Diskussion:Satz von Pappos

Fragen zum 2.Abschnitt

Was ist der Koordinatenschiefkörper? Und was bedeutet es, dass der Koordinatenternärkörper kommutativ sein soll? Ein Ternärkörper ist doch eine 3-stellige Relation.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 23:08, 23. Apr. 2015 (CEST)

Wird bei Ternärkörper erklärt. "Kommutativer Ternärkörper" konnte ich allerdings im Artikel "Satz von Pappos" nicht finden. --Ag2gaeh (Diskussion) 10:41, 24. Apr. 2015 (CEST)

Die Definition von "Koordinatenschiefkörper" habe ich dort auf die Schnelle nicht gefunden. Am besten wäre es, wenn der entsprechende Abschnitt direkt verlinkt würde, der Artikel ist ja nicht nur für die Experten gedacht.

Und in Punkt 3 wird gesagt, eine projektive Ebene sei Pappossch wenn ein Koordinatenternärkörper zu einem kommutativen Körper isomorph ist. Da sollte gesagt werden, in welchem Sinne die 3-stellige Relation zu einer 2-stelligen isomorph sein soll.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 10:59, 24. Apr. 2015 (CEST)

"Koordinatenschiefkörper" soll heißen, dass der Koordinatenbereich zur Beschreibung der Punkte einem Schiefkörper angehört. Die Multiplikation und Addition wird in "üblicherweise" zur Beschreibung der Geraden (y=mx+b) benutzt.

Bei einem Ternärkörper wird mit der 3-stelligen Relation eine Addition und eine Multiplikation definiert. Bei einer pappusschen Ebene bilden die Elemente des Ternärkörpers zusammen mit $+,\cdot$ einen Körper, den Koordinatenkörper. "isomorph" ist dort bezgl. $+,\cdot$ gemeint. --Ag2gaeh (Diskussion) 12:46, 24. Apr. 2015 (CEST)

Mmm, und was ist ein Koordinatenbereich? Aus Ternärkörper#Schließungssätze und Koordinatenbereiche erschließt sich mir das jedenfalls nicht.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 12:53, 24. Apr. 2015 (CEST)

Ein Punkt einer affinen Ebene wird (wie üblich) durch ein geordnetes Paar (x,y) dargestellt, wobei x,y Koordinaten heißen und aus einer Menge K, dem Koordinatenbereich sind. Bei der Anschauungsebene ist K die Menge der reellen Zahlen, ..., bei einer pappusschen Ebene ist K ein Körper, bei einer desargueschen Ebene ein Schiefkörper, ..., im allgemeinen ist K ein Ternärkörper (s. Ternärkörper). Die Verknüpfungen $+,\cdot$ kommen erst dann ins Spiel, wenn man Geraden beschreiben will. --Ag2gaeh (Diskussion) 15:06, 24. Apr. 2015 (CEST)

Inzwischen habe ich mir auch aus Ternärkörper#Geometrische Konstruktion erschlossen, dass man in einer abstrakt definierten affinen Ebene (um die es hier ja geht) drei Punkte $O,E_{1},E_{2}$ auszeichnen kann, dann K als die Gerade $K=OE_{2}$ definiert und letztlich eine Identifizierung der affinen Ebene mit $K^{2}$ bekommt. Das hat aber ein wenig gedauert, bis ich das im entsprechenden Artikel gefunden hatte. Und wie man von den projektiven Ebenen (um die es im Abschnitt ja eigentlich geht) zu den affinen Ebenen kommt, das müßte ich mir wohl auch erst noch zusammensuchen, aus den Verlinkungen im Artikel ergibt es sich jedenfalls nicht unmittelbar.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 15:46, 24. Apr. 2015 (CEST)

Wie man projektive Ebenen mit inhomogenen Koordinaten koordinatisiert wird in Klassifikation projektiver Ebenen#Koordinatisierung der projektiven Ebene beschrieben. Dabei wählt man eine Gerade als Ferngerade aus und koordinatisert zunächst die zugehörige affine Beschränkung.--Ag2gaeh (Diskussion) 17:19, 24. Apr. 2015 (CEST)

Fragen zur Geschichte

Es wäre wichtig zu wissen, wie Pappos seinen Satz formuliert und bewiesen hat. Hat er den Satz nur für maßverwandte (rationale) Verhältnisse formuliert und bewiesen? Oder hat er ihn allgemein formuliert wie es etwa in den "Grundlagen der Geometrie" von David Hilbert geschieht. Der Satz ist die Basis dafür, dass der euklidische Raum mit Koordinaten versehen werden kann. Insofern ist er auch Grundlage der analytischen Geometrie. Gibt es hierzu einfach erreichbare Literatur? --Hesmucet (Diskussion) 09:35, 2. Sep. 2022 (CEST)