Diskussion:Satz von Arzelà-Ascoli

Einleitung

M. E. sollten die Begriffe und Symbole am Anfang des Artikels auch im Text erklärt werden, um Nichtexperten das Verstehen des Artikels zu erleichtern. --Hanfried.lenz 09:27, 25. Okt. 2007 (CEST).

Beschränkte Fasern

Die Aussage im Artikel ist falsch, wenn die Familie nicht beschr"ankt ist (soweit ich das verstehe). Mir erschliesst sich nicht, warum der Autor C_b statt C verwendet, auf Kompakta sind die eh gleich.--kein account

Verstehe ich nicht. Das steht doch so im Artikel drinne, die Faser der Familie F über jedem Punkt x soll relativ kompakt und damit auch beschränkt sein. Nur beschränkt reicht im allgemeinen (unendlichdimensionales Y) nicht, da man eine konvergente Teilfolge in jeder Faser auswählen können muss.--LutzL 09:13, 6. Feb. 2009 (CET)

habe wohl geschlafen gestern, danke f"ur den Hinweis. Der Satz ist wohl richtig! Trotzdem verstehe ich nicht, wozu der Index "b" gut sein soll. Meines Wissens ist $C_{b}(.,Y)=C(.,Y)$ auf Kompakta.--kein account

Der Einwand ist wohl richtig. Evtl. hat jemand eine allgemeinere Version vor Augen gehabt, in der die Funktionenfamilie eine kompakte Menge in der sog. "kompakt-offen"-Topologie bildet.--LutzL 14:37, 6. Feb. 2009 (CET)

Dann schlage ich vor "und beschränkter" zu löschen, und auch das "_b" zu entfernen, solange es nicht gebraucht wird. --kein account ~15h, 6. Feb

Beschränktheit

Wieso muss F eine Familie stetiger und beschränkter Funktionen (per Generalvoraussetzung) sein? Jede einzelne Funktion aus F ist stetig mit Kompaktum als Definitionsbereich, also ist sein Bild wieder ein Kompaktum in Y, also beschränkt. Demzufolge müsste es doch ausreichen, von F in der Voraussetzung nur zu fordern, dass es eine Familie von stetigen Funktionen von X nach Y ist, oder irre ich? --Tolentino 17:14, 6. Jan. 2010 (CET)

Gleichgradig stetig und gleichmäßig beschränkt. Jede Funktion für sich ist beschränkt, das ist aber keine Garantie, dass die Menge der Funktionswerte der Familie über einem Punkt beschränkt ist. Trivialbeispiel n+f(x) mit einer stetigen Funktion f und n variiert über den ganzen Zahlen. Die Familie ist gleichgradig stetig, jede einzelne Funktion ist beschränkt, aber nicht die Menge der Funktionswerte über einem fixierten Punkt. Es gibt auch trivialerweise keine Häufungspunkte der Funktionenfamilie.--LutzL 09:34, 7. Jan. 2010 (CET)

Das ist mir völlig klar, aber du redest von etwas anderem als im Artikel steht. Wenn das gleichmäßig Beschränkt sein soll, dann muss das dort stehen und nicht beschränkt. --Tolentino 11:00, 7. Jan. 2010 (CET)

Im übrigen gibst du auch kein Gegenbeispiel dafür, dass beschränkt nicht ausreicht. Die von dir beschriebene Familie besitzt zwar keine gleichmäßig konvergente Folge, aber sie ist ja auch punktweise nicht relativ kompakt. --Tolentino 11:02, 7. Jan. 2010 (CET)

Hast recht, die Voraussetzungen sind Overkill. Für ein kompaktes X ist $C(X,Y)=C_{b}(X,Y)$--LutzL 11:23, 7. Jan. 2010 (CET)

Habe jetzt die Forderung nach Beschränktheit auus dem Artikel entfernt. --Tolentino 12:33, 7. Jan. 2010 (CET)

Allgemeinere Vors.

Servus miteinander,

der Satz von AA gilt auch, falls (mit den Bezeichnungen des Artikels) X ein kompakter topologischer Raum und Y ein metrischer VR ist. Gibt es Gruende, den Satz hier dann nicht eben so zu zitieren?

