Diskussion:Reihe (Mathematik)/Archiv

Diskussion aus 2004 ehemals auf der Diskussionsseite von Unendliche Reihe

"Unendliche Reihen sollten endlich sein", könnte ein Aphorismus lauten. Der Begriff des Unendlichen wird in der Mathematik ziemlich leichtfertig verwendet. Eigentlich berührt diese Vokabel auch einen Bereich, der eher philosophisch oder auch transzendent ist. Unendliche Reihen haben als Index des letzten Gliedes eine Zahl aus der Menge der Natürlichen Zahlen, wobei diese Zahl auch gleichzeitig die Mächtigkeit dieser Menge angibt. Allerdings hätte dann diese Zahl auch eine unbegrenzte Anzahl von Stellen. Hier setzt Kritik ein. Aus allen Bereichen ist bekannt, dass die Stellenzahl von darstellbaren Zahlen begrenzt ist, z.B. Taschenrechner mit 10 Stellen. Es ist eine Behauptung, dass die Seinsumgebung der Spezies Mensch so beschaffen ist, dass in ihr Zahlen mit unendlich vielen Stellen darstellbar wären. Hier muss über den Erkenntnishorizont des Menschen reflektiert werden. Bei Lebewesen, deren Lebensbereich wir überblicken können, würden wir auch keine unbegrenzte Erkenntnis postulieren: Der Säugling überblickt bis zu den Wänden seine Kinderzimmers, der Goldfisch bis zur Teichgrenze. Es ist also eine pure unbegründete Behauptung, dass es immer eine um 1 größere Zahl geben müsste als die vorherige. So wie es in der Technik Fortentwicklungen in der Normung gibt, z.B. aus Schraubenzieher wurde Schraubendreher, so sollte in der Mathematik der Begriff des Unendlichen zumindest mit der stillschweigenden Einschränkung benutzt werden, dass es sich nur um eine sehr große Zahl handelt. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 14:05 1. Aug 2004 (CEST)

Bitte entschuldige, Gerhard, wenn ich auf die philosophische Seite des unendlichen nicht eingehe.

Da eine unendliche Reihe per Definition keinen letzten Summanden hat, gibt es auch keinen letzten Index, und das Zeichen ∞ für die Obergrenze ist genau das - ein Zeichen, keine Zahl. Dass es in der uns umgebenden physikalischen Welt keine unendlichen Objekte gibt, hat nichts damit zu tun, ob sie in einer mathematischen Theorie auftreten können. Und so gibt es stets eine um 1 größere Zahl - innerhalb der mathematischen Therie der Arithmetik. Das Unendliche ist eben nicht "eine sehr große Zahl", sondern keine Zahl. --SirJective 18:08, 1. Aug 2004 (CEST)

Trotzdem wirst du in dem Artikel die Auflistung eines Endgliedes Sn bemerkt haben. Hierbei ist n ein Element der Natürlichen Zahlen und somit auch eine konkrete Zahl. Dass diese Zahl nicht explizit benennbar ist, unterstreicht nur meine Behauptung. Wenn nun gesagt wird, die Reihe würde soweit gehen, bis n unendlich groß wäre, so hielte ich die in diesen Grenzbereich hinein ragenden Zahlen für zu riesig. Die Zahlenmenge |N ist keine große theoretische Mathematik, sondern entspricht unmittelbarer Erfahrung. Klar, kann theoretisch alles mögliche postuliert werden, von fliegenden Flügelmenschen in der Antarktis bis zu unendlich dimensionalen Räumen. Doch hier meine ich, dass zumindest ein kleines Fragezeichen angebracht wäre, um menschliche Selbstüberschätzung nicht unbegrenzt werden zu lassen. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 2:05 2. Aug 2004 (CEST)

In der Tat habe ich in diesem Artikel eine Partialsumme S_n - keineswegs ein Endglied! - bemerkt, bei der n eine natürliche Zahl und S_n die Summe endlich vieler (reeller oder komplexer) Zahlen ist. Die Reihe selbst ist aber - wie im Artikel steht - die Folge dieser Partialsummen.

Zwar entspringen die "kleinen" natürlichen Zahlen einer unmittelbaren Erfahrung (höchstens bis in die Millionen), aber bei "richtig großen" natürlichen Zahlen wie Grahams Zahl versagt zumindest meine unmittelbare Erfahrung. Und wenn ich nicht einmal jede natürliche Zahl unmittelbar erfahren kann, wie soll das dann bei der Menge aller natürlichen Zahlen funktionieren? Ich will damit sagen, dass zwar natürliche Zahlen selbst (mehr oder weniger) anschaulich sind, die Menge der natürlichen Zahlen aber schon nicht mehr.

Anscheinend hast du ein anderes Verständnis von Folge und Grenzwert, als das hier dargestellte (was für sich genommen noch kein Problem ist). Wenn das wirklich so ist, dann brauchst du dich nicht wundern, wenn deine Schlussfolgerungen mit den in dieser Enzyklopädie präsentierten Resultaten kollidieren.

Gruss, SirJective 14:25, 2. Aug 2004 (CEST)

Ich will hier keine endlosen Diskurse oder Wortklaubereien starten. Es geht mir ja keinesfalls, wie von dir angedeutet, um die Thematik Folge oder Reihe als solche, sondern einzig und alleine um die uneingeschränkte Verwendung des Begriffes unendlich. Dies dann allerdings zum Wohle der mathematischen Wissenschaft. Entsprechend habe ich zum Artikel eine kleine Anmerkung addiert. Die ausschließliche Darstellung der Reihe als Folge ihrer Teilsummen, halte ich für einen Mangel in der Darstellung dieses Artikels, denn diese Form der Präsentation findet nur dann Anwendung, wenn es um Konvergenz-Betrachtungen geht. So finde ich die unter Reihe gewählte Form besser. Allerdings kann man nach meiner Kenntnis nicht einfach sagen, dass s_1 + s_2 + ... + s_n Teil- oder auch Partialsummen seien, hier kenne ich es zumindest auch so, dass das Zeichen "s" für Summand steht. Dies wird auch unmittelbar einleuchtend, wenn nach dem Aussehen irgendeiner Reihe gefragt wird. Dann notiert man andeutungsweise: 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... +1/n. Aber ich finde es gut, wenn man hier etwas im Gespräch bleibt. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 18:53 2. Aug 2004 (CEST)

Deine kleine Anmerkung im Text werde ich wieder entfernen, denn das Verständnis des Unendlichen als aktual Unendliches (nicht absolut Unendliches) ist grundlegend für die hier dargestellte Art der Mathematik. Deine Anmerkung gehört eher in einen der vielen Artikel über potentielle und aktuale Unendlichkeit. Die Wiki-Suchfunktion liefert unter anderem: Aktuelle Unendlichkeit, Aktuale Unendlichkeit (Philosophie), Potentielle Unendlichkeit (Philosophie), Endliches und Unendliches, Endlichkeit (Philosophie), Unendlichkeit (Philosophie).

Über andere Darstellungen im Artikel können wir uns hier gern unterhalten, aber jetzt gerade fehlt mir die Zeit. Die harmonische Reihe stelle ich übrigens so dar:

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ...

Also ohne Ende. Jedes (endliche) Ende liefert nur eine Teilsumme. --SirJective 18:57, 2. Aug 2004 (CEST)

Wir werden hier sicherlich keinen Konsens erreichen können, da mir dein Begriffsapparat zu verfestigt erscheint und du bestimmte Adjektive als fest genormte Begriffe verwendest. In dieser Art kanalisierst du Denken im deutschsprachigen Raum ausschließlich auf das, was du für geboten erachtest. Wie soll das hier also mit dir gehen? Jemand formuliert etwas in einem Artikel, dann wird es von dir sofort wieder entfernt. Hier würde ich von dir erwarten, dass du vor der Liquidierung des Textes eines Anderen erst auf Diskussion umschaltest. Ein Lexikon wie dieses verliert sofort seinen Sinn, wenn es ausschließlich von einer kleinen besser wissenden Schar diktiert wird. Nocheinmal zum Inhaltlichen: Der Begriff "aktual Unendliches" ist keine in der gehobenen Umgangssprache Verwendung findende Vokabel. Es ist ein altertümlicher Begriff, der als "abgeschlossene Unendlichkeit" krampfhaft bemüht und hergeholt wirkt. Lexika wenden sich an Leser mit gehobener Bildung, nicht jedoch ausschließlich an einseitige Experten. Somit wäre das von mir verwendete Adjektiv absolut im deutschen Sprachraum angemessen, um eine Vorstellugswelt des Uneingeschränkten und Vollkommenen zu kennzeichnen, z.B. absolute Monarchie, absoluter Nullpunkt. Weiterhin wird mein Einwand von dir nur teilweise verstanden: Es ging mir nicht um eine mathematische Binnenbetrachtung, sondern um die Anlegung des logischen Maßstabes allgemeiner wissenschaftlicher Vorgehensweise. Dieser Ansatz ist absolut notwendig und insbesondere als Versuch von Falsifizierung durchgehend akzeptiert. Somit sollten kleinere kritische Anmerkungen durchaus zum akzeptierten Umfang von Artikeln gehören. Hier wäre von dir zu überlegen, ob enge Wortklaubereien deinerseits nicht einfach nur selbstunkritisches Dominanzverhalten ist. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 20:31 2.Aug 2004

Reihen entstehen durch Aufsummierung der Glieder einer Folge. Die Spezialdefinition über die Folge der Teilsummen ist arg (vorsätzlich) irreführend und gibt somit nur einen ersten Hinweis auf die problematische Vorgehensweise der hier Schreibenden. Wie auch unter Aktuelle Unendlichkeit angedeutet, bleibt der Begriff von Unendlichkeit problematisch, insbesondere wegen der grundlegenden Mengendefinition: Eine Menge ist Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Definition schließt etwas Nicht-Existierendes als Element aus. Zahlen, die von Menschen weder per Augenschein noch maschinell übersehen werden können, existieren nicht. Die Sichtweise solche Zahlen als existent aufzufassen, wäre so als ob ein Autofahrer sagte, er könne bis zu einer unendlichen Geschwindigkeit beschleunigen. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 21:30 23. Aug 2004

Wir werden hier sicherlich keinen Konsens erreichen können, da mir dein Begriffsapparat zu verfestigt erscheint und du bestimmte Adjektive anders als in der - innerhalb einer mathematischen Theorie - fest genormten Bedeutung verwendest.

Wenn in deinem Verständnis von Mathematik diese Aussage richtig ist: "Zahlen, die von Menschen weder per Augenschein noch maschinell übersehen werden können, existieren nicht", dann hast du eine andere Mathematik als die Autoren der meisten mathematischen Artikel hier. Wie in aktuelle Unendlichkeit steht, ist die Unterscheidung zwischen den verschiedenen Formen des Unendlichen eine Grundlagenfrage, die von Konstruktivisten und Formalisten unterschiedlich beantwortet wird. Sobald man die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre verwendet, gibt es (aktual) unendliche Mengen; und dann gibt es kein "absolut unendliches", weil es dann "das Unendliche" nicht gibt, sondern unterschiedlich mächtige Mengen.

Welche Mengenlehre verwendest du? --SirJective 22:09, 23. Aug 2004 (CEST)

Du formulierst tatsächlich grundlegende Unterschiede in der mathematischen Denkweise. Hier würde ich entgegnen: Jeder kann der Versuchung unterliegen, sein mathematisches Wissen als das "genormte" mathematische Weltwissen anzusehen, dies hielte ich für eine problematische Auffassung. Insbesondere klammerst du mathematisches Denken aus und missachtest damit den "Theorie-Status" von Mathematik, d.h. Wissenschaft benötigt die Lebendigkeit der Überprüfung ihrer Aussagen und nicht die ausschließliche doktrinäre Wiederholung von Sätzen und Auffassungen, die mitunter hunderte von Jahren alt sind. Das ist unintellektuelles Mittelalter, was ich so von dir lese. Es geht hier um die Formulierung von Seiten eines Lexikons im Internet, dessen Wissensinhalte einer Vielfalt von Verwendungszwecken dienen können. Inhaltlich: Man könnte ein Axiom formulieren, wonach die Mächtigkeit jeder Menge begrenzt ist. Die Widerlegung einer solchen These solltest du einmal versuchen. Das Denken der alten Mathematiker hatte nicht unser heutiges Wissen über Rechenanlagen und Informatik, deshalb würde ich dich bitten, nicht permanent deine singulären Auffassungen per Wegklicken durchsetzen zu wollen. Man kann auch Änderungen vornehmen, wenn einem einzelne Begriffe anderer Autoren ungeschickt vorkommen Um heutzutage mathematisch arbeiten zu können, bedarf es auch der Information, d.h., wenn eine Minderheit andere mathematische Experten grundsätzlich nicht zu Wort kommen läßt, dann wird der Informationsfluß sehr gestört. Die Definition wurde zu Beginn des Artikels etwas geändert. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 19:28 25. Aug 2004 (CEST)

Mathematik selbst ist natürlich nicht genormt, nicht fest. Darüber, dass sich die Theorie selbst mit der Zeit verändern kann, hatte ich nichts ausgesagt. Wie du nachlesen kannst, schrieb ich, dass innerhalb einer Theorie jeder Begriff eine feste Bedeutung hat. Willst du das bestreiten? Und dass verschiedene Theorien denselben Namen tragen, wie "Logik", "Mengenlehre" oder "Integralrechnung", trägt zwar zur Verwirrung bei, ändert aber nichts daran, dass es mehrere Mengenlehren gibt, mit eigenen - in sich, aber nicht notwendig zueinander - widerspruchsfreien Axiomensystemen.

