Diskussion:Tonstruktur (mathematische Beschreibung)

Tonstruktur

Ich habe einige Vorbehalte gegen die "Axiome" aus der ersten Box: Von jedem Ton aus kann man ein gegebenes Intervall aufwärts singen. - mal abgesehen von meinen begrenzten stimmlichen Fähigkeiten, setzt dies voraus, dass der Tonraum (nach oben) unbegrenzt ist. Gemäß Punkt 1, geht es aber um Töne, die man hört und der Hörraum ist definitiv begrenzt (nach oben und unten).

Auch fehlt mir eine Angabe zum Gültigkeitsbereich des Konzepts der Tonstruktur im Artikel. Um ausgehend von jedem Ton jedes Intervall bilden zu dürfen, bedarf es einer (irgendwie) temperierten Stimmung, wenn die Tonhöhen fix sein sollen (variable Tonhöhen werden soweit ich es gesehen habe, nicht thematisiert). Nun können wir in der Geschichte der Musiktheorie wie auch in der Musikethnologie viele Beispiele finden, dass bestimmt Tonverbindungen verboten sind.

Da mir bisher der Terminus Tonstruktur unbekannt war und auch meine google-Recherche ausser einem kleinen Beitrag in Mikrotöne III: Bericht über das 3. internationale Symposium von 1990 keinen Treffer in dieser Richtung einbrachte, hielte ich ein paar Belege für die Verwendung des Begriffs für hilfreich. -- BTonY 18:26, 21. Mär. 2011 (CET)

Mein obiger Kommentar scheint dazugeführt zu haben, dass es jetzt zusätzlich heißt: Aus Vereinfachungsgründen wird keine Rücksicht darauf genommen, ob ein Ton jenseits der Hörschwelle ist. Ich kann aber die Vereinfachung nicht sehen. Vielmehr ist es doch so, dass wenn der Hörraum / Tonraum endlich ist, der Intervallraum auch keine Gruppe sein kann. Dagegen haben wir im Artikel Tonsystem Ein Tonsystem umfasst alle in einer Musikkultur unterschiedenen Tonhöhen -> also die Idee einer endlichen Menge.-- BTonY 14:15, 22. Mär. 2011 (CET)

Dann muss ich es wohl noch anders formulieren, dass die Menge der Töne unendlich sein darf und damit der die Menge der Intervalle eine Gruppe bez. der Addition ist.

Das ist in der Tat eine Vereinfachung (in der jetzigen Form stillschweigend vorgenommen), sind doch die Grenzen der Hörbarkeit oder gar Singbarkeit von Tönen von Individuum zu Individuum verschieden. Muss man die Grenzen extra erwähnen? Meiner Meinung nach nicht. Es geht doch nur ums theoretische Prinzip.

- - - Zum Terminus "Tonstruktur". Ich nehme an, diesen Begriff hat Wilfried Neumaier, der sich ausgiebig mit historischen Tonsystemen mit moderner Algebra beschäftigt hat, hier in Wikipedia eingeführt. Winfried Neumaier wiederum beruft sich (in seiner Dissertation auf Seite 10) auf: Wille, Rudolf, Mathematik und Musiktheorie, in: Musik und Zahl, Bonn - Bad Godesberg 1976, S.233-264

Wille schreibt über die Nützlichkeit der Mathematik für die Musik.

Mit Hilfe der Mathematik kann man musikalische Begriffe präzisieren und Unklarheiten und Missverständnis, die ungenau gefasste Begriffe mit sich bringen.

Gerade mit der neueren Mathematik ist es möglich, musikalische Sachverhalte wesentlich einfacher und genauer wiederzugeben, als dies früher möglich war.

Komplizierte Zusammenhänge werden durchschaubar.

- - -

In diesem Zusammenhang finde ich den Begriff "Struktur" durchaus passend, beschäftigt sich doch die moderne Matematik mit Strukturen. ---Joachim Mohr 16:51, 23. Mär. 2011 (CET) - - - Der Begriff „Tonstruktur“ ist soweit ich weiß von Rudolf Wille. Allerdings beschreibt er etwas, was so in der Musik noch nicht betrachtet worden ist, aber bitter nötig ist: Die Suche nach einer Klaren Sprache. Seine Motivation war die Entwicklung einer Beschreibungssprache für reale Tonsysteme und deren Umsetzung für die Programmierung von Mutabor (http://www.math.tu-dresden.de/~mutabor/). Die Musikalische Fachsprache war bis zu dem Zeitpunkt wegen Ihren Mehrdeutigkeit und schwammigen Definition völlig ungeeignet.

Leider hat es dieses Bemühen noch nicht in die Englische Fachwelt geschafft, wie jüngste Arbeiten von Dmitri Tymoczko beweisen (deren Zitierung leider verboten ist). Man findet sie trotzdem auf seiner Homepage.

@BTonY: Eine Tonstruktur ist die Verallgemeinerung eines Tonsystems. Sie hat bei Rudolf Wille keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder auf Eindeutigkeit in der Tonhöhe. Eine Tonstruktur ist alles, was Töne enthält. Die Implikation ist anders herum: Zwischen zwei beliebigen Tönen gibt es ein Intervall. Das heißt nicht, dass es zu jedem Intervall ein paar von Tönen gibt, das dieses realisiert. Und schon gar nicht heißt es, dass man zu jedem Ton und jedem Intervall einen passenden Ton so findet, dass beide Töne dieses Intervall aufspannen.

