungssatz schon keinerlei Erkenntnis bringen. Vielleicht würde es auch ein wenig helfen, das erste Beispiel mit elementarer Mathematik, also mit einem einfachen Zahlenbeispiel zu beschreiben. Der erste Satz bei Notation ist auch bei weitem nicht allgemeinverständlich. Das dies eigentlich auch gar kein Thema für Allgemeinverständlichkeit ist, würde ich zwar unterschreiben, aber ein wenig besser muss es gehen. --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 12:26, 20. Dez. 2012 (CET)

Ich habe versucht die Einleitung zu verbessern. Der Abschnitt Notation ist alles andere als brauchbar. Ich schlage vor ihn konplett zu löschen und die wenigen nützlichen Informationen in den Definitionsabschnitt zu packen. Gibts Anregungen oder weitere Meinungen? --Christian1985 (Disk) 00:24, 3. Jan. 2013 (CET)

Ich habe auch ein paar Änderungen, bei der Notation gemacht. Ich bin dafür ihn zu behalten, da diese Notationen weit verbreitet sind. Sollten wir ihn löschen, würde es auch dem Verständnis im Artikel schaden, da die Notationen hier auftauchen. Notation und Definition zu mischen halte ich für eine schlechte Lösung, da es für Verwirrung sorgen könnte.

Im Einleitungssatz wird der Grenzwert im Rahmen der genauen Definition erwähnt, im Abschnitt Definition aber nicht: Das_kommt_mir_spanisch_vor. Gruß --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 12:34, 3. Jan. 2013 (CET)

Man müsste aber auch schon in der Einleitung genauer unterscheiden zwischen der Reihe (= Folge der Partialsummen) und dem (Grenz-)Wert der Reihe (= Limes der Partialsummen, falls dieser existiert). Siehe auch die Diskussionen oben (habe ich aber nur überflogen). -- HilberTraum (Diskussion) 18:01, 3. Jan. 2013 (CET)

Ich habe den Allgemeinverstänlichkeit-Baustein durch einen QS-Mathematik Baustein ersetzt. Der Begriff Partialsumme ist auf diesen Artikel verlinkt, wird hier aber ohne Erklärung sogar in der Einleitung genutz, das muss irgendwie behoben werden.--Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 14:26, 4. Jan. 2013 (CET)

Ich habe nun einen sinnfreien Satz aus dem abschnitt notation gelöscht. Den Abschnitt Definition habe ich um einen weiteren Satz, Aspekt und Einzelnachweis erweitert. Der Begriff der Partialsumme wird in der Einleitung im Nachsatz erklärt und ebenfalls auch im Abschnitt Definition erklärt. Die Einleitung ist wie Hilbertraum sagte immernoch zu verbessern und der Abschnitt Umkehrung muss auch dringend umbenannt und umgeschrieben werden.--Christian1985 (Disk) 14:46, 4. Jan. 2013 (CET)

Nennt Königsberger den Grenzwert der Partialsummen tatsächlich ebenfalls nur "Reihe"? Ich habe den gerade nicht zur Hand, aber halte das zumindest für unüblich. -- HilberTraum (Diskussion) 09:56, 7. Jan. 2013 (CET)

Ohje das war ein Copy&Paste-Fehler. Otto Forster beschreibt das in seinem Buch so und daraus hatte ich das auch gelernt. Im Buch von Königsberger habe ich gerade nachgeschlagen. Dieser nennt den Grenzwert Wert oder Summe einer Reihe. --Christian1985 (Disk) 10:11, 7. Jan. 2013 (CET)

Ich halte "Reihe" als alleinige Bezeichnung für den Grenzwert der Partialsummen immer noch für unüblich und für Anfänger verwirrend. Schau noch mal genau bei Forster (S. 37 der 10. Auflage), da heißt es ebenfalls: "Konvergiert die Folge [...] der Partialsummen, so wird ihr Grenzwert ebenfalls mit $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ bezeichnet und heißt dann Summe der Reihe." -- HilberTraum (Diskussion) 12:48, 7. Jan. 2013 (CET)

Ich verstehe nicht, warum man den Allgemeinverständlichkeits-Baustein entfernt hat. Ja, auch ich sehe ein, dass ein solcher Artikel nicht im Ganzen komplett verständlich sein muss, aber zumindest die Einleitung sollte auch dem weniger mathematikaffinen Leser wenigstens eine Ahnung vermitteln, worum es geht. Ich erlaube mir mal, die Einleitung auseinanderzunehmen:

• Eine Reihe, selten Summenfolge und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis.

Sehr schön, aber keine Definition. Nur eine Zuordnung zu einem bestimmten Gebiet.

• Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden.

Anschaulich? Nee. Anschaulich ist hier gar nichts. Und "anschaulich" ist auch keine Definition.

• Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind.

Das scheint jetzt eine Art Definition zu sein. Nur leider verstehe ich hier gar nichts mehr, außer dass in der Mathematik "präzise" offenbar das Gegenteil von "anschaulich" ist.

Geht das wirklich nicht besser? --217.239.3.197 22:32, 13. Aug. 2019 (CEST)

@ 217.239.3.197. Erst heute sah ich deine Zeilen 13. Aug. 2019.   Ich kann daran hinzufügen, dass die 'präzise Definition' (eine Reihe ist eine Folge deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind) sagt dass 'Reihe' und 'Folge' in der Mathematik synonym sind. Denn es gibt in der ganzen Welt keine Folge der nicht Partialsommenfolge einer anderen Folge ist:

- die ‘Reihe’ mit Glieder 1, 2, 3, ···   ist die Summenfolge der Folge mit Glieder 1, 1, 1, ··· ;

- die ‘Reihe’ mit Glieder 1, 1, 1, ···   ist die Summenfolge der Folge mit Glieder 1, 0, 0, ··· ;

- die ‘Reihe’ mit Glieder a₁, a₂, a₃, ···   ist die Summenfolge der Folge mit Glieder  a₁,  a₂−a₁,  a₃−a₂, ··· .

(Schon erwähnt am 20. Jan. 2017).

Geht das wirklich nicht besser? – Ja, mit 'Summenkonvergenz' (traditionell) versus 'Gliederkonvergenz' (modern)

Bis etwa 1900 war 'Folge' kein Fachwort in der Mathematik. Jede unendliche Aufeinanderfolge von Zahlengrößen welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind, wurde 'Reihe' genannt. Hauptinteresse war das (eventuell) Anhäufen der Partialsummen; also war/ist mit nur - relativ einfach zu definieren - rationale Zahlen (leider unendlich viele) ein nicht-rationaler Zahl zu beschreiben/definieren. Deswegen werden neben die Schreibweise mit Kommas (oder Punkte oder nur Spatiierung) zwischen die Glieder, auch Pluszeichen benutzt. Bei gewissen Autoren nur für die Summe-Zahl  1+1/2+1/4+1/8+ ··· (= 2), bei anderen auch wenn die Summierbarkeit der Glieder nicht feststeht. Eine 'konvergente Reihe' war eine Reihe/Aufeinanderfolge mit eine Grenzwert ihrer Partialsummen, eine summierbaren Reihe. (Cauchy1821 / Huzler1828)

Im 20. Jahrhundert ist die  'Aufeinanderfolge von Zahlengröße'   verallgemeinert zur  'Abbildung auf die natürlichen Zahlen'  mit Glieder/Elemente in eine beliebige Zielmenge. Mit 'Folge' als neue Name. Und (leider!!) mit eine neuen Bedeutung für 'konvergent/konvergieren'. Nicht mehr für das Anhäufen der Partialsummen, aber für das Anhäufen der Glieder. Weil die Reihen (Aufeinanderfolgen von Zahlengröße) unbedingt auch 'Abbildungen auf N ' sind, sollte man also unterschieden zwischen ‘Reihekonvergenz’ (= Summierbarkeit, Existenz einer Summe, Partialsummenkonvergenz) und ‘Folgekonvergenz’ (= Limitierbarkeit, Existenz einer Grenzwert, Gliederkonvergenz). Im Praxis zwischen ‘summierbar’ und ‘konvergent’.  Eine Mehrheit der Autoren tut das aber nicht, und bleibt suggerieren dass ‘Reihe’ einen Begriff andeutet dass wesentlich zu unterscheiden ist von eine Folge (= Abbildung auf N).  Ohne einen Bedeutungsunterschied zwischen  'die Reihe mit Glieder a₁, a₂, a₃, ···'  und  'die Folge mit Glieder a₁, a₂, a₃, ···'  zu zeigen.

'Reihe' ist Name einer Abbildung ?

Es gibt auch Autoren, die sagen, dass  'Reihe einer gegebenen Folge'  gebraucht wird für der Partialsummenfolge der gemeinten Folge. Aber meistens ohne zu sagen dass 'Reihe' hier die Name ist für eine Abbildung zwischen Folgen. Und dass man nicht reden kann von 'Summe einer Abbildung', 'Glieder einer Abbildung', 'Partialsummenfolge einer Abbildung', 'konvergieren einer Abbildung', u.s.w.

Konklusion

Es sind nicht zwei Arten von 'Aufeinanderfolgen von Größe' zu unterscheiden (Reihen / Folgen), aber zwei Bedeutungen von 'Konvergenz' (Summenkonvergenz / Gliederkonvergenz). Sehe: Spivak, Calculus, 4th Ed. Ch.23, p.471: less precise expressions, terminology somewhat peculiar.

(Ich sehe gern, dass jemand meine Grammatikfehler korrigiert – Dank) Hesselp (Diskussion) 22:57, 1. Mär. 2021 (CET)

Endliche Reihen

Gehören Beispiele zu "endlichen Reihen" in diesen Artikel hier? Gibt es den Begriff der endlichen Reihe? Verstehe ich das Buch von Forster richtig, so schließt dieser endliche Summen beim Begriff der Reihe aus. Partialsummen und Grenzwerte bei endlichen Reihen zu betrachten ist auch ziemlich sinnfrei. Daher würde ich gerne diese Beispiele löschen. --Christian1985 (Disk) 14:59, 4. Jan. 2013 (CET)

Inhaltlich kann ich das zwar weder bestätigen, noch negieren (mein foster ist 200 km weit weg); aber hier sind sie zB erwähnt und google liefert 27.000 treffer, falls die beispiele gelöscht werden ist zumindestens eine abgrenzung nötig und der abschnitt bei Teilersumme müsste überarbeitet werden. Gruß --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 15:13, 4. Jan. 2013 (CET)

Man könnte eine Weiterleitung Endliche Reihe nach Summe anlegen und den Artikel ein wenig ergänzen. Zumindest der Bronstein führt den Begriff endliche Reihe ein, ansonsten scheint er zumindest umgangssprachlich in Gebrauch zu sein.--Christian1985 (Disk) 11:42, 7. Jan. 2013 (CET)

Basieren auf unendliche Folgen?

Für mich widersprechen sich hier einige Aussagen (oder zumindest eine). Im zweiten Satz der Einleitung ist die Rede von unendlich vielen Summanden. Müsste es demzufolge im dritten Satz nicht auf unendliche Folgen eingeschränkt werden: Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen unendlichen Folge sind. Auch bei der Definition wird nicht explizit auf unendliche Folgen eingeschränkt. Was zwar zunächst auch richtig ist, aber demzufolge heißen müsste: Die Folge $\left(s_{n}\right)$ dieser Glieder, also die Folge der n-ten Partialsummen heißt dann Reihe, wenn sie aus einer unendlichen Folge hervorgeht.

Tja und weiter unten ist dann plötzlich von endlichen Reihen die Rede. Kann es sein, dass ich den zweiten Einleitungssatz völlig falsch verstehe und eine Reihe nicht zwingend aus einer unendlichen Folge hervorgeht? Vermutlich: Nach http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Reihe gibt es endliche und unendliche Reihen. Also dann so: Eine Reihe, vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Jedes Glied einer Reihe besteht, wie nachfolgend erklärt, aus einer Summe von Summanden. Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder aus den Partialsummen einer anderen Folge hervorgeht. Die $n$-te Partialsumme ist die Summe der ersten $n$ Summanden. Es wird zwischen endlichen (endliche viele Partialsummenglieder) und unendlichen Reihen (unendlich viele Partialsummenglieder) unterschieden. Geht dies nicht explizit aus dem Zusammenhang hervor, dann ist mit dem Begriff Reihe die unendliche Reihe gemeint. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt. Was haltet ihr von dieser Einleitung? --Olivhill (Diskussion) 15:49, 19. Jul. 2014 (CEST)

Hat den keiner, der sich damit auskennt den Artikel auf den Schirm? Ich möchte eigentlich nicht so ohne weiteres Änderungen an einem Artikel vornehmen, zu dem ich mir erst ein Verständnis erarbeite. --07:49, 22. Jul. 2014 (CEST)

Hallo, mir ist noch nicht so ganz klar, was eigentlich eine endliche Reihe sein soll und in welchem Zusammenhang dieser Begriff überhaupt verwendet wird. Wieso werden die Reihen bei den Beispielen als endliche Reihen bezeichnet? Grüße -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 08:12, 22. Jul. 2014 (CEST)

Vermutlich, weil die Berechnung nur möglich ist, wenn für n eine konkrete natürliche Zahl eingesetzt wird. Was eine endliche Reihe sein soll, habe ich meinen Vorschlag erwähnt. Benutzt wird es zumindest um den Lernenden an den Begriff Reihe heran zu führen. Das ist mir jetzt zumindest mehrfach aufgefallen. Ob es darüber hinaus eine Bedeutung hat, weiß ich nicht. Ich bin ja eher der Leser, der sich damit nochmal auseinander setzt. ---Olivhill (Diskussion) 08:46, 22. Jul. 2014 (CEST)

An die Beispielen zu den "endlichen Reihen" hier im Artikel habe ich mich auch schon gestört. Ich würde diese hier entfernen. Auch die existierenden Begriffe unendliche Folge und unendliche Reihe finde ich nicht so toll, da sie suggerieren, dass es auch entsprechende endliche Konstrukte gibt. Aber eigentlichen werden Folgen und Reihen immer über eine zu $\mathbb {N}$ isomorphe Menge indiziert. Bei Reihen passiert es nun öfters mal, dass man zeigen kann, dass nur endlich viele ihrer Koeffizienten ungleich Null sind. Dann kann man alle bis auf endlich viele Koeffizienten weglassen. Ist das dann eine endliche Reihe? Ich würde es dann auch einfach Summe nennen.--Christian1985 (Disk) 09:12, 22. Jul. 2014 (CEST)

Der Begriff „endliche Reihe“ war wohl früher mal gebräuchlich, er ist es aber mittlerweile nicht mehr; stattdessen werden endliche Reihen einfach als Summen bezeichnet. Der Begriff „endliche Folge“ wird hingegen relativ häufig verwendet. Man kann endliche Folgen zwar auch als Tupel bezeichnen, dabei geht aber der Folgencharakter verloren. Fazit: die derzeitige Einleitung trifft den Sachverhalt schon ganz gut, als Verbesserung könnte man aber, um Missverständnissen vorzubeugen, dort und in der Definition „unendliche“ vor „Folge“ ergänzen. Die Beispiele mit den endlichen Reihen gehören tatsächlich nicht in diesen Artikel. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:33, 22. Jul. 2014 (CEST)

Nun, zumindest wird der Begriff in Lehrbücher teilweise so verwendet. U.a. auch auf der von mir verlinkten Seite auf Wikibooks. Insofern wäre es hilfreich dazu entsprechende Informationen zu bekommen. Es könnte dann evt. relativiert werden. Im Artikel Arithmetische Reihe wird z.B. auch von endlichen Reihen gesprochen.

Mehr stört mich der Satz: Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Nach meinem Verständnis ist eine Reihe keine "Summe", wohl aber werden deren Glieder jeweils durch Summenbildung ermittelt (und sind damit Summen). Denkbar wäre auch alle Glieder aufzusummieren (wie das wohl bei der Grenzwertbildung gemacht wird). Das ist dann aber nicht mehr die Reihe selbst. Auch Du verwendest den Begriff Summe. Nach meinem Verständnis kann man die Reihe nicht als Summe bezeichnen (auch nicht die endliche), sondern nur deren Glieder.

Das erste Beispiel hier (arithmetische Reihe) finde schonmal insofern merkwürdig, weil mir scheint, als ob da eigentlich die arithmetische Folge dargestellt ist. Im Artikel Arithmetische Reihe wird das meiner Meinung nach korrekt erklärt, das Beispiel unter der Überschrift "Spezielle Summen" finde ich dann wieder verwirrend, weil dort wieder arithmetische Folgen dargestellt sind und das daraus gebildete nte Glied einer Reihe. Zumindest fehlt mir ein einleitender Satz, wie: Die jeweiligen Glieder sn einer Reihe <sn> lassen sich beispielsweise aus den dargestellten Folgen wie folgt berechnen: ...

Auch der Satz: "Es gibt eine einfache Formel zur Berechnung der Partialsummen (beziehungsweise der endlichen arithmetischen Reihe):" sollte nach meinem Verständnis wie folgt lauten: "Es gibt eine einfache Formel zur Berechnung der Partialsummen (beziehungsweise der Glieder der endlichen arithmetischen Reihe):". Eine Reihe kann man nicht berechnen. Sie ist eine spezielle Liste von Objekten. Man kann nur deren Glieder berechnen und evt. dessen Grenzwert.