Nur da anscheinend für dich die Aussage "Zahlen, die von Menschen weder per Augenschein noch maschinell übersehen werden können, existieren nicht" tatsächlich gilt, befindest du dich außerhalb von ZF. Ich hoffe sehr, dass dir das bewusst ist. Dieser Artikel, um den es hier geht, ist auf ZF zugeschnitten, und ich halte es für sinnlos, ihn von dort wegreißen zu wollen, hin zu einer anderen Mathematik, die hier noch nicht beschrieben ist. Anstatt diesen Artikel zu verfälschen, solltest du anfangen, Quellen zusammenzutragen, die deine Auffassung von Mathematik vertreten, und die entsprechenden Begriffe hier eintragen. Ich wäre daran interessiert, andere Standpunkte zu erfahren, aber nicht, wenn du sie nur als Kritik darstellst. Mehr als Kritik hab ich bisher nicht von dir gelesen. Deshalb wiederhole ich meine Frage: Welche Mengenlehre verwendest du?

Je nachdem, was die Aussage, dass "die Mächtigkeit jeder Menge begrenzt" ist, bedeuten soll, könnte sie durchaus in ZF gelten. Ich kann mir eine Interpretation vorstellen, die in ZF gilt, genauso sehe ich aber auch eine Interpretation, die in ZF nicht gilt. Du müsstest schon präzisieren, was du meinst, und die Mengenlehre darstellen, innerhalb der du die Aussage aufstellst.

Dass ich "permanent [meine] singulären Auffassungen per Wegklicken durchsetzen" wolle, ist eine bösartige Übertreibung von dir. Was außer deiner "Anmerkung zum Begriff des Unendlichen" hab ich entfernt (die ich übrigens immer noch für unpassend und teilweise falsch halte)?

Um dich nochmals nachdrücklich darauf hinzuweisen, dass nicht ICH diese Definition der unendlichen Reihe verzapft habe, zitiere ich aus einem Lehrbuch:

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen. Die Folge

$s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k},\ n\in \mathbb {N}$

der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe und wird mit $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ bezeichnet. Konvergiert die Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, so wird ihr Grenzwert ebenfalls mit $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ bezeichnet.

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ bedeutet also zweierlei:

i) Die Folge $\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen.

ii) Im Falle der Konvergenz den Grenzwert $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}$.

(Otto Forster, Analysis I, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 4. Auflage, 1983)

Darüberhinaus muss ich dir sagen, dass deine Gleichung

$S(n)=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+a_{n+1}+...=$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

in meinen Augen Unsinn ist, da die linke Seite eine von n abhängige Teilsumme ist, die mittlere und die rechte Seite jedoch von n unabhängige unendliche Summen sind, in Forsters (und meinen) Begriffen bereits die ganze Reihe bzw. ihr Grenzwert.

--SirJective 16:29, 26. Aug 2004 (CEST)

Hallo SirJective, du verstößt hier gegen den Grundsatz dieser Enzyklopädie, wonach gilt: "Alle können ihr Wissen einbringen" Wer sachgerecht irgendetwas erläutern will, sollte den Gegenstand erstmal definieren. Hierbei geht es bei diesem Thema im ersten Schritt nicht darum, die Methode der Grenzwertbestimmung aufzulisten, sondern zu sagen, was eine unendliche Reihe ist. Die in der Fachliteratur absolut übliche Definition ist die von mir gewählte Form: $S(n)=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+a_{n+1}+...=$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ Aber dies ist sicherlich nicht klärbar zwischen uns und wird wohl langfristig beim Vermittlungsausschuss landen. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme

Nenn mir ein Fachbuch (besser zwei), in dem die unendliche Reihe so definiert wird, und ich geh nächste Woche in die Bibliothek und schau es mir an.

Zu den anderen Punkten hast du nichts mehr zu sagen? --SirJective 20:36, 28. Aug 2004 (CEST)

An dieser Stelle möchte ich doch einhaken: Herr Kemme, klar können alle ihr Wissen hier einbringen. Das Sie zu diesem Artikel etwas beitragen können, haben sie bis jetzt noch nicht bewiesen. Ihre Beiträge zum Artikel selbst waren bisher einfach falsch und in der Diskussion sind sie handfeste Argumente für ihre Position (auch eine gute Frage: was ist ihre Position eigentlich?) schuldig geblieben. SirJective stellt hier mit klarer Logik das dar, was die mathematische Forschung an Begrifflichkeit seit den alten Griechen hervorgebracht hat. Viele Gruesse --DaTroll 17:42, 29. Aug 2004 (CEST)

Selbst die verwendete Definition in wissen.desollte dir ein Hinweis darauf sein, dass du bisher einfach nur die zweite Hälfte des Textes zur "unendlichen Reihe" berücksichtigst hast: Reihe: Mathematischer Begriff; eine Reihe entsteht aus einer Folge durch Summierung der Glieder. Sie heißt je nach der erzeugenden Folge endlich oder unendlich. (Anm.: Dies ist also der Definitionsteil) Hat die Folge der Teilsummen (der Summen sn = a1 + ... + an der n ersten Glieder) einen Grenzwert, so heißt die Reihe konvergent und der Grenzwert Summe der Reihe (Anm.: Dies ist die Methode zur Entscheidung über die Art der u.R.). Da das Thema u.R. selbständig abgehandelt wird, kommt es nunmal auf eine vollständige Definition an. Auch ich pflege mich in der Fachliteratur zu informieren und bitte dich einfach irgendein mathematisches Nachschlagewerk aufzublättern und genau zu lesen. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 14:51, 29. Aug 2004 (CEST)

Vielleicht sollten wir eine weitere Quelle heranziehen. Ich zitiere aus "Erich Martensen: Analysis I, BI Hochschultaschenbücher 1969, Seite 60".

Definition: Sei a₁, a₂, a₃ irgeneine Zahlenfolge, so wird die aus ihren Elementen gebildete Folge

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$

eine Reihe genannt. (Fussnote: Die ältere Bezwichnung "unendliche Reíhe" statt "Reihe" wird heute meistens vermieden. Eine Summe aus endlich vielen Zahlen wird gelegentlich eine abbrechende Reihe genannt.)

Eine Reihe wird ebenfalls mit a₁ + a₂ + a₃ + ... bezeichnet. Die a₁, a₂, a₃ heissen die Glieder, die s₁, s₂, s₃ die Partialsummen der Reihe. In kurzer Formulierung ist daher eine Reihe eine Folge von Partialsummen.

Diese Darstellung vom Martensen scheint mir mit dem Artikel übereinzustimmen.

tsor 15:20, 29. Aug 2004 (CEST)

"Eine Reihe entsteht aus einer Folge durch Summierung der Glieder". Bingo - genau das steht (präzisiert) jetzt wieder im Artikel.

Zählt der "Schülerduden Mathematik II" für dich, Gerhard, als Nachschlagewerk? Dieses für Schüler gemachte Werk definiert Reihe so: "Ist (a_n) eine Zahlenfolge, dann bezeichnet man die Folge (s_n) mit s_n := a_1 + ... + a_n als Reihe. Eine Reihe ist also eine Folge von besonderer Gestalt: Sie entsteht aus einer gegebenen Folge durch Summation ihrer Glieder. Statt (s_n) schreibt man üblicherweise $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$. Statt Reihe ist auch die Bezeichung unendliche Reihe üblich. Damit will man andeuten, dass man sich für den Grenzwert dieser speziellen Folge interessiert. [...]"

Für weitere Nachschlagewerke musst du dich noch einen oder zwei Tage gedulden, da ich normalerweise nicht auf solche angewiesen bin und also erst in die Bibliothek muss.

Somit haben wir nun vier Quellen versammelt, die alle dasselbe sagen: wissen.de, Forster, Martensen (danke tsor) und den Schülerduden. Keines davon definiert die Reihe so wie du es gern hättest. Ich werde mit großem Vergnügen in die Bibliothek gehen und weitere Werke konsultieren.

--SirJective 17:35, 29. Aug 2004 (CEST)

Ich habe hier noch "Peter Dombrowski: Differntialrechnung I und Abriss der linearen Algebra, BI Hochschulskripte 743/743a, 1970". Da wird auf Seite 35 die unendliche Reihe als Folge vom Partialsummen definiert. -- tsor 17:48, 29. Aug 2004 (CEST)

Hallo tsor, wenn Redakteure von Lexika Literatur finden, wonach der Mensch von der Banane abstamme und der Affe vom Menschen, dann wird diese Aussage sicherlich in deren Enzyklopädie unter Evolution gedruckt werden. Fazit: Geschrieben steht irgendwo alles Mögliche, worauf es für Redakteure ankäme, wäre die eigene verantwortliche Prüfung auf inhaltliche Richtigkeit. Wenn der Artikel zur unendlichen Reihe bei Wikipedia mit der Definition beginnt: "Eine unendliche Reihe ist eine Folge ..." so kann ich als Mathematik-Lehrer darunter nur die Note "Ungenügend" schreiben - ist einfach Quatsch! Politisch ist es so das altbekannte Die-Weiße-Wand-Ist-Schwarz. Wenn du willst könntest du dir eine mögliche Definition unterDefinition Unendliche Reihe als Web-Site unter Kapitel 2.2 Unendliche Reihen einmal ansehen. Hier wird folgende Beschreibung gegeben: Definition: Eine unendliche Reihe ist die Summe einer unendliche Zahl von Summanden. $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+...=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=S$ danach folgt dann die Vorschrift für die Bestimmung von S Soll ich jetzt mit einem Stapel von Mathematik-Büchern aus der Bibliothek des Geomatikums zum Scanner marschieren und hier eine "beweisende" Pdf-Web-Site anlegen, dass u.R. anders definiert sind als im Artikel? Dies wäre unter meinen Bedingungen ein Aufwand von mehreren Stunden und ihr klickt danach eine entsprechende Berichtigung des Artikels in Sekunden weg. Vielleicht könntest du auch nocheinmal einen gangbaren Vermittlungsweg in unserem mathematischen Disput überlegen? MfG Gerhard Kemme--Gerhard Kemme 12:56 1. Sept 2004 (CEST)

Lesen Sie doch erstmal den Artikel. Da steht nicht das, was Sie zitiert haben. Ach und nebenbei, ein Student, der mit dem was Sie hier verzapfen bei mir in die Pruefung kommt, der muss nochmal antanzen...

