Diskussion:Satz von Gauß-Bonnet

Ich würde eine Formulierung für Flächen im dreidimensionalen reellen Raum vorziehen, mit späterer Verallgemeinerung auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten; um das Verständnis für Nichtexperten zu erleichtern. --Hanfried.lenz 16:25, 17. Nov. 2007 (CET).

Namensgebung

1. Den Satz aus Abschnitt 5 kenne ich als Chern-Gauß-Bonnet. 2. Der Schlußsatz der Einleitung erscheint mit überflüssig. Warum sollte der Satz in Frankreich nicht so bezeichnet werden? Falls es da mal irgendeine Kontroverse gegeben haben sollte, gehört das allenfalls, wenn überhaupt, in einen Abschnitt zur Geschichte des Satzes und nicht in die Einleitung.--Suhagja (Diskussion) 11:56, 29. Mär. 2013 (CET)

1.Der Name Gauß-Bonnet-Chern steht so im Buch

Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0.

Hier handelt es sich wohl um das gleiche Phänomen wie beim Satz von Riemann-Roch-Hirzebruch aus dem gleichen Themengebiet.

2. Den ersten Satz aus der Einleitung verstehe ich auch nicht, ich lösche ihn mal.--Christian1985 (Disk) 13:56, 29. Mär. 2013 (CET)

Fehlt eine zwei in der Formel ?

Hallo allerseits,

kann es sein, dass in der Formel

$\int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds+\Sigma AW(\partial M)=2\pi \chi (M).$

eine zwei vor der Aussenwinkelsumme fehlt ? Wenn ich zum Beispiel als Flaeche eine durch ein Quadrat begrenzte Ebene einsetze (wie zum Beispiel hier zu sehen Bild, zweites Bild in der rechten Spalte), sind die ersten beiden Terme auf der linken Seite null und die Aussenwinkelsumme ergibt $4\cdot \pi /2=2\pi$. Da der Genus des Quadrates null ist, muesste die Charakteristik nach Geschlecht (Fläche) doch 2-0=2 sein, sodass auf der rechten Seite $4\pi$ steht ?

Um den Artikel insgesamt verstaendlicher zu machen, waeren anschauliche Beispiel hilfreich. Zum Beispiel ein Bild einer/-s Kugel, Ebene, Zylinder etc und darunter Genus, Charakteristik und $\int _{M}KdA$.

Ich wuerde mich ueber eine Rueckmeldung sehr freuen :-). Vielen Dank schonmal ! --Osocarinoso89

Hallo,

ich denke, die Euler-Charakteristik eines Vierecks kann man nicht mittels des Geschlechts bestimmen. Ich gehe davon aus, dass diese Formel nur für geschlossene Flächen gilt und das sind eben gerade nur die Sphäre, die n-Tori und die projektiven Ebenen, vgl. Klassifikation der Flächen. Das Viereck habe ich mit zwei Dreiecken trianguliert und dann die Flächen, Kanten und Ecken gezählt, was zu dem Ausdruck 2-5+4=1 führte. Die Euler-Charackteristik ist also eins in diesem Fall. Ich habe die Formel im Artikel auch nochmals mit dem Buch Differential geometrie of curves and surfaces von do Carmo vergleichen. Sie stimmt so.

wenn der Artikel mehr Beispiele erhalten würde, wäre das meiner Ansicht nach ein Gewinn. Dieses Beispiel hier fänd ich auch schon passend!

Ich hoffe ich konnte helfen. Viele Grüße! --Christian1985 (Disk) 14:26, 31. Dez. 2017 (CET)

Ein Fehler unter den Beispielen

Bei dem Beispiel eines Torus stand dort, dass die Gaußkrümmung konstant 0 ist. Das ist evtl. für den flachen Torus richtig aber nicht für den "klassischen" Torus. Dieser hat eine Gaußkrümmung von $K={\frac {\cos(u)}{r\cdot (a+r\cdot \cos(u))}}$ (Je nach Parametrisierung). Das Integral wird dann zu Null, dadurch dass ${\sqrt {\det(g_{ij})}}=r\cdot (a+r\cdot \cos(u))$ ist, wodurch im Integral nur noch ein Kosinusterm steht, der über $0$ bis $2\pi$ integriert wird, was dann Null ist. --AccortoCalendario (Diskussion) 20:13, 3. Nov. 2021 (CET)