Diskussion:Stufenwinkelsatz

Der letzte Schritt ist mir nicht ganz klar...

Ganz unten wird aus der "Tatsache" das Delta = 0° ist geschlossen das kein Schnittpunkt existiert, was ich nicht ganz einsehe, Behauptung von mir: Es exisitert sehr wohl ein Schnittpunkt der unendlich weit entfernt ist sodass Delta 0° ist. (nicht signierter Beitrag von 2A02:8108:1A80:3D44:14BF:61D2:1A99:1178 (Diskussion | Beiträge) 00:45, 24. Jan. 2016 (CET))

Das ist die normale euklidische Geometrie, da gibt es keine „unendlich weit entfernten“ Punkte. -- HilberTraum (d, m) 17:44, 24. Jan. 2016 (CET)

Beweis der Umkehrung nicht Beweis des Satzes, oder?

Ich zitiere aus dem Beweis: "Bewiesen wird die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes, woraus der Beweis für den Stufenwinkelsatz selbst folgt." Ich verstehen nicht, wiese aus dem Beweis der Umkehrung der Beweis des ursprünglichen Satzes folgen soll. Wenn ich "B=>A" beweise, warum soll ich dann automatisch schon "A=>B" bewiesen haben?

In diesem Fall sind die Umkehrung und der Satz an sich eng verbandelt. Seien also g un h parallel. Nehmen wir α ≠ β an. Dann gibt es eine Gerade h' im selben Schnittpunkt wie h mit Schnittwinkel β', sodass β' = α. Aus der Umkehrung folgt nun h' || g. Dann sind h' und h zwei Parallelen zu g, die einen Schnittpunkt haben, was ein Widerspruch zum Parallelenaxiom ist. Siehe auch: [1] --Smutje (Diskussion) 01:57, 31. Jan. 2019 (CET)

Der Beweis hat noch ein anderes Problem. Wenn ich das richtig verstehe verwendet er die Winkelsumme im Dreieck, genau diese wird aber traditionell aus dem stufen bzw. Wechselwinkelsatz hergeleitet, womit ein Kreisschluss vorläge. Darüber hinaus ist der Beweis unbelegt und entspricht nicht der Darstellung bzw. dem Beweis in der angegeben Literaturstelle.--Kmhkmh (Diskussion) 11:52, 22. Aug. 2020 (CEST)

Beweis

Beweis durch Widerspruch: α und β sind die Stufenwinkel

Bewiesen wird die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes, woraus der Beweis für den Stufenwinkelsatz selbst folgt.

Seien dazu a und b zwei Geraden und schneide die Gerade c die Gerade a im Punkt A und die Gerade b im Punkt C. Weiterhin seien die als Stufenwinkel bezeichneten Winkel α und β gleich groß.

Annahme des Widerspruchsbeweises: a und b sind nicht parallel. Folge:

Es existiert also ein Schnittpunkt B der Geraden a und b, sodass ein Dreieck ABC existiert. Nach dem Nebenwinkelsatz ist der Innenwinkel von C = γ = 180° – β. Dann ist

γ + α = 180° – β + α = 180°, da nach Voraussetzung β = α

Daraus folgt für den Innenwinkel δ am Punkt B des Dreiecks ABC:

δ = 180° – (γ + α) = 180° – 180° = 0°.

Das heißt jedoch, dass gar kein Schnittpunkt von den Geraden a und b existiert; Widerspruch zur Annahme, was zu beweisen war.