Zum anderen muss man keine Form der Temperierung (weder Wohl- noch gleichstufig noch ...-temperiert) annehmen, um transponierbare Tonsysteme zu realisieren. Martin Vogel hat sich zum Beispiel der Idee gewidment, die Reine Stimmung von einer Temperierung zu einem transponierbaren Tonsystem auszubauen (z.B. „Die Lehre von den Tonbeziehungen“). Rudolf Wille und andere an der TH Darmstadt haben sich diese Idee zu eigen gemacht, was dann zum einen zu Mutabor und zum anderen zur „extensionalen Standardsprache“ führte.

Ein paar zusätzliche Informationen dazu: Jan Thomas Winkler hat in seiner Diplomarbeit „Algebraische Modellierung von Tonsystemen“ die Ideen von Wille noch einmal aufgearbeitet. Er zitiert eine Handvoll von Preprints, die zum größten Teil in Zeitschriften erschienen sind. Leider hat Wille zwar die Preprints weiter gegeben, aber darauf nicht vermerkt, wo er sie veröffentlicht hat.

Im übrigen gibt es eine wohl unabhängige Parallelentwicklung aus den USA (siche David Lewin: „Generalized Interval Systems and Transformations“), die deutlich weiter bekannt ist. Die größten Unterschiede: Die Tonmenge ist homogen, transponierbar und vollständig. Also die Kritik von BTonY trifft darauf zu. (Zu seiner Rettung muss man sagen: Lewin redet über Intervallsysteme, Wille über Tonsysteme und – allgemeiner – Tonstrukturen. Dafür geht Lewin tiefer auf gruppentheoretische Zusammenhänge ein. Keinstein 16:40, 6. Okt. 2011 (CEST)

Die Oktavzahl x in der Tabelle „Beispiel für Intervallräume“

Nach meinem Verständnis dient die Variable x ausshließlich dazu, den für ein Intervall berechneten Centwert in den Bereich 0 ... 1200 zu bringen. Sie hängt von y oder von y und z ab. Wäre es deshalb nicht klarer, sie durch Benutzung der Modulo-Funktion zu vermeiden? Ich habe die Centwerte in der ausführlichen Tabelle mit

$\scriptstyle I_{c}=1200(yQ{\text{ Modulo }}1)$ mit $\scriptstyle Q=\log _{2}{\frac {3}{2}}$ und $\scriptstyle y=\pm 1,\pm 2,...\pm 16$

nachgerechnet und komme jedenfalls zum gleichen Ergebnis. Was vielleicht auch erläutert werden sollte (jedenfalls ist es mir unklar), warum gerade bis $\scriptstyle \pm 16$ gerechnet wird, warum man gerade 30 Töne zwische C und c braucht. Insgesamt finde ich den Artikel ausgezeichnet. Habe lange nach sowas gesucht. Modalanalytiker (Diskussion) 17:46, 25. Jul. 2014 (CEST)

Warum nicht Modulo gerechnet wurde. Beispiel Limma = 5Quinten nach unten , dann 3 Oktaven nach oben = -5Quinten+3Oktaven = -1200*5lb(3/2)-3*1200 =90. Die direkte Berechnung ist für Nichtmathematiker besser nachvollziehbar.

Warum 30 Töne zwischen C und c? Dies ergegibt sich, indem man alle Intervalle der chromaitschen Tonleiter C Cis Des D Dis Es E F Fis Ges u.s.w berechnet. Die Anzahl ist tatsächlich willkürlich. Man könne noch eis und fes, his und ces dazuehmen u.s.w. Ich finde aber: Doppelt vermindert (zum Beispiel Doppelt verminderte Quart) und Doppelt übermäig genügt.

Das Nennen der Oktavzahl x hat auf jeden Fall den Nutzen, dass man sofort sieht, wie hoch oder tief der Quintenstapel ist, aus dem der Ton hergeleitet ist. Vielen Dank für die Aufklärung! Ich bin zu dem Lemma gekommen, weil ich wissen will, um wieviel cent die Saiten einer modernen Doppelpedal-Konzertharfe per Pedal verkürzt werden. Hier fand ich das richtige Rüstzeug, aber die eigenliche Antwort muss ich noch woanders suchen. Modalanalytiker (Diskussion) 19:00, 26. Jul. 2014 (CEST)

Mengenschreibweise

Eine schöne Übersicht bietet dieser Artikel!

In der Tabelle "Beispiele für Intervallräume" sind die Variablen-Räume mit einem Doppelpunkt abgetrennt. Das sieht dann wie eine Division aus. Ich fände eine Abtrennung mit einem geraden horizontalen Strich besser lesbar. Das stimmt dann auch mit der Schreibweise im Artikel "Menge (Mathematik)" überein.

