Diskussion:Symmetrische Matrix

Diagonalisierung

Soll hier eigentlich auch auf die Diagonalisierung speziell symmetrischer Matrizen mit Eigenwerten/Eigenvektoren eingegangen werden? --Philipendula 22:48, 23. Jun 2004 (CEST)

Ich glaube nicht, dass das sinnvoll ist. Diagonalisierung ist im Artikel Jordansche Normalform meiner Meinung nach besser aufgehoben. --(nicht signierter Beitrag von MartinThoma (Diskussion | Beiträge) 09:13, 11. Sep. 2012 (CEST))

Der Artikel wurde mittlerweile in dieser Richtung entsprechend ausgebaut. --Quartl (Diskussion) 21:46, 3. Feb. 2015 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 21:46, 3. Feb. 2015 (CET)

Anmerkung

Anmerkung: Eine Symmetrische Matrix muss nicht quatratisch sein, somit ist auch die Aussage das die Matrix gleich ihrer Transponierten ist nicht uneingeschränkt gültig! --(nicht signierter Beitrag von 84.59.20.105 (Diskussion) 18:30, 13. Nov. 2006 (CET))

Falsch. --Squizzz 18:36, 13. Nov. 2006 (CET)

Prof. Dr. Leuzinger hat das in seinem Skript so definiert:

Eine Matrix $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ heißt symmetrisch, falls gilt:

$A^{T}=A$.

Somit ist diese Aussage definitionsgemäß richtig. Daraus folgt auch direkt, dass jede symmetrische Matrix quadratisch ist.

Grüße, --Martin Thoma 09:16, 11. Sep. 2012 (CEST)

Symmetrische Matrizen sind normalerweise quadratisch. Ich kann mir vorstellen, dass manche Autoren Symmetrie auch für nichtquadratische Matrizen definieren, dafür bräuchte es aber Hinweise auf entsprechende Literatur. --Quartl (Diskussion) 21:50, 3. Feb. 2015 (CET)

Das Skript ist leider nicht öffentlich zugänglich. In "Lineare Algebra" von Beutelspacher steht "Symmetrische Matrix" leider nicht im Index. --Martin Thoma 09:47, 4. Feb. 2015 (CET)

Anmerkung zu Abschnitt Eigenschaften: m.E. Fehler vorhanden

Anmerkung zum zweiten Satz im Abschnitt Eigenschaften: M.E. müssen die s_i nicht nur die orthogonalen Eigenvektoren sein, sondern orthonormierte Eigenvektoren! Ansonsten entsteht aus S^T A S zwar eine Diagonalmatrix. Deren Einträge sind dann aber nicht die Eigenwerte, sondern die Eigenwerte multipliziert mit der Norm der zugehörigen Eigenvektoren. -- MGY 20:10, 8. Feb. 2012 (CET)

Stimmt! Danke für den Hinweis. Ich hab's geändert. -- HilberTraum 21:21, 8. Feb. 2012 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 09:13, 11. Sep. 2012 (CEST)

Standardmatrizen

Die Standardmatrizen $E_{ij}$ sind für $i\neq j$ nicht symmetrisch. Man sollte schon die Matrizen $E_{ij}+E_{ji}$ nehmen oder ${\frac {1}{2}}(E_{ij}+E_{ji})$. Da ich nicht weiß, welche Wahl besser ist (und ob die eventuelle einen Namen haben), ändere ich es nicht selbst. --Digamma (Diskussion) 20:30, 3. Feb. 2015 (CET)

Da hast du natürlich recht. Welche Variante man nimmt ist eigentlich egal, ich habe jetzt die einfachere genommen. Auf Anhieb habe ich keinen Namen für diese Basismatrizen gefunden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:49, 3. Feb. 2015 (CET)

Danke und auch viele Grüße, --Digamma (Diskussion) 20:55, 3. Feb. 2015 (CET)

