Diskussion:Relation (Mathematik)

Euklidizität

fehlt noch bei den Relationseigenschaften, oder hab ichs übersehen und die ist schon unter anderem Namen dabei? Euklidisch: Wenn für alle a, b, c: aRb und aRc -> bRc

Quelle (u.a.) : http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/ (euclidean)

> Ich denke du hast es übersehen, vergleiche es mal mit "drittengleich oder linkskomparativ".

Inverse Relation

Wüsste gerne mehr darüber.

die relation im allgemeinen ist ja wohl eine n-stellige, d.h. das kartesische produkt von n mengen, mh? n kann dabei auch gleich 1 werden. siehe die englische seite. hier werden bisher nur die binaeren rel. behandelt. ausserdem erscheint mir der schriftzug A=B etwas freizuegig herumkopiert worden zu sein kakau 20:57, 5. Mär 2003 (CET)

Die einstelligen Relarionen sind die Teilmengen von $A^{1}=A$, die Beschränkungen ideser sind die Schnittmengen mit anderen Teilmengen von $A$. Da ist nichts weiter. Die nullselligen Relationen sind die Teilmengen von $A^{0}=\{\emptyset \}$, also $\emptyset$ und $\{\emptyset \}$ (A° muss genau ein Element enthalten wegen x°=1. Informell: Da A° für alle A gleich sein muss, kommt als Element nur die Leermenge infrage, die gibt es auch in ZF ohne Urelemente, und nur die ist 'basal' genug). Die höherstelligen Relationen sind schon erwähnt, einen Hinweis auf die Permutationen (insbes. Spiegelung) der Koordinaten der Relations-n-Tupel (Verallgemeinerung der Konversion = Umkehrung), habe ich angefügt. Anwendung siehe Mathematische Struktur, hier: relationale (statt algebraische). --Ernsts (Diskussion) 18:04, 27. Jan. 2018 (CET)

Begriffe, Eigenschaften

Können wir uns endlich mal einigen, was die Begriffe bedeuten?

Die Eigenschaft

∀ a,b ∈ A: a R b ∨ b R a

heißt also total. Nennt man das außerdem linear?

Nebenbei besagt diese Aussage genau "Je zwei Elemente stehen in Relation" und nicht "Mindestens 1 Paar steht in Relation". (Werd das zurückändern.)

Die Eigenschaft

∀ a,b: entweder a R b oder b R a

heißt also alternativ. Nennt man das außerdem linear?

Kku setzt "alternativ" = "linear", 141.76.119.52 setzt "total" = "linear". Was ist nun gebräuchlich? Beides? --SirJective 21:06, 9. Dez 2003 (CET)

In diesem Zusammenhang ist mir der Begriff "trichotomisch" bekannt:

$\forall a,b\in A:aRb\lor bRa\lor a=b$

Auf diese Weise könnten wir eine strenge Totalordnung durch die Eigenschaften transitiv, irreflexiv und trichotomisch beschreiben. --Sledge 16:37, 24. Jul 2004 (CEST)

Hallo Sledge, die Trichotomie-Eigenschaft würde ich mit einem exklusiven Oder versehen. In Kombination mit trans. und irref. müsste die Exklusivität aber folgen, oder? --SirJective 10:33, 25. Jul 2004 (CEST)

Genau, zusammen mit der Irreflexivität und Transitivität folgt die Exklusivität der drei Bedingungen. Daher bin ich mir auch nicht so sicher, ob man die Eigenschaft so stark formulieren sollte, dass hier eine Redundanz entsteht. Andererseits sollte die Eigenschaft auch zu dem Begriff "trichotomisch" passen. Leider kenne ich dessen Herkunft nicht so genau. Die Bedeutung ist wohl "dreigliedrig", was eine Exklusivität möglicherweise nahelegt. Ich versuche nochmal nachzuforschen, ob ich die Eigenschaft hier korrekt wiedergegeben habe. --Sledge 11:41, 25. Jul 2004 (CEST)

Die Formulierung ist in Kombination mit den anderen beiden Bedingungen nicht so stark nötig, aber den Namen "Trichotomie" würd ich schon der starken Bedingung (mit exklusivem Oder) geben. Siehe auch Trichotomie. ;-) Dieser (im März von mir erstellte) Artikel ist natürlich nicht verbindlich, es wäre also wünschenswert, eine Literaturquelle zu haben. --SirJective 14:31, 25. Jul 2004 (CEST)

Hmm *räusper*, ich habe den Begriff natürlich in Wikipedia gesucht, aber lass' uns bitte nicht näher darauf eingehen, warum ich ihn nicht gefunden habe... %-)

Leider konnte ich die Quelle nicht mehr ausfindig machen, in dem ich den Begriff mal aufgeschnappt habe, nach eingehender Überlegung bin ich aber der Meinung, dass man die Exklusivität fordern sollte. --Sledge 21:00, 25. Jul 2004 (CEST)

"binäre" zweistellige Relation

Im letzten Absatz der Einleitung findet sich folgende Formulierung: »[...] eine "zweistellige" oder "binäre" Relation, also eine Beziehung zwischen je zwei Dingen.« Das "je" ist meiner Ansicht nach überflüssig und wirkt etwas verwirrend -- es bezieht sich ja nicht auf zwei Dinge die mit zwei anderen in Relation stehen, sondern je Relation stehen zwei Dinge in Bezug. Es könnte also genauer heißen »[...], also eine Beziehung zwischen je zwei Dingen pro Relation«  Dann könnten wir das je aber auch weglassen, oder irre hier bzw. sieht das jemand ähnlich? (Lo)

@Weialawaga: Bisher meinte das "binär" bei der Relation "zweistellig", "ternär" wäre "dreistellig" usw. Du hast dem eine neue Bedeutung gegeben, die ich erstmal hinterfragen muss. Du scheinst mit "binär" zu meinen, dass es für Elemente a und b nur die Möglichkeiten "a R b" und "nicht a R b" gibt. Kannst du mir bitte ein Beispiel einer "nicht binären" zweistelligen Relation in der Mathematik nennen? --SirJective 16:15, 21. Mär 2004 (CET)

Sir, Sie haben recht. Ich hatte den vorgefundenen Text falsch interpretiert. Habe nun sowohl meine Einleitung umgeschrieben, als auch im weiteren Verlauf die mindestens missverständliche Doppelung "zweistellig binär" eliminiert. -- Weialawaga 00:25, 22. Mär 2004 (CET)

Ich finde, diese Einleitung ist dir sehr gut gelungen! --SirJective 20:31, 22. Mär 2004 (CET)

eigener Artikel "binäre Relation"

Die englische Wikipedia hat eine Seite über Relationen im Allgemeinen (k-stellige) und eine spezielle Seite für binäre Relationen, da diese in Mathematik und vielen angewandten Wissenschaften aufgrund der dort möglichen Operatoren besonders bedeutend sind. Ich halte diese Trennung für sinnvoll, da man meistens in Anwendungen eher den allgemeinen Fall oder speziell den binären Fall betrachtet. Das meiste, was in diesem Artikel gesagt wurde, vor allem die Eigenschaften, beziehen sich ohnehin auf zweistellige Eigenschaften.

Außerdem vermisse ich leider die Erwähnung von Operatoren wie Komposition, Konverser Relation: R^{-1} oder R^\smile =\{(x,y)| (y,x) \in R\}, join,... Für die meisten Operatoren genügt eine kurze Erwähnung und ein Link auf die entsprechende Seite, z. B. relationale Algebra, die dann auch auf der Seite "binäre Relationen" Eingang finden sollten.(Alex, emailalex@web.de, 21.1.06)

Inzwischen ist ja einge Zeit vergangen, und was Deine Feststellung

"Außerdem vermisse ich leider die Erwähnung von Operatoren wie Komposition, Konverser Relation: $R^{-1}$ oder :$R^{\smile }=\{(x,y)|(y,x)\in R\}$, join,... "

betrifft, hat sich einiges getan (das mit den Fasern in Analogie zu den Funktionen fehlt noch, suche noch nach Literatur, siehe auch die "difunctional (or regular) relation" und "joint kernel" aus en:Binary relation). Um so mehr (Umfang!) ist Dein Vorschlag, Teile auszugliedern, berechtigt. Nur fragt es sich, sollte man besser :

• die binären Relationen (homogen oder nicht) oder:
• die homogenen Relationen (binär oder nicht) oder
• nur die binären homogenen Relationen

ausgliedern. Wenn ich mir die englische WP ansehe, muss ich leider feststellen, dass die n-stelligen homogenen Relationen völlig unter den Tisch gefallen sind. Bitte um Vorschläge zu den genannten Optionen oder auch andere Ideen :-) --Ernsts (Diskussion) 17:25, 4. Feb. 2018 (CET); Update Ernsts (Diskussion) 20:32, 4. Feb. 2018 (CET)

Schreibweise "a R b" vs. "(a,b) in R"

Ich bin mit der Änderung von 80.133.125.117 nicht einverstanden.

