Diskussion:Ring (Algebra)

Ring mit 1

Betreffend Definition: der multipl. Teil des Rings (S, *) ist Monoid, nicht nur Halbgruppe - bezieht also ein neutrales Element ein. Kann man das so ändern ?

Es gibt Leute, die auch Ringe ohne Eins Ringe nennen wollen. (Und Diskussionsbeiträge bitte immer mit --~~~~ (zwei Minusse, vier Tilden) unterschreiben.)--Gunther 18:07, 10. Jul 2005 (CEST)

"Ring mit Eins" steht auch schon unter "Arten von Ringen". Und "Monoid" sowie "Halbgruppe" sind Begriffe, die man an dieser Stelle nicht voraussetzen sollte, weil sie viel weniger wichtig als Ringe sind.--Gunther 22:56, 15. Jul 2005 (CEST)

Der Einwand war schon berechtigt, denke ich. Viele Mathebücher (z.B. Jacobson Algebra) sprechen erst dann von "Ring", wenn es schon ein "Ring mit 1" ist. Habe deshalb den "Ring mit 1" gleich mit in die Def. gepackt. Das sollte damit klarer sein. -- JFKCom 23:11, 15. Jul 2005 (CEST)

Ehrlich gesagt kenne ich auch keine Anwendung, die den "Ring" $2\mathbb {Z}$ benutzt. Die einzigen ernsthaften Ringe ohne 1, die ich kenne, sind Faltungsalgebren.--Gunther 23:19, 15. Jul 2005 (CEST)

Naja, aber ein $2\mathbb {Z}$ ist doch ein Ideal von $\mathbb {Z}$, also insbesondere ein Unterring, insofern ist es nicht unbedingt sinnvoll, die 1 automatisch hinzuzunehmen, denn sonst wäre $2\mathbb {Z}$ ja kein Unterring, weil keine 1 da wäre. --Denoevyn 23:38, 23. Jan 2006 (CET)

Die Frage ist doch: Was habe ich davon, wenn ich $2\mathbb {Z}$ einen Ring nenne?--Gunther 10:55, 24. Jan 2006 (CET)

Wenn ich beispielsweise eine Faktorstruktur errichten will, so brauche ich ja eine "Unterstruktur", in diesem Fall einen Unterring. Dann ist es nämlich ungünstig, wenn nach Definition des Ringes mit 1 $n\mathbb {Z}$ für jedes gerade $n\in \mathbb {N}$ kein Ring ist. --Denoevyn 15:31, 24. Jan 2006 (CET)

Für einen Faktorring brauchst Du nicht einen Unterring, sondern ein Ideal. Was hast Du davon, wenn Du Ideale auch "Ringe" nennen kannst?--Gunther 16:09, 24. Jan 2006 (CET)

Was hab ich davon, mich nochmehr einzuschränken. ein ring sollte allgemein definiert sein ohne 1. und das andere ein Spezialfall. Ringe sind ja auch Spezialfälle von Modulen und trotzdem nenn ich es Ringe. Deshalb dürfen Ideale auch Ringe sein. Einzigstes Sinnvolles agument für Ring mit eins als Ring ist in meinen Augen Vereinfachung für Nichtmathematiker... Jimi Slang 15:51, 27. Jan 2006 (CET)

Es ist aber doch ziemlich blöd, zu erzwingen, dass in jedem Ideal die 1 drin ist. Dann ist jedes Ideal gleich der ganze Ring (weil abgeschlossen durch Multiplikation von außen) --Constantin Greubel 23:35, 22. Jun. 2007 (CEST)

Die Diskussion ist zwar schon lange her, aber meiner Meinung nach ist genau das der Punkt und die Antwort auf untenstehende Frage von Gunther 16:41, 27. Jan 2006: die theoretischen Vorteile von Ringen ohne 1 liegen darin, dass nichttriviale Ideale eben Ringe ohne 1 sind. Verlangt man, dass Ringe immer eine 1 haben, muss man die Idealtheorie neu schreiben. --NeoUrfahraner 08:58, 27. Sep. 2007 (CEST)

Wie gesagt: Welche Probleme kann ich mit einer Theorie der Ringe ohne Eins lösen, welche theoretischen Vorteile haben sie? Ein einfaches "ist allgemeiner" genügt mir nicht, es gibt genügend relativ irrelevante Verallgemeinerungen (Halbring, Fastring) des Ringbegriffes. (Ein paar Vorteile der Eins: Einfachere Schreibung von erzeugten Untermoduln $A\cdot m$ statt $\{am+nm\mid a\in A,n\in \mathbb {Z} \}$, Einheitengruppen, Einsetzung von Elementen einer Algebra in ein Polynom über dem Grundring.)--Gunther 16:41, 27. Jan 2006 (CET)

Ich kann deine Agumente nachvollziehen, aber ich würde mich hier echt an zwei gesichtspunkte orientieren: 1) Verständniss (ein Mathematiker oder Mathematikstudent >1 Semester wird Ringe nicht nachschlagen müssen...); es sollte für Interessierte und Schüler nachvollziehbar sein. Da kommt Ring mit 1 natülich besser, da es einfacher zu verstehen ist. Außerdem ist Ring ja an Z, welcher mit 1 ist orientiert, welches als Standartbeispiel angesehen werden kann. 2) ist Korektheit, und da kommt es eben auf die Lehre an. Ich bin von der Lehre eher für allgemeine Gültigkeit. Außerdem, definiert man es mit 1 muss man auch wieder ohne 1 irgendwo hinschreiben. Aber es ist persönliche Meinung. Deshalb finde ich die aktuelle Darstellung auch gut. => Persönlich finde ich es so wie es ist gut. Aber ich könnte mich auch mit andere Definition anfreunden, da es eventl Verständlicher und eben historisch gegeben ist. Im Grunde ist es eh eine Konventionsfrage,... . Jimi Slang 13:14, 28. Jan 2006 (CET)

Ringe ohne Eins gibt es, z. B.: Nullring, Zeroringe. Die Definition letzerer habe ich leider nicht genau im Kopf, und an das Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaften (Herausgeber: Dreszer), Abschnitt 25.28, wo Ringe erklärt werden, komme ich jetzt nicht heran.--Gandalf Mithrandir 10:12, 14. Apr. 2008 (CEST)

IMO ist der Nullring kein Ring ohne Eins, sondern das einzige Element des Rings, das Nullelement, ist auch gleichzeitig das Einselement, denn es gilt: $\forall a\in \{0\}:0\cdot a=a\cdot 0=a$--Gidoca 18:57, 5. Mär. 2009 (CET)

Wichtig ist in dem Zusammenhang auch folgendes: Ein Ring, der eine 1 hat, aber nicht als Ring-m-1 aufgefasst wird, kann einen Ringhomomorphismus in einen anderen Ring haben, der aber kein Ring-m-1-Homomorphismus ist. Beispiel: $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, wobei $x\mapsto (x,0)$. Das ist ein Ringhomomorphismus, aber kein Ring-m-1-Homomorophismus. Darum sollte man die Begriffe trennen. --Humni 13:10, 18. Nov. 2009 (CET)

Kommutativität der Addition

Ich finde, dass der Abschnitt, der besagt dass die Kommutativität der Addition eines Ringes aus den übrigen Axiomen folgt, wieder zu den Eigenschaften verschoben werden sollte. Denn würde man in den Axiomen die Kommutativität der Addition nicht fordern, was reine Geschmackssache ist, dann wäre das eine sehr wichtige Eigenschaft von Ringen. Zum anderen handelt es sich in unserem Fall zwar bei Die Addition ist kommutativ zwar nicht mehr um eine erwähnenswerte Eigenschaft, da diese axiomatisch vorgegeben ist. Aber die Aussage aus den übrigen Axiomen folgt die Kommutativität der Addition halte ich schon für eine relevante Eigenschaft, die zum Beispiel beim Nachprüfen einer gegebenen Struktur auf die Ringeigenschaften (per Hand oder Computerprogramm) vorteilhaft angewendet werden kann. Unter Verallgemeinerungen ist dieser Abschnitt in meinen Augen schlicht deplaziert. Eine vernünftige Alternative wäre es noch, den Abschnitt direkt als Kommentar unter die Definition zu verschieben, so wie es auch in Gruppentheorie der Kommentar, dass es reicht Linksinverses und Linksneutrale zu fordern, hinter der Definition steht.--MKI 20:39, 16. Jul 2005 (CEST)

Es definiert aber (soweit mir bekannt) niemand Ringe, ohne die Kommutativität der Addition zu fordern. Deshalb ist das Weglassen dieser Forderung eine potentielle Verallgemeinerung, die sich eben dann als derselbe Begriff herausstellt. In diesem Sinne ist das eine nette Randbemerkung, die man für meinen Geschmack gut unter "Verallgemeinerungen" unterbringen kann.