Und nun Quartl: ... werden endliche Reihen einfach als Summen bezeichnet. Auch Du unterscheidest nicht zwischen der Reihe und dessen Glieder und bezeichnest die Reihe an sich als Summe. Langsam frage ich mich, ob ich hier was grundlegend falsch verstanden habe? Mal ein Beispiel: Die endliche Folge (mit n=4): <an> = <1, 2, 3, 4>. Daraus resultiert die endliche Reihe <sn>=<1, 3, 6, 10>. Für i=3, also das dritte Glied, gilt s3= 1+2+3=6. Das dritte Glied der Reihe <sn> ist die Summe der ersten 3 Glieder der Folge <an>. Die Reihe an sich ist aber keine Summe, sondern stellt lediglich die Liste <1, 3, 6, 10> dar. Man beachte, dass ich die Listen (egal ob nun Folge oder Reihe) in spitze Klammern gesetzt habe, dass Glied s3 aber ohne Klammern dargestellt habe. --Olivhill (Diskussion) 11:02, 22. Jul. 2014 (CEST)

Ich glaube, langsam verstehe ich das Problem hier. Der Begriff Reihe ist doppeldeutig! Er meint zum einen die Folge der Partialsummen und zum anderen (falls er existiert) den Grenzwert der Folge der Partialsummen. So expliziet wird das Beispielsweise im Buch Analysis 1 von Forster festgehalten. Wenn man Reihe als Grenzwert der Partialsummen auffasst, dann sind "endliche Reihen" das gleiche wie die entsprechende Summe. Eine endliche Reihe als Folge ihrer Partialsummen aufzufassen, ist mir noc nie untergekommen, ist aber durchaus konsequent weitergedacht.--Christian1985 (Disk) 11:18, 22. Jul. 2014 (CEST)

(BK) Wikibooks ist kein Lehrbuch, sondern enthält wie Wikipedia kollaborativ erstellte Webseiten. Du kannst auf der dortigen Diskussionsseite gerne Kritik und Verbesserungsvorschläge hinterlassen. Im Sprachgebrauch wird „Reihe“ und „Wert der Reihe“ sowie „Summe“ und „Wert der Summe“ oft nicht auseinandergehalten. Das liegt wohl daran, dass häufig nur das Ergebnis der Summenbildung und nicht die Zwischenergebnisse interessieren. Wenn es zum besseren Verständnis beiträgt kann man aber im Artikel gerne ein paar mal „Wert der“ ergänzen und „ist“ durch „ergibt“ ersetzen. Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:25, 22. Jul. 2014 (CEST)

Ah so langsam verstehe ich das. Ja entweder so oder in der Einleitung die doppelte Verwendung erläutern. Denn dort bezieht sich der Satz: "Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden" offensichtlich auf den Grenzwert und der nachfolgende Satz: "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind." (@Christian1985: Eine endliche Reihe als Folge ihrer Partialsummen aufzufassen, ist mir noc nie untergekommen - hier wird es doch gerade so erkärt, bzw. schließt endliche Reihen nicht aus) auf die Liste der Partialsummen. Jetzt verstehe ich auch, warum sich manche so schwer mit dem Begriff "endliche Reihe" tun und ich mich im Gegenzug so schwer mit der Summe mit unendlich vielen Summanden". Gerade diese doppelte Begriffsbenutzung zu erläutern, wäre Aufgabe eines solchen Lexikonartikels. Persönlich würde ich es vorziehen den Begriff Reihe nur für die Partialsummenliste einzusetzen. Und nicht für die Summe dessen Glieder. Da gäbe es auch keine Verwirrungen. Auch nicht mit den Begriffen endlichen und unendlichen Reihen. Ich hatte jedenfalls eben gerade den Begriff nur in seiner zweiten Bedeutung gelernt und wer weiß wie viele mit der kompletten Differentialrechnung auf Kriegsfuß stehen, wegen solcher Ungenauigkeiten. Wie dem auch sei, meine Meinung ist da sicherlich nicht maßgeblich, wir sollten da eine schöne klare Einleitung finden. --Olivhill (Diskussion) 12:22, 22. Jul. 2014 (CEST)

Den Begriff „endliche Reihe“ für eine endliche Folge von Partialsummen habe ich noch nie bewusst in der Literatur gesehen. Gibt es dafür echte Quellen, die das so verwenden? Ich denke hier wird eher von „kumulierten Summen“ oder ähnlich gesprochen, vielleicht auch von „aufsummierten Folgen“, was aber wohl sprachlich nicht so toll ist. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 13:24, 22. Jul. 2014 (CEST)

wikipedia ist zwar keine Quelle, aber wie bereits geschrieben, schon im Artikel Arithmetische Reihe ist von endliche arithmetische Reihen die Rede. Das müsste dann dort auch geändert werden. Auch auf den verlinkten Buch auf wikibooks ist von endlichen Reihen die Rede. Die zwei Qellen, die ich vorliegen habe nutzen zwar nur unendliche Folgen/Reihen, schließen aber die endlichen nicht aus. So schreib Kusch in seiner 9.ten Auflage: Eine Funktion mit dem Definitionsbereich N* wir als (unendliche) Folge bezeichnet. ...Anmerkung: Das alle Folgen bis auf weiters auf N* definiert sein sollen, wird ihr Definitionsbereich nicht in jedem Falle angegeben. Daraus schließe ich, dass auch andere Definitionsbereiche möglich sind.

Websuche bringt u.a. dies: http://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Endliche_Reihen http://w3-o.cs.hm.edu/~rschwenk/Buchfolien/kapitel2.pdf seite 31 http://www.mathematik.net/reihen-einfuehrung/rf2s10.htm Aus all diesen Quellen schließe ich schon, dass diese Begriff allgemein so verwendet wird und ich sehe auch nicht ein was dagegen spricht. Insofern sollte das hier auch erklärt, unterschieden und entsprechende Erläuterungen dazu gemacht werden. Vielleicht hat ja einer noch eine echte Quelle parat Mein erster Vorschlag:

Eine Reihe, vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist als eine Folge definiert, deren Glieder aus den Partialsummen einer anderen Folge hervorgeht. Es wird zwischen endlichen (endliche viele Partialsummenglieder) und unendlichen Reihen (unendlich viele Partialsummenglieder) unterschieden. Jedes Glied einer Reihe besteht also aus der Summe der ersten i Summanden, aus dessen Folge die Reihe gebildet wurde.

Bei endlichen Reihen ist die $n$-te Partialsumme die Summe der ersten i Summanden aus der hervorgegangenen Folge.

Z.B. die Folge $\langle a_{i}\rangle =\langle 1{,}3\;;4{,}7\;;3{,}5\;;4{,}7\rangle$, wobei n = 4 gilt.

Für das Reihen-Glied n = 3, also die Glieder i = 1 bis 3 der Folge, ergibt sich die Partialsumme $s_{3}=9{,}5$.

Die komplette endliche Reihe lautet $\langle s_{n}\rangle =\langle 1{,}3\;;1{,}3+4{,}7\;;1{,}3+4{,}7+3{,}5\;;1{,}3+4{,}7+3{,}5+4{,}7\rangle =\langle 1{,}3\;;6{,}0\;;9{,}5\;;14{,}2\rangle$.

Geht dies nicht explizit aus dem Zusammenhang hervor, dann ist mit dem Begriff Reihe aber die unendliche Reihe gemeint. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt. Dieser Wert der Reihe ist also die Summe der unendlich vielen Folgenglieder-Summanden , derjennigen Folge aus dem die Reihe aufgebaut iat.

Z.B. die Folge $\langle a_{i}\rangle =\langle {\frac {2}{2^{i}}}\rangle$ mit i Element $\mathbb {N} _{1}=\langle 1\;;{\frac {1}{2}}\;;{\frac {1}{4}}\;;{\frac {1}{8}}\;;\ldots \rangle$. Die Folge hat den Grenzwert $\langle a_{n}\rangle =\langle a_{\infty }\rangle$ = 0.

Für das Reihen-Glied n = 3 ergibt sich die Partialsumme $s_{3}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}={\frac {7}{4}}$.

Die komplette unendliche Reihe lautet $\langle s_{n}\rangle =\langle s_{\infty }\rangle =\langle 1\;;{\frac {3}{2}}\;;{\frac {7}{4}}\;;{\frac {15}{8}}\;;\ldots \rangle$. Es kann gezeigt werden dass die Reihe den Grenzwert $\langle s_{n}\rangle =\langle s_{\infty }\rangle =2$ hat.

--Olivhill (Diskussion) 14:31, 22. Jul. 2014 (CEST)

Anmerkung: Das man Summe (dies ist für mich ein Wert) und nicht Wert der Summe (doppelt gemoppelt) sagt entspricht meinem Sprachgefühl. Aber ich finde es immer noch merkwürdig, dass man für Wert der Reihe auch Reihe (dies ist für mich kein Wert) sagen kann. Ebenso wenig würde ich für Wert der Folge einfach nur Folge sagen. Dem Duden entnehme ich einen solchen unbekannten Sprachgebrauch auch nicht. Gibt es dafür Quellen, Beispiele? Insofern habe ich den Text angepasst. vieles steht so aber auch im Haupttext. Insofern muss das noch ein wenig überdacht werden. Mit Sicherheit kann der Satz so nicht stehen bleiben: Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Wenn dann: Anschaulich ist der Wert einer (unendlichen) Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden. --Olivhill (Diskussion) 14:06, 23. Jul. 2014 (CEST)

Ich bin immer noch skeptisch, ob dieser Begriff der endlichen Reihe eine so große Bedeutung hat, dass er hier so herausgestellt wird. Die obigen Links haben mich als Quellen nicht überzeugt, zumal mir die beiden ersten „endliche Reihe“ eher als Synonym zu „Partialsumme“ zu verwenden scheinen. Gibt es denn moderne Literatur, in der 1. endliche kumulative Summen in einer Anwendung auftreten und gleichzeitig 2. auch „endliche Reihen“ genannt werden? -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 08:27, 28. Jul. 2014 (CEST)

@HilberTraum, ja ich denke es müsste ein Lehrbuch angegeben werden, dass den Begriff endliche Reihe verwendet, oder der Abschnitt sollte gelöscht werden.

@Olivhill, wie schon gesagt, wird die Doppelbedeutung im Buch Analysis 1 von Forster angemerkt.--Christian1985 (Disk) 09:57, 28. Jul. 2014 (CEST)

Ich habe gerade mal nachgeschaut. Weder im Buch Analysis 1 von Königsberger noch im Buch Analysis 1 von Heuser wird der Begriff "endliche Reihe" angeführt. Königsberger schreibt allerdings auch: "Man beachte, daß das Symbol $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ zwei Bedeutungen hat: Es bezeichnet die Folge $(s_{n})$ und im Konvergenzfall auch ihren Grenzwert. " Würde man das nicht so machen, dann wäre die Schreibweise $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}}$ (Leibniz-Reihe) nicht definiert.--Christian1985 (Disk) 10:08, 28. Jul. 2014 (CEST)

Ich habe die Änderung wieder rückgängig gemacht, da sie meiner Meinung nach eine Verschlechterung der Einleitung darstellt. Wie gesagt kann sich der Begriff „Summe“ sowohl auf einen Summenterm als auch auf das Ergebnis einer Summation beziehen, hier ist erstere Bedeutung gemeint. Ebenfalls wie bereits gesagt ist der Begriff „endliche Reihe“ nicht gebräuchlich. Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:12, 28. Jul. 2014 (CEST)

Dann sollte das aber auch klar erklärt werden, dass hier eine Doppeldeutigkeit vorliegt und nicht einfach zwei Sätze hintereinander gestellt werden, die nicht das gleiche Aussagen: "Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind." Und zum Schluss dann noch den Begriff Reihe in der ersten Bedeutung als "Wert der Reihe" zu definieren, ohne darauf hinzuweisen, dass "Wert der Reihe" und Reihe in der ersten Bedeutung dasselbe sind. Das verwirrt völlig. Da der Begriff Reihe scheinbar öfter über den Zwischenschritt "Endliche Reihe" eingeführt wird, wäre zumindest ein Hinweis darauf, dass diese Verwendung nur eine Hilfestellung ist, der Begriff so aber nicht existiert, sinnvoll. Ansonsten verwirrt das zudem jeden, der mit diesen Begriff konfrontiert worden ist. Und so ein Artikel soll doch Klarheit verschaffen und nicht verwirren. --Olivhill (Diskussion) 08:07, 29. Jul. 2014 (CEST)

Wenn man einmal in Ruhe darüber nachdenkt, sind die Sprechweisen relativ natürlich und die Schreibweisen höchstens der ansonsten übliche Missbrauch mathematischer Notation. Im alltäglichen Sprachgebrauch sagt man: „Die Summe von 3 und 4 ist 7“. Mathematisch (vermeintlich) korrekter müsste es heißen: „Die Summe von 3 und 4 ist 3+4“ und „Der Wert der Summe von 3 und 4 ist 7“. Menschen, und insbesondere Mathematiker, sind natürlich faul und wenn sie Wörter weglassen können ohne dass der Sinn verfälscht wird dann tun sie das auch. Nachdem der Term 3+4 als solches im Alltag bedeutungslos ist, wird in der Praxis Summe und Wert der Summe problemlos gleichgesetzt. Die Unterscheidung von Summenterm und Summenwert wird erst in der elementaren Algebra gebraucht. Tatsächlich wurde in früheren Computeralgebrasystemen diese Unterscheidung noch getroffen und ich erinnere mich noch an Sessions wie

> x := 3

x -> 3

> x + 4

x + 4

> eval(x + 4)

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Wenn man nun zu unendlichen Summen übergehen will, muss man definieren, was man unter einem Ausdruck wie

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$

eigentlich verstehen will. Wenn eine solche Reihe konvergiert, dann kann man den Ausdruck mit seinem Wert gleichsetzen, zum Beispiel

$1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+\ldots =2$.

Korrekter ist aber auch hier die Sprechweise: „Der Wert der geometrischen Reihe ist 2“, also

$\mathrm {eval} \left(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+\ldots \right)=2$.

Tatsächlich haben wir aber auch kein Problem, erstere Schreibweise zu verstehen. Probleme gibt es erst, wenn solche Reihen nicht konvergieren und hier muss man tatsächlich genau zwischen der formalen Reihe und ihrem Wert unterscheiden. Einen Ausdruck wie

$1+(-1)+1+(-1)+\ldots$

kann man nicht (ohne Weiteres) einem Wert gleichsetzen. Hier fängt der eigentliche Missbrauch mathematischer Notation an, weil man dennoch die Schreibweise von konvergenten Reihen, also

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}a_{i}=\lim _{n\to \infty }s_{n}$,

übernimmt aber eigentlich nicht darf, weil der Grenzwert nicht existiert. Stattdessen muss man einen Ausdruck wie

$\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}=1+(-1)+1+(-1)+\ldots$

als Folge von Partialsummen verstehen, aber der Notation sieht man nicht an, dass hier eine Folge und nicht ihr Grenzwert gemeint ist. Wenn man mich fragt würde ich jegliche Summennotation bei divergenten Reihen verbieten, und die Leute dazu zwingen, die Folgenschreibweise zu verwenden (aber mich fragt ja keiner). Vielleicht wird aber das Ganze jetzt etwas klarer. Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:49, 29. Jul. 2014 (CEST)

Hm, dass ist interessant. Schlag ich den Begriff Summe nach, so steht da: Eine Summe ist in der Mathematik das Ergebnis einer Addition... und in diesem Sinne ist mir das geläufig. Später wird auch beschrieben, dass der Term an sich als Summe bezeichnet wird. In diesem Sinne war mir das nicht geläufig. Wenn dem so ist, dann sollte das dort in der Einleitung auch so erklärt werden. Beim Begriff Reihe war mein Verständnis umgekehrt. Eine Reihe war für mich nur die Bezeichnung für spezielle Folge und nicht für dessen Grenzwert. So wie man sagt: Die Summe beträgt 125, müsste man dann auch sagen: Die Reihe beträgt 125. Da schüttelt es mich. Aber gut, wenn das so ist, dann ist das so. Es ist ja schön, dass Du das hier genau erklärst, aber das muss dann auch im Text so aufgeführt werden. Dieser Artikel soll das für diejenigen, die das nicht wissen erklären und nicht davon ausgehen, dass das schon jeden geläufig ist. Daher folgender Vorschlag: Eine Reihe, vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen unendlichen Folge sind. Die $n$-te Partialsumme ist die Summe der ersten $n$ (von den unendlich vielen) Summanden. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt. Bzw. dieser Wert an sich, als Ergebnis der Reihe, wird als Reihe bezeichnet. In diesem Sinne ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden, die die Glieder der Folge, aus dem die Reihe gebildet wurde, aufsummiert.

Als Einstiegshilfe wird in manchen Lehrbüchern der Begriff "Endliche Reihe" benutzt. Dies ist lediglich als Denkhilfe gedacht. Reihen beziehen sich immer auf unendliche Folgen, zu denen man Grenzwertbetrachtungen anstellen will. - Das könnt ihr gerne noch anders formulieren, aber so wie es da steht und vom Leser erwartet, dass er die Hälfte schon weiß, darf das nicht bleiben. --Olivhill (Diskussion) 10:47, 30. Jul. 2014 (CEST)

Bei deinem Vorschlag hängt das erste Vorkommen von „Summanden“ in der Luft. Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:55, 30. Jul. 2014 (CEST)

Jetz okay? --Olivhill (Diskussion) 23:10, 31. Jul. 2014 (CEST)

Ich meinte nicht die Verlinkung, sondern dass nicht klar wird, um welche Summanden es sich handelt, denn das kommt erst später („Summe mit unendlich vielen Summanden“). Ich befürchte auch, dass deine Version weniger WP:OMA-freundlich ist, als die derzeitige. Grüße, --Quartl (Diskussion) 05:41, 1. Aug. 2014 (CEST)

Geschichte?