Zwar wird eine Relation in diesem Artikel als Menge von Tupeln definiert, so dass formal die Schreibung "(a,b) in R" zu verwenden ist, üblicherweise werden Relationen jedoch mit Relationszeichen statt Buchstaben bezeichnet, und in Infix-Notation benutzt: Man schreibt meist "a < b" und nicht "(a,b) in <" für eine Ordnung, und "a ~ b" statt "(a,b) in ~" für Äquivalenzrelationen.

Wenn ich also eine Relation ausnahmsweise R nenne, dann schreibe ich trotzdem "a R b" statt "(a,b) in R", um auszudrücken: "a steht in Relation R zu b".

Welche Meinungen habt ihr dazu? --SirJective 18:16, 3. Jul 2004 (CEST)

korrekt ist beides, lesbarer ist a R b. -- Weialawaga 19:36, 3. Jul 2004 (CEST)

Ich bin neulich über diese Notation gestolpert (aRb) und sie scheint die gebräuchliche in der Literatur zu sein (als Beispiel der Bronstein). Trotz allem ist sie nichts anders als fürchterlich: R ist ja zunächst eine Menge. aRb dann als Relation zu definieren ist völlig unintuitiv. Viel besser wäre: $a~_{R}b$. Allerdings sind wir nicht hier, um neue Notationen zu kreieren, insofern... --DaTroll 00:04, 5. Jul 2004 (CEST)

Mir sind alle drei Schreibweisen geläufig: a R b und (a,b) \in R und R(a,b), und zwar oft je nachdem, of man mehr an eine bestimmte Art von Relation denkt a R b wird vor allem für transitive Relationen verwendet und für solche, die miteinander assoziativ komponiert werden sollen. (a,b) \in R wird verwendet, wenn der Mengencharakter wichtig ist, und R(a,b) wenn der funktionale Charakter verwendet werden soll, oder in der math. Logik. In meinem Arbeitsgebiet ist die Notation a R b am gebräuchlichsten, da R meist für Verallgemeinerungen von < und = steht. Vielleicht könnte man auf diese Unterschiede hinweisen. (Alex, emailalex@web.de, 21.1.06)

Verallgemeinerungen von < und <= schreibt man einfach < und <= und erwähnt irgendwo, daß man nicht unbedingt die übliche Kleiner-Relation meint.--131.159.0.47 16:12, 2. Jun. 2014 (CEST)

Persönlich würde ich für die Verallgemeinerungen $\prec$ und $\preceq$ gegenüber $<$ und $\leq$ bevorzugen, ebenso wie $\sqcap$ und $\sqcup$ gegenüber $\land /\cap$ und $\lor /\cup$ bei der Booleschen Algebra - weil man diese (fast überall) gleich verwenden kann. Was $aRb$ und $(a,b)\in R$ so ist mir das egal ('Haarspalterei'), solange man genau, und zwar ganz genau weiß, was gemeint ist. Und das ist hier der Fall, selbst so Serifen wie $a\equiv b\operatorname {mod} c$ kann ich noch 'automatisch' als $(a,b)\in \operatorname {mod} _{c}$ lesen. ${\mathcal {R}}(a,b)$ verstehe ich dagegen eher als zweistelliges Prädikat, d. h. als Erweiterung des einstelligen $M=\{a\mid {\mathcal {E}}(a)\}$ zu eiem $R=\{(a,b)\mid {\mathcal {R}}(a,b)\}$, natürlich ist mit einer Wahrheitsfunktion $\mathbf {R} (a,b)\in \{true,false\}$ die logische Äquivalenz $\mathbf {R} (a,b)\Leftrightarrow {\mathcal {R}}(a,b)$ verbunden, aber die Prädikate werden imho als Abkürzungen für Ausdrücke, die a bzw. a und b enthalten verstanden, die Wahrheitsfuntion ist aber eine Abbildung A×B -> {true,false}. --Ernsts (Diskussion) 19:49, 4. Feb. 2018 (CET)

intransitiv

Tja, Verneinung war schon immer ein schwieriges Thema. Trotzdem bin ich mir ziemlich sicher, dass die Definition von intransitiv so wie sie aktuell angegeben ist, falsch ist. Zumindest, wenn "intransitiv" das gleiche wie "nicht transitiv" bedeuten soll. Mit ein wenig Unterstützung von de Morgan und Formeln über Quantoren und Implikation komme ich zumindest zu dem Schluß, dass

$\neg (\forall {a,b,c}\in A:(a,b)\in R\land (b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R)$

äquivalent ist zu

$\exists {a,b,c}\in A:(a,b)\in R\land (b,c)\in R\land (a,c)\not \in R)$

Obwohl in der Formel mehr als zwei Variablen vorkommen, bin ich mir sicher genug, um die entsprechende Formel im Artikel mal zu korrigieren - zumindest, bis mich jemand Lügen straft. --Sledge 00:21, 25. Sep 2004 (CEST)

Du hast völlig recht mit der Formeländerung. --SirJective 00:50, 25. Sep 2004 (CEST)

linkseindeutig oder rechtseindeutig?

Im Artikel steht: "Man könnte also auch R(a,b) für den Ausdruck der Relation schreiben. Umgekehrt kann man aber auch eine Funktion als eine spezielle (nämlich als eine linkstotale und rechtseindeutige) Relation auffassen (siehe unten)."

An allen anderen Stellen (auch beim Artikel Funktion) steht, dass eine Funktion eine linkseindeutige Relation sei. Danke fuer die Aufklaerung! --Stefan, 27. Okt 04, 19:30

Verstehe. Die Frage ist also, ob die Eigenschaft

"Kein El. aus A hat mehr als einen Partner in B"

(gleichbedeutend mit)

"Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird nur ein y-Wert zugeordnet."

als "linkseindeutig" oder als "rechtseindeutig" zu bezeichnen ist. In meinen Mathematik-Vorlesungen wurde diese Eigenschaft gar nicht separat benannt, ich kenne diese Begriffe Links/Rechts-Totalität und Links/Rechts-Eindeutigkeit nur von befreundeten Informatikstudenten, die es selbst nicht verstanden hatten.

Das Englische scheint hier auch keine Hilfe zu sein, da ich diese Eigenschaft dort als "functional" finde, und die umgedrehte Eigenschaft als "injective", ebenso wie dort "total" und "surjective" ein Eigenschaftspaar bilden, das im Deutschen als links- bzw. rechtstotal bezeichnet wird.

Es müsste also bitte jemand ein geeignetes Lehrbuch zitieren. --SirJective 14:36, 28. Okt 2004 (CEST)

Also ein Lehrbuch habe ich im Moment nicht zur Hand, dafür bin ich mir aber sehr sicher, dass eine Funktion linkstotal und rechtseindeutig ist - sicher genug, um den Aktikel Funktion entsprechend zu korrigieren. Zu linkstotal und rechtseindeutig sagt man auch vordefiniert und nacheindeutig, weil sich nämlich die Vollständigkeit auf der linken Seite - dem Vorbereich der Relation abspielt und die Eindeutigkeit auf der rechten Seite - dem Nachbereich. --Sledge 22:15, 28. Okt 2004 (CEST)

Rechts-/Linkstotal

sind eigentlich keine Eigenschaften von Relationen selbst, sondern von Relationen zusammen mit Mengen A und B. Die Relation selbst weiss ja nichts von A und B. (Vgl. aktuelle Änderungen an Funktion (Mathematik).--Gunther 23:21, 13. Mär 2005 (CET)

Das ist richtig, trifft aber auf jede "Relationseigenschaft" zu, welche die Mengen A und B benutzt (also jede der beschriebenen Eigenschaften). Präziser müssten die Eigenschaften wie folgt beschrieben werden: "Eine Relation R heißt ... auf A x B gdw. ...". Meist ist aus dem Kontext aber klar, welche Mengen A und B gemeint sind, so daß die vorgenommene Abkürzung sehr verbreitet, und meiner Meinung nach auch zulässig, ist. --Sledge 01:29, 14. Mär 2005 (CET)

Allerdings gibt es von dieser Sorte Eigenschaften außer den Totalitäten im Artikel nur noch die Eigenschaft "alternativ", von der ich noch nie etwas gehört habe. Auch "trichotomisch" finde ich ein wenig ausgefallen.--Gunther 01:46, 14. Mär 2005 (CET)

Mir ist noch die Benutzung von "serial" im Englischen für linkstotal untergekommen. Kennt jemand anders diese Bezeichungsweise? Ansonsten kenne ich Andererseits: "Whitehcid and Russell apply the term serial relation to relations which are transitive, irreflexive, and connected (and, in consequence, also asymmetric). However, the use of serial relations in this sense, instead ordering relations as just defined, is awkward in connection with the notion of order for unit classes." (http://www.ditext.com/runes/o.html, siehe "order") (Alex, emailalex@web.de, 21.1.06)

Fuzzy Logic?