Von Versuchen, Axiome auf ein Minimum zu reduzieren, halte ich wenig. Ich habe mit Sicherheit noch bei keinem Ring von Hand oder per Computerprogramm die Kommutativität der Addition überprüfen müssen, und ich kann mir auch keinen Fall vorstellen, in dem das nötig wäre. Die Probleme sind meistens anderer Art. (Auch im Fall von Gruppen möchte ich behaupten, dass es nur in Ausnahmefällen wirklich eine Vereinfachung darstellt, nur Linksinverse und -neutrales überprüfen zu müssen.)--Gunther 22:09, 16. Jul 2005 (CEST)

Irgendwie habt ihr beide recht. Der Sport des Minimierens von Axiomen auf Kosten der Verständlichkeit ist ein Irrweg, ok. Trotzdem finde ich wie MKI, daß der bessere Platz für die Bemerkung über die Redundanz der Kommutativitätsforderung direkt im Anschluß an die Def. oder bei den Eigenschaften ist: Wer einen Beweis über die Ringeigenschaft einer Struktur führen muß oder will, kann sich hier evtl. manchmal ein bißchen Arbeit sparen. Daneben sagt die Beobachtung auch ein bißchen was über die Mächtigkeit der Distributivgesetze aus, führt aber eben nicht tatsächlich zu einer Verallgemeinerung eines Rings.--JFKCom 22:32, 16. Jul 2005 (CEST)

Sagt mir bitte ein (1) Beispiel, in dem man sich so Arbeit sparen kann. (Und bitte nicht irgendwelche Zahlentabellen hinschreiben, so entstehen Ringe in der Praxis nicht.)--Gunther 22:34, 16. Jul 2005 (CEST)

In dem verhungerten Beispiel, das mir jetzt spontan einfällt, erspart man sich Schreibarbeit: Sei R komm. Ring m. 1, S ein Submonoid des multiplikativen Monoids von R. Konstruktion eines Quotientenringes als Übungsaufgabe: Führe die Relation (a,s) rel (b,t) in R x S durch die Bedingung "es ex. ein u aus S mit u(at-bs) = 0" ein. Wenn jetzt die Aufgabe lautet, die Eigenschaft einer Äquiv-relation u. die Ringeigenschaft des Quotienten-Gebildes zu beweisen, dann kann man sich die Kommutativität schreibtechnisch sparen.--JFKCom 00:59, 17. Jul 2005 (CEST)

Du meinst $(ta+sb,st)=(sb+ta,st)$?--Gunther 02:04, 17. Jul 2005 (CEST)

Wenn du prüfen willst, ob ein Fastring bereits ein Ring ist, dann reicht es aus das fehlende Distributivgesetz zu überprüfen, die Kommutativität der Addition muss nicht überprüft werden. Fastringe treten auf z.B als die Struktur der Menge der Transformationen (Abbildungen G->G) einer Gruppe (G,+) zusammen mit der Verknüpfung als Fastringmultiplikation.--MKI 01:14, 17. Jul 2005 (CEST)

Klingt für mich nach Exotik, die unter Fastring besser aufgehoben ist. (Irgendwie scheine ich auch das Beispiel nicht zu verstehen: Ist die Addition in diesem Fastring nicht genau dann kommutativ, wenn G abelsch ist?)--Gunther 02:04, 17. Jul 2005 (CEST)

Dein Einwand ist natürlich richtig, der Nachsatz sollte aber auch nur verdeutlichen, warum Fastringe einigermaßen natürlich als Strukturen auftauchen, und deshalb eben nicht völlig exotisch sind. Immerhin gibt es eine Arbeitsgruppe an der Uni Linz, die sich intensiv mit Fastringen auseinandersetzt. Wenn du wirklich ein ganz konkretes Anwendungsbeispiel willst: Von dieser Arbeitsgruppe existieren ellenlange Fastring-Verknüpfungstabellen (ich kann sie momentan leider nicht mehr finden, wurden die vom Netz genommen?), und zwar von allen >3000 Fastringen der Ordnung <32. Wenn du jetzt aus diesen Fastringen die Ringe herauspicken willst, reicht es, das fehlende Distributivgesetz nachzuprüfen.

Ein weiterer Versuch diesen Strukturen die Exotik zu nehmen: Bei der Koordinatisierung projektiver Ebenen treten Fastkörper auf (also grob gesagt Körper mit nur einem Distributivgesetz und nicht zwingend kommutativer Addition).--MKI 02:35, 17. Jul 2005 (CEST)

Ich fürchte, exotisch bleiben sie (vgl. [1]). Ich kann mir gerade nicht vorstellen, wie Fastkörper definiert sind (ohne dass die Implikation (Fastkörper und Ring) => Schiefkörper wahr wäre, denn dann könnte ich Dir diejenigen mit Ordnung <32 aufzählen ;-). Aber ich kann auch einfach auf Fastring warten :-) --Gunther 02:50, 17. Jul 2005 (CEST)

Sorry, da war ein Tippfehler drin. es sind >3000 Fastringe und nicht Fastkörper der Ordnung <32. Definition eines Fastkörpers K: (K,+) Gruppe, neutrales Element 0; (K\{0},*) Gruppe, neutrales Element 1; Rechtsdistributivgesetz; 0*a=0 für alle a aus K (muss gefordert werden, da es kein Linksdistributivgesetz gibt). Der kleinste Fastkörper, der kein (Schief)körper ist, hat Ordnung 9.

Zu deiner Anspielung auf Fastring: Einen Stub könnte ich schreiben, viel mehr aber nicht. Auch wenn es einen anderen Eindruck erweckt haben mag: Eigentlich weiß ich nicht mehr über Fastringe, als ich in dieser Diskussion aufgeschrieben habe.--MKI 03:11, 17. Jul 2005 (CEST)

Bitte versteht mich nicht falsch: Ich bin fest der Ansicht, dass die Kommutativität der Addition in der Definition gefort werden sollte. Sollte jedoch ein Minimalist dagegen argumentieren, so ist es letztlich eine Frage der Ästhetik, wer mit seiner Meinung recht hat, eine Geschmackssache also.

Unabhängig von der exakten Definition halte ich es für sehr interessant, dass man auch mit Hilfe der beiden Distributivgesetze die Summanden vertauschen kann. Warum diese Beobachtung unter Verallgemeinerungen verbannt werden sollte, erschließt sich mir nicht. Was spricht denn dagegen, sie stattdessen im Anschluss an die Definition oder doch wieder unter Eigenschaften (es ist eine Eigenschaft, dass die Kommutativität der Addition aus den restlichen Axiomen folgt) zu bringen?--MKI 00:25, 17. Jul 2005 (CEST)

Unter "Eigenschaften" erwarte ich Eigenschaften von Ringen. Die fragliche Aussage ist aber eine Eigenschaft von "Ringen-mit-nicht-notwendigerweise-abelscher-additiver-Gruppe", denn sie hat nicht die Form "Für alle Ringe...", sondern "Für alle RmnnaaG..."--Gunther 00:51, 17. Jul 2005 (CEST)

Naja, wenn man das Ergebnis der Wegnahme des verzichtbaren Axioms bereits antizipiert, so ist es m.E. doch eine Eigenschaft aller Ringe, aber das ist vielleicht etwas subjektiv. Wichtig wäre ja nur, dass es optisch in der Nähe zur Def. gebracht wird, wegen mir z.B. in einem eigenen Kapitel "Bemerkungen" oder so.--JFKCom 01:08, 17. Jul 2005 (CEST)

Gut, dann setzen wir es halt unten in den Abschnitt Definition rein. Je länger ich darüber nachdenke, desto richtiger erscheint es mir, ganz allgemein direkt nach der Definition auf etwaige Redundanzen hinzuweisen. Bist du damit einverstanden?--MKI 01:14, 17. Jul 2005 (CEST)

Ich sehe in der Bemerkung ausschließlich eine Nichtexistenzaussage für eine bestimmte Verallgemeinerung, deshalb gehört sie thematisch dort hin. Wenn Ihr mir irgendeinen praktischen Nutzen dieser Information nennen könnt, dann bin ich gerne bereit, meine Sichtweise zu ändern.

Vielleicht ein kleiner anekdotischer Hinweis: Es hat etwa 35 Jahre gedauert, bis jemand bemerkte, dass von den vier Axiomen für triangulierte Kategorien eines überflüssig ist. Derartige Fragestellungen sind einfach nicht wichtig. Wir sollten uns lieber um Aussagen über Ringe und Ringtheorie bemühen, deren Bedeutung unzweifelhaft ist, s.u.--Gunther 01:50, 17. Jul 2005 (CEST)

Wenn ich den verlinkten Artikel über die triangulierten Kategorien richtig verstehe, dann wird dort in dem auf die Definition folgenden Abschnitt Comments on the axioms auch auf die Redundanz eines Axioms eingegangen.--MKI 02:15, 17. Jul 2005 (CEST)

Habe mich als Kompromissvorschlag an diesen anderthalb Zeilen orientiert.--Gunther 02:24, 17. Jul 2005 (CEST)

ok, mit dem Kompromiss bin ich einverstanden, zumal der betreffende Abschnitt unter der geänderten Überschrift jetzt auch besser passt. Dass die Folgerung zunächst nur für Ringe mit 1 gilt, hatte ich übersehen. Ringe ohne 1 finde ich exotisch. Natürlich stellt sich sofort die Frage, ob es einen nicht-unitären "Ring" mit nicht-kommutativer Addition gibt.--MKI 02:57, 17. Jul 2005 (CEST)

Ich finde Ringe ohne 1 auch exotisch, aber wenn man schon immer sagt "kommutativer Ring mit 1", dann muss es doch auch Ringe ohne 1 geben ;-) --Gunther 03:10, 17. Jul 2005 (CEST)

Es wird auch gelegentlich von assoziativen Ringen (google Suche "associative rings" gibt 34.100 Treffer) geredet, d.h. es muss auch nicht-assoziative Ringe geben. Darüber weiß ich allerdings nichts, im Artikel sollte es aber erwähnt werden.--MKI 03:16, 17. Jul 2005 (CEST)

Ok, Du hast gewonnen, wir nehmen die 1 mit in die Axiome :-) --Gunther 03:20, 17. Jul 2005 (CEST)

Grundsätzliches

Ich störe mich ein wenig daran, dass der Artikel zwar "Ringtheorie" heißt, aber eigentlich nichts über die Ringtheorie aussagt. Ich frage mich, ob man den Artikel nicht in zwei Artikel Ringtheorie und Ring (Mathematik) aufteilen sollte. (Deshalb verlinke ich auch seit einiger Zeit den Redirect Ring (Mathematik), wenn es nicht ausnahmsweise tatsächlich um Ringtheorie geht.)

