Diskussion:Richtungsableitung

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel „Richtungsableitung“ zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Thema gehören nicht hierher. Für allgemeine Wissensfragen gibt es die Auskunft.

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Betragsfunktion

Die derzeitigen Aussage im Text sind falsch. Die Richtungsableitung in Richtung -1 ist nicht dasselbe, wie die linksseitige Ableitung. Die linksseitige Ableitung der Betragsfunktion an der Stelle 0 ist -1, soweit ist es richtig. Die Richtungsableitung in Richtung $v=-1$ ist aber

$\lim _{h\searrow 0}{\frac {|0+h\cdot (-1)|}{h}}=1.$

--Digamma (Diskussion) 14:45, 10. Jan. 2014 (CET)

Ja, das stimmt natürlich, dann wäre ich dafür, die Version vor den heutigen Änderungen wiederherzustellen. Allerdings kann sich der ganze Artikel nicht so recht entscheiden, ob |v| = 1 vorausgesetzt werden soll oder nicht. -- HilberTraum (Diskussion) 15:27, 10. Jan. 2014 (CET)

Das stimmt. Ich habe leider keinen Überblick über die Literatur. Was ist denn üblich? Eine Google-Books-Suche ergibt kein einheitliches Bild. --Digamma (Diskussion) 18:55, 10. Jan. 2014 (CET)

Ich kann am Montag mal die gängigen Lehrbücher durchschauen, aber ich „fürchte“, dass es sich da wohl auch mehr oder weniger die Waage hält. -- HilberTraum (Diskussion) 19:02, 11. Jan. 2014 (CET)

Dann bleibt uns wohl auch nichts anderes übrig, als die verschiedenen Zugänge darzustellen. Was das Beispiel betrifft: Ich habe schon an zwei Stellen weiter oben geschrieben, dass ich es für schlecht gewählt halte. --Digamma (Diskussion) 19:56, 11. Jan. 2014 (CET)

Ach so, ich wollte ja noch vom Ergebnis meiner Recherche berichten, es ist sogar noch uneinheitlicher als gedacht:

• Forster, Heuser, Rudin und Deiser setzen $\|v\|=1$ voraus
• Amann/Escher, Barner/Flohr und Fritzsche setzen $v\neq 0$ voraus
• Königsberger und Walter setzen nichts voraus: $v\in \mathbb {R} ^{n}$

-- HilberTraum (Diskussion) 13:30, 15. Jan. 2014 (CET)

Angesichts dessen halte ich die gegenwärtige Version für gar nicht schlecht: Zunächst wird die Richtungsableitung für Einheitsvektoren eingeführt. Beschränkt man sich auf Einheitsvektoren, so stimmen ja alle Definitionen überein. Im nächsten Schritt wird dann gesagt, wie die Definition auf allgmeine Vektoren v ausgedehnt werden kann. Und da gibt es dann die zwei Möglichkeiten: 1. Man setzt homogen fort; oder 2. Man setzt so fort, dass die Richtungsableitung tatsächlich nur von der Richtung und nicht von der Länge des Vektors abhängt (in diesem Fall muss man den Nullvektor ausschließen).

Nochmals zum Beispiel: Es gibt ein zweidimensionales Beispiel unter Differenzierbarkeit#Einseitige, aber keine beidseitigen Richtungsableitungen, mit Grafik. --Digamma (Diskussion) 17:52, 15. Jan. 2014 (CET)

Die 2. Möglichkeit, bei der die Richtungsableitung nicht von der Länge abhängt, habe ich allerdings außer beim angegebenen Papula nicht noch mal gefunden. Ich habe noch mal nachgeschaut: Auch die drei Bücher, die $v\neq 0$ voraussetzen, definieren sie „ganz normal“ als $\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}$. -- HilberTraum (Diskussion) 12:05, 16. Jan. 2014 (CET)

Z. B. hier wird auch die 2. Möglichkeit verwendet. (Das war der dritte Treffer bei der Google-Buch-Suche nach "Richtungsableitung". Weitere habe ich aber nicht gefunden.) Ich habe den Eindruck, dass diese Definition eher von Anwendern wie z.B. Ingenieuren verwendet wird, wobei diese aber eher den Begriff von vornherein auf Einheitsvektoren einschränken. --Digamma (Diskussion) 20:06, 16. Jan. 2014 (CET)

Definition überarbeitet

Ich habe soeben die Definition überarbeitet und Vektorpfeile entfernt sowie die Definition über normierte Richtungen entfernt. Falls diese Punkte für jemanden wichtig sind, würde ich das gerne hier besprechen. Wenn es keine Einwände gibt, würde ich die Vektorpfeile auch im restlichen Artikel entfernen. --V4len (Diskussion) 11:03, 14. Mai 2014 (CEST)