Mir fehlt hier die Verknüpfung zur Fuzzy-Logic und dem Begriff der "unscharfen Relation". Wie könnte man das geschickt einbauen? Der Fuzzy-Logic-Artikel ist leider nicht gut ausgearbeitet...

Korrespondenz

Man sollte vielleicht noch spezielle Namen erwähnen: Korrespondenz K zwischen Mengen A, B als:

$K\subseteq A\times B$

und Abbildungen als eindeutige Korrespondenzen K mit der zusätzlichen Eigenschaft:

$\forall a\in A\ \exists !\,b\in B:(a,b)\in K$

In diesem Zusammenhang könnte man eine linkstotale Relation als Korrespondenz und wenn zusätzlich rechtseindeutig als Funktion definieren. --

Leider benutzen verschiedene Autoren den Begriff 'Korrespondenz' in unterschiedlicher Weise. So wie Du inh benutzt, ist er mit dem hier definierten Begriff 'Relation' identisch (jedenfalls in der 'einfachen' Definition, die eine Relation mit ihrem Graphen identifiziert). Der Begriff 'Korrespondenz' wird in der de WP, Mathematik, eher im Zus'hang mit Funktion (Mathematik)#Partielle Funktionen (=linkstotale Relationen) gebraucht, und zwar für die Funktion(!) $\kappa _{R}:a\mapsto \{b\in B|(a,b)\in R\}$--Ernsts (Diskussion) 18:57, 27. Jan. 2018 (CET)

Surjektiv und Injektiv

In der jetzigen Version wird der Begriff "surjektiv" mit "rechtstotal" in Verbindung gebracht (Siehe Tabelle unter 4. "Eigenschaften"). Täusche ich mich, oder gehört das "surjektiv" nicht eher zum "rechtseindeutig"?

"surjektiv" und "injektiv" sind Definitionen für "Abbildungen" / "Funktionen" und sollten im Allgemeinen nicht mit "rechtstotal" und "linkseindeutig" gleichgesetzt werden. Beispiel: Eine surjektive Abbildung ist eine rechtstotale Relation, ABER eine rechtstotale Relation ist noch keine surjektive Abbildung, DENN dazu müsste die Relation auch linkstotal und rechtseindeutig sein.

Die Begriffe "Injektiv" und "surjektiv" sind auf einfachen Relationen nicht definiert. Es gibt keine Relation die "surjektiv" ist, lediglich eine Relation, welche rechtstotal ist. Ist sie darüber hinaus eine Abbildung, dann ist diese Abbildung surjektiv... (nicht signierter Beitrag von 188.104.150.85 (Diskussion) 15:12, 14. Nov. 2014 (CET))

Eigenschaften für B=A und andere

Sehr viele Eigenschaften gelten für binäre Relationen mit B=A, auch wenn dies nicht erwähnt ist, und nur einige wenige für den allgemeineren Fall (und werden dann i.. nur für funktionale Relationen verwendet).

Ich schlage vor, die Tabelle in 2 Tabellen aufzuspalten, wobei die erste nur den Fall B=A betrifft (sodaß man das nicht überall dazu schreiben muß - was andernfalls getan werden müßte!), und die zweite den "allgem." Fall (evtl mit Kommentar "insbesondere für Funktionen"). MFH 20:55, 13. Okt. 2006 (CEST)

Geschehen (allerdings ohne dass ich diesen Post zuvor gesehen habe)! Mein Grund die Tabelle zu teilen war, dass sie sich schon ohne meine mengentheoretische Spalte nur mit erheblichem Aufwand ordentlich drucken ließ.

By the way: Hat schon mal jemand von identitiv gehört?, habe ich so vorgefunden.--KleinKlio 19:23, 6. Nov. 2006 (CET)

Antitransitivität

Da a,b,c allquantifiziert sind und somit die gleichen Werte annehmen dürfen, impliziert die Antitransitivität (wie sie momentan angegeben ist) die Irreflexivität. (auch schon, wenn nur 2 Variabeln den selben Wert annehmen dürfen und die Relation nicht nur Elemente der Form (a,a) enthält) Ist das so korrekt? Wenn ich jetzt an die Graphentheorie denke, ist ein gerichteter Graph antitransitiv, wenn er keine transitiven Kanten enthält, reflexive Kanten zählen dort nicht. Dort muss die Bedingung "nur" für alle a,b,c gelten, die paarweise verschieden sind. Ich habe auch schon gesucht, meine Algebra Unterlagen befassen sich allerdings nicht mit solch grundlegenden Dingen. --Reziprok 21:05, 15. Okt. 2006 (CEST)

Eine andere Sache bezüglich Antitransitivität: Ich würde von der Graphentheorie ausgehend erwarten, dass eine Relation auch nur dann antitransitiv ist, wenn es für $(a,b)\in R$ keinen Pfad einer Länge 2 oder größer gibt (was dann auch Irreflexivität und Zyklenfreiheit einschließt). D.h. Wenn es einen Pfad einer Länge größer als 1 gibt, gibt es keinen Pfad der Länge 1. Gibt es einen derartigen Begriff? -- 78.50.208.192 22:10, 18. Jun. 2011 (CEST)

Eine Relation ist (tautologische Definition im Eingangssatz)

Eine Relation ist allgemein eine Beziehung. Ja, aber was ist eine Beziehung. Eine Relation?

In der Tat ist die Eingangsdefinition tautologisch. Vielleicht kann man die Begriffsdiskussion auch auslagern, da sie in gleicher Weise für die Logik und letztlich auch für die Philosophie allgemein relevant ist.

Wenn ich es richtig verstehe ist eine "Relation" schlicht ein mehrstelliger Begriff bzw. ein mehrstelliges Prädikat/mehrstelliger Prädikator, wobei man in der Regel mit Relation ein zweistelliges Prädikat meint. Daneben wird die Relation auch als Extension eines zweistelligen Prädikats definiert (z.B. von Menne, Logik, 6. Aufl. (2001), S.110).

Oder - vielleicht mehr für den Geschmack für Mathematiker wie folgt:

„Die Extension eines 2-stelligen Prädikats F(x,y) im Gegenstandsbereich U ist die Menge aller geordneten Paare (x,y) aus U, die das Prädikat F(x,y) erfüllen: R (F,U) = {(x,y)/F(x,y); x,y &epsilon U} Eine solche Menge wird als eine „2-stellige Relation in U“ bezeichnet. Es handelt sich dabei um eine Teilmenge der kartesischen Produktmenge U x U.“ Czayka, Logik (1991), S. 38 --Hans-Jürgen Streicher 20:41, 22. Aug. 2008 (CEST)

Eine Relation von A und B ist eine Teilmenge der Produktmenge. Das ist nicht tautologisch, und als Mathematiker verstehe ich das auch ;-) --131.159.0.47 16:15, 19. Mai 2014 (CEST)

Relationspotenz und Relationsprodukt

Dto. finde ich bei den Relationsverkettungen nicht ausdrücklich. --Hans-Jürgen Streicher 20:41, 22. Aug. 2008 (CEST)

Inzidenzrelation

War auf der Suche nach dem Begriff Inzidenzrelation, kommt aus der Graphentheorie und hatte gehofft in diesem Artikel was darüber zu finden. Leider nicht. --141.76.186.56 11:18, 2. Jul. 2008 (CEST)--

binäre Relation

Im Artike steht: "Eine binäre Relation R ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen A und B"

Eine binäre Relation liegt nur dann vor wenn gilt A = B, so wie es der Satz oben beschreibt finde ich es verwirrend.

Fehler im Beispiel?

Im Beispiel wird gesagt, es solle _alle_ möglichen Relationen von A und B aufzeigen. Dies müßte aber doch (A×B) U (B×A) sein anstatt nur A×B, oder? Immerhin sind es ja geordnete Paare... Don Fredo 18:14, 9. Nov. 2008 (CET)

Attribute für homogene Relationen

Laut Artikel sollen „total“, „linear“ und „konnex“ das Gleiche sein, so weit ich weiß, ist das aber nicht so: Eine totale Ordnung $\leq$ ist linear, während eine strenge totale Ordnung $<$ konnex ist. Die Linearität einer Relation $R$ schließt immer für alle Elemente $a$

$(a,a)\in R$

mit ein (Reflexivität), die Konnexität dagegen schließt das für alle $a$ aus (Irreflexivität):

$(a,a)\notin R$.