Das Problem mit Ringtheorie ist, dass es eigentlich meistens entweder um kommutative Algebra oder um Algebrentheorie oder um nichtkommutative Algebra geht. Ich möchte Euch also zu einem kleinen Brainstorming einladen, was in diesem oder ggf. auch einem zweiten Artikel erwähnt werden sollte. Denn auch zum Thema "Ring" steht ja nicht gerade viel im Artikel, auch sinnvolle Links zum Weiterlesen sind nur schwer auszumachen.--Gunther 00:16, 17. Jul 2005 (CEST)

• Ideale, maximale / endlich erzeugte Ideale. Primideale?
• Moduln
• Beispiele:
  • Körper
  • $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$
  • $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$
  • Polynomringe (bzw. -algebren), Ringe von formalen Potenzreihen
  • Endomorphismen-Ringe
  • Matrizenringe (bzw. -algebren)
  • nichtkommutative Polynomringe, äußere Algebra
  • $k[X,\partial ]$ mit $[\partial ,X]=1$
• Eigenschaften von Ringen:
  • nullteilerfrei(Integritätsring) / reduziert
  • noethersch/artinsch/endlich erzeugt
  • Hauptidealringe
  • ZPE-Ring, faktoriell, euklidisch
  • (pseudo-)bewertet, angeordnet

Ich würde ja wagen zu behaupten, dass alles, was bisher in Ringtheorie steht, nach Ring (Mathematik) gehört. Hier in Ringtheorie gehört eher synoptisches, also Gesamtschauen, die Hauptidealringe, faktorielle Ringe und vieles mehr so ein bisschen in einen Zusammenhang zueinander stellen, ohne die einzelnen Ringarten selbst zu definieren (das sollte dann jeweils ein eigener Artikel). Mit Deiner Brainstorming-Liste tu' ich mich etwas schwer. Wieso tauchen da z.B. "Körper" auf?--JFKCom 22:53, 1. Okt 2005 (CEST)

Weil sie ein wichtiger Spezialfall sind, auf den sich viele Probleme zurückführen lassen (Nakayama-Lemma, Henselsches Lemma).--Gunther 23:12, 1. Okt 2005 (CEST)

Ok. Und zum Rest meiner Ausführungen?--JFKCom 23:33, 1. Okt 2005 (CEST)

Öhm, ich dachte, das sei i.w. dasselbe wie das, was ich oben schon schrieb. Allerdings finde ich, dass das, was bisher unter Ringtheorie steht, auch für Ring (Mathematik) zu wenig ist, das könnte man mit den o.g. Beispielen ein wenig auffüttern. Das Brainstorming sollte Substanz für beide sammeln, die genaue Trennung müsste man halt noch finden.--Gunther 23:42, 1. Okt 2005 (CEST)

Ok, verstanden u. oben kl. Ergänzungen gemacht.--JFKCom 00:00, 2. Okt 2005 (CEST)

Warum nicht eine Aufgabenteilung vornehmen und sich an den vorgeschlagenen Artikel über Ringtheorie machen? Ich wäre auf jeden Fall dabei. --Denoevyn 15:44, 24. Jan 2006 (CET)

Wozu braucht man Ringe?

das ist mir noch nicht ganz klar.. und steht auch nicht im artikel.. wenn das also jem. ergaenzen wuerde?? waere sehr nett..--212.152.234.254 21:43, 12. Nov 2005 (CET)

mein persönlicher Vorschlag hierzu: Um Ordnung in Begriffen zu schaffen, um zu systematisieren, vieleicht hilft dir Hierarchie mathematischer Strukturen.

Ich verstehe ehrlich gesagt auch kein Wort,aber das liegt nicht speziell an diesem Artikel,sondern das geht mir bei allen mathematischen Lemmata so (ich komme akademisch nicht aus der Mathematik,sondern aus der Ökonomie, und da wird die Mathematik nur in Grundzügen gestreift).Oft verbirgt sich hinter den Formeln etwas so Einfaches, dass einem hinterher die Frage peinlich ist. Wie wäre es,wenn man jeweils ein kurzes Beispiel geben würde, dass auch den Nichtmathematiker ein bisschen auf die richtige Fährte lockt;-)?--85.182.55.126 08:48, 17. Jul. 2007 (CEST)

Ich habe jetzt ein paar Beispiele ergänzt. Besser? Wo wäre noch ein Beispiel passend? --NeoUrfahraner 12:47, 17. Jul. 2007 (CEST)

Sehr gut!Das ist so für jeden nachvollziehbar.--85.182.54.106 11:49, 18. Jul. 2007 (CEST)

Links zu den fremdsprachigen Wikiseiten

Die engl. Wiki enthält "Ring theory" und "Ring (mathmatics)". So weit ich erkennen kann sind im deutschen Wikiartikel Ringtheorie und Ring gemeinsam abgehandelt. Das schafft in der Verlinkung einige Verwirrung. Ich weiß aber nicht, wie man das lösen könnte. Am besten sollte man die beiden englischen Artikel "Ring theory" und "Ring (mathmatics)" verschmelzen. In der spanischen Wiki wird alles unter dem Thema Ring abgehandelt - Anillo (matemáticas). Von dort wird auf die deutsche Ringtheorie verwiesen, aber nicht umgekehrt. In der russischen Wiki wird auch alles unter dem Thema Ring abgehandelt - "Кольцо (алгебра)" und nicht auf den deutschen Artikel Ring verweisen. Im deutschen Artikel wird auch nicht auf den russischen Artikel verwiesen.--stefan 14:15, 28. Dez 2005 (CET)

Es gibt die Absicht, den Artikel aufzuspalten, s.o.--Gunther 14:34, 28. Dez 2005 (CET)

Halbgruppe oder nicht.

Ich finde, dass es ei der Defintion vom Ring klarer und stukturierter ist, wenn man sagt, dass (M,*) eine Halbgruppe ist und nicht einfach sagt, dass die Multiplikation assoziativ ist. Das verführt einen zum denken, die Addition wäre es nicht oder zu der Frage: "Und was ist die Multiplikation sonst noch?". Würde dort "Halbgruppe" stehen, wüßte man sofort welche Eigenschaften verlangt sind und die beiden Verknüpfungen wären klar voneinander abgegrenzt. Ansonsten muß man erstmal selber im Text suchen welche Eigenschaften "*" bei den gemeinsamen Defintionen "geerbt" hat. Ich habe versucht das zweimal zu ändern. Beide Male hat es Squizzz wieder rückgängig gemacht. 129.69.212.49 15:29, 18. Nov. 2006 (CET)

Es steht aktuell dort: die Multiplikation ist eine innere zweistellige, assoziative Verknüpfung. Des Weiteren gilt das Distributivgesetz. Mehr sagt der Begriff Halbgruppe auch nicht. Zur Aussage „Würde dort "Halbgruppe" stehen, wüßte man sofort welche Eigenschaften verlangt sind“: Diese stimmt nur, wenn man sofort weiß, was eine Halbgruppe ist. Zur Frage, welche Darstellung schöner und eingänglicher ist haben wir beide anscheinend unterschiedliche Meinungen. Wie ist die Meinung von anderen? --Squizzz 15:59, 18. Nov. 2006 (CET)

Das ist nicht die Wahrheit. Das steht dort nicht sondern wird dem Leser erst ersichtlich, wenn er den ganzen Abschnitt des Artikels gelesen hat. Genau diese schwammige und nicht sofort ersichtliche Trennung halte ich auch für verwirrend. Auch deine Meinung zu meiner Aussage kann ich nicht nachvollziehen. Wieso stört dich dann nicht, dass dort bei (M,+) eine "abelsche Gruppe" steht. Das wäre nach deiner Auslegung auch nicht sofort klar. Also entwerder man erklärt beide Verknüpfungen mit einer Aufzählung der Eigenschaften, wie du es bei (M,*) machen willst oder man beschreibt es einfach mit dem Begriff der dafür in der Mathematik erfunden wurde, wie es bei (M,+) steht. Eine Vermischung von "einzelner Begriff" und "Aufzählung der Eigenschaften" wirkt, meiner Meinung nach, unübersichtlich. 129.69.212.49 16:28, 18. Nov. 2006 (CET)

"Halbgruppe" ist im Vergleich zu "Ring" oder "abelsche Gruppe" ein extrem unwichtiger Begriff, zumindest in der Algebra.--Gunther 14:48, 20. Nov. 2006 (CET)