Dann noch ein paar Anmerkungen zu ihrer Quelle: auch da steht nicht, was Sie bisher in dieser Diskussion gepredigt haben. Ihr beweisendes Pdf-Dokument waere uebrigens wirklich interessant. Die Kollegen aus dem Geomatikum haben mir naemlich in meinem Studium beigebracht, was im aktuellen Artikel steht. Und auch bildhaft, wieso die von ihnen zitierte Definition Unfug ist: "Wenn ich versuche, eine unendliche Anzahl an Summanden zusammenzuaddieren, dann dauert das ziemlich lange. Und spaet abends wird meine Frau dann auch sauer, weil ich zu spaet zum Essen komme. Deswegen machen wir das ueber den Grenzwert der Folge der Partialsummen." Ich schlage mal einen gangbaren Vermittlungsweg vor: Sie kommen mit ihren Beweisen aus einschlaegiger Literatur, dass ihre Position (die ich hier mal als "die im Artikel vorgestellte Definition ist falsch" darstellen will) die richtige ist. Beweise sind Mathematikbuecher (nicht Webseiten). "Wir" haben davon bereits einige zitiert und sie stuetzen alle den Artikel. In diesem Sinne, --DaTroll 14:14, 1. Sep 2004 (CEST)

Hallo DaTroll, nun kommen die Beliebigkeiten, einfach nur Blabla machen. Wenn du eine Aussage machst, dann bitte ich dich auch inhaltlich zu werden und nicht immer nur oberflächlich negativ über die Argumente deines Disput-Gegners hinzuhuschen. Das, was ich zitiert habe, stimmt mit der betreffenden Textpassage des Artikels überein. Im Artikel steht: "ist eine unendliche Reihe s eine unendliche Folge, ..." Geschrieben habe ich: "Eine unendliche Reihe ist eine Folge ..." Zweifellos wird im Artikel die unendliche Reihe als Folge definiert und dies habe ich in der betreffenden Textpassage präzise zum Ausdruck gebracht. Du willst jetzt hier weg vom inhaltlichen Sinn und haarspalterisch darauf hinweisen, dass im Artikel das Hilszeitwort "ist" nicht mitten des Satzes steht, sondern weiter vorne - aber ich bitte dich, es geht um Grundsätzliches und nicht nur um sachablenkende Formalismen. Ich sehe mit den bisherigen Disputpartnern nicht im Entferntesten eine Grundlage, zu einem Konsens zu kommen, d.h. die Kommentierung deiner dann folgenden Ausführungen schenke ich mir - ist pure Zeitverschwendung, weil ein Einigungswille mir nicht erkennbar wird. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 12:56 1. Sept 2004 (CEST)

Auch eine Moeglichkeit. "Das erste Argument ist Haarspalterei. Mit den anderen gebe ich mich gar nicht erst ab." Um es mal ganz deutlich zu sagen: im Artikel steht die Definition, die auf der ganzen Welt so gelehrt wird. Es ist nicht an den Leuten, die diese Definition so im Artikel stehen haben wollen, sich zu rechtfertigen. Sie muessen hier harte Facts und Argumente auf den Tisch legen und bleiben das ein ums andere mal schuldig... --DaTroll 15:38, 1. Sep 2004 (CEST)

Nachdem das etwas ausufert und stellenweise (an anderer Stelle) schon in den Jargon des Kalten Krieges muendet, hab ich dann doch mal den Staub vom Bronstein gewischt und gebe die Definition aus 3.1.14.1 zum besten:

Ist  ${a_{n}}$ eine gegebene Zahlenfolge, so heisst die Folge ${S_{n}}$ der Partialsummen 
$S_{1}=a_{1},S_{2}=a_{1}+a_{2},\dots ,S_{n}=\sum _{s=1}^{n}a_{s}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n},\dots$ 
unendliche Reihe, in Zeichen $a_{1}+a_{2}+\dots$ oder $\sum _{s=1}^{\infty }a_{s}$

Zugegeben, natuerlich ist der Bronstein auch nur ein Standardwerk fuer Mathematiker, Physiker und Astronomen, aber es sollte im Auge behalten werden, dass Definitionen streng genommen nicht bewiesen werden koennen (es sei denn, sie stellen Forderungen an die definierten Objekte, das waere aber schlechter Stil), und sich somit auch einer Falsifikation entziehen. Eine Definition kann fuer den beabsichtigten Zweck lediglich geeignet oder ungeeignet sein, weiterhin entweder allgemein aktzeptiert oder eben nicht. Dass die Definition ueber Partialsumme beide Forderungen erfuellt, sollte ihre Verbreitung in der Standardliteratur ausreichend belegen. --Rivi 15:54, 1. Sep 2004 (CEST):

Gerade war ich tatsaechlich in der Bibliothek des mathematischen Instituts der LMU Muenchen, habe eine halbe Stunde lang wahllos Buecher aus den Regalen genommen, die sich mit Analysis beschaeftigen oder sich als "Handbuch", "Nachschlagewerk" oder "Lexikon" bezeichnen. Das Resultat:

7 Buecher, davon verwenden 5 die Definition dieses Artikels, und 2 definieren

Einen formalen Ausdruck der Gestalt u_1 + u_2 + ... nennt man (unendliche) Reihe. (Handbuch der Mathematik und Mathematisches Woerterbuch),

um danach darzulegen, wie man mit diesem formalen Ausdruck umzugehen hat, naemlich durch Betrachtung der Partialsummen. Heuser schreibt in seinem Lehrbuch Analysis I sogar:

Keinesfalls ist a_0 + a_1 + ... als eine "Summe von unendlich vielen Summanden" aufzufassen - ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet.

Die anderen vier von mir gefundenen Werke sind

Hildebrandt, Analysis I; Hoffmann, Analysis fuer Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure; Lexikon der Mathematik; Papula, Mathematik fuer Ingenieure und Naturwissenschaftler.

Da also sowohl Mathematiker als auch Naturwissenschaftler (und andere Anwender der Mathematik) diese Definition verwenden, stehst du, Gerhard, mit deiner Definition (wie war die doch gleich?) immer noch alleine da.

Ich lese gerade, dass es dir ja urspruenglich gar nicht um die Definition der unendlichen Reihe ging, sondern um den Begriff des Unendlichen an sich. Dazu kann ich nur wiederholen, dass du dich mit deiner Auffassung in einer anderen als der hier verwendeten Mathematik (die auf der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre aufbaut) befindest. Und ich wiederhole meine Frage bereits zum zweiten Mal: Welche Mengenlehre verwendest du?

""Eine unendliche Reihe ist eine Folge ..." so kann ich als Mathematik-Lehrer darunter nur die Note "Ungenügend" schreiben - ist einfach Quatsch!" Du als Mathematik-Lehrer? Du hast also Lehramt an berufsbildenden Schulen studiert und danach 10 Jahre Nachhilfe gegeben. Was hast du da nur deinen Schuelern erzaehlt?!

Du solltest unbedingt den Autoren des Schuelerdudens schreiben, was fuer einen Quatsch sie verbreiten, ebenso den verschiedenen hier genannten Buchautoren (die sehr genau wissen was sie schreiben)! ;) --SirJective 16:18, 1. Sep 2004 (CEST)

Nachdem hier nun die diversen Berufe, gewichtige Bücher und nun auch deftige unmathematische Ausdrücke in die Waagschale geworfen wurden, möchte ich auch noch etwas aus meiner Sicht zu den Formulierungen des Artikels anmerken, mit der Anregung, sie zu verbessern. Ich mache es nicht selbst, damit sich niemand provoziert fühlt:

a) eine Reihe ist keine Folge, wie es im Artikel formuliert ist. Erst wenn man die Glieder der Folge durch ein Pluszeichen verbindet, wird eine Reihe daraus (siehe das Zitat oben aus dem Bronstein).

b)aus der Formulierung des ersten Satzes geht der Unterschied zwischen Summanden und Partialsummen nicht klar hervor. Man könnte meinen, jeder Summand wäre eine Partialsumme.

c) Das Adjektiv "unendlich" soll hervorheben, dass die zugrunde liegende Folge für alle n aus |N definiert ist, und nicht nur auf einem Abschnitt von |N. Eine entsprechende Anmerkung könnte vielleicht den Konflikt um die Unendlichkeit hier etwas entschärfen. Sadduk 17:01, 1. Sep 2004 (CEST)

Hallo Sadduk.

a) Genau das besagt die Definition im Bronstein: "die Folge (S_n) der Partialsummen [...] S_n = a_1 + ... + a_n [heißt] unendliche Reihe". Sinngemäß steht es auch so in der Einleitung des Artikels und im Abschnitt "Definition". Danach ist eine Reihe eine spezielle Folge. Man kann auch eine unendliche Reihe als "formalen Ausdruck" definieren, der allerdings keine "Summe aus unendlich vielen Summanden" ist, sondern nur so aussieht.

b) Kannst du die Unklarheit bitte näher beschreiben? Bleibt sie bestehen, wenn du eine Reihe als spezielle Folge auffasst, wie es im Artikel geschieht?

c) Ja, das "unendlich" besagt genau das. Der Konflikt, den Gerhard hier - bisher nur mit mir - austrägt, dreht sich aber genau um die Unendlichkeit der Menge der natürlichen Zahlen.

--SirJective 18:47, 1. Sep 2004 (CEST)

Hallo SirJective, welche Zeichen benutzt man zur Trennung der Folgenglieder? Richtig, Semikolon! Im Artikel steht $s_{n}=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}=\sum (k=0)^{n}a_{k}$, d.h. du notierst hier eine Reihe von Partialsummen, sprichst aber von einer unendlichen Folge von Partialsummen. Das ist Tüdelkram. Zum anderen wird der Begriff unendliche Folge nirgendwo erläutert. Wenn Lehrer korrigieren wird arg geschimpft: "Was hast du deinen Schülern erzählt?" Ich hab' sie Richtiges sagen lassen. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 20:00 1. Sept 2004 (CEST)

Hallo, SirJective,

Zu a) Brummel, ist natürlich ok, was Du schreibst, nur etwas arg gerafft formuliert. Die Formulierung verwischt halt den Unterschied zwischen Folgen und Reihen etwas. Oder sie setzt ein ziemlich gutes Verständnis für den Unterschied schon voraus - wie auch immer. In meinem Verständnis ist eine Reihe eine Summe, bzw. im Konvergenzfall der Grenzwert einer Folge von Partialsummen. Meines Erachtens wäre es hilfreich, etwas zusätzlichen Text in dieser Hinsicht zu spendieren, vielleicht kombiniert mit b)

Zu b): da steht:

<schnipp> In der Mathematik ist eine unendliche Reihe s eine unendliche Folge, deren Glieder aus den Summen der ersten Glieder (so genannten Partialsummen) einer anderen Folge a bestehen; genauer gilt die Beziehung:

$s_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$.

<schnipp>

wenn ich das lese, suche ich in der angegebenen Gleichung nach der Folge der Partialsummen. Im Artikel steht aber nur die Gleichung für eine einzige Partialsumme: $s_{n}$. Die Folge von Partialsummen steht als Folge von Gleichungen nicht im Text. Es fehlt dazu die nächste Zeile mit der Partialsumme für n+1. Halt einfach so, wie es der Text im Bronstein auch macht, der die Folge $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{n}$, aufführt. Damit würde meines Erachtens die Darstellung im Artikel klarer werden. Mehr wollte ich eigentlich gar nicht vorschlagen. Ich glaube, Gerhard stolpert genau über das, was ich in a) und b) angesprochen habe.

Zu c): Ich habe die diversen Kommentare zur Unendlichkeit gelesen. Sicher keine dumme Diskussion, nur etwas aufgeregt. Dabei hab ich mich aber gefragt, was von den angesprochenen Aspekten in einen Artikel über unendliche Reihen gehören könnte. Dabei schien mir höchstens der Verweis auf die Menge der natürlichen Zahlen, wie er ja auch in der Diskussion vorkam, als sinnvoll, etwa in einer Formulierung, wie ich es oben gemacht habe. Damit wäre eine Feststellung getroffen, was bei diesem Thema mit "unendlich" gemeint ist. In einem Buch würde ich es in eine Fußnote tun wollen. Ob die Menge natürlicher Zahlen unendlich ist, diese Fragestellung sollte mE in einem dafür geeigneten Artikel stehen, aber nicht hier. Sadduk 20:10, 1. Sep 2004 (CEST)

Nur kurz zu a): Der Artikel hier heißt Unendliche Reihe. Die von Dir gesuchten Summen finden sich in Reihe (Mathematik). Da sollte man in dem Artikel hier wohl drauf hinweisen. Allerdings ist die Verlinkung in der Wikipedia so, daß halt im Zweifelsfall auf den anderen Artikel verlinkt wird und da steht der Unterschied gleich am Anfang. Viele Gruesse --DaTroll 20:17, 1. Sep 2004 (CEST)

Hab es nachgelesen, auch ein Link auf Reihe (Mathematik) wäre eine gute Möglichkeit, d'accord Sadduk 20:30, 1. Sep 2004 (CEST)

Ich verstehe, Sudduk. In der Tat wird momentan von der Reihe als "Folge der Partialsummen" gesprochen, aber nur eine einzige Partialsumme dargestellt. Die Darstellung im Bronstein (welche ich offenbar verfälschend gekürzt habe) ist in dem Punkt ausführlicher. Das sollte ergänzt werden. Auch das in der Einleitung gegebene Beispiel sollte um einige Partialsummen ergänzt werden.

Gerhard, im Artikel Folge wird der Begriff "unendliche Folge" erklärt. Interessanterweise wird dort die "endliche Folge" nicht erklärt. Für den Angriff auf dein Lehrersein bitte ich um Entschuldigung. Es gehört sich nicht, nur aufgrund eines Lebenslaufs auf bestimmte Erfahrungen zu schließen.

Es besteht ein geringer Unterschied zwischen einer unendlichen Reihe und einer unendlichen Folge (das steht nur noch nicht im Artikel, sollte ergänzt werden):

Jede Reihe ist eine Folge, nämlich eine Folge von Partialsummen einer Folge.

Jede Folge ist eine Reihe, nämlich die Reihe ihrer Differenzen:

$a_{n}=a_{0}+(a_{1}-a_{0})+(a_{2}-a_{1})+...+(a_{n}-a_{n-1})$

Der Unterschied liegt allein in der Schreibweise.