Definition:

$R$ ist total $\iff \forall {a,b}\in A\colon \,(a\neq b\implies (a,b)\in R\,\lor \,(b,a)\in R)$.

Weiter definiert man:

$R$ ist linear $\iff R$ ist total und reflexiv;

$R$ ist konnex $\iff R$ ist total und irreflexiv.

Dann gilt:

$R$ ist linear $\iff \forall {a,b}\in A\colon \;(a,b)\in R\,\lor \,(b,a)\in R$.

--RPI 20:00, 25. Mär. 2009 (CET)

Eine andere Variante wäre (ich bin mir im Moment nicht sicher und muss noch prüfen, was richtig ist):

Definition:

$R$ ist konnex $\iff \forall {a,b}\in A\colon \,(a\neq b\implies (a,b)\in R\,\lor \,(b,a)\in R)$;

$R$ ist linear bzw. total $\iff R$ ist konnex und reflexiv.

--RPI 20:32, 25. Mär. 2009 (CET)

Negationen vermeiden, Attribute für Relationen zwischen verschiedenen Mengen

Wieso muss eigentlich bei der Bedeutung (4.Spalte) die Ausdrucksform mit einer Negation gewählt werden? Allgemein ist die Negation für den nicht ausgebildeten Menschen eine der schwierigsten Konstruktionen. "Kein Element aus B hat mehr als einen Partner in A." könnte auch als "Jedes Element aus B hat höchstens einen Partner in A." formuliert werden. Analog gilt das für "Kein Element aus A hat mehr als einen Partner in B.".--84.150.140.217 23:40, 30. Mär. 2009 (CEST)

Du hast Recht, das lässt sich auch so formulieren, die du das schreibst. Du kannst das also ruhig ändern. --RPI 18:50, 22. Mai 2009 (CEST)

Wann ist eine Relation eine Funktion ?

Nach dem Artikel: Eine Relation R heißt Funktion, wenn sie linkstotal und rechtseindeutig ist.

Ich hab mal gelernt :Eine Relation R heißt Funktion, wenn sie rechtseindeutig ist. Wenn eine Funktion linkstotal ist heißt sie "totale Funktion" !

--Hdisk 14:33, 21. Mai 2009 (CEST)

Das kann man auch so sehen, wie du das gelernt hast, das ist aber eher unüblich.

Eine rechtseindeutige Relation ist – wie hier im Artikel auch beschrieben – eine partielle Funktion. Weil durch eine partielle Funktion, schränkt man sie auf ihren Definitionsbereich ein, auch immer ein Funktion gegeben ist und umgekehrt eine (totale) Funktion als eine spezielle partielle Funktion aufgefasst werden kann, ist es eher eine Geschmacksfrage, welche Bezeichnungsweise man wählt. Es wird wohl auch nicht immer so sauber zwischen Funktion und partieller Funktion unterschieden. Es sollte jedoch immer klar sein, was jeweils gemeint ist, weil es sonst zu Missverständnissen und Fehlinterpretationen mit entsprechenden Folgen kommen kann.

Es ist deshalb immer ratsam, sich die Definitionen und Bezeichnungeweisen genau anzusehen, um nicht böse Überraschungen erleben zu müssen (etwa dass man ein Theorem zum Beweis einer Aussage benutzt, das gar nicht die erforderlichen Voraussetzungen erfüllt).

Ein ähnliches Problem ist z.B., dass die Menge der natürlichen Zahlen unterschiedlich definiert wird: bei den einen Autoren ist 0 eine natürliche Zahl und beim anderen nicht. Meistens spielt das keine Rolle, aber wenn doch, dann ist es oft ziemlich aufwändig, herauszufinden, welche Definition der jeweilige Autor verwendet und welche Definition andere Autoren, die von diesem Autor zitiert werden, benutzt haben, weil die Menge der natürlichen Zahlen oft nicht explizit definiert wird. Im schlimmsten Fall kann der Beweis eines ganzen Theorems daran scheitern, dass eine dafür benötigte Aussage für 0 nicht bewiesen ist.

Es gibt noch einige andere Beispiele für Bezeichnungen, die unterschiedlich verwendet werden: Ringe etwa können per Definition immer eine Eins haben oder auch nicht, eine Ordungsrelation kann per Definition immer total sein oder auch nicht usw.. Die meisten Leute haben in der Regel nur eine Variante gelernt und meinen dann, dass diese dann die einzig richtige ist und merken gar nicht, dass das Ergebnis eines anderen Autors auf einer anderen Definition beruht und es deshalb möglicher Weise für ihre eigenen Zwecke nicht verwendet werden kann. --RPI 18:33, 22. Mai 2009 (CEST)

Aus sinnvollen Gründen und gemäß dauernder Übung in der Standardmathematik sind Funktionen überall definiert. - Es kommt schon vor, daß dort, wo von Nullmengen die Rede ist, man mal erwähnt, daß die Funktionen bloß "bis auf eine Nullmenge definiert" sind und sich auf einer Nullmenge auch unterscheiden können, das sind dann strenggenommen Äquivalenzklassen von Funktionen, was man in der Regel der formalen Richtigkeit wegen erwähnt und dann unproblematisch nicht mehr beachten braucht. ("verhält sich wie eine Funktion" usw.) Man kann das natürlich auch in Begriffe wie "partielle Funktion" bringen.--131.159.0.47 16:20, 19. Mai 2014 (CEST)

Trichotomisch

Vielleicht irre ich mich, aber ich glaube in der Tabelle ist die "aussagenlogische" Definition von trichotomisch fehlerhaft. Denn so wäre eine Relation auch dann trichotomisch, wenn es a und b gibt mit $(a,b)\in R\wedge (b,a)\in R\wedge a=b$, oder anders ausgedrückt $(a,a)\in R$. Schließlich ist ${\text{wahr }}{\dot {\lor }}{\text{ wahr }}{\dot {\lor }}{\text{ wahr}}=({\text{wahr }}{\dot {\lor }}{\text{ wahr}}){\dot {\lor }}{\text{ wahr}}={\text{falsch }}{\dot {\lor }}{\text{ wahr}}=\mathrm {wahr}$. Dies widerspricht aber der dortigen "Mengenschreibweise" ebenso wie dem Text unter "und das bedeutet". Richtiger, aber deutlich komplizierter ist möglicherweise $(f\land \neg (g\lor h))\lor (\neg f\land (g{\dot {\lor }}h))$ mit $f\equiv a=b,g\equiv (a,b)\in R,h\equiv (b,a)\in R$.
Ich bin aber weder in Sachen Relationen, boolescher Algebra noch Wikipedia bzw. Tex ein Fachmann, deshalb ändere ich es nicht selbst. (nicht signierter Beitrag von 84.135.57.167 (Diskussion) 18:40, 6. Nov. 2010 (CET))

Da hat wohl jemand gedacht, er könne ein es-gilt-genau-eins-von-n auf mehrere es-gilt-genau-eins-von-2 herunterbrechen. Geht natürlich nicht.

Aber egal: aus Irreflexivität, Asymmetrie und Totalität (außerhalb der Diagonalen) folgen die gewünschten Eigenschaften (die in der "Mengenschreibweise"-Spalte und der "und das bedeutet"-Spalte) bereits. (Wenn a=b wird nichts über die R gesagt, also kann man getrost $a\neq b$ annehmen, und damit stört die eingangs genannte Irreflexivität nicht. a=b führt zu Irreflexivität, $a\neq b$ zu Asymmetrie)

Insofern würde ich die ganze Tabellenzeile eher als unnötig kompliziert und sinnlos betrachten, anstatt da irgend etwas zu korrigieren. Auch der verlinkte Artikel enthält Mathematik-fernes Blabla.

...und ich entferne die einfach mal. Mal sehen, wer protestiert... --Daniel5Ko 01:13, 7. Nov. 2010 (CET)

Relationen auf echten Klassen

Ich bin vor Kurzem über die Frage gestolpert, ob die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation ist. Natürlich sind die drei Eigenschaften erfüllt, allerdings handelt es sich doch bei der "Menge aller Gruppen" nicht um eine Menge im formalen Sinne, oder? Eine Relation ist in diesem Artikel nur auf Mengen definiert, wie also löst man dieses Problem formal? Ist Isomorphie von Gruppen keine Äquivalenzrelation? --Leifa (Diskussion) 16:47, 5. Dez. 2012 (CET)

So weit ich das sehe, wird das nicht eindeutig gehandhabt bei Begriffen wie Abbildung, Relation oder Äquivalenzrelation. Man schränkt sich bei der Definition aus verschiedenen Gründen oft auf Mengen ein:

• Die Zielgruppe hat (leider) keine Vorstellung von Mengenlehre.
• Der Begriff wird für echte Klassen im jeweiligen Werk nicht benötigt.
• Bzgl. einer Äquivalenzrelation, die eine echte Klasse ist, lässt sich nicht ohne weiteres eine Quotientenstruktur (Faktorraum, oder wie man es nennen mag) definieren, dafür braucht man das Auswahlaxiom für Klassen, wie es etwa in der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre vorhanden ist, mit einem metasprachlich auf ZFC aufgesetzten Klassenbegriff, wie das oft üblich ist, kommt man da nicht weit.
• Will man etwa die Klasse oder Kategorie aller Relationen definieren, geht das nicht, wenn man Relationen auf Klassen zulässt.