Halbgruppen haben auch ihre Bedeutung, etwa die Worthalbgruppe über einem endlichen Alphabet. Dies wird in der Theorie der formalen Sprachen und Grammatiken benutzt.--Gandalf Mithrandir 10:12, 14. Apr. 2008 (CEST)

Literatur

Der Hinweis auf die Literaturliste eines anderen Wikipediaartikels ist unschön und sollte unerlassen werden. Findet sich jemand, der dem Text eine eigene kleine Lit-liste schafft?--Blaufisch 10:32, 1. Mai 2007 (CEST)

Nun ja... Ich bin zwar kein Algebra-Experte und erst recht kein professioneller Ringtheoretiker, aber AFAIK gibt es kaum Literatur, die sich ausschliesslich mit der Ringtheorie beschäftigt. Dafür wird diese ausgiebig in jedem Lehrbuch zur Algebra durchgekaut. Die Literaturliste aus dem Artikel Algebra zu kopieren halte ich persönlich nicht für sinnvoll. Oder geht es Dir ausschliesslich um die Optik? MfG T-time 15:59, 25. Jul. 2007 (CEST)

Da kann man schon was angeben, Ringtheorie wird aber schnell mal zur Theorie von Moduln über Ringen. --Enlil2 22:58, 7. Aug. 2007 (CEST)

OMA - Prinzip

Es gibt einige Passagen in dem Text wofür man viele andere Sachen lesen muss, so dass man den Artikel nicht lesen kann ohne ein bestimmtes Grundwissen. Das ist nicht im Sinne von Wikipedias OMA-Prinzip. (OMA-Artikel: Ohne die mindeste Ahnung).

OMA oder OdA? Wer sich mit Mathematischen Strukturen beschäftigt, der muß wissen was Eigenschaften wie Assoziativ, Kommutativ und Distributiv bedeuten, denn anhand solcher Eigenschaften, werden Strukturen wie Ringe, Gruppen, Körper klassifiziert. Es ist dann auch ohne weiteres möglich damit die Abschnitte zur Definition und Eigenschaften zu verstehen (Daran arbeite ich grad). Damit weiß der nichtmathematiker dann schonmal, was er unter einem Ring zu verstehen hat. Außerdem muß der Artikel auch noch weiterführende Informationen enthalten, die für Informatiker, Algebraiker und sonstige, die Ringe untersuchen benötigen (Isomorphie, beziehungen zu Körpern und Idealen).--Askanius 14:57, 24. Feb. 2008 (CET)

Andernfalls soll in Beispielen die Anwendung eines Ringes beispielsweise auf gewisse Relationen darstellen. Das setzt die jeweiligen Kenntnisse voraus und stellt wichtige Zusammenhänge dar.--Askanius 16:30, 24. Feb. 2008 (CET)

Ringtheorie?

Ich finde es wirklich schade, dass in diesem Artikel - wie oben vor einigen Jahren schon diskutiert - immer noch kein einziges Wort über Ringtheorie steht, z.B. Zusammenhang mit anderen Teilgebieten der Mathematik, Geschichte, wichtige Sätze und Ergebnisse, Methoden der Ringtheorie, Anwendungen innerhalb und außerhalb der Mathematik usw. --129.187.111.146 13:54, 25. Feb. 2008 (CET)

Dafür bräuchte man aber einen Autor, der mehr als nur Halbwissen im Umfang einer Algebra-1-Vorlesung mitbringt.--80.136.140.247 01:14, 29. Feb. 2008 (CET)

Ich finde es auch komisch. Nur in anderer Art - und zwar wieso der Artikel überhaupt so heißt. Ringe sind doch auch nur "irgendwelche" Strukturen oder? Natürlich fallen mir zu keiner Struktur gerade viele "praktische" Anwendungen ein, aber gibt es in der "Ringtheorie" extra viel Forschung oder wie ist das. Es heißt ja auch nicht "Körpertheorie"... sry wenn ich mich irre. --WissensDürster 20:27, 31. Jan. 2009 (CET)

In der englischen Wikipedia gibt es auch zwei Artikel en:Ring (Mathematics und en:Ringtheory. Ich finde das sollte hier langfristig auch unser Ziel sein. --Christian1985 (Diskussion) 20:03, 7. Apr. 2011 (CEST)

Abschwächung der Axiome

In diesem Teil heißt es, dass die Argumentation auch für nicht-assoziative unitäre Ringe gilt, die es per Definition nicht gibt. Bitte ändern. --Lasker82 12:36, 14. Jul. 2008 (CEST)

Dieser Missstand ist jetzt auch wieder von Benutzer:Frogfol festgestellt worden. Aber anstatt alles rauszuschmeißen, könnte man auch daran denken, eine Bemerkung und einen Verweis zu den Algebren in den Abschnitt "Verallgemeinerungen" reinzutun. --Nomen4Omen (Diskussion) 11:38, 15. Okt. 2013 (CEST)

Ich bin da anderer Meinung. Der Verweis auf "nicht-assoziative Ringe" wurde damals ohne Beleg eingefügt. So lange keine Quelle angegeben wird, wo der Begriff benutzt wird, hat er auch in wikipedia nichts zu suchen. (Dass nicht-assoziative Algebren eine Rolle spielen, ist klar, aber sie werden als Algebren untersucht und als solche bezeichnet, nicht als Ring.)

Allerdings sollte man den Begriff der Algebra unter Verallgemeinerung erwähnen, (aber dann eben dort nicht die nicht-A erwähnen, das macht der entsprechende Artikel dort.) Gruß--Frogfol (Diskussion) 16:56, 15. Okt. 2013 (CEST)

So war's in etwa gemeint. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:10, 15. Okt. 2013 (CEST)

Dann ists ja gut.^^ Wobei ich nochmal drüber nachgedacht habe. Ich füge mal die Algebren unter s. a. ein. Dass die Algebren Verallgemeinerungen von Ringen sind, hab ich noch nicht gelesen.--Frogfol (Diskussion) 20:30, 15. Okt. 2013 (CEST)

Im Artikel Fastkörper gibt es einen Hinweis auf diesen hier mittlerweile gelöschten Abschnitt. Was tun? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:30, 11. Nov. 2013 (CET)

Die Frage ist, ob die Abschwächung der Axiome wirklich relevant ist. Als Bemerkung könnte man das einfügen, sozusagen analog zu den Trivia bei den Filmen, nicht jedoch an prominenter Stelle. In den Lehrbüchern, die mir bekannt steht, steht das höchstens in den Übungsaufgaben. Als Möglichkeiten sehe ich daher:

1. Bei Fastkörper die Bem streichen.
2. Bei FK den link löschen
3. Hier eine neue Bemerkung wieder einfügen.

Ich bin für 1 (oder 2), da es sich um eine leichte Übungsaufgabe für Anfänger handelt, die auch sonst normalerweise nicht bewiesen wird.

Ich sehe, du hast begonnen, mir beim Korrigieren der links zu helfen. Man, ich hatte beim Umnennen gar nicht geschaut, wie viel Arbeit das ist.^^. Andererseits stolpere ich so über manch andere kleine Fehler und verbessere. Und ich denke, dass die Korrektur trotz WL richtig ist, da dann Ringtheorie frei wird für einen richtigen Artikel Grüße --Frogfol (Diskussion) 14:52, 11. Nov. 2013 (CET)

Ich habe mich mal für 2 entschieden. Ja, die Links auf Ringtheorie sollten stehenbleiben, ebenso wie auf kommutativer Ring, Ring mit Eins o.ä., weil da jeweils eigene Artikel draus werden können. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:25, 11. Nov. 2013 (CET)

Box

Ich finde die Box vollkommen überflüssig, da der Bezug zu anderen Artikeln im Text besser hergestellt werden kann. In anderen Artikeln habe ich die Box auch schon teilweise entfernt. Wie ist eure Meinung dazu? --Stefan Birkner 19:46, 6. Nov. 2008 (CET)

Also zum einen muss man sagen, dass die Box mal sehr schlecht formatiert ist. Inhaltlich finde ich sie schon sehr wichtig. Insbesondere beim Thema Algebraische Strukturen / Algebra. Man definiert hier so oft spezielle Strukturen durch andere - das ich selbst als Student zu Beginn nur am hin und her blättern war... schaut man sich doch hier an "Ein Ring ist eine abelsche Gruppe..." da sollte das Mathe-Portal mal dringend was vereinheitlichen. Grüße --WissensDürster 20:03, 31. Jan. 2009 (CET)

Definition Ring...

Hier habe ich zu folgender Formulierung eine Frage:

   "es gelten die Distributivgesetze, d. h. für alle a,b,c...." 

