Diskussion:Satz von Lindenbaum

Notwendigkeit des Auswahlaxioms

„Für konsistente Formelmengen über abzählbaren Sprachen lässt sich der Satz auch ohne Auswahlaxiom zeigen.“

Ich fände eine Referenz zu dieser Aussage angemessen. Ich kann auch nicht ganz glauben, dass es ganz ohne Auswahlaxiom, also in ZF, möglich ist, den Satz zu zeigen. Vielleicht war gemeint, dass eine abzählbare Version des Auswahlaxioms genügt? Ich bin aber kein Experte. Carsten Schultz (Diskussion) 17:28, 4. Dez. 2012 (CET)

Ist eine Menge A abzählbar, gibt es ja eine injektive Funktion f von A nach N. Dann weist man jeder Teilmenge von A dasjenige Element zu, das von f auf die kleinste natürliche Zahl abgebildet wird. Damit hat man eine Auswahlfunktion auf der Potenzmenge von A, und das reicht dann für abzählbare Sprachen. Eine passende Referenz habe ich auf die Schnelle leider nicht wirklich gefunden (bei Hinman, Fundamentals of Mathematical Logic, S. 554 steht zwar explizit, dass der abzählbare Vollständigkeitssatz in ZF beweisbar ist, aber dann brauche ich noch eine Referenz für die Tatsache, dass Lindenbaum und Vollständigkeitssatz äquivalent sind. Beweise, die die Erweiterung direkt durch Rekursion über natürlcihe Zahlen definieren, gibt es zwar in Lehrbüchern, aber daraus folgt ja nicht offensichtlich, dass nicht doch versteckt das Auswahlaxiom eingeht.). Ich schau aber noch in der Bücherei. Grüße--Schreiber ✉ 20:44, 4. Dez. 2012 (CET)

Danke, mein Unglaube war wahrscheinlich einfach vorschnell. Ich muss über diese Dinge noch einmal für mich selber nachdenken. Gruß Carsten Schultz (Diskussion) 02:35, 6. Dez. 2012 (CET)

Verstehe das Beweisproblem nicht. Gödel=>Lindenbaum ist ja klar. Und bei Gödel werden nur an einer Stelle transfinite Methoden benötigt, nämlich beim Übergang zur maximal konsistenten Menge, ist ja ein recht übersichtlicher Beweis: 1) Start mit konsistenter Menge 2) abzählbar mal Menge mit Beispielen ergänzen 3) maximal konsistente Menge bilden 4) Henkinmodell bauen. Und daher Lindenbaum=>Gödel.--Frogfol (Diskussion) 23:06, 9. Okt. 2013 (CEST)

Klar, das Problem lag nur darin, eine Referenz zu diesem Argument in der Literatur zu finden, da Carsten eine gewünscht hatte. Grüße--Schreiber ✉ 19:48, 11. Okt. 2013 (CEST)

Ich meine so etwas bei Chang Keisler gelesen zu haben, konnte es jetzt aber auch nicht finden.--Frogfol (Diskussion) 20:06, 11. Okt. 2013 (CEST)

Aussagenlogik

"Er besagt, dass jede konsistente Formelmenge der Prädikatenlogik erster Stufe zu einer konsistenten und vollständigen Theorie erweitert werden kann."

Der Satz von Lindenbaum gilt aber nicht nur in der Prädikatenlogik erster Stufe, sondern auch in der Aussagenlogik.--109.42.176.85 13:12, 19. Mai 2022 (CEST)