• Früher sollte Reihe (auch Progression, lat. series oder progressio) Folge bedeutet haben oder ein Oberbegriff für Folge und Reihe gewesen sein; siehe z.B. books.google.de/books?hl=de&id=iKxeAAAAcAAJ&pg=PA165 oder www.zeno.org/Pierer-1857/A/Reihe .
• Nach der Einleitung hier mit "unendliche Reihe" könnte Reihe früher auch Summen ("endliche Reihen") bezeichnet haben.

Wäre schön, wenn hier mehr zur Begriffsgeschichte stünde. -80.133.117.68 18:11, 6. Dez. 2015 (CET)

'Reihe' und 'Folge' sind synonym

Im mathematischen Teilgebiet der Analysis sind die Wörte 'Reihe' und 'Folge' synonym; beide stehen für: Abbildung der natürlichen Zahlen in eine Menge. Denn die Definition:    Eine Folge deren n-tes Glied als Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge geschrieben werden kann, wird Reihe genannt,    sagt gar nichts neues, weil jede Folge als Partialsummenfolge seiner Differenzfolge auf zu fassen ist (und zu sehen und zu schreiben ist).
In Folge (Mathematik) steht: "Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar.". Die Wahrheit ist, meiner Meinung nach, das die Wörte inhaltlich (im mathematischen Sinn) gar nicht trennbar sind. Man kann nur feststellen das es Kontexte gibt worin traditionell oft für 'Reihe' gewählt wird (im Zusammenhang mit Existenz und mit Wert der Summe).  Sehe auch [1] --Hesselp (Diskussion) 17:52, 20. Jan. 2016 (CET)

Hallo Hesselp, wie ich weiter unten sehe, beschäftigt dich das Thema Folgen und Reihen sehr. Es gibt, entgegen deiner Behauptung, aber einen sehr signifikanten Unterschied zwischen Folgen und Reihen. Tatsächlich kann eine Folge als eine Abbildung der natürlichen Zahlen in eine Menge aufgefasst werden, aber auf eine Reihe trifft dies im Allgemeinen nicht zu. Betrachte zum Beispiel die Folge rot, gelb, blau, rot, gelb, blau ..., die eine Abbildung $\mathbb {N} \to \{rot,gelb,blau\}$, also in die Menge $X:=\{rot,gelb,blau\}$, ist. Diese Menge versehen wir jetzt einfach mal mit der diskreten Topologie, damit können wir auf $X$ auch einen Konvergenzbegriff definieren. Aber wie du schnell siehst, ist auf $X$ gar nicht erklärt, was Addition bedeutet. Du kannst also nicht schreiben rot, gelb - rot, blau - gelb,..., da es den Reihenbegriff hier gar nicht geben kann. Sicher, in den reellen (oder auch komplexen) Zahlen verschmelzen die beiden Konzepte, die Räume der Reihen und Folgen sind wie man dann sagt isomorph, aber mit synonym muss man aufpassen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:50, 2. Apr. 2021 (CEST)

Goedenavond Googolplexian. Vielen Dank, Du hast recht: der zweite Satz in meinem Beitrag 15:11, 2. Apr. 2021‎, ist nicht ganz korrekt (sehe ich nun). Der erste Satz sagte absichtlich 'ZAHLENfolge', dies muss im zweiten wiederholt werden. Also komme ich zu:

Aus der obigen präzisen Definition folgt, dass jede Zahlenfolge $\,a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots \,$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $\,a_{0},\,a_{1}{-}a_{0},\,a_{2}{-}a_{1},\,a_{3}{-}a_{2},\cdots \,$ sind; anderes gesagt: dass die Wörter Reihe und Zahlenfolge beide Bezeichnungen sind für einen Begriff, der fachsprachlich "Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine Zahlenmenge" heißt.

Ja? --Hesselp (Diskussion) 21:13, 2. Apr. 2021 (CEST)

Nein, das stimmt weiterhin nicht. Es gibt beispielsweise auch Reihen über Matrizen (z. B. Matrixexponential) oder ganz Allgemein über Elemente eines kommutativen Rings, vgl. Formale Potenzreihe. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 22:29, 2. Apr. 2021 (CEST)

Vielleicht noch ergänzend: Es macht wenig Sinn, sich darin zu verfangen, beide Begriffe zu vereinheitlichen zu versuchen. Es ist natürlich völlig in Ordnung, wenn du dir eine „klassische“ Reihe als eine Folge (reeller, komplexer ,...) Zahlen vorstellen willst, aber es gibt sehr gute Gründe, warum beide Begriffe koexistieren. Christian1985 hat schon ein schönes Beispiel genannt, nämlich formale Reihen (Potenzreihen, oder auch Dirichlet-Reihen), da sind die Glieder gar keine Zahlen mehr, aber man kann trotzdem „rechnen“. Du müsstest also erstmal erklären, was du mit „Zahlenmenge“ meinst (ist $\{1,2,3\}$ eine solche, aber hier kannst du wieder nicht geschlossen addieren), und alles wird unnötig umständlich. Ich räume allerdings ein, dass der Artikel sicher noch viel Potenzial hat, ausgebaut zu werden, damit all diese besprochenen Punkte klarer werden. Nur sollten wir bei der üblichen mathematischen Praxis bleiben! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 22:51, 2. Apr. 2021 (CEST)

Artikeltext, Satz 3,  "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind." (A),   ist äquivalent zu (ja?-1):

Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieddifferenzen existieren. (B)

Präzise wird eine Reihe als eine Folge mit abziehbaren Glieder definiert. (C)

Präzise wird eine Reihe definiert als eine Abbildung von N in eine Zielmenge mit Addition. (D)

- Bemerkung 1.   Es handelt sich hier um "ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis". Ein Objekt mit Name "formale Potenzreihe" gehört nicht dazu. (Es gehört zu den Algebra – Potenzreihenringe, ohne 'Konvergenz')  (ja?-3)

- Bemerkung 2.   Eine "Dirichlet-Reihe" ist eine (Zahlen-)Reihe, ist also eine Folge deren Glieddifferenzen existieren, ist also eine Abbildung von N in eine Zielmenge mit Addition. (ja?-4)

- Bemerkung 3.   Die Potenzreihe zur definierung der Matrixexponential hat addierbare Glieder, kann also -- entsprechend die 'präzise Definition' – auch "Folge" genennt werden. (ja?-5)

- Bemerkung 4.   Es wäre besser in Satz 3 zu schreiben: "Präzise wird eine Reihe HIER als eine Folge definiert, deren ...".  Und dabei, dass man in die mathematische Literatur noch mindestens 29 andere Definitionen finden kann. (Ist hier, Abschnitt "6. Grote variatie ...", auf niederländisch, ausführlich mit Quellen dokumentiert.) (ja?-6)

- Bemerkung 5.   Wenn wir ausgehen von wie das Wort "Reihe" in der üblichen mathematischen Praxis - Teilgebiet der Analysis funktioniert (auch meine Präferenz), dann sehen wir dass bei einer Reihe (fast?) immer nebst der Gliederkonvergenz auch der Summenkonvergenz (die Summierbarkeit) eine Rolle spielt. Darum sollte man bei der Beschreibung der Praxis-Bedeutung des Worts "Reihe" sagen: "eine Abbildung von N in eine Zielmenge mit Addition (wegen Partialsummen) und Metrik (wegen Gliederdistanz nähert 0)". (E) (ja?–7)

Frage an Googolplexian1221 @Googolplexian1221: Was meinst Du mit "eine 'klassische' Reihe"?  (Eine unendlichen Folge mit reellen Glieder (Cauchy)?  Eine unendlichen Folge mit Glieder in einer Menge mit Addition und Metrik (üblichen Praxis, wegen Summierbarkeit)?   Eine unendlichen Folge mit addierbaren Glieder ('präzise Definition', WPdu WPde)?   Eine unendlichen Folge mit Glieder in einer Menge mit Metrik (habe ich noch nie gesehen deine Folge rot, gelb, blau, rot, gelb, blau ... mit einem Konvergenzbegriff)?   Oder...?)

Verbesserte Vorschlagtext (ohne das Wort "Zahlenmenge" dass nämlich nicht nur als R oder C, aber auch als {1, 2, 3} gelesen werden kann):

" Aus der obigen präzisen Definition folgt dass jede Zahlenfolge $\,a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\cdots \,$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $\,a_{0},\ a_{1}{-}a_{0},\ a_{2}{-}a_{1},\ a_{3}{-}a_{2},\cdots \,$ sind; und dass es wenn die Glieder Zahlen sind, kein Bedeutungsunterschied gibt zwischen Folge und Reihe.  Beispiel. Die wachsende Kwadratzahlen kann man eine Folge nennen, aber auch (entsprechend die 'präzise Definition') eine Reihe weil die Kwadratzahlen die Partialsummen der Folge der ungeraden Zahlen sind. "

--Hesselp (Diskussion) 13:06, 4. Apr. 2021 (CEST)   --Hesselp (Diskussion) 11:54, 6. Apr. 2021 (CEST)

Noch keinen Kommentar gesehen bei meinem obigen 'verbesserte Vorschlagtext' (6. Apr. 2021).  Es scheint mir informativ auch Folgendes zu erwähnen:

Das Wort "Reihe" in der Mathematik (Analysis) hat eine lange Geschichte, mit "konvergente Reihe" für das zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder.  Das Wort "Folge" als Fachwort ist jedoch relativ jung (seit etwa 1900-1920), mit - nicht ganz konsequent - "konvergente Folge" für das zusammenlaufen von nur den Glieder.

Ist das (nahezu) richtig deutsch? --Hesselp (Diskussion) 00:06, 9. Apr. 2021 (CEST)

@Googolplexian1221: Du nennst (18:50, 2. Apr. 2021) die Räume der Zahlenreihen und der Zahlenfolgen "isomorph".  Warum nicht "identisch"?

Und sind wir uns einig, dass, wenn von jedes Gliederpaar einer Folge die Summe und die Distanz bekannt sind, im üblichen mathematischen Praxis in Kontexte wo es um Summierbarkeit geht, traditionell "Reihe" gesagt wird statt "Folge" ? --Hesselp (Diskussion) 20:37, 9. Apr. 2021 (CEST)

Aus Zeitgründen nur kurz, und mit dem etwas mulmigen Gefühl, dass ich mit meinem oberen Beitrag ein Fass ohne Boden aufgemacht habe: Auch ich kann deinen Beiträgen nur schwer folgen. Es klingt ehrlich gesagt auch danach, als wolltest du hier Theoriefindung betreiben, d.h. deine eigenen Gedanken und deine eigene Forschung zu einem Thema beisteuern. Das ist in der Wikipedia allerdings nicht erwünscht. Die „übliche Praxis“ bezog ich darauf, dass Begriffe wie „Zahlenmenge“ im Kontext der Analysis nicht auftauchen, bzw. falls ja erstmal definiert werden müssen. Wahrscheinlich bezieht sich das auf den Körper der reellen bzw. komplexen Zahlen. Ausgangspunkt für eine Artikelüberarbeitung ist der Begriff des Banachraumes, man schaue zum Beispiel in Amann, Escher, Analysis 1. Auch sehr empfehlen kann ich das Buch Analysis 1 von Terence Tao, das ist hervorragend geschrieben. Was den Begriff der Reihe vom Begriff der Folge unterscheidet, ist, dass man mit Reihen besser rechnen kann. Zum Beispiel lassen sich Begriffe wie das Quotientenkriterium hier sehr leicht formulieren. Meine Zeit ist allerdings jetzt sehr knapp. Bei Gelegenheit werde ich mich um den Artikel kümmern, und mich bemühen, ihn verständlicher und ordentlicher aufzuschreiben. Bis dahin schließe ich mich klar der Bitte von Christian1985 an, in Zukunft überzeugende Belege (deutsch oder englisch) beizufügen und den dortigen Formulierungen nahe zu bleiben. Danke. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:30, 14. Apr. 2021 (CEST)

@Googolplexian1221: Dein Kommentar (Version 18:24, 14. Apr. 2021‎) bei meinem mittlerweile beseitigten Beitrag 13 Apr. 2021, halte ich für wenig stichhaltig. Fünf Punkte (was bleibt übrig?):

-1. "deinen Beiträge nur schwer folgen"  Bitte zeige mir genau wo dies der Fall ist. Sind auch die vier Sätze meiner Artikel-Beitrag 13. Apr. 2021 schwer zu folgen; wo präzise?

-2. "als wolltest du hier Theoriefindung betreiben". Wo stehen in meiner vier Sätze 13 Apr. 2021 Aussagen, die nur auf meinen persönlichen Erkenntnissen basieren (WP:KTF)? Meinst du vielleicht meine  "Reihe – einen lange Geschichte"  und  "Folge - seit etwa 1900-1920" ?  Es wird nicht schwer sein dafür 'überzeugende Belege' zu finden (z.B. Jeff Miller).

-3. "dass Begriffe wie „Zahlenmenge“"  Ich habe nirgendwo von "Zahlenmenge" gesprochen.

-4. "mit Reihen besser rechnen kann"  Das 'besser rechnen' betrifft vermutlich die Schreibweise/Darstellung einer Folge/Reihe. Aber ich sehe nicht dass damit der Unterschied zwischen einem mathematischen Begriff mit Name "Reihe" und einem zweiten mathematischen Begriff mit Name "Folge" erklärt ist.

-5. "überzeugende Belege beizufügen"  Ich sehe total nicht was du hier meinst. Was muss in Satz 1 (meiner vier Artikel-Sätze) noch weiter belegt werden? Was in Satz 2? Und was in Satz 3 und 4? (Dass mit "konvergente Reihe" immer und weltweit das Zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder gemeint wird, und mit "konvergente Folge" nur das Zusammenlaufen der Glieder? Ist es nicht sinnvoll dieser unlogische Nomenklatur explizit zu erwähnen?)

Bei deiner Alternativ für meine vier Sätze 13 April 2021   Die Aussage: "Aus der obigen präzisen Definition folgt dass jede Zahlenfolge eine Reihe ist"  ist und bleibt wahr.  Auch indem die Glieder - irgendwo, irgendwann - nicht als Partialsummen aufgefasst werden (Ja?).  Mit "kann betrachtet werden" ist ein Leser nicht geholfen.  

Zu sprechen von "Glieder einer Reihe" (in deiner Satz mit "Bauart") ist gefährlich/verwirrend, weil damit in die Literatur meistens nicht die s_n aber die a_n gemeint sind. Und was muß ein Leser mit "rekursieve Struktur"?  Ist 'die Struktur' der wachsende Kwadratzahlen rekursiv oder nicht?

Der Unterschied, den man fühlen kann zwischen die Wörter Reihe und Folge, liegt nicht in die mathematisch inhaltlichen Definition, aber in die Kontext-Situationen. Bitte lese was ich hier, 2. April 2021 darüber sagte. In einem erneuerte Artikel-Beitrag will ich diese Gebrauchsabhängigkeit zufügen.  Oder kann jemand anderes das machen, in richtig deutsch?

--Hesselp (Diskussion) 17:40, 15. Apr. 2021 (CEST)

„Und was muß ein Leser mit "rekursieve Struktur"?“ An dieser Stelle liegt meines Erachtens dein Verständnisproblem: Natürlich definiert jede Reihe eine Folge, aber das, was den Begriff der Reihe zu einem sinnvollen Konzept macht, ist, dass du eine Folge auf eine neue Folge abbildest (eine Reihe ist also gedanklich eine Abbildung vom Raum der Folgen in den Raum der Folgen via $(x_{1},x_{2},x_{3},...)\mapsto (x_{1},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},...)$). Durch die dadurch entstehende rekursive Struktur können Fragen über die „komplizierte“ Folge, also die Reihe $(x_{1},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},...)$ in manchen Fällen auf die „einfache“ Folge $(x_{1},x_{2},x_{3},...)$ reduziert werden. Es ist also dieses „Zusammenspiel“, was das Konzept der Folge vom Konzept der Reihe unterscheidet. Was dich an meinen Ausführungen, die ich quasi wortwörtlich aus Amann, Escher entnommen habe, so sehr stört, kann ich nicht ganz nachvollziehen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:40, 15. Apr. 2021 (CEST)

Zuerst meine Fünf Punkte, Disk 15. April 2021:

ad-1. Wo sind meine Beiträge schwer zu folgen?  Bisher keine Reaction.

ad-2. Wo Verstoßen gegen WP:KTF in meiner Artikelbeiträge?  Bisher keine Reaction.

ad-3. Wo habe ich von – undefinierte – Zahlenmengen gesprochen?  Bisher keine Reaction.

ad-4. Wie erklärt  "mit Reihen besser rechnen kann",  einen angeblichen inhaltlichen Unterschied zwischen "Folge" und "Reihe".   Bisher keine Reaction.

ad-5. Was muss in Satz 1 oder 2 oder 3 oder 4 meines Artikelbeitrags 13. April 2021 noch belegd werden?   Bisher keine Reaction

6. Neu im Artikeltext 15 April 21:55:  Eine Zahlenfolge wird zu (ändert sich in, Hokuspokus) einer Reihe wenn jemand (irgendwo, irgendwann) die Zahlenfolge als Summenfolge ihrer Differenzenfolge auffasst.  Folgt dies aus der (der Präzise) Definition?  Ist das Mathematik? Taucht so etwas auf 'im Kontext der Analysis' ?  Bitte hier zitieren wie das in Amann-Escher formuliert steht.