Hallo V4len, ich kann nicht nachvollziehen, dass du die Ausführungen über die unterschiedlichen Definitionen in dem Fall, dass v kein Einheitsvektor ist, entfernt. Vergleiche dazu auch die Diskussion im Abschnitt hierüber. Welchen Grund gibt es dafür, dass du die Vektorpfeile entfernst? (Und am Rande: die Diskussion hier ist nicht so lang, dass man sie archivieren müsste.) --Digamma (Diskussion) 11:10, 14. Mai 2014 (CEST)

Vektorpfeile: Wenn man die Diskussionsseite betrachtet, scheint keiner Vektorpfeile zu benutzen. Der Sinn der Vektorpfeile scheint daher sehr fraglich. --V4len (Diskussion) 13:30, 14. Mai 2014 (CEST)

normierter Fall: Wenn man die Diskussionsseite betrachtet, scheint der Fall, dass man Richtungsableitungen über normierte Richtungen definiert nur zu Verwirrungen zu führen (Abschnitt v Einheitsvektor? und Linear). Der praktische Nährwert, Richtungsableitungen im $\mathbb {R} ^{n}$ nur auf der Untermannigfaltigkeit $\mathbb {S} ^{n-1}$ zu definieren, entzieht sich mir. Man könnte diese Definition als Besonderheit aufführen (siehe z.B. englischer WP-Artikel). Allerdings halte ich es für falsch damit die allgemeine Definition zu beginnen. --V4len (Diskussion) 13:30, 14. Mai 2014 (CEST)

Zu den Vektorpfeilen: Dass auf der Diskussionsseite keine benutzt werden, hat nichts zu bedeuten. Hier möchte man sich einfach die Mühe sparen. Die Mitdiskutanten verstehen einen sowieso. Bei den Lesern des Artikels ist das aber nicht unbedingt der Fall.

Zu den normierten Richtungen: Das Problem ist, dass die Literatur sich nicht einig ist, was unter der Richtungsableitung zu verstehen ist, wenn die Richtungsvektoren nicht normiert sind. Belege waren im Artikel angegeben und stehen in der Diskussion oben. Das sollte man nicht unterschlagen. Ich bin mir nicht sicher, ob die Definition, die sich im Moment im Artikel befindet, die allgemein übliche ist. Die bisherige Version war gerade eine Reaktion auf die Verwirrung, die sich in den von dir genannten Diskussionsbeiträgen zeigt. --Digamma (Diskussion) 15:27, 14. Mai 2014 (CEST)

Würde es aus Deiner Sicht in Ordnung sein, die Definition so zu belassen und einen weiteren Punkt einzufügen, der die Überschrift Normierte Richtungsableitung trägt? Es erscheint mir so, dass die normierte Richtungsableitung nicht von allen Autoren als ein zentral wichtiges Konzept angesehen wird. Die englische WP fügt sie nur als Ergänzung an, die französische erwähnt sie überhaupt nicht. --V4len (Diskussion) 18:13, 14. Mai 2014 (CEST)

Die Bezeichnung "Normierte Richtungsableitung" gefällt mir nicht. Es wird ja nicht die Ableitung normiert, sondern der Richtungsvektor. Ansonsten gefällt mir dein Vorschlag, der, wenn ich ihn richtig verstehe, sich an der englischen Wikipedia orientiert: Erst die allgemeine Version und dann die Versionen, wo der Richtungsvektor normiert wird oder von vornherein normiert ist. --Digamma (Diskussion) 19:51, 14. Mai 2014 (CEST)

Das stimmt so nicht ganz. Eigentlich wird die Richtungsableitung normiert. Es gilt immerhin mit dieser Definition $D_{v}f(x)={\frac {\left\langle \nabla f(x),v\right\rangle }{|v|}}$, falls das totale Differential $\nabla f(x)$ existiert. Ich habe trotzdem vorerst eine andere Formulierung für die Überschrift gewählt. Wäre das so für dich in Ordnung? --V4len (Diskussion) 10:51, 15. Mai 2014 (CEST)

Da die totale Ableitung linear (und die Richtungsableitung positiv homogen) ist, spielt es natürlich keine Rolle, ob v oder die Richtungsableitung durch den Betrag von v dividiert wird. In der linearen Algebra ist ein "normierter" Vektor ein Vektor mit Betrag 1, insofern ist ${\frac {v}{|v|}}$ ein normierter Vektor aber ${\frac {\left\langle \nabla f(x),v\right\rangle }{|v|}}$ ist nicht normiert. Ansonsten ist deine Bearbeitung für mich in Ordnung. --Digamma (Diskussion) 21:30, 15. Mai 2014 (CEST)