Wenn man an bestimmte Punkte kommt, ist es dann aber doch wiederum sinnvoll, Relationen auf echten Klassen zu betrachten, indem man es einfach völlig analog definiert. Dann muss man aber eben mit obigen Punkten aufpassen. (Wie man bei deinem Beispiel mit der Isomorphie von Gruppen dann einen Quotienten konstruiert, siehe Skelett; ansonsten hat man es auch gut, wenn man eine Äquivalenzrelation hat, deren Äquivalenzklassen alle Mengen sind, dies tritt etwa bei der Bildung einer Quotientenkategorie einer lokal kleinen Kategorie auf, prominentestes Beispiel vllt. Toph – die Klasse aller stetigen Abbildungen „modulo“ Homotopie. Wenn man es bequem haben möchte, kann man auf die Verwendung echter Klassen auch (fast) ganz verzichten, und dafür Grothendieck-Universen benutzen, dann würde man nicht alle Gruppen betrachten, sondern nur alle Gruppen, die in einem bestimmten Universum liegen, und dann wäre die Äquivalenzrelation „Isomorphie“ auch tatsächlich auf einer Menge aller kleinen Gruppen definiert und damit auch selbst eine Menge. --Chricho ¹ ² ³ 17:12, 5. Dez. 2012 (CET)

Stimmt. Schon die Kategorie alle strukturlosen Klassen (strukturlos = ohne bekannte struktur) geht nicht, nur die der Mengen (=Klasse aller Mengen). Wir müssen also gar nicht erst zu Relationen gehen. Gleiche Problematik. --Ernsts (Diskussion) 19:54, 4. Feb. 2018 (CET)

Die Gleichung $R=(G_{R},A,B)$

Die (Definitions)Gleichung $R=(G_{R},A,B)$ besagt nichts anderes als $R=(G_{(G_{(G_{(G_{\text{ usw.}},A,B)},A,B)},A,B)},A,B)$ --Lothario Hederich (Diskussion) 16:51, 26. Feb. 2013 (CET)

Die Notation $G_{R}$ soll nur bedeuten, dass $G$ von $R$ abhängt. Den Index kann man auch problemlos weglassen. Deine Definition $R=(g,A,B)$ mit $g=G_{R}$ hat das gleiche formale Problem. Da du zudem wichtige Informationen gelöscht hast und der folgene Abschnitt dadurch in der Luft hängt, habe ich deine Änderung wieder rückgängig gemacht. Grüße, --Quartl (Diskussion) 05:52, 28. Feb. 2013 (CET)

Ich habe nicht “$R=(g,A,B)$ mit $g=G_{R}$” geschrieben, sondern “Die erste Komponente einer Relation $R$ zwischen Mengen heißt Graph der Relation und wird mit $\operatorname {G} _{R}$ bezeichne”. Mit meiner Änderung wollte ich lediglich darauf aufmerksam machen, dass zwischen dem Begriff Relation und Relation zwischen Mengen zu unterscheiden ist. Im Artikel sind n-stellige Relationen einerseits Mengen von n-Tupel, andererseits nur ein Tupel. Auf dieses Widersprüchliche habe ich hingewiesen und angezeigt, wie es nicht nur für binäre Relationen, sondern allgemein für n-stellige Relationen mathematisch sauber zu lösen ist. Mit Gruß, --Lothario Hederich (Diskussion) 21:25, 28. Feb. 2013 (CET)

Eigentlich stand ja alles schon da, ich habe aber jetzt den binären und mehrstelligen Fall aufgetrennt und insbesondere die ausführlichere Definition des mehrstelligen Falls explizit ergänzt. Besser so? Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:47, 1. Mär. 2013 (CET)

Du fragst: Besser so?, ich sage: ja. Allerdings hätte ich etwas anders formuliert, um nicht mit dem Prädikatenkalkül in Konflikt zu kommen, etwa so:

Eine binäre Relation ist dann definiert als ein Tripel R=(g,A,B), wobei g $\subseteq$ AxB. g nennt man Graph von R und bezeichnet diesen mit G_R oder mit Graph(R).

entsprechend für n-stellige Relationen. Mit Grüßen, --Lothario Hederich (Diskussion) 19:48, 1. Mär. 2013 (CET)

Ich habe nun einfach den Index gelöscht, Groß- und Kleinschreibung würde zu sehr verwirren. Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:53, 2. Mär. 2013 (CET)

Ist OK. Es dürfte nun auch kein strenges Mathematikerauge mehr stören. Mit Grüßen, --Lothario Hederich (Diskussion) 08:47, 2. Mär. 2013 (CET)

Die Gleichung $R=(G_{R},A,B)$ steht mit der Prädikatenlogik nicht im Konflikt (wird auch problemlos im Artikel benutzt). --Chricho ¹ ² ³ 18:39, 14. Aug. 2013 (CEST)

Richtig, das ist ok. $x=\{x,y\}$ oder $x=(x,y)$ ist da etwas anderes! Auch wenn es ein bisschen nach 'GNU = GNU not Unix' aussieht. Als Definition mit 'R := ...' ginge es aber nicht durch, weil implizit. Ist also eher informell zu verstehen, eine sauber(er)e und einfache Notation fällt mir auch nicht ein...--Ernsts (Diskussion) 15:29, 27. Jan. 2018 (CET)

Begriffe Vorbereich, Quelle und Nachbereich sind veraltet.

"Die Menge A wird als Vorbereich oder Quelle der Relation R bezeichnet; die Menge B als Nachbereich, Ziel oder Zielmenge."

Hier ist einiges falsch bzw. veraltet (Das als Quelle angegebene Buch ist von 1979!)

Die Namen "Vorbereich" und "Quelle" für die Menge A habe ich bisher noch nie gelesen/gehört, sondern ich finde in der aktuellen Literatur nur die Namen "Definitionsbereich" oder "Definitionsmenge".

Bei der Bezeichnung der Menge B wird es etwas komplizierter, aber "Nachbereich" habe ich noch nie gelesen/gehört. Komplizierter wird es deshalb, weil heutzutage zwischen "Wertebereich" und "Zielbereich" hin und her definiert wird. Manchmal bezeichnet man so die Menge B, manchmal aber auch nur den (bei einer Funktion) wirklich getroffenen Bildbereich der Menge B mit diesem Namen.

Mal schauen, was die Diskussion ergibt :-) grüße S.G.

--178.2.51.94 11:56, 1. Aug. 2013 (CEST)

Hallo! Erst mal zur Menge A: Kannst du bitte mal eine der Literaturstellen angeben, die "Definitionsbereich" oder "Definitionsmenge" dafür verwendet? Ich kenne das eher so wie z. B. hier, dass damit die Menge aller a in A bezeichnet wird, für die es ein b in B gibt, dass mit a in Relation steht. -- HilberTraum (Diskussion) 12:17, 1. Aug. 2013 (CEST)

Das verlinkte Buch von Deiser liegt hier vor mir, dort steht "Definitionsbereich", ich glaube diese Bezeichnung ist unstrittig und die korrekte Bezeichnung für die Menge A. Ich habe gerade durch ca. 10 andere Bücher die hier bei mir liegen durchgeschaut, "Definitionsbereich" ist der aktuell richtige Begriff, alles andere ist veraltet und uneinheitlich. (Bei Bronstein findet man zwar (bei der Funktion) den Begriff "Originalbereich", aber das kann man wohl als Kuriosität abhaken...).

Bei B wird's echt kompliziert und uneinheitlich, da weist z.B. Schichl in Einführung in das mathematische Arbeiten darauf hin, das Wertebereich und Zielbereich oft uneinheitlich verwendet werden, mal für die gesamte Menge B und mal für die Teilmenge von B, also das was wir üblicherweise als wirklich getroffenes Bild bezeichnen.

Noch verwirrender wird es, wenn Deiser in Grundbegriffe der wissenschaftlichen Mathematik schreibt, das die Menge B als "Wertevorrat" bezeichnet wird und die (meist echte) Teilmenge von B, also die wirklich getroffenen, als "Wertebereich".

