Diskussion:Satz von Hopf

Warum wird auf Mengensystem verlinkt? handelt es sich nicht einfach nur um eine Menge?--Café Bene (Diskussion) 22:21, 18. Dez. 2013 (CET)

1) Sicher ist es eine Menge, aber eine Menge von Homotopieklassen eben, welche ihrerseits Teilmengen der Menge aller stetigen Funktionen von der Mannigfaltigkeit in die zugehörige Sphäre sind. Schojoha (Diskussion) 21:44, 19. Dez. 2013 (CET)

Kommutativität

Für die Homotopie zwischen f_1f_2 und f_2f_1 gibt es einen elementaren Beweis (jedenfalls ab Dimension 2), der mit Sicherheit einfacher ist als der Beweis des Satzes von Hopf. Ist die Kommutativität historisch (bei Hopf) wirklich auf diese Weise bewiesen worden?--Café Bene (Diskussion) 22:27, 18. Dez. 2013 (CET)

Ich bringe dieses Korollar, weil ich es für ein gutes Resultat halte und es so bei Harzheim steht. Hopf sagt davon, soweit ich sehe, nichts. Übrigens halte ich den Hinweis auf den erwähnten elementaren Beweis für wert, als Fußnote genannt zu werden.Schojoha (Diskussion) 21:44, 19. Dez. 2013 (CET)

Satz von Hopf-Brouwer

Um was handelt es sich bei diesem früheren Resultat von Brouwer? Die Homotopieinvarianz des Abbildunsgrades vielleicht?--Café Bene (Diskussion) 22:29, 18. Dez. 2013 (CET)

Die heute gebräuchliche Bezeichnung für den Abbildungsgrad ist übrigens deg und einzelne Mannigfaltigkeiten werden eigentlich nie mit kalligraphischen Buchstaben bezeichnet.--Café Bene (Diskussion) 22:31, 18. Dez. 2013 (CET)

3a)In der Einleitung seiner Arbeit in den Math. Ann. 96 (1927) weist Hopf darauf hin, dass Brouwer den entsprechenden Satz für die Dimension n=2 gezeigt hat, wobei er auch ausführt, dass Brouwer in den Math. Ann. 71 schon für n=2 gezeigt hatte, dass homotope stetige Abbildungen auch denselben Abbildungsgrad haben. Hopf verallgemeinert das Ganze auf alle n.

3b)Bei dem vorletztem Punkt bin ich mir nicht sicher. Soweit ich die Literatur kenne, nimmt man das deg dann, wenn die betrachtete Mannigfaltigkeit selbst eine Sphäre ist und die Homomorphieeigenschaften hervorgehoben werden sollen. Was die kalligraphischen Buchstaben angeht, bin ich offen für Änderungen.

Schojoha (Diskussion) 21:44, 19. Dez. 2013 (CET)