Name des Intervallraums	Intervallraum
Der zwölfstufige Intervallraum Intervallraum der gleichstufigen Stimmung	${\mathcal {H}}=\{x\cdot H\mid x\in \mathbb {Z} \}$
Das Quintensystem Intervallraum der pythagoreischen Stimmung	${\mathcal {Q}}=\{x\cdot Ok+y\cdot Q\mid x,y\in \mathbb {Z} \}$
Das 1/4-Komma mitteltönige Quintensystem Intervallraum der mitteltönigen Stimmung	${\mathcal {Q}}_{m}=\{x\cdot Ok+y\cdot Q_{m}\mid x,y\in \mathbb {Z} \}$
Das Quint-Terz-System Intervallraum der reinen Stimmung	${\mathcal {Q}}{\mathcal {T}}=\{x\cdot Ok+y\cdot Q+z\cdot T\mid x,y,z\in \mathbb {Z} \}$
Der allumfassende Intervallraum (Alle Intervalle sind beliebig teilbar.)	${\mathcal {\{}}r\cdot Ok\mid r\in \mathbb {R} \}$

Patrick Nordmann (Diskussion) 11:47, 16. Sep. 2016 (CEST)

• So hatte ich es ursprünglich auch geschrieben. Ist dann irgendwann 2013 geändert worden. Ich finde auch den horizontalen Strich besser. Habe meine / Deine Version wieder eingefügt. --Joachim Mohr (Diskussion) 16:42, 16. Sep. 2016 (CEST)

Axiomatische Beschreibung

Nach Diskussionen im Portal Qualitätssicherungen wurde die Axiomatik (begründet von Aristoxenos), die viele nicht verstanden, an den Schluss gelegt und stattdessen eine physikalische Einleitung eingeführt, die jedoch den Ausblick auf die Axiomatik mit den Begriffen Ton, Intervall, Ordnung ermöglicht. --Joachim Mohr 21:16, 6. Nov. 2013 (CET)

Mir gefällt die Überschrift »Axiomatische Herleitung der 53-Skala« nicht so besonders gut – aus 2 Gründen:

1. Gibt es eine Axiomatische Herleitung eigentlich nicht. Entweder ist etwas Axiom oder Herleitung (vermutlich aus einem oder mehreren Axiomen).
2. »53 Q = 31 Ok« sieht nicht so aus wie Axiome, die ich sonst kenne.

Aber ich muss zugeben, dass alle Begriffe, die mir einfallen, nicht so hochgestochen herauskommen wie »Axiomatisch«. - Nomen4Omen (Diskussion) 11:11, 29. Mai 2020 (CEST)

Der Intervallraum der 53-er Skala kann exakt durch Axiome im Sinne Nicolas Bourbakis definiert werden.

"Der 53-Intervallraum ist eine archimedische geordnete additive Gruppe, die drei Elemente OK, Q und gT enthält, für die gilt:

(1) 53Q = 31Ok

(2) 12Q-7Ok = 4Q - 2Ok - gT"

Das ist so ähnlich formuliert wie bei der affinen Ebene: "Es gibt 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen." Hier werden auch keine Punkte definiert, sondern nur Beziehungen zueinander. Was bei den Axiomen des Intervallraum wichtig ist, dass sie aus dem Hören ermittelt werden können.--Joachim Mohr (Diskussion) 19:56, 29. Mai 2020 (CEST)

Also näher läge für mich eine Betitelung à la »Herleitung der 53-Skala aus zwei ganzzahligen Beziehungen«.
Übrigens ist bei mir:

• 1 k = 22,64150943 Cent
• 31 k = 701,8867925 Cent
• 17 k = 384,9056604 Cent

Hab ich's richtig verstanden ? - Nomen4Omen (Diskussion) 21:10, 29. Mai 2020 (CEST)

Deine Betitelung werde ich einarbeiten, vielleicht als unterabschnitt von Beispiel 2. Du hast richtig gerechnet 1k=1200/53. Q=31k unterscheidet sich dann vom Wert der reinen Stimmung Q=1200*log₂(3/2)=701,955 und gT=31k bzw. 200*log₂(5/4)=386,31 um weniger als 2 Cent. --Joachim Mohr (Diskussion) 08:46, 30. Mai 2020 (CEST)

Danke. Ja, so ist's schlichter gesagt – und trifft mE genauso zu.

Dann noch vllt der Hinweis: Mit , (Komma) vor und hinter Buchstaben ist hier vllt ganz große Sorgfalt geboten mit den entsprechenden Leerstellen. Bspw solltest Du, wenn Du ein musikalisches Komma (oder sonst ein musikalisch gemeintes Satzzeichen) vor einem Buchstaben haben möchtest, unbedingt eine Leerstelle davor setzen. Da stolpere ich inbes im Abschnitt "Die Tonleitern der reinen Stimmung im Quintenzirkel" drüber: bspw hast Du dort:

Bezeichnung,x (Tiefkomma x)		statt evtl		Bezeichnung ,x (Tiefkomma x)
Bei,es-Moll ,,c und ,,d		statt evtl		bei ,es-moll ,,c und ,,d
bei,b-Moll ,,g und ,,a		statt evtl		bei ,b-moll ,,g und ,,a
usw

("statt evtl" sage ich, weil ich mir nicht ganz sicher bin.)