Falls du genaue Quellenangaben für etwas bestimmtes brauchst, such ich dir gerne raus, Bücher liegen ja hier bei mir rum. gruß S.G.

Zusatz: M.E. ist Deiser der einzige der A und B bei Relationen einen eigenen Namen gibt. Alle anderen die ich bisher angeschaut habe machen das nur für Funktionen, und vergeben dort eigene Namen für A und B. Eine Extra-Namensvergabe bei Relationen scheint also eher unüblich zu sein.

--178.2.51.94 12:43, 1. Aug. 2013 (CEST)

Jetzt schau dir doch nochmal den verlinkten Deiser genau an: Dort wird nicht A als Definitionsbereich bezeichnet, sondern dom(R), das wird zwei Zeilen darüber definiert und ist nicht A. Und Literaturstellen, bei denen über Funktionen geschrieben wird, sind völlig ungeeignet, das zu entscheiden, weil ja bei Funktionen dom(R) und A per Definition gleich sind. Also nenne mir mal zwei oder drei von deinen 10 Büchern (Autor, Titel, Seitenzahl) und dann schauen wir mal weiter. -- HilberTraum (Diskussion) 14:04, 1. Aug. 2013 (CEST)

Stimmt du hast recht. Aber der Wiki-Artikel fasst A und B zu einem Feld zusammen. In Oliver Deiser - Grundbegriffe der wissenschaftlichen Mathematik, Seite 55 und 56, fasst Deiser dom(R) und rng(R) zu einem Feld zusammen. Das beißt sich dann ja, weil Wiki sich auf A und B bezieht und Deiser sich auf dom(R) und rng(R).

Er schreibt: "Die Menge field(R) = dom(R) U rng(R) heißt das Feld von R."

Und noch eine Frage: Wo, abgesehen von dem Buch von 1979, haben A und B (bei Relationen) einen Eigennamen bekommen? Konnte da nichts finden...(galt ja alles nur für Funktionen).

--178.2.61.188 14:29, 1. Aug. 2013 (CEST)

Ja, das Feld im Artikel ist seltsam, habe ich noch nie gehört. Das Feld bei Deiser macht wohl nur Sinn, weil dort A = B gilt. Ich sehe das auch so, dass es eher unüblich ist, dass A und B Namen bekommen. Es gibt ja auch z.B. dreistellige Relationen, wie sollte man da A,B,C nennen? Hmm, was bedeutet das jetzt für den Artikel? -- HilberTraum (Diskussion) 15:09, 1. Aug. 2013 (CEST)

Na, zweistellige Relationen bilden schon einen wichtigen Spezialfall. Das macht schon Sinn, den Bereichen Namen zu geben, schließlich kann man zweistellige Relationen verketten. --Chricho ¹ ² ³ 15:24, 1. Aug. 2013 (CEST)

Das stimmt, aber ich finde tatsächlich nicht viele Literaturstellen, in denen Namen dafür vergeben werden, da hat der IP-Benutzer schon recht. Hast du ein bekanntes neueres Buch dazu? Vielleicht wird ja man eher im Informatik-Bereich fündig. -- HilberTraum (Diskussion) 15:48, 1. Aug. 2013 (CEST)

Habe das Feld mal rausgeworfen. Alternativ könnte man dom, rng und field definieren, ich befürchte aber, dass das an dieser Stelle zu weit führt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:50, 1. Aug. 2013 (CEST)

Hatte die Kommentar hier noch nicht gelesen (zugegeben) und diese Begriffe (wider) eingeführt, jetzt aber mit Referenzen (möglichst auf Standardwerke). Das Problem ist, dass die Begriffe oft unterschiedlich gebraucht werden, die en WP etwa definiert domain und range über den Graphen (also minimal), aber codomain synonym zu 'set of destination', nicht zu range, kann ich nicht nachvollziehen! Scheint aber Autoren zu geben, die es so machen. 'Best Practice' Vorschlag: WP sollte Begriffe klar und deutlich herausarbeiten; anderen Gebrauch in der Literatur am Rande aber erwähnen, insbesondere wenn dieser zu Missverständnissen führen könnte (siehe Formale Grammatik mit dem Sigma und dem V). Hier z. B. brauchen wir wg. der 'ausführlichen' Relationsdefinition als Tupel (nicht einfach als Graph) eine Unterscheidung: Vor- und Nachbereich als Übersetzung von 'set of departure' und 'set of destination' scheinen mir in diesem Sinne gut geeignet. Diese Begriffe sind nicht veraltet, sondern etwas anderes als die über den Graphen definierten Definition- und Wertebereiche. Deutlich wird das bei der Äquivalenzrelation 'im Wesentlichen gleich' (zur ausführlichen Definition), mit (G_R,Db(R),Wb(R)) als kanonischen (= natürlichen, einfachsten, minimalen) Repräsentanten der Äquivalenzklassen.

Warum brauchen wir die ausführliche Definition überhaupt? Betrachten wir Funktionen als Spezialfall von Relationen. In der Kategorientheorie wir für verkettbare Morphismen verlangt, dass D_g = B_g, was im konkreten Fall für algebraische Strukturen bedeutet, dass bei der Verkettung von Homomorphismen (den strukturtreuen Funktionen) Vorbereich von g und Nachbereich von f übereinstimmen müssen. Im Allgemeinen reicht es aber aus, dass der Definitionsbereich von g eine Obermenge vom Wertebereich von f ist, damit Homomorphismen verkettbar sind. Wir müssen also Homomorphismen als Funktionen nach der ausführlichen Definition verstehen, damit wir die Klassen algebraischer Strukturen als Kategorien identifizieren können. Oder wir müssten den Kategoriebegriff erweitern um eine Art 'Entahltenseinsrelation' für die Objekte (im konkreten Fall: Mengen). Das wäre wesentlich komplizierter als der ausführliche Relations- oder Funktionsbegriff, derim Übrigen gut zu den Tupel-Definitionen für mathematische Strukturen aller Art passt.--Ernsts (Diskussion) 20:24, 4. Feb. 2018 (CET)

Klassendiagramm Relation

Klassendiagramm Relation

Definitionen

Die Definitionen sind unzureichend, denn es fehlen

• einstellige Relationen (Teilmengen einer Menge $A$),
• nullstellige Relationen (Teilmengen von $A^{0}=\{\emptyset \}$),
• beliebigstellige Relationen (Teilmengen von $A^{I},$ wobei $I$ auch unendlich sein kann).

Außerdem sollte man konsequnter Weise in der Unterüberschrift und in der Definition „binär“ durch „zweistellig“ austauschen. --RPI (Diskussion) 18:03, 16. Aug. 2013 (CEST)

Einstellige Relationen sehe ich ja noch ein, aber welcher Autor definiert denn nullstellige Relationen oder unendlichstellige Relationen (und, vor allem, wozu)? An sich handelt der ganze Artikel momentan nur von binären Relationen, insofern sind allgemeinere Definitionen (inklusive der mehrstelligen) am Anfang etwas fehl am Platz. Entweder man führt die allgemeineren Definitionen am Ende des Artikels unter "Verallgemeinerungen" oder man verschiebt den Artikel auf binäre Relation (oder zweistellige Relation), dann könnte man unter Relation (Mathematik) alle in der mathematischen Praxis verwendeten Varianten auflisten. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:55, 16. Aug. 2013‎ (CEST)

Nullstellige Relationen: Siehe Struktur (erste Stufe),

Unendlichstellige Relationen: Jede Funktion ist auch eine Relation, und unendlichstellige Funktionen gibt's u.a. in der Funktionalanalysis.

Verallgemeinerungen: Mir sagt die zweite Möglichkeit mehr zu, weil die zweistelligen Relationen den Artikel zu sehr dominieren und wegen ihrer Wichtigkeit auch einen eigenen Artikel verdienen. Im Artikel „Relation (Mathematik)“, in dem dann Relationen allgemein erklärt werden sollen, muss man aber mit Bedacht vorgehen: Zunächst ist nämlich eine allgemeine Definition gar nicht möglich, weil eine Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von Mengen ist. Aber das kann man allgemein erst dann definieren, wenn man Familien bzw. Abbildungen definiert hat, also erst, nachdem zweistellige Relationen definiert sind. D.h. man muss erst zweistellige Relationen definieren oder auf deren Definition im Artikel „zweistellige Relation“ verweisen und dann nach einem Verweis auf Abbildungen (als spezielle zweistellige Relationen) und das allgemeine kartesische Produkt die allgemeine Definition bringen. Die null- und einstelligen Relationen kann man dann zum Schluss neben anderen Beispielen noch kurz erläutern, weil sicherlich nicht jedem Leser geläufig sein wird, was ein kartesisches Produkt von einer oder gar von null Mengen ist. Viele Grüße --RPI (Diskussion) 21:52, 16. Aug. 2013 (CEST)

Mir geht es mehr darum, dass die Begriffe "nullstellige Relation" oder "unendlichstellige Relation" in der Praxis so gut wie nicht gebraucht werden (Wikipedia-Artikel sind hier keine gute Quelle). Eine Google-Books-Suche [1] [2] liefert praktisch keine Treffer und auch "mehrstellige Relation" bezieht sich immer auf ein endliches kartesisches Produkt [3]. Meine Einschätzung wird auch durch die Aussage in [4] gedeckt: Hinzugefügt werden muss noch, dass geordnete Nulltupel und nullstellige Relationen weitgehend ungebräuchlich sind (anders als nullstellige Funktionen). Auch wenn man in der Funktionalanalysis unendlichstellige Funktionen betrachtet, der Begriff unendlichstellige Relation ist mir noch nicht untergekommen. Die Behandlung solcher Funktionen als Relationen würde auch gar keine neuen Erkenntnisse bringen. Hast du da einschlägige Quellen?