7. Im Satz mit "Bauart" bezieht "Glieder der Reihe" sich auf s_n (nicht a_n , wie in Forster). Wer zeigt Quellen dafür. Wo ist die Definierung von "Bauart einer Folge" zu finden?

8. Zu Googolplexian Disk 15. April 2021: Die (Summierungs)Abbilding vom Folgenraum in den Folgenraum heißt "Reihe". Es gibt Autöre die es so haben, aber dann kann man nicht sprechen von "konvergente Reihen" und "divergente Reihen": dieser Abbildung ist weder konvergent noch divergent. --Hesselp (Diskussion) 23:27, 16. Apr. 2021 (CEST)

(Einrück) Ein letztes Mal werde ich antworten, danach verfolge ich diese ziellose Diskussion nicht weiter. Auch das wiederholte Einfordern von Antworten ist kein guter Stil, etwas mehr Zurückhaltung wäre angebracht.

• „Wo sind meine Beiträge schwer zu folgen?“ Bei mir persönlich fast überall. Im Kern begreife ich auch gar nicht, welche „Mission“ du hier genau verfolgst. Die Korrespondenz zwischen Folgen und Reihen ist bereits im Artikel eingearbeitet. Dass Deutsch offenbar nicht deine Muttersprache ist (was ich selbstverständlich nicht verurteile), macht es zudem leider erheblich schwerer. In der Mathematik kommt es auf jedes Wort und jede Formulierung an.
• „Wo Verstoßen gegen WP:KTF in meiner Artikelbeiträge?“ Das Wort „Verstoß“ ist zu hart, obwohl ein sich anscheinend anbahnender Edit-War ein solcher sein würde. Aber die Redakteure können deine Beiträge nicht verstehen, da sie seltsam formuliert sind: Aus der obigen präzisen Definition folgt dass jede Zahlenfolge $\,a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\cdots \,$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $\,a_{0},\ a_{1}{-}a_{0},\ a_{2}{-}a_{1},\ a_{3}{-}a_{2},\cdots \,$ sind; und dass es wenn die Glieder Zahlen sind, keinen inhaltlichen Unterschied gibt zwischen Folge und Reihe.  Beispiel. Die wachsende Kwadratzahlen kann man eine Folge nennen, aber auch (entsprechend die 'präzise Definition') eine Reihe weil die Kwadratzahlen die Partialsummen der Folge der ungeraden Zahlen sind. Die deutsche Grammatik ist falsch, Wörter wie „präzise Definition“ passen nicht wirklich und was ist mathematisch genau ein „inhaltlicher Unterschied“? Nichts davon ist „total falsch“, aber es ist eben kein guter mathematischer Beitrag.
• „Wo habe ich von – undefinierte – Zahlenmengen gesprochen?“ Weiter oben sagtest du: „dass die Wörter Reihe und Zahlenfolge beide Bezeichnungen sind für einen Begriff, der fachsprachlich "Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine Zahlenmenge" heißt.“
• „Wie erklärt  "mit Reihen besser rechnen kann",  einen angeblichen inhaltlichen Unterschied zwischen "Folge" und "Reihe".“ Meine obere Formulierung war etwas missverständlich: Ist $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ der Raum aller reellen Folgen, so identifiziert sich das gesamte Reihenprinzip mit der Abbildung $\Sigma :\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$, $(x_{1},x_{2},x_{3},...)\mapsto (x_{1},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},...)$. Dabei handelt es sich um einen Isomorphismus zwischen $\mathbb {R}$-Vektorräumen. Eine Reihe zu einer Folge ist nun das Bild dieser Abbildung zu besagter Folge, nicht umsonst wird eine Reihe mit $\Sigma x_{k}$ notiert. Der Unterschied zwischen beiden Konzepten, also Folgen und Reihen, wird mathematisch wie folgt klar: der Raum $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ der Folgen für sich betrachtet wird unter naheliegender komponentenweiser Multiplikation zu einer $\mathbb {R}$-Algebra, also via

$(x_{1},x_{2},x_{3},...)*(y_{1},y_{2},y_{3},...):=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},x_{3}y_{3},...).$

Dies entspricht auch der Weise, wie man Funktionen multipliziert. Allerdings ist die Abbildung $\Sigma$ kein Isomorphismus zwischen $\mathbb {R}$-Algebren, denn im Allgemeinen gilt $\Sigma (x*y)\not =\Sigma (x)*\Sigma (y)$ für Folgen $x$ und $y$. Dies liegt im Distributivgesetz begründet: Einerseits ist

$\Sigma (x*y)=\Sigma (x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},...)=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2},x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+\cdots )$

aber andererseits

$\Sigma (x)*\Sigma (y)=(x_{1},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},...)*(y_{1},y_{1}+y_{2},y_{1}+y_{2}+y_{3},...)=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2},...)$

Zum Beispiel diese Unversträglichkeit liefert die mathematische Erklärung dessen, was ich oben versucht habe zu erklären: Bei einer Reihe $\Sigma x_{k}$ handelt es sich um das Bild einer Folge $x_{k}$ unter einer Abbildung (mit rekursiver Struktur) der Folgen in sich selbst, und Eigenschaften der Reihen, wie Konvergenz, werden auf die ursprüngliche Folge zurückgezogen. Bei einer Reihe handelt es sich also streng genommen um ein Tupel $(x_{k},\Sigma x_{k})$ (wegen der unterschiedlichen Ergebnisse unter Multiplikation müssen beide Daten getrennt bleiben), das ist „mehr Information“ als eine Folge a priori hat. Beispielsweise ist das Urbild aller konvergenten Reihen unter $\Sigma$ im Teilraum aller Nullfolgen enthalten, das nennt man das notwendige Konvergenzkriterium. Also ist es schlichtweg falsch zu sagen, beide Konzepte seien „identisch“. Was lediglich richtig ist, dass jede reelle Folge $a_{1},a_{2},...$ ein Urbild unter $\Sigma$ besitzt, das steht auch so im Artikel. Man kann Folgen also zu Reihen „vervollständigen“, indem man sie mit ihrem Urbild unter $\Sigma$ versieht. Aber für das Konzept der Folge wird $\Sigma$ erstmal gar nicht benötigt! Frage dich ferner, wie du das Konzept der Reihe auf Begriffe wie Funktionen bzw. Netze, also mit ggf. überabzählbaren Indexmengen, verallgemeinern würdest. Wären Reihen und Folgen völlig identisch, müsste dies doch trivial sein?

• Ich schenke es mir mal, auf 5 und 6 zu antworten.
• 7: In Amann-Escher.
• 8: Siehe oben.

Ich empfehle weiterhin, in das Buch von Terry Tao zu schauen, dort sind die Sachen noch besser erklärt. Und noch eine abschließende Bemerkung bzw. Empfehlung: Ich gehe davon aus, dass du gute Absichten hast, und grundsätzlich ist es immer lobenswert, wenn jemand motiviert ist und was beitragen will. Allerdings ist mir auch nicht entgangen, dass du diese Diskussionsseite schon sehr stark in Anspruch genommen hast, meist ohne viel Resonanz bei den Redakteuren und diverse Edit-Wars mit anschließender Vandalismussperre gestartet hast. Ich ganz persönlich würde in einem solchen Fall zuerst die Frage stellen: Wenn anscheinend ein klarer Konsens darüber herrscht, das meine Beiträge und meine Auffassungen über ein Thema nicht in einen Artikel der Wikipedia passen, liegt es vielleicht an mir und nicht an den anderen? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 17:16, 17. Apr. 2021 (CEST)

Reaktion auf Googolplexian1221 (Disk 17 Apr. 2021)

I.   Mission.  Vielleicht kommt nahe:  "Trennen von Inhalt mathematischer Begriffe versus ihrer Darstellung."

II. - Das lange Zitat nun in vier Teile.  Wo kannst du hier etwas auf Grund seltsamer Formulierungen nicht verstehen?

a. Aus der obigen präzisen Definition folgt dass jede Zahlenfolge $\,a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\cdots \,$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $\ a_{0},\ a_{1}{-}a_{0},\ a_{2}{-}a_{1},\ a_{3}{-}a_{2},\cdots \$ sind.

b. Aus derselben Definition folgt dass es wenn die Glieder Zahlen sind, keinen inhaltlichen Unterschied gibt zwischen Folge und Reihe.

c. Beispiel. Die wachsende Kwadratzahlen kann man eine Folge nennen.

d. Man kann sie aber auch (entsprechend die 'präzise Definition') eine Reihe nennen, weil die Kwadratzahlen die Partialsummen der Folge der ungeraden Zahlen sind.

- "obigen präzisen Definition" ist vielleicht nicht gut passend in einer Enzyklopädie.  Wie sagt man das - mit Beibehaltung von 'Präzise' - enzyklopädisch?  Auf Deutsch.

- Ich möchte sehr gerne Quellen sehen für Satz 3  "Präzise ..."  im Reihe-Artikel. Otto Forster schreibt etwas anderes.

- "Keinen inhaltlichen Unterschied"  läßt offen dass es einen Gebrauchsunterschied gibt (abhängig von Kontext).

III. Okay, mein Fehler. Bitte lese  "auf $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$"  anstatt  "auf eine Zahlenmenge".

IV. - Für Zahlenfolgen (hier: Glieder in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$) $x$ und $y$ gibt es zwei Verknüpfingen, beiden "Multiplikation" genennt:

$x*y\ :=\ x_{1}y_{1},\ x_{2}y_{2},\ x_{3}y_{3},\ \cdots \$  und  $\ x{*}{*}y\ :=\ x_{1}y_{1},\ \,x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2},\ \cdots \ =\ \Sigma x*\Sigma y\$.

Man kann z.B. die Namen "Folgeprodukt" ("direkt Produkt"?) bzw. "Reiheprodukt" ("Polynomprodukt"?) geben, aber damit wird noch nicht ein Unterschied zwischen Konzept/Begriff Folge und Konzept/Begriff Reihe mathematisch klar.

- "Reihenprincipe".  Ich finde mit Google 0 Treffer. Wer kennt Quellen?

- Die Abbildung Σ ist eine Abbildung von dem Folgenraum in den Folgenraum (es handelt sich hier um Folgen mit addierbaren Glieder). Die Quellmenge (Definitionsbereich) und die Zielmenge sind identisch.

- Das man zwei unterschiedlichen (nicht isomorphe) $\mathbb {R}$-Algebren konstruieren kann, und damit zwei unterschiedlichen Σ-Abbildungen (Zielmenge mit 'direkt Produkt' und Zielmenge mit 'Polynomprodukt'), impliziert nicht dass es zwei unterschiedlichen Begriffe Folge bzw. Reihe gibt.  Ja?

- diese unverträglichkeit.  Welche unverträglichkeit?

- handelt es sich um das Σ-Bild einer Folge.  Das Σ-Bild einer Folge ist wieder einmal eine Folge (hier: eine Abbilding in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$).  Also, warum fängt dieser Satz an mit  "Bei einer Reihe" ?

- Wenn man eine Zahlenfolge mit der traditionellen Name "Reihe" andeutet, bleiben die Eigenschaften der (mit "Reihe" angedeutete) Folge unverändert: Glieder, Partialsummen, Partialsummenfolge, Summe, summierbarkeit, alternierend, monotonie, usw. .  Nur mit  'Konvergenz' (und 'absolut Konvergent') muss man aufpassen.

Traditionell steht 'konvergent' für das zusammenlaufen der Partialsummen (und sagt/schreibt man 'konvergente Reihe'). Rund 1920 haben Konrad Knopp c.s. introduziert das 'konvergent' für das (einfachere, mehr elementare) Zusammenlaufen der Glieder benutzt werden soll. Um Verwirrung zu vermeiden wird die neuere Bezeichnung von 'konvergent' immer mit "Folge" kombiniert; und wird anstatt "konvergente Reihe" oft "summierbare Folge" gesagt.

- Das Tupel $(x,\Sigma x)$ enthalt mehr Information als nur die Folge $x$.  Warum?  Welche extra Information?

- Die Glieder einer summierbaren Folge (auch "konvergenten Reihe" genannt) bilden eine Nullfolge.  Ja, korrekt. Und?

- beide Konzepte. Das "beide" verursacht direkt schon Verwirrung. Es gibt NUR das Konzept "eine Menge von Größen, deren jede nach einem gewissen allen gemeinschaftlichen Gesetze bestimmt wird" (J.F. Lorenz, 1793), moderner formuliert "eine Abbilding auf $\mathbb {N}$”. Traditionell mit Name "Reihe", im letzten Jahrhundert "Folge" oder – speciell wenn die summierbarkeit im Frage ist – oft noch immer "Reihe" (Potenzreihe, Taylor-Reihe, Fourier-Reihe, ...) .  Es gibt zwei Namen – ja. Aber nicht einen zweiten mathematischen Begriff.

- jede reelle Folge besitzt ein Urbild under Σ.  Ja, völlig einverstanden.

- Eine Reihe ist eine 'vervollständigter' Folge.  Was wird hier mit "versehen" (versiehst) gemeint?  Wie tut man das?  Ist die Folge der wachsende Kwadratzahlen weltweit zu einer 'Reihe' promoviert (vervollständigt) wenn ich mit meinem Zauberstab die Kwadratenfolge mit die Folge der ungerade Zahlen 'versehen' habe?  Nochmals, ist das Mathematik?  Wozu dient das 'versehen' mit dem Urbild, wenn jede Folge schon ihrem Urbild 'besitzt' ?

- Die definition  "Abbildung auf $\mathbb {N}$"  enthällt nicht die Abbildung Σ.  Ja.

- Wie kann 'das Konzept der Reihe' verallgemeint werden?  Diese Frage liegt außerhalb dieses WP-Artikels.

V, VI, VII. - Kann jemand meine Fragen ad-5, 6 und 7 im Beitrag 16. Apr. 2021 beantworten?

- Die Anzahl Google-Treffer für "Bauart einer Folge" ist: 0 . Also nicht verwenden in der Enzyklopädie.

VIII. Siehe oben  Wo genau?

IX (Schlussbemerkungen).  ohne viel Resonanz bei den Redaktören.  Was im Kommentar von drei Redakteuren bezieht sich faktisch auf meinen vier Sätze in den Artikelbeitrag 13 Apr. 2021 ?

a. "präzise Definition passt nicht wirklich" (Ich habe um eine bessere Alternative gefragt.)

b. "Die deutsche Grammatik ist falsch" (Ich habe um Spezifizierung gefragt.)

c. "Es fehlen Quellen" (Ich habe um Spezifizierung gefragt.)

d. Etwas vergessen? --Hesselp (Diskussion) 00:22, 20. Apr. 2021 (CEST)

Ich bitte darum solche Änderungen nur mit Quelle belegt einzufügen. Entschuldige, dass ich auf die vorigen Beiträge nicht weiter eingehe. Ich steige schon bei der Aussage "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieddifferenzen existieren." aus. Gibt es dafür eine Quelle? --Christian1985 (Disk) 23:46, 13. Apr. 2021 (CEST)

@Christian1985: "Es fehlen Quellen", ist dein Argument zur Beseitiging meiner Artikelbeitrag 13. April 2021. Quellen wofür?  Ich stelle dir die gleichen fragen wie an Googolplexian1221:   Was muss in Satz 1 (meiner vier Artikel-Sätze) noch weiter belegt werden? Was in Satz 2? Und was in Satz 3 und 4? (Dass mit "konvergente Reihe" immer und weltweit das Zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder gemeint wird, und mit “konvergente Folge” nur das Zusammenlaufen der Glieder? Ist es nicht sinnvoll dieser unlogische Nomenklatur explizit zu erwähnen?)

Und kannst du erklären - ich sehe es nicht - wo eine Quelle benötigt wird bei dem Schritt von

eine Folge (a_n) deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge (a₁, ... , a_n+1−a_n , ...) sind.

nach

eine Folge (a_n) deren Glieddifferenzen (a_n+1–a_n) existieren. --Hesselp (Diskussion) 17:52, 15. Apr. 2021 (CEST)

zu 4. Beispiele

Die geometrische Reihe muß schon konvergent sein, sonst geht das nicht mit dem Grenzwert, also q hoch n mit n element von N und 0 kleiner als der Betrag von q kleiner als 1. (nicht signierter Beitrag von 77.180.199.158 (Diskussion) 18:04, 1. Sep. 2016 (CEST))

Zahlenreihen

Zahlenreihe wird zu diesem Lemma umgeleitet. Was ich aber gesucht hatte, waren Informationen zu den bekannten Denksportaufgaben, das oder die nächsten Glieder zu einigen vorgegebenen Elementen einer Zahlenreihe zu nennen, die diese logisch(?) fortsetzen. Und wie findet man das nun, wenn man, wie hier, irregeführt wird? --78.53.147.146 11:43, 14. Apr. 2017 (CEST)

Ich sehe gerade, daß das unter Folgen abgehandelt wird. --78.53.147.146 12:08, 14. Apr. 2017 (CEST)

Ganz klar ?

Jeder Folge ist identisch mit der Partialsummenfolge seiner Differenzenfolge, also:  'Reihe'  und  'Folge'  sind synonym. Deswegen sagt Satz 4 der Definition: "Falls die Folge/Reihe $(s_{n})$ konvergiert, so nennt man die  Grenzwert der Folge/Reihe $(s_{n})$ auch Summe der Folge/Reihe $(s_{n})$" .
Korrekt?   Was ist hier definiert?