Eine andere Möglichkeit, solche besondere Zeichensetzung deutlich zu machen, wäre alternativ evtl die typografische Klammerung per <code></code>.

Besten Gruß und nichts für ungut! - Nomen4Omen (Diskussion) 12:27, 30. Mai 2020 (CEST)

Danke für den Hinweis. --Joachim Mohr (Diskussion) 14:35, 30. Mai 2020 (CEST)

Intervallraum und Homomorphismus

Lieber @Joachim Mohr:
ich versuche, mir aus dem Abschnitt Tonstruktur (mathematische Beschreibung)#Beispiel 3 (Das Quint Terz-System)​ und dem Homomorphismus einen Reim zu machen. Ist es nicht so, dass Du schon die ganze Zeit einen Homomorphismus verwendest, nämlich den Logarithmus?

Die Frequenzverhältnisse sind (zumindest bei Pythagoras) alle rational und positiv, also aus $\mathbb {Q} _{>0}$. Wegen $\mathbb {Q} _{>0}\subset \mathbb {R} _{>0}$ kann man dort logarithmieren. Es gibt also eine Abbildung, die als Logarithmus bekannt und ein Homomorphismus ist, $\log _{b}\colon \mathbb {Q} _{>0}\to \mathbb {R}$, die die multiplikative Gruppe der positiven rationalen Zahlen in die additive Gruppe der reellen Zahlen wirft. Mir scheint, dass es sich beim Bild $\log _{b}(\mathbb {Q} _{>0})\subset \mathbb {R}$ um Deinen Intervallraum handelt. Der Logarithmus ist injektiv, weshalb er auf $\log _{b}(\mathbb {Q} _{>0})$ umkehrbar ist. Seine Umkehrung ist die Exponentiierung zu Basis $b$, nämlich $f\colon \log _{b}(\mathbb {Q} _{>0})\to \mathbb {R} _{>0},i\mapsto b^{i}$. Diese Umkehrabbildung ist ebenfalls ein Homomorphismus und nach meinem Dafürhalten der von Dir postulierte Homomorphismus. Besten Gruß!

PS: Nimmt man als Basis $b:=\mathrm {e}$ die eulersche Zahl, dann sind alle Logarithmen von positiv rationalen Zahlen außer der $1$ transzendent, und die additive Gruppe $\log _{b}(\mathbb {Q} _{>0})$ ist isomorph zur additiven Gruppe, die von den $\ln(q)\;\mid \,q\in \mathbb {Q} _{>0}$ erzeugt wird. (Letztere fällt übrigens mit der direkten Summe $\Sigma _{p\in \mathbb {P} }\ln(p)\cdot \mathbb {Z}$ über die von den Logarithmen der Primzahlen gebildeten freien Gruppen zusammen. Das trifft sich ziemlich mit der Formulierung ${\mathcal {QT}}=\{x\cdot \mathrm {Ok} +y\cdot \mathrm {Q} +z\cdot \mathrm {T} \mid x,y,z\in \mathbb {Z} \}$ weiter oben im Abschnitt #Mengenschreibweise.) In diesem Intervallraum ist $\mathrm {Ok} :=\ln(2),\mathrm {Q} :=\ln(3/2),\mathrm {gT} :=\ln(5/4).$ Nimmt man aber als Basis $b:=2,$ dann ist $\mathrm {Ok} :=1.$ - Nomen4Omen (Diskussion) 19:29, 7. Jun. 2020 (CEST)

@Lieber Nomen4Omen, Du gehst von der multiplikativen Gruppe der Frequenzverhältnisse aus.

Hier ist es gerade der additiv geschriebene Intervallraum (eine archimedisch geordnete geordnete Gruppe), von dem die Rede ist. Intervalle werden addiert (große Terz + Kleine Terz = Quinte).

Nun wissen wir: Intervallen kann man Frequenzverhältnisse zuordnen. Das ist mein Homomorphismus f. Diese Zuordnung ist exponentiell:

Ok->2, 2Oh->4, 3Ok->8 usw.

Wenn Du von den Frequenzverhältnissen ausgehst, dann kommst Du zur Umkehrung der Exponentialfunktion, den Logarithmus.

Schau Dir Beisiel 2 (53-Skala) an. Hier siehst Du: Musiker denken additiv und nur durch einen glücklichen Zufall konnte man Intervallen Quotienten zuordnen, da Pythagoras schon Saieninstrumente kannte. Und nur deshalb konnte Pythagoras nachweisen, dass bei Aristoxenos das Axiom 2 1/2 Ganztöne = Quarte, die dieser durch Hören gewann, nicht genau stimmte --Joachim Mohr (Diskussion) 15:12, 8. Jun. 2020 (CEST)

@Joachim Mohr:
Ist gut.