Definition

Diese Definition ist viel zu speziell - und was ist ein Richtungsvektor? Tatsächlich ist die Richtungsableitung - so - in der Kategorie der Vektorräume definiert und zwar "in Richtung" eines Vektors. Wenn man dann den Gradienten definieren will, muß man in der Katogorie der Vektorräume mit nicht-ausgearteter Bilinearform arbeiten (nicht notwendig symmetrisch oder antisymmetrisch). So bekommt man invariante Konzepte, invariant heißt "unabhängig von Koordinaten, sprich Basen". Gerade die Physik benutzt andere Vektorräume als den Rn, z.B. die der Pauli-, Dirac- und Duffin-Kemmer-Matrizen. (nicht signierter Beitrag von 130.133.155.68 (Diskussion) 15:18, 13. Sep. 2015 (CEST))

Ich halte es aber dennoch für sinnvoll, zunächst den Spezialfall $\mathbb {R} ^{n}$ zu behandeln und die Verallgemeinerung auf (endlich-dimensionale) $\mathbb {R}$-Vektorräume anzuschließen. Meines Wissens machen das die meisten Analysis-Bücher so. --Digamma (Diskussion) 18:22, 13. Sep. 2015 (CEST)

Artikel wissenschaftlich unausgereift

der Artikel ist wissenschaftlich sehr dürftige gestaltet

1.) es gibt

• Richtungsableitung eines skalaren Feldes (hier im Artikel behandelt)
• Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes (hier im Artikel nicht behandelt)

2.) statt "normierter Vektor" muss es im Artikel "Einheitsvektor" heißen (nicht signierter Beitrag von 46.5.3.55 (Diskussion) 09:51, 12. Sep. 2019 (CEST))

"Wählt man als Richtungsvektor v → {\displaystyle {\vec {v}}} {\vec {v}} die Koordinateneinheitsvektoren e → 1 , … , e → n {\displaystyle {\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}} " ?????

• Sprachdisonanz zwischen Singular und Plural
• es gibt keine Richtungsvektoren, da ein jeder Vektor eine Raumrichtung bestimmt, per Definition. Insofern ist der Begriff eine Tautologie.

(nicht signierter Beitrag von 46.5.3.55 (Diskussion) 10:01, 12. Sep. 2019 (CEST)) Woher stammt die Definition im Artikel? Quellenangabe? In der Fachliteratur wird die Richtungsableitung eines skalaren Feldes $U({\vec {v}})$ definiert als:

• $D_{v}{f(x)}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {v}}+h\cdot {\vec {u}})-f({\vec {v}})}{h}},$

"die Koordinateneinheitsvektoren" ??? Es gibt keine Koordinateneinheitsvektoren sondern nur eine Vektorbasis. Offenbar wurde dieser Artikel von einem Mathematik unkundigen geschrieben. (nicht signierter Beitrag von 46.5.3.55 (Diskussion)) 11:44, 12. Sep. 2019 (CEST)

1. "Skalares Feld" ist eine Bezeichnung aus der Physik. In der Mathematik spricht man von Funktionen.

2. Vektorwertige Funktionen werden einfach komponentenweise abgeleitet. Insofern reicht es eigentlich, den Fall von reellwertigen Funktionen zu betrachten. Trotzdem wäre es wünschenswert, die Richtungsableitung von vektorwertigen Funktionen zu ergänzen.

3. "Normierter Vektor" ist der in der Mathematik etablierte Begriff. "Einheitsvektor" ist ein Synonym.

4. "Richtungsvektor" wird hier nicht verwendet, um zu unterstellen, es gäbe unterschiedliche Vektoren, sondern um die Rolle zu kennzeichnen, die der Vektor an dieser Stelle spielt, im Gegensatz zum Ortsvektor, der die Stelle bezeichnet, an der abgeleitet wird. Ganz entsprechend spricht man zum Beispiel bei der Parameterform einer Geradengleichung von einem "Richtungsvektor" und einem "Stützvektor".

5. Der Satzbaufehler kommt wohl daher, dass der Satz unvollständig überarbeitet wurde. Genaueres dazu findet man wahrscheinlich in der Versionsgeschichte.

6. Warum soll es keine "Koordinateneinheitsvektoren" geben? Nur weil du diese unter einem andern Namen kennst?

7. Die von dir angegebene Formel ist unsinnig. Auf der linken Seite bezeichnet $x$ die Stelle und $v$ die Richtung. Auf der rechten Seite bezeichnet ${\vec {v}}$ die Stelle und ${\vec {u}}$ die Richtung. --19:18, 12. Sep. 2019 (CEST)

Nomenklatur

Sehe ich das eigentlich richtig, dass das "D" hier aus dem Englischen von "derivative" kommt? Das kleine v steht ja nur für den Vektor, was auch ein anderer sein könnte. Aber das "D" bleibt ja quasi immer "D". Übrigens wäre es wohl ganz gut, wenn man hier die Vektorschreibweise einheitlich machen könnte. z.B. sind die Vektoren am Anfang des Artikels in den Formeln nicht als solche gekennzeichnet, während sie später mit einem Pfeil gekennzeichnet werden.--Kreuz Elf (Diskussion) 15:42, 24. Jan. 2022 (CET)