-- 129.206.101.213 18:25, 8. Sep. 2010 (CEST)

Hallo! Es wäre absolut in Ordnung, ihn mit diesen allgemeineren Voraussetzungen zu nennen. Es wäre vielleicht gut, wenn du eine Literaturstelle als Beleg dafür anführen könntest. Ansonsten steht dem nichts im Wege. Viele Grüße, --Tolentino 18:33, 8. Sep. 2010 (CEST)

Der Satz findet sich mit den von mir genannten Voraussetzungen im Hirzebruch-Scharlau -- 188.104.129.169 13:38, 11. Sep. 2010 (CEST)

Okay, dann ändere doch einfach die Einleitung des Artikels, so wie du es für richtig hältst. --Tolentino 13:58, 11. Sep. 2010 (CEST)

Habe die Änderung nun durchgeführt. --Tolentino 19:45, 14. Sep. 2010 (CEST)

Was bedeutet das b?

Kann mir jemand erklären, was das b in $C_{b}(X,Y)$ bedeutet? Ich kenne nur $C(X,Y)$. --Jobu0101 16:36, 31. Jan. 2011 (CET)

Gemeint war die Menge der stetigen und beschränkten Funktionen.

Im Kontext dieses Artikels ist das b aber unnötig, weil X ein kompakter Raum ist und jede stetige Funktion (mit kompaktem Definitionsbereich) automatisch beschränkt ist. [Der Zielraum muss natürlich metrisch sein, damit man "beschränkt" definieren kann.] --Tolentino 20:06, 31. Jan. 2011 (CET)

Sollte man es dann nicht lieber weglassen oder wenigstens erklären? --Jobu0101 17:40, 1. Feb. 2011 (CET)

Es ist doch schon weg... --Tolentino 19:10, 1. Feb. 2011 (CET)

Stimmt, hatte heute nicht mehr in den Artikel geguckt ;) --Jobu0101 21:53, 1. Feb. 2011 (CET)

Supremumsnorm

Wie ist in $C(X,Y)$ denn die Supremumsnorm definiert? Y selbst ist doch noch nicht einmal normiert. --Jobu0101 10:44, 26. Nov. 2011 (CET)

Guck mal oben nach Allgemeinere Vors.. Da hat ein ehrenwerter Mitstreiter die allgemeinste Version mit der Brechstange eingebaut, ohne den Rest der Einleitung oder des Artikels anzupassen. Meiner Meinung nach sollte die übliche Version, die auch im Beweis angesprochen wird, klar herauslesbar sein und die Verallgemeinerung als solche erkennbar gemacht werden. Auch wäre es sinnvoll, ähnlich der englischen Version, die Trivialfälle $C([a,b],\mathbb {R} )$ und wichtigsten Anwendungsfälle, uniform Lipschitzstetig, etc. zu erwähnen.--LutzL 12:17, 26. Nov. 2011 (CET)

Ja gibt es nun eine Norm auf $C(X,Y)$ oder doch nur eine Metrik, wenn Y metrischer Vektorraum ist? --Jobu0101 20:03, 26. Nov. 2011 (CET)

$d(f,g)=sup_{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))$ ist dann nur eine Metrik. Alle anderen Begriffe können aber übertragen werden.--LutzL 12:29, 27. Nov. 2011 (CET)

Okay, aber dann sollte man das vielleicht abändern und nicht Norm im Artikel sagen. --Jobu0101 22:23, 28. Nov. 2011 (CET)

Metrischer Vektorraum

Hallo, soweit ich weiß ist der Begriff des metrischen Vektorraums nicht so wahnsinnig wichtig, dass man den Satz hier in dieser Form schreiben sollte. Deshalb würde ich vorschlagen: Zuerst eine Version mit Y normierter Raum (dann kann man auch wieder von der Supremumsnorm sprechen und alle wissen, was gemeint ist) und dann als zweites eine Verallgemeinerung für Y topologischer Vektorraum (mit dem Hinweis, dass der Satz auch für noch allgemeinere uniforme Räume gültig bleibt). Die Version mit dem metrischen Vektorraum ist weder die allgemeinste Version (uniforme Räume), noch die bekannteste (normierte Räume). Und wenn wir die Version fur Topologische Vektorräume im Artikel hätten, dann weiß auch jeder, der nur an metrischen Vektorräumen interessiert ist, dass das nach wie vor gültig ist. Spricht da was dagegen? Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 16:28, 31. Aug. 2012 (CEST)