1. Also, ob Musiker zuerst additiv denken, und sich nachher freuen, wenn sie ein schönes Frequenzverhältnis dazu finden, da bin ich doch sehr skeptisch. Eher glaube ich, dass sie das Frequenzverhältnis 2:1 immer als "fast" den gleichen Ton empfunden haben (es sind ja allermeistens ganzzahlige Oberschwingungen mit dabei, z.B. auch der Oberton mit 3-facher Frequenz). Zugegeben, wenn man kein absolutes Gehör hat, dann erkennt man ein Tonintervall im Charakter des Zweiklangs fast besser als die wahre Tonhöhe.
2. Auch Du bist in Deinem Artikel (wie ich und wie Pythagoras) von den Frequenzverhältnissen ausgegangen. Denn die transzendenten Zahlen, die bei den Intervallen herauskommen, können von den Musikern wohl kaum "empfunden" werden. Fazit: Bei den Musikern und bei Dir sind die Frequenzverhältnisse das Primäre. Das sind Quotienten, Brüche und rationale Zahlen. Ich denke, wenn man einen Dreiklang singen möchte, singt man bspw. die Frequenzverhältnisse Tonika=1, gTerz=5/4, Quinte=3/2, und nicht $0,\log _{2}(5/4),\log _{2}(3/2)$. Wenn man in der Gruppe einen Kanon anstimmen muss, dann singt man in Gedanken mal vom einen und mal von einem anderen Ausgangston aus und prüft, ob man zu hoch oder zu tief wird. Ich habe dabei überhaupt nicht ein additives Empfinden.
3. Wir sind uns völlig einig, dass man vom auf logarithmische Weise aus Frequenzverhältnissen gewonnenen Intervallraum exponentiell zu den Frequenzverhältnissen kommt.

Beste Grüße, - Nomen4Omen (Diskussion) 20:47, 8. Jun. 2020 (CEST)

Eine Antwort kann ich mir nicht verkneifen. Wenn der Chorleiter ruft: "Bitte statt F ein ein Fis", sagt er dann dazu: "Bitte um 16/15 höher"? Nein! Er sagt: "Bitte einen Halbton höher". Heutzutage hört man in Halbtonschritten und wenn es darauf ankommt in Ausnahmefällen, kleinere oder größere. Siehe: Passus duriusculus. LG --Joachim Mohr (Diskussion) 10:33, 9. Jun. 2020 (CEST)

Du hast Recht! Du hast geschrieben: Musiker »denken« additiv. Also eigentlich subtraktiv. Denn sie haben ein „Gefühl“ für den Frequenzunterschied, will heißen: das Frequenzverhältnis. »denken« ist OK und »sprechen« auch, aber beim »hören« sind's Frequenzverhältnisse. Besten Gruß! - Nomen4Omen (Diskussion) 12:06, 9. Jun. 2020 (CEST)

Übrigens habe ich oben das Frequenzverhältnis F-Fis (16/15) falsch angegeben. Es ist ja nicht der diatonische sondern ein chromatischer Halbton mit dem Frequenzverhältnis 9/8*15/16 = 135/128. Dem Verhältnis sieht man aber nicht an, dass der chromatische Halbton ein Komma kleiner als der diatonische Halbton ist. LG --Joachim Mohr (Diskussion) 16:04, 9. Jun. 2020 (CEST)

Oberschwingungen und Oktave

Im Artikel fehlt mir total der Begriff der Oberschwingung, der Obertöne – auch einen Abschnitt „Siehe auch“ mit einem entsprechenden Link gibt es nicht. Es ist ja so, dass man beim Anschlagen einer Klaviertaste IMMER einen Haufen sich überlagernde Schwingungen erzeugt, dass man einen Ton mit einer einzige Frequenz normalerweise gar nicht zustande bringt. Selbst, wenn man sich die allergrößte Mühe gibt, eine einzige Frequenz zu singen, scheppert die Fensterscheibe auch in ein paar anderen Frequenzen mit.

Ich bin überzeugt, dass Pythagroras sowas schon ahnte (obwohl ich natürlich keine Literaturstelle dazu aus dem Ärmel schütteln kann), und dass er sich auch deshalb vorwiegend mit den „reinen“ Frequenzverhältnissen, die sich durch kleine rationale Zahlen ausdrücken lassen, beschäftigt hat.

Die Oktave ist der erste Oberton, und ich vermute, dass hieraus ihre überragende Bedeutung als Skaleneinheit kommt – alle anderen musikalischen Intervall-Einheiten werden auf sie bezogen. Das muss eigentlich begründet werden, und ich meine, ich hätte mal gelesen, dass die Oktave als der „gleiche Ton“ empfunden wird (kann allerdings auch hier keine Literaturstelle dazu aus dem Ärmel schütteln). Allerbeste Grüße, –Nomen4Omen (Diskussion) 18:00, 5. Mär. 2022 (CET)

Das steht hier wie ich finde alles zurecht nicht. Denn dieser Artikel geht um die Struktur der Töne zueinander, nicht um die einzelnen Töne. Die gibt es bei natürlicher Erzeugung in der Tat nicht ohne Obertöne, speziell beim Singen kommen noch die Formanten dazu. Aber das ist alles eine andere Baustelle. Gruß, --Matthias Lorenz (Diskussion) 10:24, 6. Mär. 2022 (CET)

@Matthias Lorenz. ich sehe gerade. Wir haben gleichzeitig dasselbe erklärt! --Joachim Mohr (Diskussion) 10:30, 6. Mär. 2022 (CET)

Nach Winfried Neumaier (siehe Literatur in Anm. 1) kann man die Tonstruktur ohne Akustik darstellen. Eine Tonstruktur ist ähnlich aufgebaut wie der Affine Raum. Beim affinen Raum hat man eine Menge A - Punkte genannt - und zugeordnete Punktepaare - Vektoren genannt. Es wird nicht gesagt, was ein Punkt ist (Bei Euklid: "Was keinen Teil hat").