Zur Zeit wird eine Alternative diskutiert im 'Talk page' der englische Wikipedia.
-- Hesselp (Diskussion) 22:13, 18. Apr. 2017 (CEST)

Scharfere formulierung im Abschnitt 'Definition'

Der Artikeltext sagt (Satz 3):  "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."  Diese Formulierung scheint nicht sehr exakt. Denn: die Glieder jeder (Zahlen-)Folge sind 'die Partialsummen einer anderen Folge' (nämlich: die Differenzenfolge der erstgenannte (Zahlen-)Folge).   Also: 'Reihe' und 'Folge' sind (scheinbar?) Synonyme.
Im Abschnitt 'Definition' ist aber etwas anderes gemeint. Wiewohl dort die Sätze 2 und 3 etwas scharfer formuliert werden können:
          Diese Glieder der neue Folge heißen: ($n$-te) Partialsummen der gegebene Folge.  Die neue Folge $\left(s_{n}\right)$ heißt:
          Partialsummenfolge der gegebene Folge,  oder  Reihe der Ausgangsfolge,  oder  Reihe zur Folge $\left(a_{n}\right)$ .
-- Hesselp (Diskussion) 15:38, 2. Aug. 2017 (CEST)

Begründung Revert 08:15, 18.Aug.2017: Inhaltliche Konsens bez. die Änderungen, sehe obige Diskussion. Eventuelle Ideen und Aktionen des Autors, sind hier nicht relevant. -- Hesselp (Diskussion) 08:16, 18. Aug. 2017 (CEST)

Die Partialsummenfolge der Folge (a_n) kann benannt mit "Reihe zu (a_n)"; nicht nur mit "Reihe"

Beim Abschnitt 'Definition':
Die Glieder $s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}$ der 'neuen Folge' können nicht selektiv benannt werden mit  "($n$-te) Partialsummen", aber z.B. mit  "($n$-te) Partialsumme der Folge (a_n)".
Ebenso nicht nur "Reihe" aber (eventuell) "Reihe zu (a_n)" oder "Reihe zur Folge (a_n)"  zur Benennung von die Partialsummenfolge der Folge (a_n).
Korrekt?  Falls nein, warum nicht?

Neben das logische Argument, stehen Quellen:
- Barner-Flor, Analysis I (1974) S. 141:   Die Zahlenfolge  $($$\sum$$_{k=0}^{\ n}a_{k}$$)$ bezeichnet man als die zu $(a_{k})$ gehörende unendliche Reihe.
- Josef Leydold, Mathematik Grundlagen (Wien 2016) S. 34:  "Die Folge ⟨$s_{k}$⟩ aller Teilsummen einer Folge ⟨$a_{i}$⟩ heißt die Reihe der Folge ⟨$a_{i}$⟩."
- TU Darmstadt/Mathematik (2009), Kapitel 7 Reihen, S.50:  "Man bezeichnet die Folge $(s_{m})_{m}$ als die Reihe und die Folgenglieder $s_{m}$ als die Partialsummen zur Folge $(a_{n})_{n}$".
- Beni Keller (Uni-Zürich) Folgen und Reihen (2017), S. 4:  "Die Folge $(s_{m})[...]$ nennen wir Reihe der Folge $(a_{n})$.   Das Glied $s_{n}$ nennen wir $n$-te Teilsumme der Folge $a$, ..." .
- Kmhkmh 5. Juli 2017:  "Summierbarkeit bezieht auf die Reihe zu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$"
        -- Hesselp (Diskussion) 14:36, 1. Sep. 2017 (CEST)
- N. Bourbaki, Topologie générale, 1947 - 2007, Chap. 4 Nombres réels:  "série de terme générale x_n"  und  "série définie par la suite (x_n)". -- Hesselp (Diskussion) 17:28, 9. Sep. 2017 (CEST)

@Stephan Kulla. Deine Bearbeitung der Sektion 'Definition' hilft nicht. Denn, wie schon hier und hier (mit Quellen) geschrieben, die Folge der aus einer gegebenen Folge $(a_{n})$ gebildete Teilsummen, kann nicht mit nur "Reihe" bezeichnet werden. (Aber - z. B. - mit "Reihe zu $(a_{n})$" oder "Reihe zur Folge $(a_{n})$" oder "Reihe zur gegebenen Folge" oder ....). Die kurze unspezifizierte Bezeichnung "Reihe" wäre hier nur ein Synonym für "Folge" sein (weil JEDER Folge identisch mit der Partialsummenfolge ihrer Differenzenfolge ist).
Die Teilsummenfolgen von $(a_{n})$ und von $(b_{n})$ können nicht beide mit nur "Reihe" bezeichnet werden.
Wer kennt und nennt hier Gegenargumente? -- Hesselp (Diskussion) 17:13, 2. Sep. 2017 (CEST)

Änderungen im Abschnitt 'Definition': Vorschlag 6. Sept., Fragen

Definition
Die Partialsummenfolge (Teilsummenfolge, Summenfolge)  $a_{1},\ a_{1}+a_{2},\ a_{1}+a_{2}+a_{3},\cdots$  einer gegebener Folge $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\cdots$  wird auch  Reihe der gegebener Folge  (Reihe zur Folge a-n,  Reihe zu a-n ^[1])  genannt.  Und wird geschrieben:  Reihe  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$,  oder nur:  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$.

Für ihrer eventuelle Grenzwert wird  Wert der Reihe  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$  benutzt.  Oft auch  Summe der Reihe  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$  (weniger logisch weil es nicht die Summe der Partialsummenfolge betrifft).^[2]

Beispiel:  Die Folge  1, 2, 3, 4, 5, ··· ist Partialsummenfolge der Folge 1, 1, 1, ···; kann also mit Reihe zum Folge 1, 1, 1, ···  bezeichnet werden.

            [1] Auch  Reihe mit den Gliedern $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ (Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis 1 1980, S. 187)
            [2] Es gibt auch Mathematiker und Autöre die diesen Grenzwert mit  Summe der Folge $(a_{n})$  bezeichnen.

- Wer hat Kommentar beim obigen Text?
- Wer kann hier zeigen welche Information der Leser finden kann in der heutigen Version (Stephan Kulla), aber nicht im obigen Vorschlag 6.Sept.?
- Wer kann hier mit Argumente bestreiten daß die heutige Sektion 'Definition' impliziert daß alle Folgen auch "Reihe" heißen?  Gegenbeispiel?
- Die heutige Version nennt Otto Forsters Analysis, Band 1 als Quelle.  Er schreibt (4. Aufl. 1983):
        Die Folge der Partialsummen einer Folge $(a_{n})$ heisst  (unendliche) Reihe  und wird mit  $\sum$$_{k=1}^{\ \infty }a_{k}$  bezeichnet.
Also kommt im symbolischen Ausdruck die gegebene Folge vor, im verbalen Ausdruck aber nicht.  Wer kann diese Inkonsequenz rechtfertigen?  Sonst die Quelle streichen.
-- Hesselp (Diskussion) 23:44, 6. Sep. 2017 (CEST)

Definition n-te Teilsumme

Hallo zusammen Im Abschnitt "Definition" steht: Die n-te Partialsumme ist die Summe der ersten n Glieder von (a_i). Direkt danach werden aber die ersten n+1 Glieder summiert (beginnend beim 0-ten Folgenglied!). Müsste man das nicht korrigieren? LG Kevin

Ja, muss man - gut erkannt. Ich drehe es einmal auf n+1. Wenn jemand die andere Definition haben will, dann umdrehen. --Haraldmmueller (Diskussion) 23:25, 1. Dez. 2018 (CET)

Hab mal nen Hinweis hinzugefügt, dass das nur gilt, wenn man 0 zur Indexmenge zählt. --TranslationTalent (Diskussion) 23:35, 29. Jun. 2019 (CEST)

Edit: Semantik und Vergleich

Die Sache mit dieser glied- und wertweiser Gleichheit von Reihen ist mit der Version 15. Sep. 2009, 11:24 Uhr eingeführt worden ohne Angabe einer Quelle. Ich habe schon viel gesehen, aber noch nie ein $\equiv$ zwischen Reihen gefunden noch je etwas von einer gliedweisen Gleichheit von Reihen gelesen. Eine "gliedweise Gleichheit" braucht man auch gar nicht eigens definieren, weil man immer noch sagen kann: "die beiden Reihen sind als Folgen gleich", und für die Gleichheit von Folgen besitzt man das gewöhnliche $=$. "Wertweise Gleichheit" ist schlicht Gleichheit der Grenzwerte.

Durch das Fehlen einer jeglichen Quellenangabe wird eine Allgemeinbekanntheit der Begriffe "wertweise/gliedweise gleich" vorgespiegelt, die in meinen Augen nicht gegeben ist. Deshalb habe ich den Abschnitt "Semantik und Vergleich" stark gekürzt. Man lebt gut damit, dass man mit "Reihe" mal die Partialsummenfolge und mal den Grenzwert meint. --Stefan Neumeier (Diskussion) 09:48, 30. Jan. 2019 (CET)

Ich stimme zu, dass das $\equiv$ i.w. TF war (irgendwo wird schon jemand in der Literatur auch auf diese Idee gekommen sein - aber Standard ist das sicher nicht). Aber: Nach der Kürzung erklärt der Text nicht mehr, sondern er statuiert - jemand, der den Unterschied verstehen will, ist nahezu chancenlos - der Text ist nun typisch im Stil "Mathematik-Lehrbuch" - "ich hab's Dir extrem knapp korrekt dargestellt, wenn Du's nicht verstehst, Dein Pech" - und leider ist dieses - eigentlich einfache - Thema, wie die Erfahrung von vielen Fragenden zeigt, offenbar sehr erklärungsbedürftig. Dessen sollte sich ein Lexikon annehmen.

Mein Vorschlag wäre, das Beispiel mit zwei Reihen doch anzuführen, aber ohne Einführung einer nicht belegten Notation, sondern in Worten erklärt, ungefähr so: ... zuerst die Wertgleichheit, die ja klar ist. Dann so ca: "Die Folge der Partialsummen der ersten Reihe ist 1/2, 3/4, 7/8, während die Partialsummen der zweiten Reihe ... sind. Diese Folgen sind nicht gleich: Daher sind die zwei Reihen nur im ersten Sinn gleich (Gleichheit der Werte), nicht aber im zweiten." o.ä.

--Haraldmmueller (Diskussion) 10:00, 30. Jan. 2019 (CET)

... und noch eine Anmerkung: Wäre es ok, wenn man den Satz " ... im Fall divergenter Reihen nicht existiert." ergänzt zu " ... im Fall divergenter Reihen nicht existiert (was manchmal mit dem Symbol $\infty$ dargestellt wird)." o.ä.?

--Haraldmmueller (Diskussion) 10:03, 30. Jan. 2019 (CET)

Weitere Aufklärung, Vorschlag

(Nach dem zweiten Satz einschalten:)

Welches impliziert dass jeder Zahlenfolge auch  ‘Reihe’  heißen kann,  weil ihrer Glieder (a₁, a₂, a₃, ···) immer die Partialsummen der Folge  a₁,  a₂−a₁,  a₃–a₂, ···  sind.

(Und nach dem vierten Satz, wie neuer Absatz:)

Nomenklatur.   Wenn die Glieder einer Folge/Reihe/Abbildung-auf-N  zusammenlaufen (gegen einem Grenzwert streben) spricht man von “konvergente Folge”, “Grenzwert der Folge”.   Wenn auch ihrer Partialsummen zusammenlaufen, von “summierbare Folge”, “summierbare Reihe”, “Summe der Folge”, “Summe der Reihe”, und auch manchmal von “konvergente Reihe”. Im letzten Fall ist mit ‘konvergent’ die traditionelle – bis etwa 1900 die einzige - Bedeutung ‘zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder’ gemeinnt.

(Verbesserungen? Dank.  Grüße aus Holland.) --Hesselp (Diskussion) 18:17, 8. Mär. 2021 (CET)

Erweiterte Version

(Nach dem zweiten Satz einschalten:)

Welches impliziert dass jeder Zahlenfolge auch  ‘Reihe’  heißen kann,  weil ihrer Glieder (a₁, a₂, a₃, ···) immer die Partialsummen der Folge  a₁,  a₂−a₁,  a₃–a₂, ···  sind.

(Und nach dem vierten Satz, wie neue Absätze:)

Nomenklatur. Das Wort 'Folge' (für: Abbildung auf N, Glieder nicht spezifiziert)  ist nur seit etwa Anfang 20. Jahrhundert ein Fachwort in der Mathematik.  Bei das ältere 'Reihe' (auch 'Progression' und 'Series') geht es meistens um addierbare Glieder.
Wenn die Glieder einer Folge /Reihe/Abbildung-auf-N zusammenlaufen (gegen einem Grenzwert streben) spricht man von "Grenzwert der Folge" und von "konvergente Folge".
Wenn auch ihrer Partialsummen zusammenlaufen, spricht man von "summierbare Folge", "summierbare Reihe", "Summe der Folge", "Summe der Reihe",  und auch manchmal von "konvergente Reihe".  Im letzten Fall hat  'konvergent'  die traditionelle – bis etwa 1900 die einzige - Bedeutung:  'zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder'.

Symbolische Schreibweisen für eine Aufeinanderfolge von Glieder ${\textstyle a_{n}}$, sind (auch mit Anfangsindex ungleich 1):

(i)   $(a_{n})_{n=1,2,\cdots }$   oder   $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots$   oder   $a_{1},\,a_{2},\,\cdots ,\,a_{n},\,\cdots$

(ii)   $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$   oder   $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots$

(iii)  $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$   oder   $\sum _{n=1}a_{n}\,$   oder   $\sum a_{n}\,$ .
Die Formen ii und iii werden fast ausschließlich gebraucht wenn das Anhäufen der Partialsummen relevant ist.   Mit dieselben Formen kann auch die Folge  $(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})_{n=1,2,\cdots }$  gemeint sein. Und auch noch die Zahl  ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ .

Komplizierend ist weiter, dass das Wort  'Reihe'  auch vorkommt in Sätze wie
"Die Folge $(n)_{n=1,2,\cdots }$ wird  'Reihe der Folge $(1)_{n=1,2,\cdots }$'  genannt" ;
gleichbedeutend mit
"Die Folge $(n)_{n=1,2,\cdots }$ wird  'Partialsummenfolge der Folge $(1)_{n=1,2,\cdots }$'  genannt" .
Die Wörter 'Reihe' und 'Partialsummenfolge' beziehen sich hier auf eine Abbildung zwischen Mengen von Folgen. Ein solcher Abbildung kann nicht 'konvergent' oder 'divergent' sein, und kann keine 'Summe' und keine 'Glieder' haben.

(Verbesserunge? Dank.  Erweiterde Grüße aus Holland.) --Hesselp (Diskussion) 20:37, 11. Mär. 2021 (CET)

Neun Quellen, von die Beziehung zwischen den Namen 'Reihe' und 'Folge'

Die folgenden Zitate haben den Absicht der Inhalt meiner vorherigen Beiträge 1. März 2021,  8. März 2021,  11. März 2021 und auch 20. Januar 2016,  zu unterstützen.
Kurz: Es gibt nur EINEN Begriff  'Abbildung auf N',  traditionell 'Reihe' und heutzutage (etwa letztes 100 Jahre) oft 'Folge' genannt.  'Konvergent' erscheint in ZWEI Bedeutungen: 'Summenkonvergent' (traditionell, wenn die Folge 'Reihe' heißt) versus 'Gliederkonvergent' (modern, wenn die Folge 'Folge' heißt).

1.  R. Geigenmüller, Leitfaden und Aufgabensammlung zur höheren Mathematik, I. Band, 7. Aufl. 1907, S.264

Jene Folge von Zahlen wird eine  R e i h e  und die einzelnen Zahlen werden die  G l i e d e r  der Reihe genannt.

2.  L. Bieberbach, Differentialrechnung, 3.Aufl. 1928, S.34  [2]

Wir legen unseren Betrachtungen eine Zahlenfolge  u₁, u₂, u₃, ···  zugrunde und nehmen uns vor, den Summenbegriff auf diese Folge von unendlich vielen Zahlen zu übertragen. Zum Zeichen dieses Vorhabens pflegt man gern die Glieder der Folge durch Pluszeichen zu verbinden statt sie durch Kommata zu trennen und von einer unendlichen Reihe statt einer unendlichen Folge zu reden: u₁ + u₂ + ···  Durch diese neue Schreibweise ist natürlich der Begriff "Summe einer unendlichen Folge oder Reihe"  noch nicht festgelegd, sondern dadurch sind nur die Reihenglieder  u  erneut aufgeschrieben.

3.  K. Hoffman , Analysis in Euclidean Space, 1975, S.35  [3] [4]  (Neue Ausgabe 2007)

In many problems, we are given a sequence  ${\textstyle \{X_{n}\}}$  and we are interested in the convergence of the successive sums. We then speak of the infinite series  ${\textstyle \sum _{n}X_{n}}$

4.  E. Bishop, D.S. Bridges, Constructive Analysis, 1985, S.31  [5] [6]

A sequence which is meant to be summed is called a series.  A series is said to converge to its sum.  Thus the sequence  ${\textstyle \{2^{-n}\}_{n=1}^{\infty }}$  converges to 0 as a sequence, but as a series it converges to 1.  [...]  The series  ${\textstyle \{x_{n}\}}$  is often loosely referred to as the series  ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$  .   (Hesselp: Wer kann diese Sätze hier aus der deutschen Version dieses Buches zitieren?)