--SirJective 20:37, 1. Sep 2004 (CEST)

Hallo SirJective, dieser Erläuterung "über den geringen Unterschied zwischen einer unendlichen Reihe und einer unendlichen Folge" würde ich nicht bedingungslos folgen wollen. Sie zeigt nur die Äquivalenz von unendlichen Folgen und Reihen. Aus einer unendlichen Folge kann ich aber auch ein unendliches Produkt bilden, nicht nur eine unendliche Reihe. Aber sei es drum, das ist alles nur die Frage nach einer guten Formulierung, und Du hast ja schon ausführlicheren Text zugesagt. Was ich mir als Erweiterung des Artikels wünschen würde, (wenn mich jemand fragen würde) wären Doppelreihen, wie sie in der Physik ständig auftauchen. Also 2-dimensionale Matrizen, wobei die Zahlen einem ebenen Punktgitter zugeordnet sind. Die Partialsummen stellen sich in einer derartigen Darstellung als Rechteckstreifen dar... Ich hatte ein ähnliches Thema mal mit einem Anfangsartikel Barlong beginnen wollen, aber der wurde gnadenlos gelöscht, wonach ich die Lust verlor, hier an mathematischen Themen mitzuschreiben. Zuviel Kampf und zuwenig Kooperation Sadduk 23:51, 1. Sep 2004 (CEST)

Du hast recht mit der Äquivalenz. Letztendlich sind es alles nur Folgen, egal ob man sie als Folge, Reihe oder Produkt aufschreibt, aber verschiedene Schreibweisen lassen verschiedene "Behandlungsmöglichkeiten" zu (z.B. Konvergenzkriterien). Eine ausführlichere Einleitung und Hinweise auf diese Zusammenhänge wünsche ich mir auch, will mich aber noch eine Weile zurückhalten, um Gerhard nicht noch weiter zu verärgern. Ich möchte aber andere ermutigen, diese Ergänzungen vorzunehmen.

Doppelreihen sollten unbedingt beschrieben werden. Ich denke, dass dieses Thema einen eigenen Artikel verdient, in dem neben verschiedenen Umordnungs- und Konvergenzsätzen auch der Zusammenhang zur Multiplikation und Hintereinanderausführung von Potenzreihen und zu physikalischen Aufgabenstellungen beschrieben ist. --SirJective 14:28, 2. Sep 2004 (CEST)

Nachfolgend Notierung der Texte von Wissen: Reihe und Reihen und der Formelsammlung von Klett: Unendliche Reihe in Formelsammlung Klett MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 18:55 2. Sept 2004 (CEST)

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(von Wikipedia:Ich brauche Hilfe hierber verschoben --SirJective)

Der Artikel Unendliche Reihe weist meiner Ansicht nach eine völlig falsche Definition dieses mathematischen Begriffes auf: Es wird die unendliche Reihe als Folge von Partialsummen definiert, was von der verwendeten Wortwahl her "Eine Reihe ist eine Folge ..." bereits unrichtig ist. Der User SirJective klickt jede auch noch so kleine Änderung meinerseits hemmungslos weg. Auf der Seite Diskussion:Unendliche Reihe sind einige inhaltliche Aussagen dieses Disputes aufgelistet. Was kann man da machen? MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 12:56 1. Sept 2004 (CEST))

Ich will dem Gerhard mal helfend unter die Arme greifen, und diesen Beitrag von dem Archiv hierhin kopieren, wo er hingehört. --SirJective 20:58, 1. Sep 2004 (CEST)

Hallo Gerhard, du unterschlägst hier ganz beiläufig, dass sich auf der Diskussionsseite bereits 4 weitere Benutzer hinter die Auslegung von SirJective gestellt haben. Vielleicht wäre es ja auch langsam an der Zeit deine osition zu überdenken. Zur wissenscaftlichen Vorgehensweise möchte ich aber doch noch anmerken, dass es in der Wikipedia nicht um die Falsifizierung irgendwelcher Sachverhalte geht, sondern lediglich um deren Darstellung. Wir wollen hier also nicht Neues entwickeln, sondern Bekanntes beschreiben. Die Einbringung neuer Theorien verbietet sich daher. --Mijobe 23:00, 1. Sep 2004 (CEST)

Nach dem, was ich auf der Seite Diskussion:Unendliche Reihe sehe, kritisierst du, dass Begriffe in dem Artikel "starr" so verwendet werden, wie sie in der Arithmetik definiert sind. Insbesondere zweifelst du an dem in der Methematik verwendeten Begriff der Unendlichkeit. Nun handelt es sich bei dem Artikel um die Erklärung eines Begriffes aus der Arithmetik, der mit den Mitteln und den Begriffen der Aritmetik geschriben ist, so wie es sein soll. Die Arithmetik ist ein sehr grosses abstraktes System, das in sich schlüssig (also Wiederspruchsfrei) ist und auf einigen wenigen Axiomen aufbaut (siehe Peano-Axiome). Innerhalb dieses Systems ist der Artikel korrekt, und das ist alles, was man von im verlangen kann. Eine Aussage über die "wirkliche Welt" masst sich die Mathematik gar nicht an - aber die Diskussion darüber ist in dem Artikel schlicht fehl am platze (und hier übrigens eigentlich auch). Das gehört zur Erkenntnistheorie, oder von mir aus notfalls zu den Artikeln Zahl, Unendlichkeit oder Arithmetik. Am besten schriebst du einen Artikel (aber einen neutralen, ausgewogenen!) über die Geschichte und Philosophie der Zahl, angefangen bei der Verwendung der Null und der Frage, wie viele Engel auf eine Nadespitze passen (kein Witz - diese Frage war langeze Zeit eine Kernfrage der Wissenschaft) -- D. Düsentrieb (?!) 23:29, 1. Sep 2004 (CEST)

Vielleicht möchte Gerhard Kemme den Standpunkt von Alexander Esenin-Volpin erwähnt wissen, den en:Ultrafinitism (leider noch nicht auf Deutsch), eine Verschärfung des Finitismus, der wiederum eine Verschärfung des mathematischen Konstruktivismus ist. Da der en:Ultrafinitism eine nur sehr wenig verbreitete Anschauung ist, kann m.E. die untrafinitistische Sichtweise nur in wenigen Kernartikeln der Mathematik erwähnt werden. Leider haben wir aber bisher noch nicht einmal Erwähnungen des mathematischen Konstruktivismus, außer in Auswahlaxiom. -- Pjacobi 10:45, 2. Sep 2004 (CEST)

Nun, da bin ich jetzt der hilflos Unterlegene. Würde jetzt im "Taschenbuch der Mathematik", dem Bronstein, die Definition für Banane als "Eine Banane ist ein verlängerter Apfel" stehen, dann stände ich als Kritiker solcher Definition allein und bespöttelt da. Wir kennen solches Verhalten unter dem Begriff des Kadavergehorsams: Wenn irgendwo etwas gedruckt steht, dann ist es richtig oder mit Goethe: Was man schwarz auf weiß besitzt, kann man getrost nach Hause tragen. Hier also nocheinmal meine Position nur zum Thema "Definition der unendlichen Reihe":

1. Es gibt nicht die einzige Definition des Begriffes.
2. In der Literatur werden unterschiedliche Definitionen verwendet, z.B. inwissen.de unter dem Begriff "Reihen"
3. In der Formelsammlung von Klett sieht die Definition auch schon etwas richtiger und anschaulicher aus: Unendliche Reihe in Formelsammlung Klett
4. In der obigen Formelsammlung wird die unendliche Reihe in der Form

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+...+a_{n}+...$ dargestellt. Diese Definition drückt präzise aus, was eine u. Reihe ausmacht: Eine Aufsummierung von Summanden, die von n=1 bis n gegen unendlich geht.

1. Es gilt insbesondere für Lexika der didaktische Grundsatz: Vom Einfachen zum Schweren. Die Verwendung einer abstrakten Sonderfall-Definition, die dann auch noch falsch notiert wird, ist ziemlich dummes Zeug.
2. Die Blockierung des Zuganges der Artikelseite für andere User widerspricht dem Wikipedia Grundsatz: Für "alle".
3. Als belächelter Lehrer sage ich, dass man die Definition so nicht lesen kann.
4. Die Konsequenz des unkollegialen Verhaltens von SirJective ist, dass nunmehr ein Korrektur-Lexikon zu Wikipedia eingerichtet werden muss, so dass immer eine gut les- und lernbare Konkurrenz vorhanden ist.
5. Aussagen, wonach sich bereits andere Benutzer für die Reihe-ist-gleich-Folge-Version ausgesprochen hätten, ist nicht förderlich: Die Wahrheit ist nicht immer bei der Masse. Was bei der frenetischen Bejahung der Frage "Wollt ihr den totalen Krieg?" durch riesige Menschenmassen sehr deutlich geworden ist. Die Notwendigkeit inhaltlicher Prüfung von vorgegebenen Texten mit Bekenntnischarakter wird in dieser Diskussion immer deutlicher.

MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 17:39 2. Sept 2004 (CEST)

Deine hier angebrachten Kritikpunkte finde ich durchaus nachvollziebar - Über verständlichere Formulierungen und alternative Definitionen kann man durchaus reden. Dein Kreuzug gegen den arithmetischen Begriff der Unendlichkeit, wie du ihn auf der Diskussionsseite des Artikels geführt hast, scheint mir aber deutlich aus der Rolle zu fallen. Also, vielleicht erstmal zusammensetzen und kleine Brötchen backen? Ich kann da übrigens inhaltlich nicht viel beitragen: die Formalismen überfordern mich dann doch recht schnell. -- D. Düsentrieb (?!) 17:49, 2. Sep 2004 (CEST)

Die Nachhaltigkeit mit der Sie hier unhaltbaren Unsinn unterbringen wollen, ist erschuetternd. Auf wissen.de wird genau die Definition propagiert, die im Artikel steht. Auf dem anderen Link steht keine Definition. Auch ist keineswegs die Masse der Benutzer hier das Argument (auch wenn das Ihnen zu denken geben sollte), sondern die Tatsache, dass mehr als vier Benutzer in fast zehn verschiedenen Standardlehrbuechern unabhaengig voneinander die Definition des Artikels verifiziert haben. Es gibt also die Definition des Begriffs. Sie koennen gerne in der Gerhard-Kemme-Mathematik mit Definitionen arbeiten, die ganz anders aussehen. Nur ist dafuer kein Platz in der Wikipedia. Was die Verstaendlichkeit des Artikels angeht: Nein, der Artikel ist nicht perfekt. Und wenn Sie aufhoeren, auf ihrem unsinnigen Standpunkt zu beharren, kann auch wieder mit der Weiterarbeit an dem Artikel begonnen werden. --DaTroll 17:54, 2. Sep 2004 (CEST)

Die Diskussion ist jetzt leider auf diese Seite hier und auf die Diskussionsseite aufgesplittert. Das macht wenig Sinn, der Hilfetext hier sollte wohl hauptsächlich dazu dienen, mehr Leute in den Diskussionskreis einzubeziehen. Ich schlage vor, dass alles weitere, insbesondere das Fachliche ( z.B. konkrete Formulierungsvorschläge, die vermisse ich doch wirklich) wieder auf die Diskussionsseite von Unendliche Reihe kommt. Zur Klärung von Folge/Reihe steht da inzwischen auch einiges weiterführende, zu dem Gerhard ja durchaus auch Stellung beziehen kann. Sadduk 18:13, 2. Sep 2004 (CEST)

ganz schnell noch eine kurze Antwort auf die bezüglich wissen.de gemachte Äußerung von DaTroll. Nachfolgend eine Notierung der Texte von Wissen: Reihe und Reihen MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 18:50 2. Sept 2004 (CEST)

(Ende des verschobenen Textes --SirJective)

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Ich wundere mich über diese Diskussion. Die Definition als Grenzwert der Partialsummen ist die absolut Übliche. Der Artikel ist doch ganz korrekt. Die Definition als "unendliches Aufsummieren" ist mnemotechnisch vielleicht hilfreich, aber läuft in in die üblichen Probleme: Was ist 1-1+1-1+ ... (mögliche Antworten sind +1 -1 oder 1/2). Unyxos 19:20, 2. Sep 2004 (CEST)

Lieber Gerhard. Ich habe, nachdem ich Deinen Eintrag auf der Ich brauche Hilfe Seite las, diese Diskussion hier nachvollzogen. Unabhängig vom Thema möchte ich sagen, dass ich Deine "Wollt ihr den totalen Krieg" Analogie nicht nachvollziehen kann und als zutiefst unpassend empfinde. Scheinbar fühlst Du Dich persönlich sehr stark angegriffen, was aber IMHO nicht angebracht ist. Ferner stimme ich der Auffassung von unendlicher Reihe zu, die SirJektive und andere hier vertreten. Ein Versuch der Definition 'von unten':

1. a1,a2,a3... sei eine Folge.
2. sn = a1 + ... + an ist eine endliche Partialsumme (z.b. s3 = a1 + a2 + a3)
3. eine (unendliche) Reihe ist die Aufsummierung dieser sn wobei n gegen unendlich (∞)läuft.