Ist es nicht eher so, dass NUR die [folgenden] Distributivgesetze gelten sollten. Denn die Addition ist über der Multiplikation NICHT distributiv. Und "Distributivgesetz" beschreibt das allgemeine Verhältnis zwischen beliebigen Verknüpfungen, und nicht nur das, was wir zufällig aus dem Alltag kennen. Das "Wesen" eines Ringes würde deutlicher werden, wenn es anders formuliert würde - z.B. der Unterschied zu "Booleschen Algebren", in denen tatsächlich "alle" gelten. Grüße --WissensDürster 15:28, 7. Jan. 2009 (CET)

"Die Addition über der Multiplikation" ich verstehe nicht, wie du das meinst, man spricht eigentlich von "Operator über Trägermenge" und nicht von "Operator über Operator". --F GX 13:53, 31. Jan. 2009 (CET)

Tut mir leid. Das war auch weniger eine Frage, als eine Feststellung. Ich habs geändert und der Sichter hats ja auch gleich akzeptiert. Meine Formulierung ist schon richtig. Es wird sogar hier in der Wikipedia erwähnt (siehe dazu Distributivgesetz): Es gibt aber auch Kombinationen von Verknüpfungen, die sich nicht distributiv zueinander verhalten; zum Beispiel ist die Addition nicht distributiv über der Multiplikation. Grüße --WissensDürster 20:00, 31. Jan. 2009 (CET)

Definition mit assoziativer Multiplikation

Warum wird unter Definitionen noch einmal gesondert die Assoziativität gefordert? Wenn man Abelsche Gruppe mit Distributivgesetzen schreiben würde, würde das doch schon ausreichen oder nicht? Assoziativität ergibt sich schon aus der Gruppeneigenschaft. --F GX 13:54, 31. Jan. 2009 (CET)

Hallo. Ich denke du beziehst dich auf die Definition "Ring"? Wie da steht ist das eine algebraische Struktur mit 2 inneren Verknüpfungen. Die eine ("+") bildet für ihren Teil Eigenschaften die total unabhängig von der anderen sein können. Und es ist eben so das "R" mit "plus" eine abelsche Gruppe ist (diese ist per Def assoziativ). Und die "Multiplikation" ist eben auch assoziativ. --WissensDürster 19:57, 31. Jan. 2009 (CET)

Im Englischen scheint es allerdings auch die Definition des nichtassoziativen Ringes zu geben, etwa die des alternativen Ringes. Jedenfalls geht dergleichen aus der englischsprachigen Wikipedia hervor. Wie würde man eine derartige Struktur im Deutschen nennen, wenn man nicht annehmen will, dass ihr ein Körper zugrunde liegt und man daher ohnehin von einer nichtassoziativen Algebra sprechen kann?--Slow Phil (Diskussion) 15:19, 7. Jan. 2014 (CET)

Tabelle rechts oben

Ich galube die könnte man schöner designen. Der Rand und die Farben ergeben irgendwie kein schönes Bild, oder was meint ihr? --Jobu0101 13:21, 12. Nov. 2009 (CET)

Man könnte sie auch ganz rauswerfen, da die Zusammenhänge im Artikel viel besser dargestellt werden. --Stefan Birkner 20:05, 12. Nov. 2009 (CET)

Muss man sich eben überlegen. --Jobu0101 15:30, 18. Nov. 2009 (CET)

Kollege Birkner ist seit langem für Rauswerfen; ich plädiere einmal mehr für Beibehalten: die Naviboxen sind komplementär zum Text. Im Text: Zusammenhänge ausführlich dargestellt. In der Box: Zusammenhänge knapp andeuten, spielerisches durch-die-Algebra-Klicken ermöglichen. Wofür natürlich wichtig ist, dass die Boxen nicht mal eben aus einzelnen Artikeln rausgeworfen werden.

Über eine Neugestaltung würde ich mich sehr freuen. Zweckmäßigerweise sollte man dann aber nicht in 20+ Algebra-Artikeln händisch Farben und Ränder wechseln, sondern ein Template programmieren.

Vielleicht ließe sich im Rahmen einer solchen Neugestaltung auch der Konflikt mit Stefan lösen, indem man die Boxen vom Anfang ans Ende der Seiten verlegt - dort ist man von vielen anderen WP-Bereichen Boxen gewohnt, und dort dürften sie den, der sie nicht mag, immerhin weniger stören.

Ob sich ein Freiwilliger findet, der das umsetzt? Ich habe zur Zeit leider keine Kapazität. -- Frau Holle 19:43, 24. Nov. 2009 (CET)

Mich alteriert gerade, warum bei allen sonstigen Änderungen, beim Hinein- und Herausnehmen der Tabelle offenbar über mehr als fünf Jahre hinweg ein Fragezeichen hinter "Hauptidealring" steht. Dabei war die Tabelle ohnehin schon einmal besser, nämlich in dieser Version, ohne Fragezeichen und hierarchisch geordnet, wenn auch der Anfang mit dem zweideutigen Begriff "Quotientenring" unglücklich war. --92.201.73.193 12:13, 14. Jan. 2010 (CET)

Namensgebung

Ich finde nicht, dass diese Bedeutung von Ring "in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen [ist]" was soll dieser Satz da? -- Kaffeejunkie1988 19:48, 2. Sep. 2010 (CEST)

Die angegebenen Beispiele - wo der Ausdruck noch heute oder früher gebraucht wird/wurde - zeigen doch um was es geht. Wenn dir der Ausdruck "ansonsten weitgehend verloren gegangen" zu weit geht (das ist Ansichtssache), dann schlage etwas Besseres vor! --UKe-CH 12:27, 3. Sep. 2010 (CEST)

Einfacher Ring

@Christian1985: Du schreibst:

Ein kommutativer einfacher Ring ist ein Körper.

Wenn es geht, sollte man hierfür einen Beweis oder Beleg angeben. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:08, 15. Dez. 2012 (CET)

Zur Namensgebung …

dürfte dies ein bekannteres Beispiel für Wortbedeutungen sein. (Nur so als Idee für eine mögliche Änderung/Erweiterung; „damit die Mathematiker auch etwas für die sprachliche Bildung tun“ o.ä.) (nicht signierter Beitrag von 79.197.77.137 (Diskussion) 23:42, 3. Sep. 2013 (CEST))

Frakturbuchstaben

Ich finde $I$ vs. ${\mathfrak {a}}$ sollte nach Möglichkeit einheitlich mit Ideal (Ringtheorie) sein und am besten dort erst mal ausdiskutiert werden. Ich werde die letzte Änderung also erst mal wieder rückgängig machen. -- HilberTraum (Diskussion) 19:48, 7. Sep. 2013 (CEST)

Hallo HilberTraum,

grundsätzlich leuchtet mir das Argument der Einheitlichkeit ein. Allerdings ist diese auch jetzt schon nicht gegeben, siehe etwa Primideal, Maximales Ideal oder Gebrochenes Ideal, wo durchgängig Frakturbuchstaben verwendet werden (was übrigens nicht von mir stammt).

Auch werden in der (zumindest deutschsprachigen) Literatur zur Algebra und Zahlentheorie gewöhnlich Frakturbuchstaben für Ideale verwendet, siehe etwa die Algebra-Lehrbücher von Fischer und Jantzen/Schwermer oder die Algebraische Zahlentheorie von Neukirch. (Normale) Großbuchstaben für Ideale sind m.E. in der (reinen) Mathematik so wenig gebräuchlich wie Buchstaben mit Pfeil darüber für Vektoren.

Sollte eine nähere Diskussion (etwa beim Artikel Ideal, wie von Dir vorgeschlagen) gewünscht sein, wäre es schön, wenn Du sie initiiertest (da registrierter Benutzer und nicht "nur" eine IP mit gelegentlichen Edits).

Gruß, Franziska --129.217.132.38 20:05, 13. Sep. 2013 (CEST)

Hallo Franziska! Hmm, meine Meinung nach hält es sich in der Literatur ziemlich die Waage, es gibt auch viele bekannte Bücher, die keine Fraktur verwenden, z.B. die Algebra von Kunz oder von Karpfinger. Eine weiteres Argument wäre vielleicht noch, dass viele "junge Leute" Fraktur gar nicht mehr kennen und vor allem nicht wissen, wie sie handschriftlich geschrieben werden soll; das könnte eine zusätzliche Hürde sein. Ein richtiges Notationsproblem gibt es im Artikel ja nicht, das tritt ja eher in umfangreichen Büchern auf, wenn alle Buchstaben schon belegt sind, sodass man eine andere Schriftart braucht. Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 22:22, 13. Sep. 2013 (CEST)

Die Fraktur-Schreibweise findet sich eher in älteren Büchern und dürfte zunehmend seltener werden. Sie ist dort (z.B. bei van der Waerden: Algebra I/II) oft auch nicht auf Ideale beschränkt. Die Schreibweise mit Großbuchstaben ist seit Jahrzehnten verbreitet und macht auch Sinn, denn erstens ist das einfacher zu schreiben und zweitens sind Ideale nichts anderes als Mengen, die man heute ja auch üblicherweise mit großen Buchstaben schreibt. Gruß --RPI (Diskussion) 02:03, 15. Sep. 2013 (CEST)

Primelement in nicht kommutativen Ringen

Mal abgesehen davon, dass die Def falsch ist (es steht nicht da, was wohl gemeint ist), spricht der Hauptartikel Primelemente nur von Primelementen in kommutativen Ringen. M.E. sollte das hier auch so sein, zB Lang definiert ebenfalls nur Primelemente in komm. Ringen.--Frogfol (Diskussion) 21:21, 15. Okt. 2013 (CEST)

Hm, ich kenne auch nur Primelemente in kommutativen Ringen und wüsste auch auf Anhieb nicht, wo man solche Verallgemeinerungen nachlesen könnte. Wenn, dann sollte so etwas erst mal im Artikel Primelement besprochen werden, d. h. hier in Ringtheorie kann es wohl als zu speziell raus. -- HilberTraum (Diskussion) 19:21, 17. Okt. 2013 (CEST)