Siehe einen Abschnitt weiter oben. Hat nur noch niemand sich Zeit dafür genommen. D.h., wenn Du das so umbauen willst, dann nur zu. Wobei dann noch zu klären wäre, was der Vorteil von "metrischer Vektorraum" gegenüber "metrischen Raum" ist. Die erste Formulierung des Satzes sollte vielleicht doch nur mit endlich-dimensionalem Y und beschränkten Fasern sein, in der Diskussion kann dann auf präkompakte Fasern, Y normierter Vektorraum bzw. metrischer Raum verallgemeinert werden, jeweils mit den zusätzlichen Definitionen und Einschränkungen.--LutzL (Diskussion) 18:02, 31. Aug. 2012 (CEST)

So, habs mal etwas umgebaut. Gut so? Viele GRüße, --130.83.2.27 15:37, 3. Sep. 2012 (CEST)

Beweis seltsam

Ich habe mir jetzt mal genauer den Beweis angeschaut und der beginnt mit der Auswahl einer Folge von endlichen Mengen, deren Vereinigung dicht in X liegt. Sowas gibt es natürlich immer, wenn X separabel ist. Davon steht aber nichts in den Voraussetzungen. Vielleicht sollte man deshalb über den Beweis schreiben, dass dieser nur für separable kompakte X gilt. --130.83.2.27 16:54, 3. Sep. 2012 (CEST)

Nein, das gilt für jede kompakte Menge. Denn dann gibt es immer eine abzählbare dichte Teilmenge. Diese kann man z.B. mittels epsilon-Netzen konstruieren. Was dann natürlich eine weitere harte Einschränkung für kompakte Mengen in nicht-separablen Räumen ist.--LutzL (Diskussion) 10:20, 4. Sep. 2012 (CEST)

Man könnte ja erwähnen, dass der Beweis für kompakte metrische Räume gilt (und der Satz auch allgmeiner für kompakte topologische Räume, die nicht metrisierbar sein müssen). Wäre das eine Idee? (Die IP oben war übrigens auch ich -- hatte das Anmelden vergessen) Viele GRüße, --Cosine (Diskussion) 11:30, 5. Sep. 2012 (CEST)

Verschieben von "Verallgemeinerungen" und "Anwendungen"

Die Anwendung mit den Geodätischen gefällt mir sehr gut, allerdings verwendet diese bereits die Version, wo der Def.bereich nicht mehr kompakt ist (sondern R) und der Wertebereich nicht mehr der Grundkörper, sondern eine kompakte Mannigfaltigkeit. Daher würde ich vorschlagen, die Anwendungen (beide) unter die "Verallgemeinerungen" zu setzen, damit man die Anwendungen mit dem bis dahin gelesenen Text nachvollziehen kann. Wenn kein Widerspruch kommt, würde ich das mal vertauschen. --Cosine (Diskussion) 13:29, 29. Apr. 2014 (CEST)

Letzter Beweisschritt expliziter

Ich finde man könnte noch schreiben, warum die Diagonalfolge nun gleichmäßig konvergent ist. Z.B. etwa so: Die Diagonalfolge ist jetzt eine Cauchyfolge und damit konvergent, da sich das Urbild mit endlich vielen $\delta$-Bällen überdecken lässt, in denen die Funktionen wegen gleichgradiger Stetigkeit nur um $\varepsilon$ variieren und in deren mittelpunkten die Funktionsfolge wegen Punktweiser konvergenz ebenfalls nur um $\varepsilon$ variiert.

Rückrichtung des Beweises

Die Beweisskizze ist leider nur für die Hinrichtung der Aussage ($F$ gleichmäßig stetig und $\cup _{f\in F}{\text{Bild}}\,f$ totalbeschränkt $\Rightarrow$ F kompakt), Nicht aber "$\Leftarrow$". Vermutlich sollte man entweder die Rückrichtung ergänzen oder den Abschnitt der Hinrichtung nennen.