Damit habe ich nur wiederholt was hier schon mehrfach gesagt wurde und was ich für die richtige Definition halte. Ob diese Reihe konvergiert ist Subjekt gesonderter Betrachtung und für die Definition zunächst nicht interessant. (Daher ist auch der Ausriss aus der Klett-Formelsammlung, den du verlinkt hast[1] in diesem Zusammehang ohne jegliche Aussagekraft.) Bei wissen.de konnte ich unter dem Suchwort Reihen keine relevanten Informationen finden. Bitte nimm dies als freundlich und konstruktiv gemeinte Kritik. mfg Schizoschaf 10:37, 3. Sep 2004 (CEST)

Übrigens glaube ich, dass auch die von dir angegebene Website [2] diese Definition stützt und verstehe um so weniger, was eigentlich das Problem ist. Schizoschaf 10:52, 3. Sep 2004 (CEST)

Um zumindest anzudeuten, welche Option Benutzer haben, die mit der ziemlich regiden Löschpraxis auf den Artikelseiten nicht einverstanden sind, will ich zumindest die Möglichkeit einer Korrektur von außen per Korrekturseite andeuten: Korrektur der Definition unendlich Reihe Dies ist alles sehr ineffektiv, da ein voll intaktes System zur Erstellung von Lexika vorhanden ist und nunmehr Individuen mit unzureichenden Mitteln zugeordnete Korrekturseiten erstellen müssen. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 15:03 3. Sept 2004 (CEST)

Statt zu klagen solltest Du Dich mal an die eigene Nase fassen, denn was Du da auf der externen Seite schreibst, hättest Du auch auf die Diskussionseite hier schreiben können. Da hätte man Dir früher helfen können. Was auf der Seite dort steht: die Gleichung 1 ist schlicht falsch. Nicht mehr, nicht weniger. Auf die linke Seite schreibst Du eine Partialsumme S(n), auf die rechte Seite die gesamte Summe der unendlichen Reihe. Auch die Formulierung des Textes ist weniger gut: eine Reihe als "Auflistung" zu bezeichnen, ist doch etwas ungewöhnlich. Liste ist kein mathematischer Begrifff. Da war die Version der Formulierung, die Du heute morgen dort stehen hattest, schon etwas besser, auch wenn in der Formulierung von heute morgen noch Deine Probleme mit dem Verhältnis Reihe/Folge zu merken waren. Sadduk 15:37, 3. Sep 2004 (CEST)

Mit dieser "regiden(sic!) Löschpraxis" verfolgte ich das Ziel, die "Kontroverse über die Unendlichkeit" aus einem Artikel rauszuhalten, in dem sie nichts zu suchen hat. Dir wurden mehrfach Artikel genannt, in denen sie richtig wäre. Warum gehst du darauf nicht ein? Warum willst du nichts zu den Artikeln der Wikipedia beitragen, zu denen du (vielleicht) etwas beitragen könntest.

Du wolltest doch ursprünglich über Unendlichkeit philosophieren. Warum streiten wir hier über einen Begriff, zu dessen Definition der Unendlichkeitsbegriff notwendig ist? Um überhaupt eine Chance zu haben, eine gemeinsame Definition der unendlichen Reihe zu bekommen, müssen wir uns vorher(!) auf einen gemeinsamen Unendlichkeitsbegriff einigen. Und so frage ich dich zum vierten Mal: Welche Mengenlehre verwendest du? --SirJective 16:22, 3. Sep 2004 (CEST)

Lieber Gerhard. Um es geradeheraus zu formulieren: Ich glaube, dass du hier im Unrecht bist. Ich glaube auch, daß du ein Problem damit hast das einzugestehen. Fakt ist doch, dass alle, die sich an dieser Diskussion beteiligen der Ansicht sind, dass der Artikel die richtige Definition von unendlichen Reihen darstellt. Fakt ist auch, dass dafür einige Quellen gennant werden. (Und nein, wenn im Bronstein stünde Bananen seien verlängerte Äpfel würde ich das nicht glauben. So etwas steht aber auch nicht im Bronstein.) Meine Bitte an Dich ist, zur konstruktiven Mitarbeit in der Wikipedia zurückzukehren und dabei den Konsens zu suchen und zu akzeptieren. Dies solltest du nicht als Niederlage empfinden, sondern als Chance zu lernen. In der Hoffnung dich nicht verärgert zu haben Schizoschaf 17:50, 3. Sep 2004 (CEST)

Definition

Was hieltet ihr davon nach der Definition:

schnipp Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

$s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k},\ n\in \mathbb {N}$

heißt unendliche Reihe und wird mit $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ bezeichnet. /schnipp

einen neuen Absatz Konvergenz zu beginnen? Konvergenzkriterien wäre dann Unterpunkt dieses Absatzes Schizoschaf 19:02, 4. Sep 2004 (CEST)

Ich hab mal einen Absatz gemacht im Sinne der Lesbarkeit. DAs gehört ja schon noch zur Definition Schizoschaf 09:33, 6. Sep 2004 (CEST)

Absatz meint Zeilenumbruch Schizoschaf 09:34, 6. Sep 2004 (CEST)

Du hast recht, dass die Definition der unendlichen Reihe selbst noch keinen Konvergenzbegriff beinhaltet. Das Zeichen für die unendliche Reihe hat jedoch für konvergente Reihen zwei Bedeutungen (die Reihe selbst und ihren Grenzwert), so dass ich eine Abtrennung durch eine Überschrift nicht für angebracht halte. Die jetzige Abtrennung durch einen Zeilenwechsel ist aber schon besser. --SirJective 12:27, 6. Sep 2004 (CEST)

Ich bin für $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(i)$

Dann wird die Reihe selbst nicht mit der Unendlichkeit belastet. --Arbol01 02:07, 18. Okt 2004 (CEST)

Reihe vs. unendliche Reihe

Der Artikel "Unendliche Reihe" war vorschnell gelöscht und nach Reihe (Mathematik) "redirected" worden. Nunmehr ist er grob wieder restauriert worden. Wenn es kein anderer macht, werden die "Feinheiten" in den nächsten Tagen wiederhergestellt. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 23:21 21. Okt 2004 (CEST)

Hallo Gerhard.

Der Artikel ist nicht gelöscht worden - hättest du in die Versionsgeschichte von Reihe (Mathematik) geschaut, dann hättest du gesehen, dass der Inhalt dieses Artikels dort eingearbeitet wurde. Ich bitte dich daher, die Weiterleitung wiederherzustellen: "#REDIRECT [[Reihe (Mathematik)]]".

Wie Herr W, der die Änderung (keine Löschung!) vorgenommen hat, halte ich momentan es für sinnvoller, beide Reihenbegriffe gemeinsam zu behandeln. Bin nur vorher nicht selbst auf die Idee gekommen. --SirJective 00:24, 22. Okt 2004 (CEST)

Hallo SirJective, wir wollen hier nicht wortklauberisch werden, wenn ein zuvor vorhandener Artikel nur noch eine leere Seite aufweist, dann ist er, was seinen Inhalt betrifft, gelöscht worden. Dies würde ich als Vandalismus bezeichnen. Oder wie würdest du dies nennen, wenn ich anfinge, Artikel sonstwohin zu navigieren? Der Begriff Unendliche Reihe ist sehr gebräuchlich und wird in fast allen Nachschlagewerken, insbesondere auch in Suchmaschinen, häufig genannt und nachgefragt. Der jetzige Artikel Reihe (Mathematik) kann ihn nicht ersetzen. Deshalb bitte ich diesen Artikel beizubehalten, d.h. ich werde ihn jetzt restaurieren, privat abspeichern und hoffe, dass sich hier nicht ein neuer Dauerdisput entspinnt, der durch vorherige Diskussion vermeidbar gewesen wäre. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 12:38 22. Okt 2004 (CEST)

Der Inhalt von Unendliche Reihe ist ja nicht verschwunden, sondern wurde von Herrn W in Reihe (Mathematik) eingearbeitet. Von Vandalismus kann also keine Rede sein. --DaTroll 12:50, 22. Okt 2004 (CEST)

Gerhard, du willst nicht wortklauberisch sein. Von mir aus: Dann verwende den Begriff Vandalismus (siehe auch Wikipedia:Vandalismus) ebenso inflationär wie viele andere das auch tun. Die Verschiebung des Inhalts von "unendliche Reihe" in einen Artikel zum Oberbegriff "Reihe" ist keine Löschung, und erst recht kein Vandalismus. Wenn du aber anfingst, sich thematisch überschneidende Artikel ordentlich zusammenzufassen oder sauber zu trennen, fände ich das gut! Es gibt genug Artikel zum gleichen Thema, die überarbeitet werden müssten. Eine vorherige Diskussion dieser Zusammenführung hätte eine nachträgliche Diskussion vielleicht verhindern können, vielleicht auch nicht.

Der Begriff "Unendliche Reihe"

1. ist ein Unterbegriff von "Reihe",
2. ist in Reihe (Mathematik) erwähnt, und zwar fett hervorgehoben,
3. bleibt als Weiterleitungsseite bestehen,

ist also weiterhin von Suchmaschinen und durch direkte Eingabe des Begriffs auffindbar.

Kannst du uns bitte sagen, warum du der Meinung bist, ein Artikel über Reihen könnte nicht auch über unendliche Reihen sprechen und einen eigenen Artikel über unendliche Reihen ersetzen? --SirJective 13:19, 22. Okt 2004 (CEST)

Hallo SirJective, es gibt Ober- und Unterbegriffe - dies ist doch verständlich - ein Begriff, der sich in der Begriffs-Hierarchie weiter unten befindet, kann nicht einfach durch den Oberbegriff ersetzt werden. Wenn die Unendliche Reihe in Reihe aufgeht, dann lasse ich Reihe in Mathematik aufgehen. Das eine Differenziertheit zur geistigen Arbeit gehört und man eine solche selbstverständlich auch von einer Enzyklopädie erwartet, sollte ziemlich selbstverständlich sein. Der Artikel wurde mit großem Aufwand erstellt und verbessert, er wird nachgefragt, was sich an dessen Verwendungshäufigkeit in Suchmaschinen ablesen läßt, weshalb sollte er jetzt eliminiert werden? Außerdem ist es Leserveralberung, wenn der vom Leser annavigierte Artikel auf ein ziemlich anderes Thema umgelenkt wird. Die Wiederherstellung eines vandalierten Artikels ist allgemein üblich und bedarf keiner Nachfrage, die Zerstörung von Texten im Wert von ca. 1000,- Euro, wie du es hier so locker praktizierst, hielte ich schon für sehr fraglich - aber du machst ja sowieso, was du willst, ohne auf einen Gemeinschaftskontext Rücksicht zu nehmen, was eher eine Anmerkung denn ein Vorwurf sein soll. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 21:23 23. Okt 2004 (CEST)

*kopfschüttel* Mit dir zu diskutieren, ist zu anstrengend für mich. Deine offenen und unterschwelligen Anfeindungen lassen keine sachliche Diskussion zu. --SirJective 22:09, 23. Okt 2004 (CEST)

Was erwartest du? Jedenfalls ist der Artikel nunmehr wieder restauriert worden. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 22:56 23. Okt 2004 (CEST)

Na Sachargumente erwarten wir! Der Text, der hier vorher war, ist doch fast komplett in Reihe (Mathematik)! Entweder Du kommst mal mit etwas konkretem rüber, wieso Du mit dem jetzigen Artikel Reihe (Mathematik) nicht leben kannst oder ich stelle den Redirect wieder her. Der ist nämlich in keinster Weise Leserverarschung. Und wir schreiben hier übrigens auch keine Artikel, um hoch bei Google zu sein. Wer nach Reihe sucht, findet Reihe (Mathematik)... --DaTroll 19:23, 24. Okt 2004 (CEST)

Will mich hier nicht permanent wiederholen und Nachschulungen für Unterrichtsthematiken des Deutschunterrichtes der vierten Grundschulklasse geben: In einem Lexikon schlägt man den gewünschten Begriff auf und findet unter diesem die Abhandlung des gewählten Themas. Die Wikipedia Enzyklopädie ist sehr ausdifferenziert und das Thema "Unendliche Reihen" nicht unwesentlich, somit sollte ein Leser diesen Artikel auch direkt auswählen können. Bezüglich Google gilt, dass hier ein kleiner Maßstab für die Bedeutung einer Thematik durchaus vorhanden ist, d.h. das Thema "Unendliche Reihen" ist wichtig und sollte eigenständig bleiben. Es geht hier nicht um individuelle Gefühlswelten, ob man mit bestimmten Präsentationsarten leben oder nicht leben kann, sondern um sachliche Entscheidungen für eine durchaus überzeugende Internet-Enzyklopädie. Wenn es jetzt eine gewisse Redundanz beider Artikel gibt, dann finde ich dies nicht weiter schlimm. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 21:28 24. Okt 2004 (CEST)

Jeder eigenständige Begriff verdient einen eigenen Artikel, solange man genügend dazu schreiben kann. Stern !? 21:39, 24. Okt 2004 (CEST)

Das Problem bei der Sache ist, dass endliche Reihen nichts hergeben. Die bringen eine Zeile eigenen Inhalt, plus ein Link auf die Geometrische Reihe. Der wichtige Teil sind halt die unendlichen Reihen. Das Es ist also sinnvoll, beides in einem Artikel zu behandeln. Wenn man das aber tut, ist Reihe (Mathematik) die richtige Adresse. Und ob Unendliche Reihe nun ein Redirect ist, oder ein eigenstaendiger Artikel, ist dem Nutzer doch wirklich egal. Viele Gruesse --DaTroll 11:28, 25. Okt 2004 (CEST)

Ausserdem ist Redundanz mitnichten erwünscht. Die Fehlerwahrscheinlichkeit steigt ebenso wie der Wartungsaufwand, wobei der Informationsgehalt bestenfalls gleichbleibt. Gerade bei Mathematischen Themen sehe ich das als sehr problematisch an. pro redirect. mfg --schizoschaf(?!) 23:02, 25. Okt 2004 (CEST)

Zusammenfassung und Ergänzung:

• Wir alle wünschen uns eine sachliche Entscheidung zu diesem Thema.
• Viertklässler sind an dieser Diskussion vermutlich nicht beteiligt.