Mit der allgemeinen Definition ([2]), die auch für nichtkommutative Ringe anwendbar sein soll, stimmt etwas nicht, wenn man nicht möchte, dass beispielsweise im Ring der ganzen Zahlen keine Primzahl p prim ist (Bedingung mit a=p, b=1, w=x=0 nicht erfüllbar). Es ist auch seltsam, wie w und x eingeführt werden und dann nicht mehr auftreten (es bleibt der Fall, dass die Bedingung per ex falso quodlibet erfüllt ist für die a, für die w und x mit w p x ≠ a nicht existieren, etwa a=0 bei p=0). Ein Beleg wurde auch bei der Einfügung ([3]) nicht angegeben, daher entferne ich diese Definition. --84.130.157.127 11:13, 14. Sep. 2016 (CEST)

Gliederung

Die Gliederung des Artikels ist mE suboptimal. Vorschlag für den Hauptteil:

• Definition
• Morphismen (Iso usw.)
• Ober und Unterstrukturen (Unterring, Ideal, Restklasssenring)
• besondere Elemente
• besondere Elemente in Ringen mit 1

--Frogfol (Diskussion) 21:24, 15. Okt. 2013 (CEST)

Finde ich gut, man könnte vielleicht überlegen, die Morphismen und die Unterstrukturen zu vertauschen, aber wahrscheinlich ist es so wie du vorschlägst geschickter. Ich persönlich würde noch relativ früh die Beispiele bringen, entweder gleich nach der Definition oder dann spätestens vor "besondere Elemente". -- HilberTraum (Diskussion) 19:25, 17. Okt. 2013 (CEST)

Ich würde begrüßen einen Abschnitt: Spezialfälle, am liebsten hierarchisch angeordnet. Vllt zwischen 3 und 4. Es wird wohl Verweise zu Hauptartikeln geben.

Irgendwo müssen auch Ringe mit nicht-kommutativer Multiplikation abgehandelt werden. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:44, 17. Okt. 2013 (CEST)

@Nomen4Omen: werden es ja. Ansonsten: Beispiele so früh wie möglich und normalerweise nach jeder einzelnen Definition. Was meinst du mit Spezialfällen und Hierarchie? Vermutlich sowas wie euklidisch>HI>zpe. Das sollte ans Ende, "spezielle Ringe"

Ob man Morphismen an den Anfangs setzen soll oder nicht, kann man ja noch schauen. Der Vorteil so ist, dass man nach der Def von Idealen direkt den kanonischen Epi R->R/I hinschreiben kann.--Frogfol (Diskussion) 15:53, 20. Okt. 2013 (CEST)

Hab jetzt mit dem Überarbeiten angefangen, mit dem Sortieren bzw der Gliederung bin ich fertig. spezielle Elemente muss noch umformuliert werden--Frogfol (Diskussion) 17:08, 20. Okt. 2013 (CEST)

Lemma sollte geändert werden, in was?

Wie oben beschrieben, ist der Artikelgegenstand nicht die Ringtheorie und ist insofern irreführend. Analog zu Gruppe, Modul usw. sollte das Lemma umbenannt werden und dann eine Weiterleitung von Ringtheorie geschaltet werden.

Wie könnte das Lemma denn lauten? Ring (Algebra)?

Ja, ich denke auch, dass der Artikel verschoben werden sollte: Ring (Algebra) ist sicher in Ordnung, analog zu Körper (Algebra). -- HilberTraum (Diskussion) 19:30, 16. Okt. 2013 (CEST)

Gut, dann kümmere ich mich die nächsten Tage drum. (Ich weiß jetzt ja, wie es geht.^^) Allerdings müssen dann viele Verweise geändert werden, die auf Ringtheorie#xxx verweisen, da brauch ich dann etwas Zeit am Stück.--Frogfol (Diskussion) 01:04, 17. Okt. 2013 (CEST)

Die Weiterleitung Ring (Mathematik) ist schon vielfach verlinkt. Ich würde es vorziehen, den Artikel auf Ring (Mathematik) zu verschieben, das erspart Arbeit beim Umlinken und so lange es in der Mathematik keine anderen Ringe gibt, ist das Lemma das, so viel ich weiß, was von den WP:Namenskonventionen bevorzugt wird. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 15:33, 18. Okt. 2013 (CEST)

Ring (Mathematik) finde ich wegen Ring (Mengensystem) nicht so gut. (edit: Bzw es gibt jetzt schon andere Ringe in der Mathematik) --Frogfol (Diskussion) 15:43, 18. Okt. 2013 (CEST)

Okey, überzeugt!--Christian1985 (Disk) 15:54, 18. Okt. 2013 (CEST)

Nach dem Überarbeiten mache ich mich dran.--Frogfol (Diskussion) 15:53, 20. Okt. 2013 (CEST)

Überarbeitung des Artikels

Edit1: Die Definitionen habe ich auseinander gezogen. Ich fands wichtig, da diese drei unterschiedlichen Defs in der Literatur tatsächlich vorkommen. Außerdem abgetrennt (s. Gliederung, oben). "weitere Def.." ist nur ein Arbeitstitel, dort muss noch gruppiert werden. Die Beispiele sind bis auf k^nxn die Beispiele, die ich später noch benutzen möchte, F_2 kommt noch dazu.--Frogfol (Diskussion) 15:45, 20. Okt. 2013 (CEST)

Edit2: Morphismen nach oben sortiert. bes. Def für R mit 1 erg und verdeutlicht.--Frogfol (Diskussion) 16:15, 20. Okt. 2013 (CEST)

Edit3: Unter- und Oberstrukturen raussortiert.--Frogfol (Diskussion) 16:44, 20. Okt. 2013 (CEST)

Kürzungsregeln

Eventuell könnte man noch die Kürzungsregeln ergänzen:

$a+c=b+c~~\Rightarrow ~~a=b$

und in nullteilerfreien Ringen für $c\neq 0$

$a\cdot c=b\cdot c~~\Rightarrow ~~a=b$

bzw. das Ganze analog von links. Gilt die (allgemeine) Kürzungsregel

$a\cdot c=b\cdot c~~~\forall c\in R~~\Rightarrow ~~a=b$

in jedem Ring oder gibt es da auch Einschränkungen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:49, 25. Nov. 2013 (CET)

Die additiven Kürzungsregeln kommen aus der Gruppentheorie, da (R,+) eine Gruppe ist. ME brauchen sie hier nicht erwähnt zu werden. Wenn jemand hier nachschlägt, wird er die Gruppendef + einfache Eigenschaften kennen, falls nicht, sowieso nachschlagen.

Die Kürzungsregel für Nicht-NT sind verlinkt:Ein Element ist genau dann (Rechts- bzw. Links-) Nullteiler, wenn es (rechts- bzw. links-) kürzbar ist. ME reicht das.

Für Ringe mit 1 gilt diese Aussage natürlich, in anderen enthält das Ideal R(x-y) aber nicht unbedingt das Element (x-y). Der Quotient ist dann ein Gegenbeispiel. (zB 2Z[x,y])Gruß --Frogfol (Diskussion) 14:35, 25. Nov. 2013 (CET)

Okay, danke, --Quartl (Diskussion) 15:23, 25. Nov. 2013 (CET)

Um deine Vorschläge aufzunehmen: Man kann am Anfang ein Kapitel einfache Rechenregeln einfügen, die deutlich machen, wie man in Ringen rechnet. Da würden dann deine Beispiele passen.--Frogfol (Diskussion) 19:06, 25. Nov. 2013 (CET)

Hm, möglicherweise in einem Abschnitt "Grundlegende Eigenschaften" o.ä., weiß aber jetzt auf Anhieb noch nicht wo. Von der Strukturierung her würde ich erst die ausgezeichneten Elemente, dann die Ober- und Unterstrukturen und dann erst die Morphismen bringen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:25, 25. Nov. 2013 (CET)

<== ME sind die einfachen Rechenregeln in einem Abschnitt direkt hinter Beispielen gut aufgehoben. Der Kenner kann es überfliegen, der Anfänger kann sich einlesen.--Frogfol (Diskussion) 21:43, 25. Nov. 2013 (CET)

Mach einfach so, wie du es am besten findest. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:49, 25. Nov. 2013 (CET)

Die einfachen Rechenregeln am Anfang find ich für Anfänger besser. Die Morphismen hab ich an den Anfang gesetzt, da sie vom nächsten Abschnitt Ober- und Unterstrukturen gebraucht werden. Grüße --Frogfol (Diskussion) 00:26, 27. Nov. 2013 (CET)

Dafür wurden (zweiseitige) Ideale noch nicht eingeführt, die im Abschnitt zu den Ringhomomorphismen erwähnt werden ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 05:44, 27. Nov. 2013 (CET)

Jo, ganz einfach ist das mit der Reihenfolge nicht.Frühaufstheher oder Nachtlangeaufbleiber?--Frogfol (Diskussion) 05:52, 27. Nov. 2013 (CET)

Ich würde die Aussage bei Faktorring einfach streichen, zumal es ja auch einen Hauptartikel gibt. Schon wach, bin heute noch unterwegs. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:08, 27. Nov. 2013 (CET)

Nullteiler

Im Abschnitt "Teiler und Nullteiler" findet sich die Formulierung: "Ein Element ist genau dann (Rechts- bzw. Links-) Nullteiler, wenn es (rechts- bzw. links-) kürzbar ist." Fehlt da nicht ein "nicht" bzw. "kein", in dem Sinne: "Ein Element ist genau dann kein (Rechts- bzw. Links-) Nullteiler, wenn es (rechts- bzw. links-) kürzbar ist." oder habe ich da gerade einen Denkfehler drin? (nicht signierter Beitrag von 84.56.82.28 (Diskussion) 23:52, 6. Dez. 2013 (CET))

Stimmt. Die gegenwärtig gegebene Definition für "Nullteiler" passt aber auch nicht zu einer Aussage der Form, denn nach der sind alle Elemente des Rings Nullteiler.