Bei der Tonstruktur hat man eine Menge - Tonraum genant - und zugeordnete Tonpaare - Intervalle genannt -, für die gewisse Gesetze gelten. Zum Beispiel folgt aus "Große Terz + kleine Terz = Quinte" auch die Beziehung "kleine Terz + große Terz = Quinte" - Kommutativgesetz genannt. Es muss nicht gesagt werden, was ein Ton und Intervall ist. Es muss auch nicht gesagt werden, wie ein Ton erzeugt wird (Klavier oder Waldhorn). Auch nicht, welchen Obertönen da mitschwingen oder den zugehörigen Einschwingvorgang. --Joachim Mohr (Diskussion) 10:29, 6. Mär. 2022 (CET)

Großartige Rechtfertigung! Wirklich großartig!

Vielleicht hätte ich es andersherum aufziehen sollen. Nämlich, dass Ihr nichts drin habt, was die geradezu monopolartige Stellung der Oktave (in der Musik und in Eurem Artikel) motiviert. Ein Intervall, auf die Ihr/man alle anderen Intervalle größenmäßig bezieht, z.B. mit dem Cent, Quintenzirkel, 53-Skala etc., die neue Graphik mit dem Oktavenkreis. Da könnte man/Ihr sich doch fast ein bisschen fragen, woher das kommt. Wenn Ihr wirklich den Mathematiker heraushängen wollt (was Ihr oben in Euren Antworten zu 100% tut!), müsst Ihr unbedingt die natürlichen Logarithmen nehmen, die sich auf das Intervall mit dem Frequenzverhältnis der Eulerschen Zahl $\mathrm {e} =2{,}718281828\dots$ beziehen! Warum habt Ihr – warum hat man – nicht das $\mathrm {e}$-Intervall genommen?

Bitte, singe mir doch mal jemand ein $\mathrm {e}$-Intervall für die Tonstruktur (in ihrer jetzt endlich richtigen mathematischen(!!) Beschreibung) vor! (Irgendwie ist die «Menge» (s.o.) der leicht gerundeten Zweierlogarithmen von rationalen Zahlen «Große Terz + kleine Terz = Quinte» (s.o.) ja sowas von banal, auch mathematisch.)

Bitte kommt mir jetzt nicht damit, dass die Zweierlogarithmen fast so wichtig seien wie die natürlichen. Fraglos sind sie und die Zehnerlogarithmen auch wichtig, was aber mit Musik, Akustik etc. (so wie Eure obigen Antworten) nichts zu tun hat und in keiner Hinsicht zur Begründung der geradezu monopolartigen Stellung der Oktave in der Musik (und ihrer arithmetischen Struktur) ausreicht. Allerbeste Grüße, –Nomen4Omen (Diskussion) 18:14, 6. Mär. 2022 (CET)

Tja, da empfiehlt sich wohl mal ein Blick in den Artikel Oktave, der sich mit ihrer Sonderstellung befasst. Ansonsten: Wenn es jemand gibt, der die Tonstruktur aufgrund des natürlichen Logarithmus dargestellt hat und der hier fehlt, dann sollte das natürlich rein. Aber dieser Artikel (wie alle) stellt ja nur das bestehende Wissen dar. --Matthias Lorenz (Diskussion) 18:30, 6. Mär. 2022 (CET)

Danke für Deinen Tipp, «mal ein Blick in den Artikel Oktave» zu werfen. Habe ich gemacht!

Und habe nachgeschaut, ob das auch im besprochenen Artikel «Tonstruktur (mathematische Beschreibung)» empfohlen wird. Ergebnis: Kein einziges – wiederhole: kein einziges – Vorkommen von «[Oktav» im Text! --Nomen4Omen (Diskussion) 21:01, 6. Mär. 2022 (CET)

Gehen wir einmal davon aus, dass wir - wie Arsistoxenos - nichts von Proportionen wissen. Dann können wir beobachten, dass eine Quinte kleiner ist als eine Oktave und zwei Quinten größer als eine Oktave. Quinte und Oktave müssen wir nicht innerhalb des Tonsystems definieren. --Joachim Mohr (Diskussion) 09:51, 7. Mär. 2022 (CET)

In dem Artikel wird ja nicht nur etwas von Arsistoxenos erzählt, sondern Ihr habt ihm den Titel «Tonstruktur (mathematische Beschreibung)» gegeben und nehmt anstelle der natürlichen Logarithmen (wie es Mathematikern, die Ihr seid und sein wollt und herausstreicht) gut anstehen würde, die Zweierlogarithmen, verwendet im Artikel 129 mal den Begriff «Oktav». Ohne zu sagen warum.

Und gewissermaßen als Nebenprodukt würde dabei abfallen, warum Ihr als Mathematiker ausgerechnet die Zweierlogarithmen – und nicht die natürlichen oder die Zehnerlogarithmen – nehmt.