5.  H.J. Keisler, Elementary Calculus, 2nd Edition 1986, revised Jan. 2021, S.501   [7]  (1st Edition 1976)

When we wish to find the sum of an infinite sequence $\langle a_{n}\rangle$, we call it an infinite series and we write it in the form $a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots$

6.  remarque (Pseud.), Les-Mathématiques.net, “Définition de la notion de série numérique”, 2011, 21. Beitrag  [8]

En fait la série et la suite sont vraiment à la base le même objet, mais ce sont les notions de convergence pertinentes qui diffèrent (plus les opérations algébriques comme le produit) et on introduit naturellement un vocabulaire différent et une notation différente et naturelle.

7.  user 2913 (Pseud.), Mathematics Educators Stack Exchange, “How can I teach my students the difference between a sequence and a series?”, 2014, 4. Antwort  [9]

In modern terms, one might say that a sequence or a series is simply a function $f{:}\,\mathbb {N} {\to }\mathbb {R}$  --  the same in both cases. I think the significance of these observations is that a sequence and a series are not (readily) distinguished by what they are. They are distinguished by how they are used. We speak of the "sum" of series and the limit of the "terms." The words "sequence" and "partial sum" began to be used, I suppose, to help clarify the intended use. [...] To me, the notion of a sequence and a series are intrinsically difficult to keep straight, the capital sigma being the main difference (or the plus dot-dot-dot).

8.  E.P. van den Ban, Opgaven Inleiding Analyse (Univ. Utrecht), 2003, S.18  [10]

Een reeks is zodoende een rij, waarbij de notatie aangeeft dat we de intentie hebben te sommeren.  (Eine Reihe ist deshalb eine Folge, wo die Notation darauf hinweist dass wir die Absicht haben zu summieren.)

9.  E.P. van den Ban, Dictaat Functies en Reeksen (Univ. Utrecht), 2019, S.54  [11]

We gebruiken de notatie ${\textstyle \sum _{k\geq 0}a_{k}}$  om aan te geven dat we de intentie hebben om de elementen van de rij $(a_{n})$ te sommeren.  (Wir wählen die Notation ${\textstyle \sum _{k\geq 0}a_{k}}$  um zu zeigen dass wir beabsichtigen die Elemente der Folge $(a_{n})$ zu summieren.)

Diese Autoren unterscheiden deutlich zwischen dem Inhalt eines Konzepts und seinem Namen und Schreibweisen. Wichtig (mMn). --Hesselp (Diskussion) 12:22, 17. Mär. 2021 (CET)

10. (Nachtrag)   Grote Nederlandse Larousse Encyclopedie, in 25 delen (1972-79), 20. Band 1978, S. 138-9  R e e k s

R e i h e  (Math.) Unbegrenzter Folge von Glieder, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet werden. Eine Reihe wird $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots +a_{n}+\ldots \$geschrieben; [..] . --Hesselp (Diskussion) 09:57, 27. Mai 2021 (CEST)

11. (Nachtrag2)   D.A. Quadling, Mathematical Analysis, 1955, VIII Infinite Series, S.85 [12]

When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES. The series is denoted by the symbol Σu_r ; no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose rth term is u_r .

S. 86 (verkürzt):  If the sum sequence of u_r has a limit, the infinite series Σu_r is said to be CONVERGENT [..].

S. 74 (verkürzt):  If there is a number l with [..] then the sequence TENDS TO l . --Hesselp (Diskussion) 14:00, 7. Jun. 2021 (CEST)

Wien bleibt Wien

Erläuterung bei dieser Bearbeitung, 25. März 2021.

Eine Folge (eine nach einem bestimmten Gesetz gebildeten Aufeinanderfolge von Glieder / eine Abbildung-auf-N) bleibt eine Folge, bleibt dasselbe mathematische Object/Begriff,
auch wenn man nur an dem Zusammenlaufen ihrer Partialsummen interessiert ist,
auch wenn man das Object mit Pluszeichen oder dem Sigmazeichen notiert,
auch wenn man das Object mit der traditionellen Name "Reihe" benennt (vor etwa 1900 war "Folge" kein Fachwort),
auch wenn man eine summierbare Folge mit "konvergente Reihe" benennt  (mit dem Wort "konvergent" gemeinnt in der traditionellen Bedeutung: 'zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder' ).

Weiter.
Eine Reihe (eine nach einem bestimmten Gesetz gebildeten Aufeinanderfolge von Glieder / eine Abbildung-auf-N) bleibt eine Reihe, bleibt dasselbe mathematische Object/Begriff,
auch wenn man an etwas anderes wie das Zusammenlaufen ihrer Partialsummen interessiert ist,
auch wenn man das Object mit Kommas zwischen der Glieder notiert (wie z.B. Cauchy, von Mangoldt-1929) statt Pluszeichen,
auch wenn man das Object mit dem moderneren Name “Folge” benennt.

Und noch dieses Faktum.
Eine Folge/Reihe (eine nach einem bestimmten Gesetz gebildeten Aufeinanderfolge von Glieder / eine Abbildung-auf-N) bleibt eine Folge/Reihe, bleibt dasselbe mathematische Object/Begriff,
auch wenn man das Objekt mittels die Differenzen seiner Glieder notiert.
Beispiel: Die Quadratenfolge/Quadratenreihe bleibt die Quadratenfolge/Quadratenreihe,
auch wenn man das Objekt notiert wie  ${\textstyle (\sum _{i=1}^{n}2i{-}1)_{n=1,2,\cdots }}$  oder  ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }2i{-}1}$  oder  $1+3+5+7+\cdots$  .

--Hesselp (Diskussion) 18:27, 25. Mär. 2021 (CET)

Vorschlag 26. März

Haraldmmueller schreibt:  " Aus der Definition folgt, dass jede Zahlenfolge als Reihe betrachtet werden kann, indem ihre Glieder $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ als Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\dots$ aufgefasst werden. "

Meine Antwort (Hesselp):  Okay.  Aber auch indem Haraldmmueller und Hesselp und ... und ..., die Glieder einer beliebigen Zahlenfolge (a_n) NICHT als Partialsummen ihrer Differenzenfolge auffassen, sind die Glieder der Folge (a_n) die Partialsummen einer anderen Folge. Deshalb folgt aus der WP-Definition (3. Satz) dass eine beliebigen Zahlenfolge auch eine “Reihe” ist.  Wo bleibt den Unterschied?  Gibt es ein Unterschied?

Also ist informativ für den Leser, und ist mein Vorschlag: " Achtung. Aus der präzise Definition folgt, dass jede Zahlenfolge eine "Reihe" ist. Weil die Glieder  $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$  immer die Partialsummen der Folge   $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\cdots$  sind. "
--Hesselp (Diskussion) 00:27, 26. Mär. 2021 (CET)

Ich schreibe Deinen Vorschlag gern einmal in korrektem Deutsch und nach WP-Konventionen hin, damit wir die relevanten Unterschiede sehen:

Aus der präzisen Definition folgt, dass jede Zahlenfolge eine "Reihe" ist, weil die Glieder $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ immer die Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\cdots$ sind.

Änderungen: "Achtung" weg - sowas schreiben wir in der WP nicht; Grammatikkorrektur bei "präzise"; Grammatikkorrektur ". Weil" --> ", weil" (keine alleinstehenden Gliedsätze); einige &nbsp weg, weil unnötig.

Inhaltlich willst Du offenbar mein "Betrachten" und "Auffassen" durch ein "Sein" ersetzen. Das ist nicht von der Hand zu weisen (ein grob analoges Beispiel: Der Satz "Einen Hund kann man als Säugetier sehen" ist anfechtbar; "Ein Hund ist ein Säugetier"!). Historisch und m.W. heute noch im Schulunterricht allerdings wurde ein (wie immer wolkiger) Unterschied zwischen den beiden gemacht, daher ist meine Darstellung als "Auffassung" auch legitim. Ich finde meine Version didaktisch/erklärend etwas besser, weil sie den "Prozess" vom Historischen/schulisch Gelehrten zur Vereinheitlichung expliziter macht. Darüberhinaus stellt sich im Hintergrund natürlich wie immer die ontologische Frage mathematischer Kosntrukte(!)/Entitäten(!) ... Eine Formulierung, mit der ich leben könnte:

Aus der obigen präzisen Definition folgt, dass umgekehrt jede Zahlenfolge $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\dots$ sind.

Das "umgekehrt" weist darauf hin, dass einerseits eine Reihe eine bestimmte Folge ist (nämlich der Partialsummen), andererseits nun aber eine Folge auch eine bestimmte Reihe ist (nämlich der gliedweisen Differenzen).

--Haraldmmueller (Diskussion) 10:44, 26. Mär. 2021 (CET)

&Haraldmmueller. Vielen Dank für deine Reaktion. Die deutsche Grammatik bleibt ein Problem für mich.

Du schreibst: "Historisch .. wurde .. ein Unterschied zwischen den beiden [Hesselp: der Begriff mit Name Folge, und der Begriff mit Name Reihe; ja?] gemacht ."   Meine Suche in der Literatur – über fünfzig Jahre – zeigt jedoch nur dass viele Autoren (sehr grob gesagt: seit 1922, Konrad Knopp) weltweit VERSUCHT HABEN zwei Begriffe zu beschreiben/definieren. Und dass das NIEMALS gelungen ist (kann jemand ein konkretes Gegenbeispiel nennen?).

Immer wieder geht es um verschiedene Schreibweisen/Notationsformen (oder um Unsinn wie bei James Stewart: If I try to add the terms of an infinite sequence (a_n), I get an expression of the form a₁+a₂+a₃+ ··· which is called an infinite series.).  Ich habe etwa dreißig (!) inhaltlich unterschiedliche 'Definitionen' gefunden für was eine Reihe 'ist'.  In diesem Text, mit Quellen (Abschnitt  6. Grote Variatie ...; in meiner Muttersprache) ist das vielleicht auch für Deutschsprachigen zu sehen.

In den Niederlanden ist das Wort reeks (= Reihe) im Jahre 1960 im Schulunterricht konsequent ersetzt durch rij (= Folge). Und convergente reeks heißt sommeerbare rij (= summierbare Folge).

Dein Satz "Das 'umgekehrt' weist darauf hin ..."  bleibt für mich ganz unklar. Soll ich die wachsenden Quadratzahlen "eine Reihe" nennen - "Quadratenreihe" - weil ich schreiben kan (oder denken kann):  1, 1+3, 1+3+5, ··· (A) , oder  1+3+5+··· (B)?  Oder "Quadratenfolge", wenn ich nicht an jener Notationsform gedacht hatte?   Ist es "Quadratenreihe" oder "Quadratenfolge" wenn das Objekt (die Abbildung der natürlichen Zahlen in den Quadratzahlen) irgendwo notiert steht wie  1, 2+2, 3+3+3, ···(C), oder  1×1, 2×2, 3×3, ···(D), oder ...?

Deine Formulierung

Aus der obigen präzisen Definition folgt, dass umgekehrt jede Zahlenfolge $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\dots$ sind.

hat nicht meine Anführungszeichen bei das Wort Reihe. MMn geht dabei etwas sehr wesentliches verloren. Ich sehe nun dass ich meinen Absicht mit die Anführungszeichen verständlicher/prägnanter formulieren kan wie:

Aus der obigen präzisen Definition folgt, dass jede Zahlenfolge $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\cdots$ sind. Die Wörter Reihe und Folge sind beiden Namen für einen Begriff das im Fachsprache definiert werden kann wie "Abbildung auf den natürlichen Zahlen".

--Hesselp (Diskussion) 13:40, 27. Mär. 2021 (CET)

Wenn Mathematikinteressierte diskutieren, sollten sie ihre impliziten Annahmen klar statuieren, damit sie die Herkunft ihrer Urteile und Bewertungen möglichst deutlich begründen können. Ich mache das einmal:

Annahme 1: Du verstehst perfekt deutsch (auch wenn Du Dir beim Formulieren im Deutschen schwer tust). Grund der Annahme: Wenn das nicht so ist, dann wird bei Argumenten Deinerseits nie klar sein, ob sie auf einer sachlichen Einschätzung oder einem Missverständnis des Deutschen Deinerseits beruhen; diese Unklarheit will ich mir und uns ersparen.

Annahme 2: Ein Lexikontext darf keine Annahmen zur Semantik und Pragmatik von Zeichen machen, die fachspezifisch sind, oder wo die Semantik oder Pragmatik nicht weit verbreitet sind. Der Grund dafür ist, dass ein Lexikontext für alle Interessierten vorgesehen ist, und insbesondere gerade die, die fachspezifische oder spezielle Konventionen nicht kennen.

Zu Deinen Sätzen, die ich jeweils kursiv und eingerückt setze:

1. Du schreibst: "Historisch .. wurde .. ein Unterschied zwischen den beiden [Hesselp: der Begriff mit Name Folge, und der Begriff mit Name Reihe; ja?] gemacht ."   Meine Suche in der Literatur – über fünfzig Jahre – zeigt jedoch nur dass viele Autoren (sehr grob gesagt: seit 1922, Konrad Knopp) weltweit VERSUCHT HABEN zwei Begriffe zu beschreiben/definieren. Und dass das NIEMALS gelungen ist.

Du widersprichst mir nicht, sondern stimmst mir zu: Ich sage, dass ein Unterschied gemacht wurde; Du sagst ebenso, dass "viele Autoren versucht haben zwei Begriffe zu beschreiben", dass sie also einen Unterschied gemacht haben. Dass sie keinen Erfolg hatten, irgendeinen Unterschied mathematisch präzis zu fassen, sagt ja nicht, dass es dennoch einen pragmatischen, also Verwendungsunterschied gab - der ja genau der Grund für Versuche der "vielen Autoren" war (und dafür, dass wir einen getrennten Artikel hier in der WP haben).

2. In den Niederlanden ist das Wort reeks (= Reihe) im Jahre 1960 im Schulunterricht konsequent ersetzt durch rij (= Folge). Und convergente reeks heißt sommeerbare rij (= summierbare Folge).

Leider kenne ich den Zustand in Österreich, der Schweiz und Deutschland nicht (ich bin kein Mathematiklehrer); ich weiß nur, dass in meinem Gymnasialunterricht in den späten 1970ern in Österreich der Unterschied gemacht wurde.

3. Dein Satz "Das 'umgekehrt' weist darauf hin ..."  bleibt für mich ganz unklar.

Zuerst allgemein: Das deutsche "umgekehrt" (wie z.B. auch das englische "conversely") dient dazu, eine "gerichtete Denkfigur" im Verständnis umzukehren. Beispiele gibt es in der Mathematik und in vielen anderen Bereichen zuhauf. Ich nehme hier nur zwei Beispiele aus willkürlichen WP-Artikeln:

Priorität: Dabei kann der Rang sich aus der zeitlichen Reihenfolge von Ereignissen ergeben (Dringlichkeit) oder umgekehrt eine Reihenfolge aufgrund einer Bewertung (Priorisierung) festgelegt werden. - die Denkfigur ist "aus Reihenfolge ergibt sich Rang", die durch das "umgekehrt" zur Denkfigut "aus Rang ergibt sich Reihenfolge" wird.

Newton (Einheit): ... erfährt ein Körper der Masse 1 kg dort eine Gewichtskraft von 9,81 N. Umgekehrt ist 1 Newton die Gewichtskraft, die auf einen Körper mit der Masse 102 Gramm wirkt. Die Denkfigur ist "Masse führt zu Gewichtskraft"; durch das "umgekehrt" wird die Vorstellung "Gewichtskraft bedeutet Masse" geweckt.

Nichts anderes sagt mein Satz. In der Definition steht ja aus [einer Folge] $(a_{i})$ kann man eine neue Folge ... der Partialsummen bilden ... Die[se] Folge der Partialsummen heißt Reihe. Die Denkfigur ist also "Aus Folge bilde Reihe." Diese Denkfigur wird nun für das Verständnis umgedreht: "Aus Reihe kann man auch Folge bilden", nämlich indem man die Folge der Glieddifferenzen erzeugt.

Es geht hier, um das noch einmal klar zu sagen, um einen (alten) didaktischen Kunstgriff: "Du verstehst schon X, durch einen einfachen Gedankengang - das "Umkehren" - kannst Du Dich nun auch einem neuen Sachverhalt Y nähern." - mehr nicht.

4. Zu Deinen Fragen

Soll ich die wachsenden Quadratzahlen "eine Reihe" nennen - "Quadratenreihe" - weil ich schreiben kan (oder denken kann):  1, 1+3, 1+3+5, ··· (A) , oder  1+3+5+··· (B)?  Oder "Quadratenfolge", wenn ich nicht an jener Notationsform gedacht hatte?   Ist es "Quadratenreihe" oder "Quadratenfolge" wenn das Objekt (die Abbildung der natürlichen Zahlen in den Quadratzahlen) irgendwo notiert steht wie  1, 2+2, 3+3+3, ···(C), oder  1×1, 2×2, 3×3, ···(D), oder ...?

sehe ich nicht, was das mit didaktisch motivierten (und nicht von mir stammenden) Erklärung der wechselweisen Beziehungen von bestimmten Reihen und Folgen zu tun hat. Ich wüsste auch nicht, wie man eine bessere Erklärung in diesem WP-Artikel durch solche Überlegungen erreichen kann (es kann sein, dass man diese Überlegungen didaktisch einsetzen kann - ich habe nicht drüber nachgedacht). Mit den Themen "Partialsummenfolge" und "Glieddifferenzenreihe" haben sie, soviel ich sehe, nichts zu tun.