Um "Nullteiler <=> ungleich 0 und nicht kürzbar" zeigen zu können, ist es zumindest in kommutativen Ringen hinreichend zu fordern, dass Nullteiler und die zum Nachweis der Nullteilereigenschaft dienenden Elemente ungleich 0 sind. --77.179.73.110 01:34, 7. Dez. 2013 (CET)

Nichtassoziativer Ring

In Anlehnung an die Gepflogenheiten im englischsprachigen Raum habe ich unter Verallgemeinerungen noch den Begriff des nichtassoziativen Rings hinzugefügt.--Slow Phil (Diskussion) 16:10, 7. Jan. 2014 (CET)

Ist ein Ideal ein Unterring

@Nomen4Omen: Du hast jetzt genau den Unterschied rausgenommen, auf den es mir ankam; und so, wie es jetzt da steht ist es falsch, da in der Kategorie der Ringe mit 1 ein echtes Ideal zwar ein Ring sein kann, jedoch nie ein Unterring ist. --Donesk (Diskussion) 00:00, 16. Jan. 2015 (CET)

@Donesk: So sorry! Ich kenne zwar die kategoriellen Ringe nicht, aber ich hätte immer gedacht, dass ein Ring auch ein Unterring ist – notfalls von sich selbst. Das ist soweit reine Mengentheorie.

Dass ein echtes Ideal in einem Ring mit 1 die 1 nicht enthält, ist woanders schon gesagt. Es ist dann zwar mengentheoretischer Unterring. Aber nicht sog. »kategorieller Unterring«, weil nicht »Unterring mit 1« ?

Ist das dann ein sprachliches Problem, das sich die Kategorienleute selbst eingebrockt haben ?

--Nomen4Omen (Diskussion) 13:58, 16. Jan. 2015 (CET)

Das Problem mit dem Begriff Ring ist in erster Linie, dass es zwei unterschiedliche Definitionen gibt, da manchmal (ich würde sogar sagen: meistens) die Definition die Existenz einer Eins verlangt, was regelmäßig zur Folge hat, dass ein Homomorphismus die Eins auf die Eins abbilden muss und ein Unterring eines Ringes dieselbe Eins haben muss. So ist dann zB (0,Z) zwar ein Ring, aber kein Unterring von (Z,Z), da die Inklusionsabbildung kein Morphismus ist. (Das wird im Abschnitt Unter- und Oberring auch gesagt, aber ohne Beispiel. Vielleicht sollte man das noch hinzufügen.)

Meines Erachtens lässt sich das ganze Problem lösen, indem man einen neuen Artikel schreibt "Ring mit Eins", dort lediglich die Unterschiede zu Ringen ohne Eins klar macht, hier aber nur Ringe ohne Eins behandelt.--Donesk (Diskussion) 15:22, 16. Jan. 2015 (CET)

Es wurde schon mehrmals vorgeschlagen unter Ring (Algebra) grundsätzlich Ringe mit Eins zu verstehen und Ringe ohne Eins in einem eigenen Artikel, zum Beispiel Rng (Algebra), abzuhandeln. Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:18, 16. Jan. 2015 (CET)

Das, was Donesk schildert, könnte man sprachlich schon regeln. Man müsste halt sagen: Kein Unterring (mit derselben 1). Oder: kein Homomorphismus (mit fixer 1). Klingt ein bisschen umständlich und vllt ungewohnt, aber man kann ja die Umständlichkeit in () setzen. [Übrigens einen Inklusionshomomorphismus gibt es doch: f(0,z) := (0,z).]

Ansonsten hat Donesk Recht, dass (fast) alle gebräuchlichen Ringe eine 1 haben. Das bedeutet für mich aber nicht, dass alle Homomorphismen und alle Unterringe 1-treu sein müssen, was von der Kategorie der Ringe mit 1 nach Donesks Aussage anscheinend ausdrücklich gefordert wird. Insofern hat Donesks Vorschlag eines Artikels »Kategorie der Ringe mit 1« eine gewisse Berechtigung. M.E. gehört aber »Kategorie« in den Titel hinein. (Vllt tut's aber auch ein später Abschnitt in diesem Artikel hier.)

Andererseits bleibe ich dabei, dass ich den Satz:

»Verlangt man in der Definition nicht die Existenz einer Eins, so ist jedes Ideal von R auch ein Unterring von R.«

nicht richtig gut finde, auch wenn »... in der Definition des Rings ...« geschrieben würde. Denn offensichtlich handelt es sich bei der Kategorie der Ringe mit 1 nicht nur um die Forderung der Existenz einer 1, sondern zusätzlich um eine Art 1-Treue. Ich kann nicht beurteilen, wie die Kategorie der Ringe mit 1 am besten abgehandelt wird. Lieber als der Vorschlag von Quartl mit »Ring (Algebra)« vs »Rng (Algebra)« wäre mit »Ring mit 1 (Kategorientheorie)« vs. »Ring (Algebra)«.

--Nomen4Omen (Diskussion) 17:40, 16. Jan. 2015 (CET)

Mit Kategorien oder nicht hat die Frage nach der 1 nicht viel zu tun. Insofern ist "»Ring mit 1 (Kategorientheorie)« vs. »Ring (Algebra)«" seltsam. Effektiv gibt man mit einer konkreten Definition für Ringe und ihre Homomorphismen sowieso eine Kategorie an. Kategorientheoretisch weitergesponnen hat man höchstens den Vorteil, dass man auch alle drei sich ergebenden Begriffe (ohne 1, mit 1, mit 1 und Erhaltung) zugleich betrachten und durch Funktoren etc. miteinander in Beziehung setzen kann.

Laut der kurzen und sicher nicht besonders gut recherchierten Historienbetrachtung hier ist die gegenwärtige überwiegende Mode, als Default unitäre Ringe zu meinen. Wenn man das mal als wahr annimt, wären "Ring" und "Rng" (und, wenn man einmal dabei ist, auch Rig und vll. gar Rg) sinnvolle Namen für Artikel oder Weiterleitungen. Wo Ringe mit Eins hingehören, bei denen die Erhaltung der Eins durch die Homomorphismen nicht gefordert wird, ist damit aber nicht geklärt. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:03, 17. Jan. 2015 (CET)

Grundring

Den Begriff Grundring gibt es in dieser Bedeutung in der Literatur nicht. Wie kann man die Charakteristik besser im Artikel unterbringen?--Donesk (Diskussion) 15:53, 16. Jan. 2015 (CET)

In meinen Büchern habe ich nichts gefunden. Ich finde Grundring nicht schlecht. Beim Körper heißt's aber Primkörper. Vllt erweckt Primring mehr Assoziationen. --Nomen4Omen (Diskussion) 08:26, 17. Jan. 2015 (CET)

@Nomen4Omen:Naja, aber wenn es den Begriff sonst nicht gibt, muss er raus, wir bilden hier Wissen nur ab und überlegen uns keine neuen Bezeichnungnen.

Das Beispiel zur Ringerweiterung (Oberring) gefällt mir auch nicht so gut, ich würde es gerne durch ein elementares ersetzen, Ring ist schließlich auch ein elementarer Begriff. Gruß --Frogfol (Diskussion) 22:31, 14. Jul. 2017 (CEST)

Beispiel zum Homomorphismus

@Benutzer:Frogfol: Ich bin mir nicht sicher, ob der Modul $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ so hergerichtet werden kann, dass er ein Ring ist. Jedenfalls klappt es bei komponentenweiser Multiplikation

$(a\oplus b)\cdot (c\oplus d):=(ac\oplus bd)$

mit dem Distributivgesetz nicht. Wenn Du eine funktionstüchtige Multiplikation hast, musst Du sie wohl angeben. Ansonsten vielleicht besser ein anderes Beispiel. --Nomen4Omen (Diskussion) 23:04, 25. Jan. 2016 (CET)

Sorry, ich muss Abbitte leisten: Der Modul $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ ist bei komponentenweiser (Addition und) Multiplikation ein Ring. Denn wenn das Ditributivgesetz auf jeder Komponente funktioniert, funktioniert es auch auf dem Paar.