Ansonsten hätte ich nichts gegen zwei separate Artikel. Würde man in dem neuen Artikel auf den unendlichstelligen Fall verzichten, und nur den ein-, zwei- und mehrstelligen Fall aufführen (evtl. auch den nullstelligen), dann hätte man auch keine Definitionsprobleme. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 02:45, 17. Aug. 2013 (CEST)

Entschuldige bitte, dass ich dir hier erst jetzt antworte, aber ich dachte, ich hätte das schon getan und hatte auch an anderer Stelle zu tun, sodass ich das hier etwas aus den Augen verloren hatte.

Ich werde in absehbarer Zeit leider keine Gelegenheit haben, hinsichtlich „unendlichstelligen Relationen“ eine gründlichere Literaturrecherche durchzuführen, aber wahrscheinlich hast du da recht und diese werden in der Literatur gar nicht erst betrachtet. Ich vergesse manchmal, dass auch in der Mathematik die Begriffe historisch gewachsen sind und nicht immer dem entsprechen, was der Name suggeriert und was vielleicht wünschenswert wäre. Ich glaube, gesehen habe ich in der Literatur „unendlichstellige Relationen“ als solche auch noch nicht, wie gesagt indirekt nur als unendlichstellige Funktionen. Das gilt wohl auch für „nullstellige Relationen“, zudem wären diese auch nicht wirklich sinnvoll, denn $1=\{0\}=\{\emptyset \}$ wäre dann sowohl eine null- $(1\subseteq \{\emptyset \}=\mathbb {N} _{0}^{\;0})$ als auch eine einstellige Relation $(1=\{0\}\subseteq \mathbb {N} _{0}).$ Dass dies auch für $0=\emptyset$ gilt, ist dabei nebensächlich, da $\emptyset$ auch sonst ein Sonderfall ist. Viele Grüße, --RPI (Diskussion) 14:12, 25. Sep. 2013 (CEST)

Ok. Wie gesagt, gegen eine Auslagerung von binäre Relation hätte ich nichts. Bei der Gelegenheit könnte man da auch gleich einen vernünftigen Artikel draus machen und die vielen Tabellen in Text umwandeln. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:29, 25. Sep. 2013 (CEST)

Klassen von Relationen

Aus dem Quelltext des Artikels hierher verschoben:

„Achtung: eine lineare Striktordnung ist nicht linear, eine strenge Totalordnung nicht total! .... Was ist damit gemeint?“

An Stelle von „lineare Striktordnung“ gehört ja auch „konnexe Striktordnung“ und durch „streng“ ergibt sich aus einer reflexiven Ordnungsrelation ihre irreflexive Entsprechung, d.h. eine strenge Totalordnung ist nicht total, da total u.a. auch reflexiv bedeutet, was eine strenge Ordnungsrelation nicht ist. --RPI (Diskussion) 12:19, 1. Nov. 2013 (CET)

Zumindest stimmt das, wenn „linear“ genau so definiert wird wie „total“. Das geht aber auch anders, denn die Bezeichnung „linear“ ist eigentlich nur für Ordnungsrelationen sinnvoll (nämlich, wenn Punkte zu einer Linie angeordnet sind). Daher ist folgende Definition, die auch in der Literatur zu finden ist, besser:

Eine (Halb-)Ordnung heißt linear, falls sie total ist, dagegen heißt eine Striktordnung linear, wenn sie konnex ist.

Für allgemeine Relationen ist darf dann „linear“ nicht definiert sein (muss es auch nicht, weil es ja „total“ und „konnex“ gibt), aber wenigstens ist damit jede lineare Striktordnung auch linear. --RPI (Diskussion) 19:06, 2. Nov. 2013 (CET)

Definition von bijektiv

Im Abschnitt "Eigenschaften zweistelliger Relationen" ist meiner Meinung nach der Begriff binjektiv falsch definiert. Damit eine Relation bijektiv ist muss sie zusätzlich noch funktional sein. Die Bedingung "Jedes Element aus B hat genau einen Partner in A." reicht nicht aus. Ein einfaches Gegenbeispiel findet man wenn beide Mengen nicht die gleiche Anzahl an Elementen haben. (nicht signierter Beitrag von Danvildanvil (Diskussion | Beiträge) 02:06, 7. Jan. 2014 (CET))

Das sehe ich genauso. Die einfachste Definition für bijektiv ist schlichtweg injektiv + surjektiv. Damit macht auch der Name Sinn. Die hier beschriebene Eigenschaft von Bijektivität ist nicht hinreichend. (nicht signierter Beitrag von 46.231.88.218 (Diskussion) 10:59, 17. Jan. 2014 (CET))

Na, ach – ebenso: (injektiv und surjektiv) wird doch im Artikel die Bijektivität allgemein definiert für zweistellige Relationen:

• linkseindeutig bzw. injektiv : „Jedes Element aus B hat höchstens einen Partner in A.“
• rechtstotal bzw. surjektiv : „Jedes Element aus B hat mindestens einen Partner in A.“
• bijektiv : „Jedes Element aus B hat genau einen Partner in A.“

und gilt so auch für bijektive partielle Funktionen (nicht linkstotal; bei denen doch nicht jedes Element aus A in der Relation stehen muss (jedoch jedes aus B)).

Offensichtlich werden davon und darüber hinaus bijektive totale Funktionen unterschieden (linkstotal; bei denen dann jedes Element aus A in der Relation stehen muss und jedes aus B) und als "Bijektion" bezeichnet:

• Bijektion : „Jedes Element aus A hat genau einen Partner in B und umgekehrt.“

Erst diese (totale) bijektive Funktion ist also sowohl links- und rechtstotal als auch links- und rechtseindeutig – wie Danvildanvil sie dann will.

Ich finde diese Unterscheidung nicht unsinnig und sehe auch keine fehlerhafte Definition. --nanu _*diskuss 12:13, 17. Jan. 2014 (CET)

komplementäre Relation

erledigtErledigt

dürfte hier mMn auch erwähnt werden. --nanu _*diskuss 12:15, 17. Jan. 2014 (CET)

Habe den Abschnitt ausgebaut, und weiter unten noch Anmerkungen nach Vorschlägen von Griff aufgenommen.--Ernsts (Diskussion) 15:13, 27. Jan. 2018 (CET)

Rechtseindeutig

erledigtErledigt

"Eine rechtseindeutige Relation nennt man auch partielle Funktion, falls sie nicht linkstotal ist." - Dies stimmt nicht, wie man am Artikel partielle Funktion leicht prüfen kann, es ist eine Teilmenge, keine echte Teilmenge. Eine partielle Funktion kann also durchaus auch linkstotal sein.