5. Deine Formulierung ... hat nicht meine Anführungszeichen bei das Wort Reihe. MMn geht dabei etwas sehr wesentliches verloren.

Es gibt keine allgemein verständliche Pragmatik und halbwegs genaue Semantik für (unqualifizierte) Anführungszeichen um einzelne Worte - siehe z.B. den zweiten Absatz des WP-Artikels Anführungszeichen. Damit ist eine unqualifizierte Verwendung von Anführungszeichen wegen meiner Annahme 2 im besten Fall irrelevant, im schlechtesten Fall irreführend (weil sich etwa jemand fragen kann, ob der Begriff unter Anführungszeichen nun ironisch verstanden werden soll). Daher muss man unqualifizierte Anführungszeichen in Lexikontexten weglassen (während qualifizierte Anführungszeichen in Formulierungen wie das Wort "Folge" oder er sagte: "Ja." in Ordnung sind - hier ist jeweils klar, was mit den Anführungszeichen gemeint ist).

6. Deinen letzten Satz habe ich einmal umformuliert - zum einen in ein korrektes Deutsch gebracht; zum zweiten Abbildung auf den [ich nehme an, die] natürlichen Zahlen zu Abbildung von den natürlichen Zahlen [auf eine Menge] geändert, da m.E. das erste falsch ist: Wenn eine Menge M auf die natürlichen Zahlen abgebildet wird, entsteht keine Folge, da ein Element M nur auf eine Zahl abgebildet werden kann; die Folge (1, 1, 1, ...) könnte daher keine "Abbildung auf die natürlichen Zahlen" sein. Umgekehrt geht's aber.

... oh, ich sehe grade, dass das niederländische "af" auf deutsch "ab" bedeutet (und nicht "auf"). Ich meine, Du hast das falsch übersetzt, weil's so nahe dran ist. Wenn man Deinen Satz umformuliert zu Abbildung ab den natürlichen Zahlen, dann würde das in besserem Deutsch tatsächlich Abbildung von den natürlichen Zahlen heißen, und Du hast Dir das Richtige gedacht - nur bei der Formulierung im Deutschen kam dann was Falsches raus. Interessant, was aus Kleinigkeiten werden kann ...

Den damit umformulierten Satz

Die Wörter Reihe und Folge sind beide Bezeichnungen für einen Begriff, der fachsprachlich "Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine Menge" bedeutet.

können wir gern aufnehmen,

--Haraldmmueller (Diskussion) 11:21, 28. Mär. 2021 (CEST)

@Haraldmmueller. Kommentar bei Deinem Punkte 1 - 6.

Ad 1.   Bei Deinem "dass es dennoch einen pragmatischen, also Verwendungsunterschied gab" :

Stimmt. Und dieser Verwendungsunterschied - die Kontextabhänglichkeit der Wahl zwischen die Namen Folge und Reihe, und die Wahl der Notationsform - muss auch im Artikeltext enthalten sein/werden.  Mit dabei unbedingt auch: "konvergente Folge" bedeutet zusammenlaufen der Glieder, "konvergente Reihe" bedeutet zusammenlaufen der Partialsummen.

Der obige Abschnitt "Neun Quellen, ..."  zeigt was andere zum Thema 'Verwendungsunterschied' schrieben.

Ad 1-3-4.   In Bücher der letzten etwa 350 Jahre (seit Gregory und Brouncker, beide 1667) sieht man das Wort Reihe auf verschiedene Weisen introduziert. Dabei sind:

- Reihe = Folge = Unendliche Aufeinanderfolge von Größen welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind = Folge = Abbildung von N in eine Menge.  Weil nach dieser Auffassung die Wörter Reihe und Folge beide Bezeichnungen sind für denselben Begriff, scheint es mir Unsinn um hinzuzufügen:  " Umgekehrt: die Wörter Folge und Reihe sind beide Bezeichnungen für denselben Begriff ".

- Reihe von ... = Partialsummenfolge von ... , wie in:  "Die Folge 1, 4, 9, ... ist (die) Partialsummenfolge (oder: ist die Reihe) der Folge 1, 3, 5, ... ".  Hier könnte man sicherlich sagen:  "Umgekehrt: die Folge 1, 3, 5, ... ist (die) Glieddifferenzenfolge der Folge 1, 4, 9, ... ".  Aber, nun kann man nicht reden von "eine konvergenten Reihe", weil die Abbildung (von einer Folgenmenge in eine Folgenmenge) mit Name "Partialsummenfolge/Reihe" nicht konvergent oder divergent sein kann.

- Reihe = Ausdruck / Symbol  = eine Ausdruck wie $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$ und auch wie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$.

Aber, nun kann man ebenfalls nicht reden von "eine konvergenten Reihe", weil Konvergenz und Divergenz Eigenschaften sind einer Folge (eines Begriffs), nicht eines Ausdrucks.

Dabei kommt, dass es unmöglich ist zu formulieren welcher Begriff mit dem Symbol $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$ ausgedrückt wird. Nicht die Folge ${\textstyle (\sum _{i=1}^{n}a_{i})_{n=1,2,\cdots }}$, denn die Glieder dieser Folge korrespondieren nicht mit was man die Glieder der Reihe $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$ nennt. Und ebensowenig den Grenzwert der Folge ${\textstyle (\sum _{i=1}^{n}a_{i})_{n=1,2,\cdots }}$, weil eine Zahl keine Glieder hat.

Ad 5.   Du hast recht. Der Satz: "Die Wörter Reihe und Folge sind beide Bezeichnungen für einen Begriff, der fachsprachlich 'Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine Menge' bedeutet."  ist eindeutiger/informativer wie nur das Wort Reihe mit Anhäufungszeichen.

Ad 6.   Einverstanden mit die 'umformuliertem Satz'.  (Hier - 7. Satz - sehe ich dass "Abbildung auf D" auch existiert.)

7.   Das die Bedeuting des Worts Reihe immer etwas 'wolkig' war, zeigen folgenden Zitate:

- Fr. Autenheimer, Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. verbesserte Aufl. bearbeitet von A. Donadt, 1901, Kap. IV :  "Da also die Existenz einer bestimmten Summe das unterscheidende Merkmal der konvergenten und divergenten Reihen ist, so versteht man unter einer Reihe nicht nur die Folge der Glieder  u₀,  u₁,  u₂, ....  sondern nennt man in prägnantem Sinne die Summe   u₀ + u₁ + u₂ + ... + u_n + ...  die  R e i h e ."   Ergänzung:  Das Zitat steht nicht bei Autenheimer (1821-1895) 1. Aufl. 1865 bis 4. Aufl. 1895.  Es erscheint in der von Alfred Donadt (1857-?) bearbeitete 5. Aufl.1901, S.60  bis  7. Aufl.1922, S.62.

- J.A. Serret (aus dem Französischen übersetzt von A. Harnach, 1884), Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, I. Band, 2. Aufl. bearbeitet v. G. Bohlmann, 1897, S.133:

"Die Summe einer Reihe  u₀, u₁, u₂, ... u_n , ...  oder auch kürzer die Reihe selbst  heißt konvergent,  wenn die Summe der n ersten Glieder einer bestimmten endliche Grenze zustrebt."   Ergänzung: Das französischen Original gab nur einfach  " Une série  u₀, u₁, u₂, ... u_n-1 , ...   est dite convergente lorsque la somme des n premiers termes tend vers une limite finie"  (Cours de Calcul Différentiel et Intégral, 1-e Éd.1868, p.135  bis  4-e Éd.1894, p.132)

Hesselp (Diskussion) 13:48, 30. Mär. 2021 (CEST).   Zwei Ergänzungen eingeführt. -- Hesselp (Diskussion) 19:25, 29. Apr. 2021 (CEST)

Fehlt noch im Artikeltext

Es soll noch gesagt werden dass traditionell (sehr?) häufig "Reihe" - und nicht "Folge" - gewählt wird in Kontexten wo das Zusammenlaufen DER PARTIALSUMMEN der Glieder relevant ist. (Also auch: wenn die Absicht ist mittels der Zahlenfolge eine (irrationale) Zahl zu repräsentieren.) Und dazu, dass in diesen Kontexte die Folge (Reihe genannt) oft mit Pluszeichen oder mit dem Sigmazeichen notiert wird. Schließlich, dass "konvergent" in "konvergente Reihe" steht für das zusammelaufen der Partialsummen der Glieder, und in "konvergente Folge" für das zusammenlaufen von nur den Glieder. Siehe oben:30. März unter "Ad 1.", und 17. März 'Neun Quellen'.
Wie kann das, besser wie ich, auf richtig deutsch formulieren? --Hesselp (Diskussion) 15:15, 2. Apr. 2021 (CEST)

Fragen bei die Einzelnachweisen 'Walz' und 'Forster'

- Kann jemand hier zitieren was im "Lexikon der Mathematik" (Guido Walz, 2000) steht als Definition des Begriffes (oder des Ausdrucks) "Reihe" ?  Ist das geeignet zur Aufname ?

- Das in die Quelle "Otto Forster, Analysis-1" bezeignete Buch fängt der Reihe-Abschnitt an mit (ein wenig verkürzt):
Wenn man die Glieder einer Folge reeller Zahlen durch ein Pluszeichen verbindet, entsteht - grob gesprochen - eine (unendlichen) Reihe.
und
Die Partialsummenfolge einer Folge reeller Zahlen (a_n) heißt:  (unendliche) Reihe mit den Gliedern a_n .
Also ist  "Reihe mit Glieder a_n"  eine Name für eine Partialsummenfolge mit Glieder (a₁+...+a_n).
Kann ein Leser das verstehen? Oder muss es nur auswendig gelernt werden ('im Kopf gestampft', ist das deutsch?)   Wer nennt Argumente zur Beibehaltung dieser Forster-Quelle?  Mit Aufname dieser zwei Definitionszitate?
(Beide Quellen kommen von Christian1985, 3./7. Jan. 2013)  -- Hesselp (Diskussion) 18:03, 15. Apr. 2021 (CEST)

Bitte Argumente

Wer gibt hier Argumente gegen Erwähnung im Reihe-Artikel auf welche Weise der Begriff 'Reihe' eingeführt wird in 'Forster' (S. 37) und 'Amann-Escher' (S. 195) ?  Sehe meinen Artikel-Beitrag 22. Apr. 2021 (und 24. Apr. 2021). -- Hesselp (Diskussion) 22:42, 24. Apr. 2021 (CEST)

Nochmal   (@Haraldmmueller: @Googolplexian1221: @Christian1985: @Kmhkmh:)
Welche Benutzer halten es nicht für sinnvoll, den Inhalt zu zeigen der mit Titel und Seite genannte Quellen zur Unterstützung einer Definition im Artikel?   Auf Grund von welche Argumente?
Dreimal wurde von Benutzer Kmhkmh zurückgesetzt:

3. Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2, S. 37 (12. Aufl. 2016, S. 43).   Hier wird "Reihe" auf zweierlei Weise introduziert:

- Aus eine Folge reeller Zahlen entsteht eine Reihe, indem man, grob gesprochen, die Folgenglieder durch ein Pluszeichen verbindet.

- Die Folge $(s_{n})$ der Partialsummen einer Folge $(a_{n})$ reeller Zahlen heißt: Reihe mit den Gliedern $a_{n}$ .

4. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Birkhauser, 3. Aufl. 2006, S. 195:

Die Folge ${\textstyle \,(s_{n}):=(\sum _{k=0}^{n}x_{k})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ einer Folge $(x_{k})$ heißt Reihe.

Die $x_{k}$ sind die Summanden der Reihe.   Die $s_{n}$ sind die Partialsummen der Reihe, auch: die Glieder der Reihe.

-- Hesselp (Diskussion) 23:44, 28. Apr. 2021 (CEST)

"Glieder einer Reihe":  $a_{n}$ oder $s_{n}$ ?

Quelle 'Foster' hat $\,a_{n}\,$ (Reihe mit den Gliedern $a_{n}$).
Quelle 'Amann-Escher' hat $\,s_{n}\,$ (Eine Reihe ist [ ] eine Folge [ ] deren Glieder $s_{n}$ [ ] ) .
Das Reihe-Artikel hat beide:
- Glieder der Reihe auch abgekürzt als $s_{n}\,$  (Sektion "Notation"),
- Man kann innerhalb einer konvergenten Reihe die Glieder [$a_{n}$] durch Klammern zusammenfassen.  ("Klammerung"),
- die Reihe ihrer Absolutglieder [$|a_{n}|$]  ("Absolute und unbedingte Konvergenz"),
- alle Glieder $a_{n}$ der Reihe $S$   ("Konvergenzkriterien>Majorantenkriterium").

Und noch "Summanden".   'Amann-Escher' hat:  Die $x_{k}$ [= $a_{n}$] sind die Summanden der Reihe.  Entsprechend das Reihe-Artikel ("Konvergenzkriterien>Nullfolgenkriterium"):  die Folge $(a_{n})$ der Summanden.

Wer kann hier zeigen was Quelle 'Walz' hat?

Soll es im Reihe-Artikel einheitlich gemacht werden? -- Hesselp (Diskussion) 12:40, 22. Apr. 2021 (CEST)

Darstellungsweisen für Folgen und Zahlen

Die viele Widersprüche ins heutigen Reiheartikel sind - mMn - nur zu vermeiden, wenn scharf Unterscheid gemacht wird zwischen:
- einerseits, "Reihe" (Reihe^H) als Name, genau wie "Zahlenfolge", für eine Abbildung von $\mathbb {N}$ in eine Menge-mit-Addition;
- anderseits, "Reihe" (oder "Reiheform") als Name für eine Darstellungsweise (Darstellungsform, Representation) einer Folge bzw. einer Zahl.

Um deutlich zu machen was ich unter "Darstellungsweise" verstehe (was man darunter versteht?) zeige ich hier einige, für Zahlenfolgen und für Zahlen. Fast alle ausgehend von einer gegeben unendliche Folge (a_n); nur die Determinantform basiert sich auf Matrizen (Abbildungen von $\mathbb {N} ^{2}$).
Sind Quellen erwünscht?
- Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, II. Analysis, 3.Teil,1. Hälfte, Heft 1 (1909, Pringsheim/Faber), S.4:  "Methoden zur Darstellung der Elementarfunktionen durch unendlichen Reihen, Produkte und Kettenbrüche" .
- K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, (1. Aufl. 1922) 6. Aufl. 1996, S. 100:  "Eine Zahlenfolge kann in der mannigfachsten Weisen gegeben sein [..] vor allem drei Arten [..]unendlichen Reihen, Produkte und Kettenbrüche" .

Summendarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Teilsummenabbildung.
Siehst aus wie $\ a_{1},\ a_{1}{+}a_{2},\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\ \cdots \quad$oder$\quad (a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})_{n=1,2,\cdots }\quad$oder$\quad \Sigma \,(a_{n})\quad$oder$\$ . . .   .

Produktendarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Teilprodukteabbildung.
Siehst aus wie $\ a_{1},\ a_{1}a_{2},\ a_{1}a_{2}a_{3},\ \cdots \quad$oder$\quad \Pi \,(a_{n})\quad$oder   . . .  .

Kettenbrüchedarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Kettenbrücheabbildung.
Siehst aus wie $\quad a_{1},\quad a_{1}{+}a_{2}^{-1},\quad a_{1}{+}(a_{2}{+}a_{3}^{-1})^{-1},\quad a_{1}{+}(a_{2}{+}(a_{3}{+}a_{4}^{-1})^{-1})^{-1},\ \cdots \quad$oder $\quad {\bf {(}}a_{1}{+}(a_{2}{+}(\cdots {+}a_{n}^{-1})\cdots )^{-1}{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$ oder$\quad {\bf {[}}a_{1};\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}{\bf {]}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder  . . .  .

Cesàromitteldarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Cesàromittelabbildung.
Siehst aus wie $\ {\bf {(}}\,(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})/n\,{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder   . . .  .

Cesàrosummendarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Cesàrosummenabbildung.
Siehst aus wie $\ {\bf {(}}\,(na_{1}+(n-1)a_{2}+\cdots +2a_{n-1}+a_{n})/n\,{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder$\quad {\bf {(}}\,(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder$\quad {\text{C-}}\Sigma \,(a_{n})\quad$oder   . . .  .

Determinantendarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsmatrix $(a_{i,j})$ und die Determinantabbildung.
Siehst aus wie $\ (\det(a_{i,j})_{n\times n})_{n=1,2,\cdots }\$.

Summendarstellung einer Zahl, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$,  der Teilsummenabbildung  und der (partiellen) Grenzwertabbildung für Folgen.
Siehst aus wie ${\textstyle \ \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})\quad }$oder$\quad \Sigma ^{\infty }\,(a_{n})\quad$oder   . . .   .

Idem:  Produktendarstellung / Kettenbrüchedarstelling / Cesàromitteldarstellung / Cesàrosummendarstellung / Determinantendarstellung einer Zahl.

Kommentar?