• Der alte Inhalt dieses Artikels wurde in einen anderen Artikel integriert, ist also nicht verloren.
• Der Inhalt von Summe überschneidet sich mit dem (alten und neuen) Inhalt von Reihe (Mathematik).
• Wenn es zu unendlichen Reihen genügend zu sagen gibt, was nichts mit Reihen im allgemeinen zu tun hat, und umgekehrt(!), dann sollte man überlegen, die beiden Artikel sauber zu trennen. Ansonsten sollte beides unter dem Oberbegriff behandelt werden.
• Der jetzige Zustand von drei Artikeln die sich mit überschneidendem Inhalt mit Reihen beschäftigen, ist ungünstig.

--SirJective 23:08, 27. Okt 2004 (CEST)

Summe zu trennen ist nicht das Ding, das laesst sich sehr straight forward machen. Ansonsten ist meine Meinung bekannt. Wir sollten hier dann auch mal eine Entscheidung treffen. Viele Gruesse --DaTroll 12:53, 1. Nov 2004 (CET)

Hallo Mathematiker, die drei Artikel Summe, Reihe (Mathematik) und Unendliche Reihe sollten beibehalten werden. Sie stellen alle durchaus wichtige Thematiken dar und es wäre schön wenn sie bei dem hohen Differenzierungsgrad und Umfang dieser Enzyklopädie direkt abrufbar sind. Jeder oben genannte Artikel, insbesondere auch der zum Thema "Reihe", einschließlich "endliche Reihe", hat genau den richtigen Stoffumfang - d.h. es kann keine Rede davon sein, dass eines dieser Themen in einer Zeile abgehandelt werden könne. Ich finde, "Summe" und "Reihe" müßten etwas "schmaler" gemacht werden, was thematisch nicht passt - raus. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 14:36, 1. Nov 2004 (CET)

Zusammenfassung Verschiebedebatte

Hallo, ich wage mal eine zusammenfassung, der Debatte. korrigiert mich bitte wenn ich mich irre.

• für einen redirect haden sich ausgesprochen:
  • SirJective
  • DaTroll
  • schizoschaf
  • implizit auch Herr W indem er den redirect ausgeführt hat.

• gegen den redirect hat sich ausgesprochen
  • Gerhard Kemme

• indifferent äusserte sich:
  • Stern

Mein Vorschlag wäre bei Bedarf weitere Meinungen einzuholen und dann aber recht zügig zu einer Entscheidung zu kommen. z.B. durch eine Abstimmung.

Als persönliche Meinung möchte ich hinzufügen, daß ich das Verhalten von Gerhard Kemme (die Änderung diskussionlos rückgängig zu machen) sowie dessen Diskussionsstil für eher destruktiv halte. --schizoschaf(?!) 19:01, 3. Nov 2004 (CET)

Ich finde die Argumente für die Zusammenlegung von Unendliche Reihe und Reihe (Mathematik) überzeugend, die darauf gründen, daß die unendlichen Reihen den wesentliche Teil des Wissenfeldes mathematischer reihen ausmachen. Umgekehrt finde ich die Argumente dagegen, die erkennbar auf fehlendem Verständnis der technischen und faktischen Gegebenheiten basieren, nicht überzeugend.

Ich bin also dafür, die Inhalte zusammenzuführen, wie von Herrn W. gemacht, und unter Unendliche Reihe einen Redirect auf Reihe (Mathematik) anzulegen. --Skriptor ✉ 19:35, 3. Nov 2004 (CET)

Wir sind hier doch nicht im Kindergarten - oder? Wenn hier eine Gegenüberstellung von Benutzern vorgenommen wird, so weiß jeder, dass, außer meiner werten Person, alle hier genannten anonyme User sind, d.h. es kann z.B. von mir oder anderen Leuten nicht beurteilt werden, ob es nicht nur eine einzige Person ist, die sich mit zahlreichen Alias-Nicknamen registriert hat. Du benutzt permanent nur oberflächliche Pseudoargumente um deine Streitmachereien zu begründen. Es sind immer nur aggressive Beleidigungen, die du bezüglich anderer Benutzer von dir gibst - befindest du dich in irgendeinem naiven Machtrausch, weil du jetzt Administrator bist? Das Thema Reihen als solches ist zumindest sehr füllend für einen Artikel. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 20:04, 3. Nov 2004 (CET)

Gerhard: SHUT UP!

Alle anderen: Da es keinen Diskussions(!)-Teilnehmer gibt, der gegen die Verwendung eines Redirects ist, können wir den wieder einrichten. Eventuell noch folgendes Gezeter eines Streitsuchenden sollten wir dabei ignorieren. --SirJective 22:07, 3. Nov 2004 (CET)

volle Zustimmung --schizoschaf(?!) 22:15, 3. Nov 2004 (CET)

habe zwar nicht mitdiskutiert, stimme aber auch (der Redirectanlegung) zu -- Kliv 21:26, 4. Nov 2004 (CET)

Bei anonymen Usern können keine Abstimmungen per Auszählung von Parteiungen gemacht werden - ist schwer zu verstehen. Da eine einzige Person hier 20 virtuelle Nicknamen tanzen lassen kann. Somit zählt das alte Sozialisten-Argument - 99% hätten für die Partei gestimmt - nicht mehr. Worum es geht, wäre eine inhaltliche Prüfung des Sachverhaltes. Hier sind die Argumente der auf Löschung Plädierenden sehr dünn. Ich weise auch noch einmal darauf hin, dass der Artikel bereits Ergebnis einer schwierigen Kompromissfindung war. Was also veranlaßt euch eigentlich, diesen Artikel unbedingt löschen zu wollen? MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 10:29, 5. Nov 2004 (CET)

OK, dann waer ja alles gesagt. Ich stelle damit dem Redirect wiederher. Gerhard: ein zehntes mal: es wurde nichts geloescht. Du findest alles unter Reihe (Mathematik). Viele Gruesse --DaTroll 11:17, 5. Nov 2004 (CET)

Und wieder retour! Natürlich stellte deine "redirect-Aktion" eine Löschung des Artikels Unendliche Reihe dar. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 11:29, 5. Nov 2004 (CET)

Wieso sollte das eine Löschung sein? Die Inhalte sind doch unter Reihe (Mathematik) zu finden, und durch den Redirect sind sie auch unter dem Lemma Unendliche Reihe zugänglich. Kannst Du irgendwelche Inhalte benennen, die dabei unter den Tisch gefallen wären? Im übrigen fände ich es nett, wenn Du Dich an Deine eigene Feststellung "wir sind hier doch nicht im Kindergarten" hieltest und die unsinnigen Widerherstellungen des alten Artikelinhaltes (wider jeden Konsens!) einstelltest.--Aesztermann 11:44, 19. Nov 2004 (CET)

Zweifelsohne befinden wir uns bezüglich der Löschung des Artikels "Unendliche Reihe" nicht im Konsens. Insofern werde ich es mir nicht nehmen lassen, den Artikel wieder so einzusetzen, wie er nach langer Konsensfindung erstellt worden ist. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 14:00, 19. Nov 2004 (CET)

Jetzt dreh mir doch bitte das Wort nicht im Munde herum. Wenn Du etwas weiter oben nachliest, ist klar, daß sich die Mehrheit für den Redirect ausgesprochen hat -- mit guten Gründen. Meinetwegen nennen wir das eben nicht Konsens, aber es bleibt die Mehrheit. Du hingegen hast immer noch keine Argumente dagegen vorgebracht (obwohl ich Dich gerade eben explizit darum gebeten habe). Ich kann dann nur annehmen, daß Du keine hast. Das ewige Bestehen auf einer nicht begründeten Minderheitenmeinung ist kindisch und kontraproduktiv. --Aesztermann 17:09, 19. Nov 2004 (CET)

Hallo Aesztermann, bevor du dich hier in eine lange Diskussion mit Gerhard einläßt, kuck dir vielleicht mal zur Information seine sonstigen Diskussionen an, zum Beispiel Diskussion:Tide und Diskussion:Erdrotation. --Skriptor ✉ 17:25, 19. Nov 2004 (CET)

Na, das kann ja heiter werden. Mich ärgert es halt nur, daß manche Leute (hier: Gerhard) sich einfach über die Mehrheitsmeinung hinwegsetzen und so letztlich dem ganzen Projekt schaden. Irgendwie glaube ich dann immer noch an das Gute im Menschen und daran, daß er sich in einer Diskussion letztlich überzeugen läßt. Langsam kommen mir da allerdings auch Zweifel. --Aesztermann 18:04, 19. Nov 2004 (CET)

Hallo, ich möchte mich auch für einen Redirect aussprechen. Ansonsten steht doch einfach in beiden Artikeln dasselbe. Und, sorry für die harten Worte, ich denke, wem die Abstraktionsfähigkeit fehlt, von einer endlichen Reihe auf eine unendliche überzugehen, sollte sich nicht mit Mathematik befassen. Das klingt ja genauso, wie 'Es gibt keinen $\mathbb {R} ^{4}$, weil ich ihn mir nicht vorstellen kann.' Ganz schön amüsant, lächerlich und damit auch traurig diese metaphysische Diskussion, ob es Unendlichkeit überhaupt gibt. Es sollte doch klar sein, daß diese Frage keine mathematische Frage ist, genauso wenig wie die, ob das Auswahlaxiom nun gilt oder nicht. Welche Axiome, Definitionen oder Kalküle man verwendet, läßt sich nicht logisch beantworten. Je nachdem, wofür man sich entscheidet, wird man eine andere Mathematik darauf aufbauen können. Ohne den Begriff der Unendlichkeit, keine Grenzwerte und somit keine Analysis. Viel Spaß, Herr Kemme, sie können dann ja mal eine Mathematik entwickeln, die das nicht verwendet. Ich bin gespannt, ob diese dann der Physik, der Chemie, den Ingenieurwissenschaften etc. ähnlich nützlich ist, oder ob das überhaupt jemanden interessiert. LARS 13:48, 23. Dez 2004 (CET)<

Unendliche Reihe

Siehe auch Diskussion:Unendliche Reihe für einige heiße Dispute. --SirJective 01:33, 18. Okt 2004 (CEST)

---

Die Zusammenführung von "Reihe" und "unendliche Reihe" halte ich für sinnvoll. Vielleicht gleicht noch jemand den Inhalt mit Summe ab. --SirJective 01:33, 18. Okt 2004 (CEST)

Die Artikel wurden zusammengeführt, somit erledigt. Gruß--Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:44, 4. Jan. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:44, 4. Jan. 2013 (CET)

Einleitung

Man kann ja ueber alles reden: einen Revert, wenn ich gerade einen zusaetzlichen Abschnitt eingebracht habe, ist jedoch nicht OK. Zum inhaltlichen: Formeln im ersten Satz sind voellig unnoetig und abschreckend. Voellig exakt ist die aktuelle Einleitung nicht, sie ist jedoch absolut ausreichend, um einen Eindruck zu geben, wovon die Rede ist und das ist der Zweck einer Einleitung. Viele Gruesse --DaTroll 15:33, 6. Jan 2005 (CET)