Korrigiert. --Franz 09:16, 4. Aug. 2014 (CEST)

Intransitiv vs. nicht-transitiv

Im Text wird gesagt, dass eine Relation R intransitiv ist, wenn gilt: wenn a in R zu b, und b in R zu c steht, so steht a *nicht* in R zu c. Entsprechend wird gesagt, dass Intransitivität und Nichttransitivität zu unterscheiden sind. Das finde ich alles gut. Allerdings verlinkt der Ausdruck "Nichttransitivität" dann auf den Eintrag "Intransitive Relation", wo "intransitiv" konsequent im Sinne von "nicht-transitiv" verwendet wird. IMHO sollte der Eintrag "Intransitive Relation" geändert und in "Nicht-transitive Relation" umbenannt werden (oder es sollte irgendeine andere Angleichung stattfinden) -- aber ich bin kein Wikipediamensch. Vielleicht machts jemand anderes? (nicht signierter Beitrag von 78.50.49.5 (Diskussion) 06:34, 4. Nov. 2014 (CET))

Bild "Zusammenhang der Eigenschaften binärer Relationen"

Ich habe diesen Punkt ausgelagert auf die Diskussionsseite des Autors der Grafik:

https://commons.wikimedia.org/wiki/User_talk:Stephan_Kulla#.C3.84nderungsvorschlag_Grafik_.22Zusammenhang_der_Eigenschaften_bin.C3.A4rer_Relationen.22

--Griff 77.58.97.112 17:23, 14. Mär. 2015 (CET)

Eigenschaften der komplementären Relation

Es sollte erwogen werden, dass im Artikel Erwähnung findet:

• R ist symmetrisch <=> \R ist symmetrisch

• R ist reflexiv <=> \R ist irreflexiv
• R ist irreflexiv <=> \R ist reflexiv

• R ist antisymmetrisch <=> \R ist konnex
• R ist konnex <=> \R ist antisymmetrisch

• R ist total <=> \R ist asymmetrisch
• R ist asymmetrisch <=> \R ist total

Es fragt sich nur, ob man Literatur findet, die das auflistet. Anderenfalls sollte es vielleicht in den jeweiligen weiterführenden Artikeln bewiesen werden. Und freilich sollte ebenfalls erwogen werden, die jeweilige Eigenschaft der komplementären Relation im jeweiligen weiterführenden Artikel zu erwähnen: im Artikel "Antisymmetrie" ein Hinweis auf Konnexität der komplementären Relation, im Artikel "Konnexität" ein Hinweis auf Antisymmetrie der komplementären Relation, ...

--Griff 77.58.97.112 22:53, 8. Mär. 2015 (CET)

Danke für den Hinweis. Habe leider auch keine Online-Referenz gefunden. Denke aber, die Zusammenhänge sind anhand der angegebenen Tabellen und einfacher (prädikaten-)logischer Regeln abzuleiten,dass es nicht unbedingt nötig ist. Habe den Abschnitt über komplemntäre Relation erweitert und das auch aufgenommen. Scheue mich allerdings, diese Zus'hänge - solange noch ohne Referenzen - auch in die weiterführenden Artikel aufzunehmen. --Ernsts (Diskussion) 15:08, 27. Jan. 2018 (CET)

Für "total bzw. vollständig" ist auch "linear" gebräuchlich

Vielleicht sollte erwähnt werden, dass neben "total bzw. vollständig" auch "linear" gebräuchlich ist, wie zum Beispiel hier: http://www.math.uni-augsburg.de/prof/dida/studium/lehre/ws0910/gross_fachliche/materialien/6_Relationen.pdf

--Griff 77.58.97.112 22:53, 8. Mär. 2015 (CET)

Ist inzwischen drin (hatte ich nicht gleich gesehen, sorry). Leider führt der Link ins Leere.

Der Begriff 'linear' wird ja in vielerlei Hinsicht geraucht, geläufiger ist Linearität vielleict als eine Eigenschaft von Abbildungen eines Vektorraums (VR) in einen anderen (=Vektorraum-Homomorphismus): f(αx+βy) = αf(x)+βf(y) mit Vektoren x,y und Skalaren α,β; im Trivialfall (eindimensional wie $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$) kein Unterschied zw. Vektor und Skalar. Total heißt 'überall definiert' (linkstotal) bzw. 'alle Elemente der Zielmenge erfasst' (rechtstotal, surjektiv), man braucht keine besondere Struktur (Verknüpfungen) auf der Quell- und Zielmenge.

Vielleicht sollte man vermeiden, von Linearität in einem anderen Zusammenhang zu spechen, wenn es wie hier auch alternative Bezeichnungen gibt. Aber man sollte natürlich verstehen, wenn irgendwo von Linearität die Rde ist, und was anderes als VR gemeint ist :-).

--Ernsts (Diskussion) 18:43, 27. Jan. 2018 (CET)

Mehrdeutiger Begriff "Funktion"

Im Abschnit Allgemeine Relationen steht:

"Allgemeine Relationen

Die folgenden Relationen sind für Funktionen (dargestellt als spezielle Relationen) wichtig."

Dann werden 8 Begriffe in zwei Tabellen aufgelistet, aber nur der letzte davon heißt tatsächlich "Funktion". Da ist der Begriff "für Funktionen" aus der Einleitung aber doch falsch, denn 7 der Relationen sind ja offenbar gerade keine Funktionen? Das würde ich umformulieren. Und wieso eigentlich zwei Tabellen? Das passt doch auch in eine oder was sind die jeweiligen Oberbegriffe der Tabellen, an dem sie sich von einander unterscheiden?--AchimP (Diskussion) 17:29, 23. Apr. 2015 (CEST)

Wichtig für Funktionen bedeutet nicht, dass es sich selbst um Funktionen handelt. Aber: Eine surjektive Relation, die eine Funktion ist, ist eine surjektive Funktione (linkseindeutig und links- wie rechtstotal), analoge Kombinationen: injektive Funktion, bijektive Funktion. Außerdem gibt es die in den anderen Abschnitten verwendeten Bezeichnungen Multifunktion (nur linkstotal) und partielle Funktion (nur rechtseindeutig), bei denen es sich im eigentlichen/strengen Sinn nicht um Funktionen (ohne Zusatz - linkstotal+rechtseindeutig) handelt. Habe diese Begriffe in Klammern in die Tabelle aufgenommen. --Ernsts (Diskussion) 01:26, 27. Jan. 2018 (CET)

Konsekwent

Im Artikel wird nicht konsekwent Unterschied gemacht zwischen die Relation R und der Graph G_R der Relation. Gelegentlich werden mal R und G_R gleichgesetzt. Madyno (Diskussion) 21:31, 1. Sep. 2017 (CEST)

Habe versucht, das besser herauszuarbeiten. --Ernsts (Diskussion) 01:10, 27. Jan. 2018 (CET)

Atome/Singletons

In der englischsprachigen Literatur gibt es den Begriff 'singleton relation'. Eine Relation ist 'atomar' oder eine 'singleton relation', g. d., w. es keine echten Teilrelationen gibt. Sie besteht dann aus nur einem einzigen Paar bzw. n-Tupel. Einelementige Menge, ProofWWiki, Relations §Atoms and isolation - deutschsprachige Quellen? --Ernsts (Diskussion) 17:38, 1. Feb. 2018 (CET)

Zweistellige Relation

"Eine zweistellige Relation $R$ (auch binäre Relation genannt) zwischen zwei Mengen $A$ und $B$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}\colon$

$R\subseteq A\times B$."

Wird hier nicht unsauber Aussage mit Menge verwechselt? Erst wird mit "Eine zweistellige Relation ist" eine Menge angekündigt aber dann folgt mit $R\subseteq A\times B$. eine Aussage? (nicht signierter Beitrag von 2A02:810D:4AC0:4208:493:8F62:C7DE:9C8F (Diskussion) 23:39, 30. Jul. 2020 (CEST))

Nein, der Begriff wird im ersten Teil des Satzes (in dem Teil bis zum Doppelpunkt) ganz klar und eindeutig als Menge definiert (die gleich zu Beginn des Satzes $R$ genannt wird, um dann nach dem Doppelpunkt – den man auch durch einen Punkt ersetzen könnte, um die Definition als fertig zu kennzeichnen – das vor diesem nur verbal Formulierte relativ einfach auch in der üblichen Formelsprache formulieren zu können.

Bei der nach der eigentlichen Definition stehenden Aussage(form) „$R\subseteq A\times B$“ handelt es sich nur um das formalisierte „Eine zweistellige Relation zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts dieser beiden Mengen“ (also um eine Wiederholung der Definition in formalisierter Kurzfassung). Dabei steht $R$ natürlich nicht für die ganze Aussage(form) $R\subseteq A\times B$, sondern nur für „eine zweistellige Relation“, ähnlich wie $A,B$ für die „zwei Mengen“ stehen.

Gruß, 91.118.242.246 00:13, 31. Jul. 2020 (CEST)

Relationszeichen

Im Abschnitt heißt es "während „<“ keine Ordnungsrelation im Sinne der mathematischen Definition ist.". Es ist unklar, was gemeint ist, die Minimalanforderung an eine Ordnungsrelation ist die Transitivität und die ist ja für "<" wohl erfüllt. --Sigma^2 (Diskussion) 23:19, 23. Aug. 2022 (CEST)

Minimalanforderung reicht natürlich nicht. Wie mir vorkommt, ist es schwieriger, eine strenge schwache Ordnung (Striktordnung) „<“ zu definieren. Aber es geht. Am kürzesten scheint mir allerdings die Definition $a<b:\Longleftrightarrow a\leq b\;\land \lnot (b\leq a)$, was ein Rückgriff auf ≤ wäre, den man ja eigentlich nicht machen möchte.

Also probier's! --Nomen4Omen (Diskussion) 10:10, 24. Aug. 2022 (CEST)