Gegen die zweite Variante spricht übrigens auch, dass nicht klar ist, was ${\tfrac {1}{2}}$ in einem beliebigen Körper ist. Dadurch haben wir aber jetzt noch ein Problem im Abschnitt Zerlegung, gilt die wirklich für beliebige Körper? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:06, 3. Feb. 2015 (CET)

Stimmt. Probleme gibt es bei Charakteristik 2, also wenn 1 + 1 = 0 gilt. Dann macht aber auch deine Definition Probleme, und zwar auf der Diagonalen, da dann $E_{ii}+E_{ii}$ die Nullmatrix ist. Was die Zerlegung betrifft, bin ich erstmal überfragt. Auf die genannte Art geht es jedenfalls dann nicht. --Digamma (Diskussion) 21:15, 3. Feb. 2015 (CET)

Ja stimmt, für die Zerlegung muss man Charakteristik ungleich 2 voraussetzen. Für char(K) = 2 ist ja eine Matrix genau dann schiefsymmetrisch, wenn sie symmetrisch ist. Als Basis sollte man vielleicht besser $E_{ii}$ zusammen mit $E_{ij}+E_{ji}$ für $i<j$ verwenden, das geht auch für char(K) = 2. -- HilberTraum (d, m) 21:26, 3. Feb. 2015 (CET)

(BK) Zumindest die Basis konnte ich für diesen Fall noch hinbiegen (genau so wie HilberTraum vorschlägt). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:28, 3. Feb. 2015 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Quartl (Diskussion) 21:51, 3. Feb. 2015 (CET)

Fehlt noch was?

So, ich bin jetzt mit dem Artikel soweit durch. Fehlt noch was Wichtiges? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:28, 19. Feb. 2015 (CET)

Ich bin gerade am Durchschauen. Eine Sache, die mir aufgefallen ist: Im Abschnitt "Vielfachheiten" steht

Bei jeder reellen symmetrischen Matrix $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ stimmen die algebraischen und die geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte überein.

gefolgt von einem längeren Beweis. Die Aussage folgt aber direkt aus der Diagonalisierbarkeit. --Digamma (Diskussion) 20:22, 19. Feb. 2015 (CET)

Ich war wohl etwas voreilig. Die Diagonalisierbarkeit kommt ja erst später. --Digamma (Diskussion) 20:30, 19. Feb. 2015 (CET)

(BK) Hier kommt es auf die richtige Reihenfolge an. Die Diagonalisierbarkeit folgt aus der Existenz einer Basis aus Eigenvektoren und die gibt es nur, wenn algebraische und geometrische Vielfachheiten übereinstimmen. Ich war ganz froh, dass ich diesen relativ kompakten Beweis gefunden habe, meistens wird dieser Schritt nämlich recht umständlich über Induktion gezeigt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:31, 19. Feb. 2015 (CET)

In der Einleitung

Symmetrische Matrizen besitzen demnach nur etwa halb so viele verschiedene Einträge wie nichtsymmetrische Matrizen gleicher Größe.

Ist zwar klar, was gemeint ist, aber nichtsymmetrische Matrizen, können ja auch nur sehr wenig (z. B. zwei) verschiedene Einträge haben. -- HilberTraum (d, m) 20:45, 19. Feb. 2015 (CET)

Ok, so einfach lässt sich der Satz auch nicht reparieren, im Text ist es jedenfalls richtig erklärt. Ich habe den Satz aus der Einleitung rausgeworfen und dafür die Transponierte reingenommen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:01, 19. Feb. 2015 (CET)

Symmetrische Tridiagonalmatrix

Sollte man das noch hinzufügen? Also bspw. die Rekursionsformel zur Bestimmung der Eigenwerte oder gehört das dann eher zum Eintrag der Tridiagonalmatrix. (nicht signierter Beitrag von Toby1508 (Diskussion | Beiträge) 20:09, 3. Jul. 2020 (CEST))