Ich finde die Definition, die Du gelöscht wesentlich besser und verständlicher. Wenn Du das nicht im ersten Satz haben willst, dann schreib es doch danach. Wer, allerdings, schlägt denn so etwas nach wie "Reihe" und will dann keine Formeln sehen? Mathematik in Prosa machen wollen ist keine gute Idee. LARS 11:52, 8. Jan 2005 (CET)

Formeln stehen doch direkt im nächsten Abschnitt? --DaTroll 15:52, 8. Jan 2005 (CET)

Ich muss Lars da auf jeden Fall recht geben. Deine Überzeugung mag ja ehrenwert sein und in vielen Themenbereichen zutreffen, aber eben hier ist sie fehl am Platze. Wenn du dir den Artikel einmal genauer ansiehst, wirst du feststellen, dass er keine exakte Definition einer (unendlichen) Reihe bereit stellt. Gerade deswegen habe ich deine prosaische Einleitung umgeschrieben. Ich biete dir hiermit einen Kompromiss an - wie auch schon Lars zuvor - deine Einleitung darunter zu setzen, so haben alle etwas davon. mfG @Troll&LARS

Wenn Dir die Definition im ersten Abschnitt nicht passt, dann aendere sie entsprechend. In der Einleitung sollte keine Formel auftauchen. Wenn Du ausserdem nochmal meinen Abschnitt ueber die Funktionenreihen loeschst, werd ich ernsthaft sauer. --DaTroll 15:49, 11. Jan 2005 (CET)

Ich möchte jetzt weder die Kemm'sche Diskussion neuerlich entflammen, noch mich auf dessen Seite schlagen, aber beim ersten Lesen der Definition war meine erster Gedanke: "Na was jetzt nun? "...(unendlich)..." oder endliche "...erste n Glieder..."? Dass sich das "...erste n Glieder..." erst auf etwas in "zweiter Stufe" bezieht wurde mir erst bei genauerer Betrachtung klar. Und dann auch nur über den Umweg über Folge (Mathematik):Angabe als Reihe. Dank sei Wikipedia:Verlinken. Hätte ich das wo isoliert gelesen, hätte ich mir gedacht: "Mathe war noch nie deine Lieblingsdisziplin. Na, jetzt lernst du es auch nicht mehr.", und es ad acta gelegt.

Ich bezweifle ja überhaupt nicht das die momentane Definition die allgemein gültige, allseits anerkannte und bis ins letzte Detail korrekte ist. Tatsache ist aber, dass es einen WP:OMA gibt. D.h. ich denke dass es nur im Sinne der Wikipedia liegen kann wenn man den Nicht-so-ganz-Experten mit einer weniger pragmatisch-kurzen aber simpleren Erklärung etwas entgegenkommt (so eine solche überhaupt formuliert weden kann).

Mir leuchtet auch nicht ein dass tsor im Disk.archiv schreibt: "[...] Ich zitiere aus "Erich Martensen: Analysis I, BI Hochschultaschenbücher 1969, Seite 60". [...] Fussnote: Die ältere Bezwichnung "unendliche Reíhe" statt "Reihe" wird heute meistens vermieden." aber unendlich trotzdem erwähnt ist. Ist das so, weil 1969 nicht mehr heute ist? Aber wenn sie damals schon älter war, muß sie es ja heute noch viel mehr sein, nicht? Oder gab es da zwischenzeitlich einen Sinneswandel?

--Geri Broser 16:31, 7. Dez. 2006 (CET)

Disk. ist veraltet und durch andere "abgelöst"

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:46, 4. Jan. 2013 (CET)

NB

NB: Eine stärkere Eigenschaft als die einfache Konvergenz ist die Absolute Konvergenz. ... was bedeutet denn NB? --Abdull 15:51, 5. Jun 2006 (CEST)

Das soll vermutlich "nebenbei" heißen. Ich habe es ein wenig umformuliert; das Problem, dass sich dieser Absatz mit dem Artikel Konvergenzkriterium überschneidet, beseteht aber trotzdem noch... --NeoUrfahraner 21:17, 5. Jun 2006 (CEST)

NB --Gunther 10:51, 6. Jun 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 22:48, 2. Jan. 2013 (CET)

Berechnungsformeln

Wäre es nicht sinnvoll, Formeln zur Berechnung oder zum Beweis des Grenzwerts einer unendlichen Reihe anzugeben? (nicht signierter Beitrag von Hugoplatzer (Diskussion | Beiträge) 18:05, 29. Jun 2006)

Das Beispiel geometrische Reihe steht schon im Text, ein Link zu Konvergenzkriterium auch. Alles andere würde in eine wenig sinnvolle und hier auch unangemessene Formelsammlung ausarten.--Gunther 18:13, 29. Jun 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 22:49, 2. Jan. 2013 (CET)

Neue Einleitung

Ich habe die neue Einleitung aus folgenden Gründen revertiert: Es wäre mir neu, dass jemand Reihe als Darstellungsform von bestimmten Folgen einführt. Eine Reihe ist die Folge der Partialsummen einer Folge, genauso wird das in jedem Analysisbuch eingeführt. Entsprechend ist dieses Abheben auf den Unterschieden der einen oder anderen "Darstellung" einer Reihe nicht sinnvoll. "Bei unendlichen Reihen hat die Darstellung als unendliche Summe rein symbolischen Charakter und ist vom tatsächlichen Wert der Reihe zu unterscheiden." Hier weiß ich noch nicht mal, was mir das sagen soll. Ich denke die Einleitung kann auf jedenfall besser werden, dazu wäre es glaube ich sinnvoll, sich erstmal zu einigen was die wichtigsten Punkte zu Reihen sind die man hier erwähnen sollte. --P. Birken 14:52, 3. Okt. 2009 (CEST)

Da kann ich nur zustimmen! Die unendliche Reihe, der Grenzwert ihrer Partialsummen und ihr symbolischer bzw. numerischer Wert sind vollkommen gleichwertig. Versuche dies zu leugnen gibt es gelegentlich. Dies sind aber philosophische Streitfragen nach Potentielle und aktuale Unendlichkeit. Mir leuchten aber deren Überlegungen nicht ein, und sehe da auch kein Problem. Auch entstehen dadurch keine Wiedersprüche auf dem Gebiet der Reihen. --Skraemer 15:34, 3. Okt. 2009 (CEST)

@Markus Prokott. Deine (neue) Einleitung wurde bereits mehrmals von Mathematikern revertiert. Nochmal die Begründung:

• Eine Reihe wird nicht als besondere Darstellung einer Folge von Teilsummen eingeführt. Das würde ein falsches Licht auf das Wesen von Reihen werfen. Das Wesen liegt vielmehr bei einer endlichen bzw. unendlichen Summation und deren Summe bzw. Wert.
• Deine Ausführungen zum Summenterm bleiben unklar. Was soll mit Summenterm bei der harmonischen Reihe $H_{n}:=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{n}}$ gemeint sein?
• Es gibt keinen Unterschied zwischen der unendlichen Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ und ihrem Wert ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$. Nur die formale Darstellung dieser reellen Zahl ist unterschiedlich, sowie auch bei der natürlichen Zahl ${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {3-2{\sqrt {2}}}}=2$ und bei den Termen $(a+b)^{2}$ und $a^{2}+2ab+b^{2}$

--Skraemer 19:00, 5. Okt. 2009 (CEST)

Ich dachte, das hätte ich geschrieben, dass eben die Reihe und der Grenzwert der Partialsummenfolge gleichwertig sind und das es eben nur andere Darstellungen ein und derselben Sache sind. Und auch in meiner Einleitung wird die Reihe letztlich als Partialsummenfolge eingeführt, wie in jedem Analysisbuch. Allerdings soll die Einleitung ausdrücklich nicht einem Text aus einem Analysisbuch entsprechen (das für ein Fachpublikum ist), sondern allgemeinverständlich sein. In der Einleitung wird kein Begriff eingeführt, wie in einem Mathefachbuch, wo ein Begriff mit einer bestimmten Referenzdefinition eingeführt wird und anschließend via verschiedener Sätze alternative Sichtweisen hinzugefügt werden. Die Einleitung soll ein allgemeine, informelle, beschreibende Übersicht über den Begriff geben. Das Exakte kommte dann in einen Abschnitt Definition. So habe ich es ja auch schon P. Birken vorgeschlagen auf meiner Disku. Es ist P. Birken auch überhaupt nicht neu, „dass jemand Reihe als Darstellungsform von bestimmten Folgen einführt“; in dem Sinne von Einführen, wie ich es für diesen Fall gerade beschrieben habe. Eben das habe ich ihm gerade noch auf meiner Disku mit Zitaten aus dem Heuser (wie hier unten auch nochmals aufgeführt) belegt. Aber er vergisst wohl sehr schnell.

@ Skraemer: Der Unterschied zwischen deiner Zahl und der zugehörigen Reihe ist auch klar: Die Zahl hat kein Konvergenzverhalten, sie ist einfach ein Element einer gewissen Menge. Und du sagst ja auch selbst, dass es eben unterschiedliche Darstellungen sind – meine Rede. Den Wert der (unendlichen) Reihe gibt es auch von Natur aus erstmal gar nicht. Er wird überhaupt erst über den Grenzwert künstlich definiert. Die Reihe kommt bekanntermaßen beliebige nahe an den Grenzwert ran, erreicht ihn aber nie, außer wenn fast alle Glieder Null sind.

Der Summenterm ist eben der gesamte Term auf der rechten Seite in deinem Beispiel, eben der Summenterm der Reihe, denn die Reihe ist ja als Ganzes ein Summenterm. Dabei ist es egal, ob mit großem Summensymbol, oder wie bei dir ausgeschrieben. Aber wenn das nicht verstanden wird, lassen wir's eben weg.

Bevor du meine Einleitung revertiert hast, wurde sie im Übrigen genau einmal von genau einem Mathematiker revertiert. Dieses „mehrmals“ von dir suggeriert irgendwie eine größere Anzahl, jedenfalls größer als Zwei. Dass ich hier so ungehorsam diese Diskussion übergangen habe, lag daran, dass ich mit P. Birken schon die ganze Zeit auf meiner Benutzerseite diskutiere. Habe beim Lesen seiner Revert-Zusammenfassung spontan auf jene Diskussion abgestellt und bin dann auch nur auf die dort und in der Zusammenfassung genannten Kritikpunkte eingegangen.

Dass symbolischer und inhaltlischer Wert der Reihen mal zu trennen sind, mal nicht – je nach Fragestellung – ist überhaupt nix Philosophisches, sondern reiner Pragmatismus. Ich muss nunmal unterscheiden können, ob ich meine, dass zwei Folgen wertegleich sind oder auch identische Glieder haben. Dafür gibt's dann halt auch die speziellen Notationen. Das braucht man schlichtweg im mathematischen Alltag. Damit zwei Reihen werte-ver-gleichbar sind, müssen sie aber überhaupt wertemäßig bestimmt sein, also konvergieren oder bestimmt divergieren. Bei einem gliedweisen Vergleich (und das war mit symbolisch gemeint, vielleicht habe ich da den falschen Ausdruck gewählt) ist das Konvergenzverhalten unerheblich. Das zeigt doch schon wie unterschiedlich diese Ebenen sind. Wenn man auf die definierende Partialsummenfolge abstellt, wird es noch deutlicher:

$\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ und $\left({\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

sind völlig unterschiedliche (in jedem Glied ungleiche) Folgen, die sich nur in ihrem Grenzwert gleichen. Und wenn du da ein Gleichheitszeichen dazwischen machst, dann ist das eben der Widerspruch, von dem du oben behauptest, er entstünde nicht.