${\begin{aligned}&(x_{1},x_{2})\cdot \left((y_{1},y_{2})+(z_{1},z_{2})\right)\\=&(x_{1},x_{2})\cdot \left(y_{1}+z_{1},y_{2}+z_{2}\right)\\=&\left(x_{1}\cdot (y_{1}+z_{1}),x_{2}\cdot (y_{2}+z_{2})\right)\\=&(x_{1}\cdot y_{1}+x_{1}\cdot z_{1},x_{2}\cdot y_{2}+x_{2}\cdot z_{2})\\=&(x_{1}\cdot y_{1},x_{2}\cdot y_{2})+(x_{1}\cdot z_{1},x_{2}\cdot z_{2})\\=&(x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})+(x_{1},z_{1})\cdot (x_{2},z_{2})\end{aligned}}$

Ich bring „komponentenweise“ noch rein in den Artikel. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:57, 30. Jan. 2016 (CET)

Zwei Verknüpfungen

Hallo, es ist ja bei der Definition zunächst ganz allgemein von zwei Verknüpfungen die Rede. Betrachtet man nun die "klassische" Addition und Multiplikation, so gibt es da ja gewisse Beziehungen... z.B. ist die 0 ja für die Multiplikation so eine Art "auslöschendes" Element, die 1 für die Addition aber eher ganz "gewöhnlich"... Können die Verknüpfungen eines Ringes beliebig sein (im Rahmen der Definition) ? Oder wie beliebig ?

Gruß Kientopf

--Vege Tarier (Diskussion) 18:15, 1. Jan. 2017 (CET)

Die Beliebigkeit wird nur durch die Forderungen in Ring (Algebra)#Ring eingeschränkt. Die auslöschende Sonderrolle der 0 ist eine Folge der Distributivgesetze, etwa:

$a\cdot 0=a\cdot (b+(-b))=a\cdot b+a\cdot (-b)=a\cdot b+(-1)\cdot a\cdot b=0.$

--Nomen4Omen (Diskussion) 19:15, 1. Jan. 2017 (CET)

Danke, aber nur das Distributivgesetz ist das nicht, Beispiel: a○0 = a○(b☆b^(-1)) = (a○b) ☆ (a○b^(-1)) .

Es ist nun nicht selbsterklärend, warum oder dass (a○b^(-1)) = (a○b)^(-1) .

--Vege Tarier (Diskussion) 07:20, 2. Jan. 2017 (CET)

@Vege Tarier Deine Hartnäckigkeit soll nicht ohne Lohn bleiben. Du willst also wissen, wie es bei einem nicht-kommutativen Ring ohne 1 geht. Ich spare es mir, die Eindeutigkeit des additiven Inversen festzustellen. Dann

$a-b:=a+(-b)$ (Definition der Differenz)

und

$a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$ (Distributivität über der Differenz)

und

$a\cdot 0=a\cdot (a-a)=a\cdot a-a\cdot a=0.$

Man könnte, wenn man wollte, das im Artikel in großer Ausführlichkeit darlegen (Σ ca. 1/2 Seite). --Nomen4Omen (Diskussion) 17:10, 2. Jan. 2017 (CET)

Erneut Danke, das "additive Inverse" - es schafft natürlich was weg beim Zusammenzimmern der Ringdefinition. Ich hab' mal zwei Ringdefinitionen gepostet auf meinem Google+ - Profil "David Kientopf" (da ist auch meine aktuelle E-Mail-Adresse), eine von meinem kurzem Studium der Mathematik und eine, bessere, von einem Freeware-Skript, wie ich hoffe - dort wird dieses additive Inverse auch explizit erwähnt. Vielleicht konnte ich vermitteln, was ich meine, nämlich, dass diese Definitionen auch auf dem höchst denkbaren Level der Abstraktion schlüssig sein sollten, fernab von jeder wohldefinierten Operation auf noch wohldefinierteren Körpern, wie das für + und * auf Z, Q oder R der Fall ist... Ich geb' jetzt erst mal Ruhe und lerne fleißig weiter, Dank und Gruß

Kientopf

--Vege Tarier (Diskussion) 20:05, 2. Jan. 2017 (CET)

Nehme alles zurück, behaupte das Gegenteil, Entschuldigung und so... Der Ring ist wohldefiniert - ich lebe es mal vor:

(G,☆) sei abelsche Gruppe mit neutralem Element 0, zu a Element von G sei a^(-1) das Inverse, sodass a☆a^(-1)=0. ○ sei weitere Verknüpfung auf G, von der zunächst nicht mehr als Assoziativität gefordert wird. Und in der Tat sind nun lediglich noch die Distributivgesetze notwendig, um diese "Addition-Multiplikation-Beziehung" (das "sind" ja eben diese Distributivgesetze) zu definieren. Gelte also "zwischen" ☆ und ○ noch: (a☆b)○c=(a○c)☆(b○c) wie auch a○(b☆c)=(a○b)☆(a○c) für alle a,b,c Element G. ...fertig ist der kleine Ring !

Zum Beispiel gilt nun diese verheerende Wirkung der 0 für ○ (der "Multiplikation"), Beweis:

( a○a=(a☆0)○a=(a○a)☆(0○a) |☆(a○a)^(-1) ) => ( 0=0○a ) , usw...

Froi...

--Vege Tarier (Diskussion) 19:06, 3. Jan. 2017 (CET)

Das 0-Element bezügl. der Multiplikation aus der Menge bei Ringen ausschließen.

Sollte man nicht das 0-Element aus der Menge bezügl. der Multiplikation ausschließen?

Die Mengen, die bei Ringen betrachtet werden besitzen doch wegen des geforderten 0-Elements bei der Addition in Ringen Das 0-Element, was einem die Multiplikation zu nichte macht.
Sollte es dann nicht bei der Multiplikation aussgeschlossen werden?

Danke. --Uwe (Diskussion) 16:58, 19. Feb. 2020 (CET)

Es fällt mir schwer, einen Sinn in deinen Aussagen zu erkennen, da sie weder sprachlich noch grammatisch funktionieren. Enzyklopädisch war dein Beitrag falsch, weil er nicht quellenbasiert war, mathematisch sowieso.--Frogfol (Diskussion) 17:47, 19. Feb. 2020 (CET)

Bei Ringen bin ich wirklich total dagegen! Und zwar, weil

1. Die Multiplikation mit der 0 ja wirklich definiert ist. (Das ist so, auch wenn immer 0 herauskommt, 0 also ein absorbierendes Element ist.) [„Zu nichte machen“ ist aber viel zu emotional.]
2. Es noch viele andere Nullteiler im Ring geben kann, die eine ungewohnte Multiplikation haben. Soll man die auch ausklammern?

Bei Körpern gilt eigentlich dasselbe: Die Multiplikation mit der 0 ist wirklich definiert (und genauso absorbierend). Dort gibt es aber die multiplikative Gruppe, wo die 0 nun wirklich rausmuss. Trotzdem gehört 0 zur multiplikativen Halbgruppe. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:54, 19. Feb. 2020 (CET)

Struktur

Nur an die Mathematiker: Nach (beginnender) Lektüre des Zahlberichts (welcher irgendwie begründet bisher in der DE-WP gar keine Rolle spielte), mahne ich als Physiker (nat. Zahlen sind Gegenstand der Physik) hiermit eine (allfällig) fehlende Struktur in der "Ringtheorie" an. Eventuell wäre es hilfreich, die WP-Strukturierung (natürlich math. korrekt und dem heutigen Stand entsprechend) klassisch nach ebendiesem Zahlbericht aufzubauen. Zumindest ich (Physiker) bin mit dem Ist-Zustand nämlich nicht zufrieden, allerdings bin ich auch nicht in der Lage, dies selbst zu verbessern. Deshalb diese Bitte (hilfreich könnte der 2018 erschienene Artikel: 120 Jahre Zahlbefehl der DMV sein). --Ralf Preußen (Diskussion) 18:55, 4. Aug. 2020 (CEST)

Im Zahlbericht geht es nicht um Ringe im Allgemeinen, sondern um Ganzheitsringe, die bei WP einen eigenen Artikel haben. Abgesehen davon verstehe ich nicht, was Du überhaupt konkret meinst.—Hoegiro (Diskussion) 20:28, 4. Aug. 2020 (CEST)

Wenn Hoegiro Recht hat (ich kenn halt den Zahlbericht nicht und kann's deshalb nicht beurteilen), dann solltest du überprüfen, ob dein Appell beim Artikel Ganzheitsring eher angebracht wäre.

Ich hab das Inhaltsverzeichnis von Ring (Algebra) überflogen und finde es auf den ersten Blick OK. – Nomen4Omen (Diskussion) 20:42, 4. Aug. 2020 (CEST)

Der Artikel Ganzheitsring verweist bisher nicht auf den Zahlbericht, was mich verwundert, da ebendieser ja berühmt ist und deshalb den Math unter den Autoren hier auch bekannt sein sollte. Die dort von Hilbert definierten Ideale sollen nach Hoegiro jetzt als "gebrochene Ideale" bezeichnet werden. Ich selbst weiß es nicht (sicher). --Ralf Preußen (Diskussion) 14:18, 5. Aug. 2020 (CEST)

Im Zahlbericht gibt es 90 Sätze (der 90. ist berühmt - aber der Wortlaut von Hilbert steht auch nicht im WP), wobei ich davon ausgehe, dass Hilbert damals keinen Fehler machte. Wo steht bspw. die Aussage von Satz 12 mit dem jedem Ideal zugeordneten ggT? --Ralf Preußen (Diskussion) 14:42, 5. Aug. 2020 (CEST)

Der Artikel Ganzheitsring könnte und sollte weiter ausgebaut werden, natürlich auf Basis aktueller Sekundärliteratur. Das Beispiel mit dem ggT gehörte dann in einen zu schreibenden Abschnitt über (gebrochene) Ideale im Ganzheitsring.—Hoegiro (Diskussion) 14:51, 5. Aug. 2020 (CEST)