Es gibt viele WP-Artikel, die was zum Warum sagen. Ihr gehört nicht dazu.

Allerbeste Grüße, –Nomen4Omen (Diskussion) 11:31, 7. Mär. 2022 (CET)

In allen Musikkulturen ist die Oktave ein grundlegendes Intervall. Warum das so beobachtet wird, muss nicht in der Struktur des Intervallraums erklärt werden. ("Beim Singen eines Liedes singen Männer eine Oktave tiefer als Frauen"). Und seit man Tönen mit physikalischen Mitteln eine Frequenz zuordnen kann, kann man feststellen, dass das Frequenzverhältnis von n Oktaven das Frequenzverhältnis von 2ⁿ ist. 12 Quinten sind ungefähr 7 Oktaven, also eine Quinte = 7/12 Oktave. Und damit kommt man ganz natürlich nicht zum natürlichen Logarithmus, sondern zum Zweierlogarithmus lb. Beispiel: Intervallgröße eine Intervalls mit dem Frequenzverhältnis 32 ist lb(32) Oktaven = 5 Oktaven. --09:28, 8. Mär. 2022 (CET) --Joachim Mohr (Diskussion) 09:28, 8. Mär. 2022 (CET)

Das ist jetzt echt schön, dass Du das hier feststellst: «In allen Musikkulturen ist die Oktave ein grundlegendes Intervall.» Im Artikel wird das nicht festgestellt. Es wird nicht einmal auf einen Artikel verwiesen, in dem das festgestellt wird. Es wird einfach unterstellt, dass jeder weiß oder zu wissen hat: «In allen Musikkulturen ist die Oktave ein grundlegendes Intervall.» Und deshalb kann man den ganzen Artikel darauf aufbauen. Dass sich alle anderen Intervalle am Intervall der Oktave zu messen haben. Dass die Oktave das einzige Intervall ist, das in jeder im Artikel vorkommenden Skala sich durch ein mathematisch exaktes Frequenzverhältnis auszeichnet, wogegen die anderen manchmal nur angenähert und gerundet sind. M.a.W., dass alle Skalen auf die Oktave bezogen sind. Irgendwie doch eigentlich komisch.

Allerbeste Grüße, --Nomen4Omen (Diskussion) 12:14, 8. Mär. 2022 (CET)

Die Tonleitern der reinen Stimmung im Quintenzirkel

Tonhöhen der rein gestimmten Dur- und Molltonarten im Oktavkreis. Mit den 53 durch Kreismarken bezeichneten Tönen (Außenbereich der Graphik ) sind 15 Durtonleitern mit den Quinttönen cb|gb...c ...f#|c# als Grundtöne spielbar, ebenso die 45 parallelen Tonleitern der drei Mollmodi, deren Grundtöne ,ab|,eb...,a...,d#|,a# eine kleine Terz tiefer als die Quinttöne liegen. Die Tonleitern im Innenbereich illustrieren die Tonabstände an den Tonarten C-Dur und drei Mal ,a-Moll.

Bestehen Einwände dagegen, die maßstäbliche Graphik in den Abschnitt aufzunehmen? --Modalanalytiker (Diskussion) 16:26, 20. Feb. 2022 (CET)

Das ist aber ganz schön ausgeklügelt (Aber eine gute Idee mit schwarz rot grün blau. Ich habe nichts dagegen. --Joachim Mohr (Diskussion) 17:30, 20. Feb. 2022 (CET)

Coole Sache! Zweierlei finde ich mit dem Quintenzirkel im Blick allerdings merkwürdig: 1. Das "c" an der Seite (statt oben). 2. Die Aufwärtsbewegung gegen den Uhrzeigersinn statt mit ihm. Wenn das nicht tierisch viel Arbeit ist, fände ich es schön, das zu ändern, dann lässt es sich (jedenfalls für Musiker) wahrscheinlich leichter lesen.

Ein anderer Punkt: Den Platzgewinn für "c#" statt cis finde ich vernachlässigbar. Die Systematik wird mit "is" und "es" genauso deutlich und auch da würde die Lesbarkeit (mindestens für Musiker) gewinnen. Gruß und D--Matthias Lorenz (Diskussion) 18:09, 20. Feb. 2022 (CET)ank,

Danke für das Kompliment, Joachim Mohr und Matthias Lorenz. Umstellung auf "is" und "es" ist kein großes Problem, die Verlegung von c auf den Scheitel bedeutet dagegen richtig viel Arbeit. Meine Überlegung war, dass jeder zuerst das c sucht und sich dann freut, dass der höhere Ton d auch in der Graphik höher liegt. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:38, 20. Feb. 2022 (CET)

Und noch drei andere Punkte:

1. In der cent-Tabelle fehlt m. E. der Ton ,des.
2. "Im harmonischen Moll sind noch die 6. und 7. Stufe zu betrachten:" Änderungsvorschlag: Im harmonischen Moll ist noch die 6. Stufe und im melodischen Moll zusätzlich die 7. zu beachten.
3. "Beim Übergang in die Molltonart sind folgende Töne einzufügen:" M. E. ist hier eine Erläuterung nötig, warum der vorher beschriebenen Mollreihe auf Tiefkomma-Grundtönen noch eine weitere auf Basis der anfangs festgesetzten Dur-Grundtöne (ohne Kommata) hinzugesellt wird. Wenn ich diese weitere Mollreihe sehe , frage ich mich nach der dazu parallelen Dur-Reihe u. s. w.. Ist das im Sinne des Erfinders? --Modalanalytiker (Diskussion) 21:38, 20. Feb. 2022 (CET) --Modalanalytiker (Diskussion) 16:09, 21. Feb. 2022 (CET)

Nachfrage zu Punkt 3: Gehören zum Tonsystem der reinen Stimmung zwei Mollreihen, nämlich neben der auf den Tönen der 1. Oberterzeihe basierenden auch die, welche - wie die aufgeführten Durtonleitern - auf den Tönen der Quintenreihe beruht? Ich kenne keinen Grund dafür. Wenn niemmand hier einen Grund nennt, würde ich den entsprechenden Text im Artikel entfernen. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:18, 3. Mär. 2022 (CET)

Nur zur Klarstellung: Es geht mir nicht darum, ob das d höher als das c liegt. Sondern darum, dass im Quintenzirkel - der für uns Musiker nun mal "normal" ist - die aufsteigenden Quinten im Uhrzeigersinn gehen, die absteigenden gegen den Uhrzeigersinn. Bei der Grafik steigen aber die Töne gegen den Uhrzeigersinn an. Das macht sie unhandlich zu lesen. Auch bei der Uhr selber heißt "aufsteigend" ja im Uhrzeigersinn, jeder Drehregler führt im Uhrzeigersinn zu den höheren Werten, gegen den Uhrzeigersinn zu niedrigeren. Wahrscheinlich reicht die Erwartung einer bestimmten Richtung also über Musikerkreise hinaus.

MaW: Eigentlich müsste man die Richtung umdrehen (und dann wäre die Verlegung des c die kleinste Arbeit). --Matthias Lorenz (Diskussion) 22:00, 20. Feb. 2022 (CET)

@Matthias Lorenz: Dann richte auch ich mich nach dieser Erwartung. --Modalanalytiker (Diskussion) 23:46, 20. Feb. 2022 (CET)

@Modalanalytiker: Großartig, vielen Dank! Ich denke der Nutzungswert der Grafik steigt damit deutlich. Tut mir leid, damit Arbeit für Dich angestoßen zu haben. Gruß, --Matthias Lorenz (Diskussion) 09:15, 21. Feb. 2022 (CET)

Tonhöhen der rein gestimmten Dur- und Molltonarten im Oktavkreis. Mit den 53 durch Kreismarken bezeichneten Tönen (Außenbereich der Graphik ) sind 15 Durtonleitern mit den Quinttönen ces|ges...c ...fis|cis als Grundtöne spielbar, ebenso die 45 parallelen Tonleitern der drei Mollmodi, deren Grundtöne ,as|,es...,a...,dis|,ais eine kleine Terz tiefer als die Quinttöne liegen. Die Tonleitern im Innenbereich illustrieren die Tonabstände an den Tonarten C-Dur und drei Mal ,a-Moll.

Hier ist die Graphik im Uhrzeigersinn mit c am Scheitel. Bitte nochmal nachschauen, ob etwas auffällt. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:38, 21. Feb. 2022 (CET)

Großartig - vielen Dank im Namen der WP-Community! Ich sehe da keine Probleme mehr. Gruß, --Matthias Lorenz (Diskussion) 20:41, 21. Feb. 2022 (CET)

Ich schließe mich dem Lob an! --Joachim Mohr (Diskussion) 08:34, 22. Feb. 2022 (CET)

Neue Zeichnung

Die 53 Töne im Eulerschen Tonnetz, mit denen alle Dur- und Moll-Tonarten in reiner Stimmung spielbar sind. Die römischen Ziffern bei den beispielshalber eingetragenen Tonleitern ordnen die Tonleiterstufen den Tonnamen zu. Alle 60 Tonleitern ergeben sich durch horizontales Verschieben der Schemata innerhalb des Netzes. Die Gruppe der 15 Dur-Tonleitern erstreckt sich von ces-Dur (7♭) bis cis-Dur (7♯), die der 3 mal 15 Molltonarten von ,as-Moll (7♭) bis ,ais-Moll (7♯). Die grau dargestellten Töne werden für die angegebenen Tonleitern nicht benötigt.

Beim Durchdringen des Tonschungels der reinen Stimmung hat mir das Eulersche Tonnetz sehr geholfen. Vielleicht würde die Zeichnung auch anderen nützen. Gibt es Einwände, sie vor oder nach dem Oktavkreis in den Artikel zu stellen? --Modalanalytiker (Diskussion) 21:38, 25. Feb. 2022 (CET) --Modalanalytiker (Diskussion) 11:09, 6. Mär. 2022 (CET)

Ich frage mich, ob das nicht bei Eulersches Tonnetz besser aufgehoben wäre. Das ist ja verlinkt und vielleicht muss an in diesem Artikel hier nicht in jedes Detail gehen. --Matthias Lorenz (Diskussion) 21:52, 25. Feb. 2022 (CET)