Das mit der Symbolik habe ich ja auch in Anlehnung an den Inhalt dieses Artikels vor meinem größeren Edit übernommen. Habe es nur versucht, klarer zu machen. Wobei ich es nicht löschen wollte, da es offenbar mit meinen Quellen übereinstimmte. Habe es nämlich dann auch so im Heuser gefunden. Im Übrigen kopiere ich einfach mal die Zitate aus dem Heuser hierher, die ich schon auf meiner Benutzerseite aufgeführt habe. Und zwar Harro Heuser, „Lehrbuch der Analysis“, Teil 1, 15., durchgesehene Auflage Februar 2003, © B. G. Teubner GmbH, Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden, 2003, ISBN 3-519-62233-5:

• „Die unendliche Reihe – oder auch kurz die Reihe – […] bedeutet eine Folge, nämlich die Folge der Teilsummen […]. Keinesfalls ist (sie) als eine ‚Summe von unendlich vielen Summanden‘ aufzufassen – ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet.“
  – Nr. 30 nach den ersten Absätzen bzw. S. 187 unten – im Folgenden Text ab hier werden die Worte Summe, Summation, Summationsindex etc., wenn sie sich auf unendliche Reihen beziehen, stets nur in Gänsefüßchen gesetzt verwendet.
• „Eine Reihe ist, um es noch einmal zu sagen, nichts anderes als eine neue Schreibweise für eine wohldefinierte Folge (nämlich die Folge der Teilsummen).“
  – Nr. 30 ein paar Absätze weiter bzw. S. 188 mittig
• „Durch diese Definition (der Konvergenz und des Wertes der Reihe) hat das Symbol <Reihensymbol> eine zweite Bedeutung erhalten: Es bezeichnet nicht nur die Folge der Teilsummen […], sondern auch deren Grenzwert – falls er überhaupt existiert.“
  – Nr. 31 nach der Definition bzw. S. 190 oben
• „Daß man den Wert einer konvergenten Reihe auch deren Summe nennt, ist von alters her üblich, darf aber keinesfalls dazu verleiten, eine unendliche Reihe als eine ‚Summe von unendlich vielen Summanden‘ aufzufassen. Die Summe einer konvergenten Reihe ist vielmehr der Grenzwert einer Folge ‚endlicher‘ Summen (der Teilsummen).“
  – Zwei Absätze weiter

Selbst wenn es hier eine Kontroverse in der Fachwelt gäbe (was ich bezweifle), gehören dann halt die verschiedenen Standpunkte dieser Kontroverse hier dargestellt. Das ist ja hier kein Mathebuch, wo man sich durchgängig für die eine Sache entscheiden muss, damit die Beweise nachher einheitlich sind, sondern ein Enzyklopädie, wo eben eine neutrale Darstellung gemacht werden soll.

Aber über das „falsche Licht“ lasse ich mich gerne belehren. Wenn eine andere Akzentuierung mehr beliebt, dann bitte. Aber was da bisher stand war eine typische kryptische Einleitung nach Fach-Lexikon- oder Formelsammlungsmanier, wie sie bei Matheartikeln hier so häufig ist, aber für die WP-Allgemeinheit nicht taugt. Das sollte schnellstens geändert werden. Selbst wenn meine Einleitung das Licht etwas falsch gesetzt hätte, dann hätte das den Begriff immer noch erheblich mehr erhellt als die bisherige Einleitung (die kaum diesen Namen verdient hat). Eine WP-Einleitung ist nunmal kein Definitionsbereich! Zitat zur Einleitung: „Der erste Satz ordnet den Gegenstand des Artikels (das ‚Lemma‘) möglichst präzise in seinen sachlichen Kontext ein. […] Unmittelbar darauf sollte eine kurze Einleitung mit einer Zusammenfassung der wichtigsten Aspekte des Artikelinhalts folgen. Die Einleitung sollte dem Leser einen kurzen Überblick über das Thema ermöglichen und für sich genommen bereits das Lemma ausreichend erklären.“ – Du darfst jetzt entscheiden, ob die alte oder meine Einleitung an diesen Anforderungen näher dran ist; und von welcher ausgehend man verbessern und ausbauen sollte, und welche man eher revertieren sollte. Ich weiß jedenfalls, für welche ich mich da entscheiden würde.

Gruß —Markus Prokott 20:56, 5. Okt. 2009 (CEST)

P.S.: Habe gerade gesehen, in Diskussion:Unendliche_Reihe/Archiv werden etwa ab Absatz 20 ganz verschiedene Definitionen für Reihe aus externen Quellen zitiert. Sehr griffig etwa der Satz: „Mathematischer Begriff; eine Reihe entsteht aus einer Folge durch Summierung der Glieder.“ Interessant auch im übernächsten Beitrag: „Eine Reihe ist also eine Folge von besonderer Gestalt: Sie entsteht aus einer gegebenen Folge durch Summation ihrer Glieder.“ Und zur formalen Symbolik einige Absätze weiter (Beitrag von SirJective, nach Beitrag von Rivi): „Einen formalen Ausdruck der Gestalt u_1 + u_2 + ... nennt man (unendliche) Reihe.“ Es gibt offenbar viele Aspekte einer Reihe, die alle nebeneinander ihre Berechtigung haben. Sie sollten alle angemessen gewichtet dargestellt werden. Ich schlage dafür aber nicht die Einleitung vor. Dort sollte es informeller zugehen und nicht so viel Verwirrung gestiftet werden. Ich schlage das Vorgehen vor, wie ich es auch schon P. Birken auf meiner Disku vorgeschlagen habe (siehe meine zweite Antwort, Absatz 6, „Mein Vorschlag wäre, …“).

—Markus Prokott 21:34, 5. Okt. 2009 (CEST)

Hmm, kommt jetzt keine Antwort mehr? Werde noch ein paar Tage warten, ob hier was kommt, und mich dann noch mal an einer Einleitung versuchen. Werde dabei vielleicht das mit der Symbolik ganz aus der Einleitung raus lassen; muss ich aber dann sehen. Und werde auch versuchen, die richtige „Beleuchtung“ hinzukriegen.

—Markus Prokott 11:03, 8. Okt. 2009 (CEST)

Einleitung ist inzwischen komplett umgebaut. disk. veraltet und erl.gruß --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:51, 4. Jan. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:51, 4. Jan. 2013 (CET)

Assoziativität (Klammerung) egal?

Hallo Freunde der Mathematik, ich habe gelernt, die Assoziativität bei Reihen sei nicht gegeben. Ein sehr einfaches Beispiel soll dies veranschaulichen: $a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=1-1+1-1+\cdots$. Versucht man den Grenzwert zu bestimmen könnte man auf die Idee kommen $a_{n}=(1-1)+(1-1)+\cdots =0+0+\cdots =0$, was natürlich nicht gilt, denn der Wert "springt" zwischen 0 und 1. Daraus sollte man den Schluss ziehen dürfen, dass keine Assoziativität gilt. So weit ich es gelernt habe gilt sie dann und nur dann, wenn die Reihe absolut konvergent ist. --A. Ludwig 15:14, 15. Jul. 2010 (CEST)

Ich verstehe nicht, was du meinst. Sei $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ eine Reihe.

• Wenn die Reihe konvergiert (nicht notwendigerweise absolut), dann kann man beliebig Klammern hinzufügen, und sie konvergiert immer noch, und zwar gegen denselben Grenzwert. Hierbei benötigt man keine absolute Konvergenz; es folgt einfach aus der Tatsache, dass jede Teilfolge einer konvergenten Folge (nämlich der Folge der Partialsummen) wieder konvergiert, und zwar gegen denselben Grenzwert.
• Wenn die Reihe nicht konvergiert, kann durch Beklammerung alles Mögliche passieren: Divergenz, aber auch Konvergenz gegen unterschiedliche Grenzwerte, nämlich in deinem Beispiel 1 + (-1+1) + (-1+1) + ... konvergiert gegen 1; (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... konvergiert gegen 0, (1-1+1) + (-1+1-1) + (1-1+1) + ... divergiert. --Tolentino 18:48, 15. Jul. 2010 (CEST)

Richtig, falls die Reihe konvergiert. Im Text heißt es aber (2012-01-31, 10:15): "Klammerung (Assoziativität) [Bearbeiten] Man kann innerhalb einer Reihe die Glieder beliebig durch Klammern zusammenfassen." Hier muss man also das Wort "konvergenten" hinzufügen, sonst ist es falsch. (ohne Benutzername signierter Beitrag von 95.113.197.239 (Diskussion) )

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:54, 4. Jan. 2013 (CET)

Definition?

Ein Abschnitt Definition wäre nett. Falls vorhanden zumindest so formatieren, dass es erkenntlich wird. 87.164.223.88 11:26, 5. Sep. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 00:25, 3. Jan. 2013 (CET)

Konvergenzkriterien

Das Kriterium von Raabe fehlt noch. Man könnte einen Link dorthin anbringen. --Erdimax 02:58, 28. Feb 2007 (CEST)

Es wäre vielleicht nicht schlecht bei den Vergleichskriterien(Majoranten bzw Minorantenriterium) Beispiele mit an zu führen. Die harmonische Reihe ist ja gut geeignet für das Minorantenkriterium. --Submarine 22:21, 29. Mai 2007 (CEST)

Die Kriterien haben allesamt eigene Artikel. --P. Birken 23:28, 29. Mai 2007 (CEST)

Ich finde das Leibnizkriterium nicht eindeutig genug beschrieben. Eine alternierende Reihe konvergiert doch wenn die Beträge der Summanden eine monotone Nullfolge bilden und das ist doch das wichtige an diesem Kriterium. --Submarine 22:34, 29. Mai 2007 (CEST)

Hier wird a_n nicht negativ vorausgesetzt. --P. Birken 23:28, 29. Mai 2007 (CEST)

Quotienten- und Wurzelkriterium sind in ihrer jetzigen Form leider falsch. In beiden Fällen wird mit einer ominösen Konstante C < 1 angefangen. Wo kommt C her...? Beim Quotientenkriterium dürfte somit C = 0 gelten. Ist aber nicht. Werde das nachreichen bei Gelegenheit ;)

Die Kriterien sind genau so richtig. Das C hängt natürlich von der konkreten Folge ab und ist bei manchen Folgen eben auch größer als 1. --P. Birken 18:27, 14. Sep. 2008 (CEST)

Mea culpa. Aber da sieht man mal, wie irritierend die Sache geschrieben ist :P Ich würde jedenfalls den Umstand etwas mehr hervorheben, dass der Quotient zwischen 0 und 1 liegen muss.

Aber muss da nicht noch der lim n-->unendlich stehn? Ansonsten würde das Quotientenkriterium ja die Konvergenz der harmonischen Reihe zeigen! (nicht signierter Beitrag von 132.187.5.159 (Diskussion) 19:17, 8. Feb. 2014 (CET))

Nein, das würde C < 1 und "für alle n > N" widersprechen. Es ist korrekt wie angegeben.--LutzL (Diskussion) 19:51, 8. Feb. 2014 (CET)

rechne es doch mal nach, a_n+1 ist bei der harmonischen reihe definitiv immer kleiner (der nenner immer größer!) als a_n. somit ist der quotient der hier als C definiert wird laut dieser definition für ALLE n kleiner 1, außer für n=unendlich, unendlich ist aber ja nicht teil der natürlichen zahlen. somit würde die harmonische Reihe konvergieren! oder hab ich was falsch verstanden? wenn, dann finde ich den denkfehler nicht und bitte um hilfe. ansonsten wäre ein solcher fehler schnellstens zu korrigieren! Im Buch Analysis 1 Königsberger steht es übrigens auch mit dem grenzwert drin, wie ich grad gesehn hab.

ok, Denkfehler gefunden, entschuldige mich :) Aber vielleicht könnte man den Grenzwert als weitere Form des Qotientenkriteriums hinzufügen? Viele Probleme sind damit leichter zu lösen! (nicht signierter Beitrag von 79.238.191.94 (Diskussion) 08:50, 9. Feb. 2014 (CET))

Das hier ist eine Übersicht, es ist ausreichend, dass die Grenzwertversion im Hauptartikel zum Quotientenkriterium steht.--LutzL (Diskussion) 11:03, 9. Feb. 2014 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. mfb (Diskussion) 20:06, 8. Feb. 2014 (CET)

Inversion der aktuellen Einleitung?

Hallo, mir als Maschinenbaustudent, der ich HöMa nur als Teilgebiet studiere und mich demnach noch als Laie in komplexeren Fragen der Mathematik betrachte, erscheint die Einleitung verwirrend.

Zitat:

"...eine (...) Reihe eine Folge, (...)"

Was nun? ist eine Reihe eine Folge?, denke ich mir, wenn ich sowas lese, da ich nach dem Komma erst mal gedanklich einen Abschnitt mache. Dann bräuchte man den Begriff gar nicht erst einzuführen, denke ich mir dann und stehe kurz davor (als Laie) zu resignieren. Um solcher Verwirrung vorzubeugen, schlage ich vor, den Satz umzustrukturieren, um dem Rest etwas mehr Gewicht zu verleihen und ihn herauszuheben, weil nur der Nebensatz den Unterschied der Reihe zur Folge klar macht. Ich schage etwa sowas hier vor:

"In der Mathematik ist das n-te Element einer (unendlichen) Reihe die Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge. Folglich handelt es sich bei einer Reihe um eine neue Folge, deren besondere Eigenschaft es ist, dass ihre Elemente durch eine ihr zugrunde liegende Folge definiert werden. Unendliche Reihen sind ein grundlegendes Instrument der Analysis."

Was meint ihr? -- Jet.Bradley 10:13, 2. Aug. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. mfb (Diskussion) 20:06, 8. Feb. 2014 (CET)