Frage: Die Folge der wachsende Kwadratzahlen kann dargestellt als $\,\Sigma \,(2n-1)_{n=1,2,\cdots }\,$ und als $\,(n^{2})_{n=1,2,\cdots }\,$.  Eine Reiheform und eine ? ? form. Gibt's hier keine Name? -- Hesselp (Diskussion) 01:16, 1. Mai 2021 (CEST)

Drei Ergänzungen eingeführt. -- Hesselp (Diskussion) 23:29, 6. Mai 2021 (CEST)

Reihe^H für die historische Bedeutung

Im obigen Abschnitt (1. Mai 2021) änderte ich sechsmal "Reihe" zu " Reihe^H ". Um klarzustellen, dass hier die historische (in spezielle Kontexte zuweilen noch immer verwendete) Bedeutung gemeint ist.  Siehe: Unendliche Reihe (1929, von Mangoldt) = Zahlenfolge (1932, Knopp)  und  Mehrfache Bedeutung von "Reihe" – Brockhaus. --Hesselp (Diskussion) 12:08, 1. Jun. 2021 (CEST)

Mehrfache Bedeutung von “Reihe” – Geschichtliches (Brockhaus)

Diskussion über den 'richtige' Bedeutung des Worts "Reihe" in der Mathematik, gab es schon längere Zeit. Und die Feststellung dass die Bedeutung von "Reihe" bei Benutzer der mathematischen Sprache nicht einheitlich ist, ist nicht meine Erfindung (Theoriefindung).  Zuverlässige(?) Quellen für diese Aussagen kann man finden in den Allgemeine deutsche Real-Encyklopädie für die gebildeten Stände — Conversations~Lexikon, Verlag F.A. Brockhaus.  Scans Brockhaus 1816-1908:

                                    Brockhaus-Zitate: "Progression" und "Reihe"

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(Fett-Markierung: Hesselp)

- P r o g r e s s i o n  heißt jede nach einem bestimmten Gesetze fortlaufende Zahlenreihe, wie z. B. 5, 8, 11, 14 u.s.w.
2. Auflage (7. Band 1816 S. 896);   3. Auflage (7. Band 1817 S. 903).

- P r o g r e s s i o n , Fortschreitung, heißt in der Mathematik jede nach einem bestimmten Gesetze fortlaufende Zahlenreihe, wie z. B. 5, 8, 11, 14 u.s.w.
4. Auflage (7. Band 1817 S. 826);   5. Auflage (7. Band 1820 S. 849);   6. Auflage (7. Band 1824 S. 856)

- R e i h e , s. P r o g r e s s i o n
5. Auflage (8. Band 1820 S. 153);   6. Auflage (8. Band 1824 S. 138).

- P r o g r e s s i o n oder R e i h e , in der Mathematik eine Folge von Größen oder Zahlen, welche nach einem gegebenen Verhältnisse zu- oder abnehmen. [..] Die Lehre von den Progressionen findet nicht allein in der höhern Mathematik , sondern auch in mehren wichtigen Berechnungen im bürgerlichen Leben [..] ihre Anwendung.
7. Auflage (8. Band 1817 S. 873);   8. Auflage (8. Band 1835 S. 881).   (Nicht im 9. und 10. Auflage)

- R e i h e , arithmetische und geometrische, s. P r o g r e s s i o n .
7. Auflage (9. Band 1827 S. 143).

- R e i h e (series) nennt man jede Folge von Größen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze gebildet werden. Die in eine Reihe aufeinanderfolgenden Größen oder Theile heißen die Glieder derselben. Denjenigen Ausdruck hingegen, welcher das Bildungsgesetz der Glieder enthält, nennt man das allgemeine Glied der Reihe. [..] — Die zweite und viel ausgebreitere Gattung von Reihen enthält diejenigen, welche gleich von dem Anfangsgliede an die entwickelte Darstellung der Function einer veränderlichen Größe sind, nach deren Potenzen die Glieder der Reihe geordnet werden. Diese Reihen dienen zur genäherten Bestimmung des Werthes einer Größe, den man sonst entweder gar nicht, oder nur unter einer sehr verwickelten Gestalt zu finden vermag. Sollen solche Reihen für die Anwendung brauchbar sein, so mussen sie convergiren [..] Denjenigen Ausdruck, der die Summe einer bestimmten Anzahl von Gliedern finden lehrt, nennt man das summatorische Glied. [..] Die höhere Analysis befaßt sich vorzüglich und beinahe größtentheils mit der Auflösung der Function in unendliche Reihen [..].
8. Auflage (9. Band 1836 S.161).

- R e i h e , heißt in der Mathematik eine Folge von Größen, die nach einem gemeinschaftlichen Gesetze gebildet sind und die Glieder der Reihe heißen. Die einfachsten Reihen die arithmetischen Reihen der ersten Ordnung, z. B. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 u.s.w. Zu diesen Reihen gehört auch die Reihe der natürlichen Zahlen. [..] Eine geometrische Reihe ist eine solche [..] Alle bisher erklärten Reihen kann man auch Progressionen nennen. [..] — Eine ganz andere Gattung von Reihen sind solche, welche die Entwicklung irgend einer Function einer veränderlichen Größe bilden. [..] Ist die Summe einer Anzahl von Gliedern einer unendlichen Reihe, von Anfang an genommen, von dem vollständigen Werthe der ganzen Reihe desto weniger verschieben, je mehr Glieder genommen werden, so heißt die Reihe eine convergirende .
9. Auflage (12. Band 1847 S. 28);   10. Auflage (12. Band 1854 S. 659).

- P r o g r e s s i o n oder R e i h e nennt man in der Mathematik eine Folge von Größen oder Zahlen, welche nach einem gegebenen Gesetze zu- oder abnehmen. So ist z. B. die Reihe 3, 5, 7, 9, 11, 13 u.s.w. eine arithm. Reihe [..].
11. Auflage (12. Band 1867 S. 120).

- R e i h e , s. P r o g r e s s i o n.
11. Auflage (12. Band 1867 S. 388).

- P r o g r e s s i o n (lat.) nennt man in der Mathematik eine Reihe von Größen, deren jede aus der vorhergehenden nach einem gegebenen Gesetz gebildet wird.
12. Auflage (12. Band 1878 S. 123);   13. Auflage (13. Band 1886 S. 338)

- R e i h e , s. P r o g r e s s i o n.
12. Auflage (12. Band 1878 S.410).

- R e i h e (arithmet.), s. P r o g r e s s i o n.
13. Auflage (13. Band 1886 S. 586).

- P r o g r e s s i o n (lat.) [..]; in der Mathematik Bezeichnung für diejenigen Reihen (s. d.), in denen zwei auseinanderfolgenden Glieder entweder dieselbe Differenz (arithmetische P.) oder dasselbe Verhältnis (geometrische P.) haben.
14. Auflage (13. Band 1895 S. 455); . . . . . 14. Auflage (4. Nachdruck, 13. Band 1908 S. 454)

- R e i h e , in der Mathematik eine Folge von Gliedern, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind. Die einfachste R. sind die Progressionen (s.d.). — In der höhern Analysis versteht man unter einer unendlichen R. eine Summe a₁+a₂+a₃+... von unendlich vielen Zahlen a₁, a₂, a₃, ...; jedoch hat eine solche Reihe nur dann einen Sinn, wenn sie konvergiert, d.h. wenn die Summe s_n der n ersten Glieder [..] stets gleich einer endlichen Zahl ist, wie groß man auch die positive ganze Zahl auch wählen mag, und wenn es außerdem eine solche endliche Zahl s giebt, daß die Differenz s – s_n mit wachsendem n so klein wird, als man nur will. Diese Zahl s bezeichnet man dann als die S u m m e oder den G r e n z w e r t (limes) der unendlichen Reihe. [..] Man braucht die unendlichen R., um die irrationalen Zahlen [..] und die Funktionen darzustellen [..] (s. Taylorscher Lehrsatz.) [..] (S. Harmonische Reihe, Differenzenreihe.)
14. Auflage (13. Band 1895 S. 734); . . . . . 14. Auflage (2. Nachdruck, 13. Band 1898 S. 734)

- R e i h e , in der Mathematik eine Folge [fett Hesselp] von Gliedern, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind. Die einfachste R. sind die Progressionen (s.d.). — In der höhern Analysis versteht man unter einer unendlichen R. den Grenzwert einer Summe a₁+a₂+a₃+... von unendlich vielen Zahlen a₁, a₂, a₃, ...; eine solche Reihe hat nur dann einen Sinn, wenn sie konvergiert, d.h. wenn die Summe s_n der n ersten Glieder [..] stets gleich einer endlichen Zahl ist, wie groß man auch die positive ganze Zahl auch wählen mag, und wenn es außerdem eine solche endliche Zahl s giebt, daß die Differenz s – s_n mit wachsendem n so klein wird, als man nur will. Diese Zahl s bezeichnet man dann als die S u m m e oder den G r e n z w e r t (limes) der unendlichen Reihe. [..] Man braucht die unendlichen R., um die irrationalen Zahlen [..] und die Funktionen darzustellen [..] (s. Taylorscher Lehrsatz.) [..] (S. Harmonische Reihe, Differenzenreihe.)
14. Auflage (3. Nachdruck, 13. Band 1903 S. 738); . . . . . 14. Auflage (4. Nachdruck, 13. Band 1908 S. 738)

Ist dies ausreichend zum Belegen der folgenden Beobachtungen?

- a. Früher wird allgemein "Reihe" (auch "Progression") gesagt wo es heute in der Regel "Folge" heißt. Noch in meinen Schuljaren ('50-er) war es: arithmetische Reihe 2, 4, 6, 8;  geometrische Reihe 2, 4, 8, 16; harmonische Reihe 1, 1/2, 1/3, 1/4 .

- b. "Folge" hat im Laufe des zwanzigsten Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt ("Folge" hat als Fachwort im Jahre 1908 noch keinen eigenen Artikel in der Brockhaus; kann jemand sehen wie das in der Auflagen 15 - 21 ist?).

- c. "Convergiren/konvergieren" bedeutete (auch noch in 1908) dass die Partialsummen (nicht die Glieder) einer 'Folge von Glieder' / 'Folge von Größen' / 'Folge von Größen oder Zahlen' einer Grenzwert nähern. (Wer kann sagen wenn 'summierbar' in der Brockhaus auftaucht?)

- d. Die 'zweite Gattung' und die Auffassung 'in der höhern Analysis' betrifft, gemäß der Zitate, nicht einen zweiten mathematischen Begriff aber die übliche Darstellung von Funktionen. Eine Darstellungweise welche zu beschreiben ist wie eine Darstellung mittels einer Ausgangsfolge, die direkte Multiplikation mit der Potenzfunktionenfolge, die Teilsummenabbildung, und die (partiellen) Grenzwertabbildung. Ein Ausdruck dieser Art in mathematischen Symbolen wird oft Reihe genannt.

Es gibt nicht nur der Brockhaus, aber auch Meyers Großes Konversations-Lexikon. Was "Reihe" betrifft habe ich noch keine Unterschiede im Vergleich mit Brockhaus gefunden. -- Hesselp (Diskussion) 21:01, 15. Mai 2021 (CEST)

Eine Reihe ist ein spezielleres Objekt als eine Folge

Die obigen Bemerkung schrieb Googolplexian1221 hier (im vorletzten Satz); neben: "ist Z eine Menge, eine Gruppe oder ein Ring?". Ich kann ihm hier zustimmen. Denn "Abbildung auf N in einer Menge" (modern meistens 'Folge' genannt)  ist (etwas) allgemeiner als "Abbildung auf N in einer Menge mit definierten Differenzen der Elementen" (auch 'Reihe' genannt; das Existieren der Differenzen entspricht das Existieren der im Reihe-Artikel, Satz 3 genannte "anderen Folge".). Und dies ist allgemeiner als . . . und als . . . und als "Abbildung auf N in einer Zahlenmenge".

Hier, 13:22, 1. Jun. 2021 schreibt Googolplexian:  "Christian und ich haben in der Diskussion bereits ausführlich begründet, warum die Begriffe der Folge und der Reihe unterschiedlich sind [..] ".  Ich habe das nochmal studiert, und meine dass das dort genannte Kriterium paraphrasiert kann als:  "Die Elemente einer Folgenmenge-mit-Faltungsprodukt, nennt man Reihen".   Korrekt?   Aber . . . . ins Reihe-Artikel, Sektion 'Definition', sehe ich nichts davon. Dort steht etwas total anderes. Können hier Quellen gezeigt werden. --Hesselp (Diskussion) 20:29, 2. Jun. 2021 (CEST)

Reihe-historisch vs. Reihe-modern vs. Reihe-Ausdruck

Im Hintergrund dieses Disk-Beitrag / Abschnitt-Vorschlag stehen zwei Zitate von Benutzer Kmhkmh:

- Der Hinweis  [Hesselp, Folge (Mathematik), 11:22, 19. Mai 2021‎] , dass die Bezeichnung Reihe historisch auch für Folgen verwendet wurde (und es in speziellen Kontexten auch noch wird), ist zwar nicht falsch aber Mmn. in der Anleitung unagemessen. (Kmhkmh, Diskussion:Folge (Mathematik), 18:31, 23. Mai 2021).

- [..] ich hatte das zurückgesetzt  [Kmhkmh, Folge (Mathematik), 15:00, 19. Mai 2021‎]  nicht weil es sach falsch wäre, sondern weil ich es nicht für zielführend halte direkt in der Einleitung und dort im ersten Satz auf historische and abweichende Alternativbezeichnungen zu verweisen, was auf Leser mMn. eher verwirrend wirkt. [..] Statt einer möglichen Verwirrung in der Einleitung kann man eventuell einen eigenen (kurzen) Abschnitt zu historischen Verwendungen und Alternativbezeichnungen verfassen, aber der Artikel außerhalb eines Abschnitts sollte sich an die üblichen modernen Bezeichnungen halten und nicht zwischen Alternativen jonglieren. (Kmhkmh Portal Diskussion:Mathematik, 09:22, 29. Mai 2021).

Nachstehend ein Konzept für Kmhkmh's vorgesehende "Abschnitt zu historischen Verwendungen und Alternativbezeichnungen".

Reihe-historisch vs. Reihe-modern vs. Reihe-Ausdruck   (Vorschlag 9. Jun. 2021)

Reihe-historisch   "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in H. von Mangoldt - K. Knopp  Einführung in die höhere Mathematik zweiter Band:  Was in der 1.(1912) bis 5.(1929) Auflage  unendliche Reihe heißte, wurde in der 6. Auflage 1932 (bis 14. Auflage 1974)  Zahlenfolge.  (6. Auflage S. 206: "In dem letzten Jahrzehnt hat sich in der Mathematik allgemein [dieser] Sprachgebrauch durchgesetzt.").

Die historische Situation wird z. B. gezeigt in der 2.(1816) bis 14. (vierter Nachdruck 1908) Auflage der Brockhaus-Enzyklopädie.  "Reihe" und "Progression" waren synonym.  "Folge" war kein Fachwort.  "Konvergent" und "konvergieren" bezeichnete nur das Zusammenlaufen der Teilsummen (nicht das Zusammenlaufen der Glieder). Bedeutungsunterschied gab es meistens nicht zwischen der Ausdrücke $\ a_{1},a_{2},a_{3},\cdots \$, $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \$ und später ${\textstyle \ \sum a_{i}\ }$. 1817, 1836, 1847, 1895, 1908.  Katalog Scans Brockhaus 1816-1908.

Reihe-modern   Satz 3 in der Anleitung sagt: "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder [a₁, a₂, a₃, ...] die Partialsummen einer anderen Folge [a₁, a₂−a₁, a₃−a₂, ...] sind."  Folglich müßen die Differenzen im Zielmenge der Folge definiert sein. Also ist Reihe die Name für:  Abbildung auf N in einer Menge-mit-Abziehung.

Reihe-Ausdruck   Die Ausdrücke ${\textstyle \ \sum a_{i}\ }$, ${\textstyle \ \sum _{i=1}a_{i}\ }$, ${\textstyle \ \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\ }$, $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \$ und $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \$ werden  Reihe oder unendliche Reihe  genannt.   Ihrer Wert ist - abhängig vom Kontext - Folge $\,(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})_{n\geq 1}\$ oder Zahl ${\textstyle \ \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})\,}$.

<ref Konrad Knopp, H.v. Mangoldt's Einführung in die höhere Mathematik, zweiter Band, 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref>

<ref Konrad Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100./ref>

Kein Teil vom Text-Vorschlag (scheint mir in der Praxis weniger üblich):

Reihe-Abbildung   Die Abbilding $\ (a_{n})_{n\geq 1}\to (a_{1}+\cdots +a_{n})_{n\geq 1}\$ wird zuweilen Reihe genennt. (Beispiel: Die Reihe der Folge der ungerade Zahlen, ist die Folge der Kwadratzahlen.  Gleichbedeutend mit: Die Teilsummenfolge/Partialsummenfolge der Folge der ungerade Zahlen, ist die Folge der Kwadratzahlen.)

Reihe-Faltungsprodukt   Die Elemente einer Folgenmenge-mit-Faltungsprodukt (Cauchy-Produkt), nennt man Reihen. (Die Elementen einer Folgenmenge-mit-Direktprodukt, nennt man Folgen.)  Quelle: Hesselp, zweiter Absatz, 20:29, 2. Jun. 2021  und  Googolplexian1221, vierter Punkt, 17:16, 17. Apr. 2021

--Hesselp (Diskussion) 23:15, 9. Jun. 2021 (CEST) (Bis 1. Dez. 2021 gesperrt für ANR, 09:26, 5. Jun. 2021. Will jemand den obigen Abschnitt platzieren?)

Folge, Reihe und Summe

(Ich bin kein Mathematiker) Wenn ich den Artikel zu Reihe lese, entsteht der Eindruck, dass eine Folge eine spezielle Reihe ist, und dass dies auf die Summe von Elementen begrenzt ist. Gibt es nicht auch Reihen die statt Summe das Produkt verwenden? Denkt bitte daran, dass nicht nur Spezialisten die Artikel lesen. --Uhw (Diskussion) 22:30, 16. Jun. 2022 (CEST)