Diskussion:Trapezregel

Ich bin zwar kein Mathematiker, aber meiner Meinung nach ist das Beispiel falsch:

$J(f)=\int _{2}^{0}3^{3x-1}dx={728 \over {9ln(3)}}=73,62823965$

Meiner Meinung nach richtig wäre entweder:

$J(f)=\int _{2}^{0}3^{3x-1}dx={-728 \over {9ln(3)}}=-73,62823965$

oder

$J(f)=\int _{0}^{2}3^{3x-1}dx={728 \over {9ln(3)}}=73,62823965$

Vielleicht liege ich auch falsch, immerhin ist die Schulzeit auch schon 10 Jahr her. --ErhardRainer 17:46, 7. Jun 2006 (CEST)

hast schon recht, habe mich mal erdreistet das zu ändern 88.70.79.47 18:07, 10. Nov. 2006 (CET)

Formel bereinigt

Hallo! Habe die Summe der summierten Sehnentrapezformel ans Ende der Formel geschoben, damit Syntax = Semantik. Hatte es nach bisheriger Formel direkt falsch implementiert, da nicht klar war, ob f(b)/2 nun in der Summe steht oder nicht. 89.14.148.167 17:49, 29. Nov. 2007 (CET)

die formel für die fehlerabschätzung der summierten sehnentrapezformel ist falsch

Fehler in Fehlerformel der Tangententrapezformel

Ich habe einige Fehler gefunden und schlage einige Ergänzungen vor:

Die Sehnentrapezregel heißt oft auch Trapezregel Die Tangentrapezregel wird auch Rechteckregel oder Mittelpunktsregel genannt. Die Mittelpunktsregel ist übrigens unter diesem Namen in der Wikipedia aufgeführt.

Die Vorzeichen von E(f) in der Tangententrapezregel ist positiv, in der Sehnentrapezregel negativ. Das kann man geometrisch leicht erklären und das würde ich auch in den Artikel so einfügen:

Falls f“ > 0 auf [a,b] , d.h. die Funktion ist auf [a,b] linksgekrümmt, dann liegt die Tangente immer unterhalb der Funktion, somit ist die Fläche unter der Tangente kleiner als die Fläche unterhalb der Funktion und E(f) ist positiv. Der Fehler der Tangententrapezformel lautet

$E(f)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}\cdot f''(\zeta )$

Falls f“ > 0 auf [a,b] , d.h. die Funktion ist linksgekrümmt, dann liegt die Sehne oberhalb der Funktion, somit ist die Fläche unter der Sekante größer als die Fläche unterhalb der Funktion und E(f) ist negativ. Hier ist der Fehler der Sehnentrapezformel richtig angegeben.

Ich würde dafür auch ein Beispiel angeben, z.B.

$\int _{0}^{1}e^{x}\mathrm {d} x$ und oder $\int _{1}^{2}ln(x)\mathrm {d} x$

und E(f) exakt ausrechnen und mit der Abschätzung vergleichen.

Man kann zeigen, dass man den Fehler der zusammengesetzten Formel erhält, indem man im Fehler der einfachen Formel

$\ K\cdot (b-a)^{p+1}\cdot f^{(p)}(\zeta )$

formal ersetzt durch

$\ K\cdot (b-a)\cdot h^{p}\cdot f^{(p)}(\zeta )$,

wobei der Zwischenwert $\zeta$ einen anderen Wert hat. In der zusammengesetzten Tangententrapezformel muss es daher heißen

$E(f)={\frac {(b-a)}{24}}\cdot h^{2}\cdot f''(\zeta )$

-- Fritz Bierbaum 19:25, 12. Aug. 2011 (CEST)

Also unter Mittelpunktsregel wird nicht die Tangententrapezregel behandelt?

Die Ergänzung klingt ansonsten interessant. Viele Grüße --P. Birken 17:28, 13. Aug. 2011 (CEST)

Wenn man in der Mittelpunktsregel die horizontale Gerade in c so lange dreht, bis sie zur Tangente an f geworden ist, erhält man die Tangententrapezregel. Das ist eine andere Deutung der selben Formel mit dem Vorteil, dass man erkennt, dass der Fehler etwas mit f" zu tun hat. Siehe obige Erläuterung. -- Fritz Bierbaum 15:32, 14. Aug. 2011 (CEST)

Mittelpunktsregel, Tangententrapezformel, Sehnentrapezformel

Gibt es irgendwelche relevante deutschsprachliche Fachliteratur, die den wenigstens hundert Jahre alten, eingeführten Begriff Mittelpunktsregel durch Tangententrapezformel ersetzt? Ich meine Fachliteratur wie Bronstein oder Stoer und nicht Unterrichtsbegleitmaterial an der VHS oder einer Wald-und-Wiesen-FH. Dr. Dr.h.c. Gisela Engeln-Müllges, FH-Aachen, Buch "Numerik-Algorithmen", zählt sicher nicht. Sie hatte schon als Dozentin für meinen NuMa-Schein an der RWTH Aachen 1980 so merkwürdige didaktische Ideen. Ich traue ihr sogar die Urheberschaft an der "Tangententrapezformel" zu.

Die gleiche Frage auch zur "Sehnentrapezformel".

Ob es didaktisch sinnvoll ist, die Mittelpunkts- und Trapezregel unter einen Oberbegriff zu stellen, ist bestenfalls kontrovers zu diskutieren. Und wenn diese Diskussion unter den führenden Fachautoren im Konsenz beendet ist, dann mag/muß Wikipedia gerne nachziehen, aber nicht eher.

Die Erklärung "Man kann aber auch in der Mitte des Intervalls die Tangente an die Funktion legen..." ist falsch, da man diese Tangente eben gar nicht hat, sie auch nicht bestimmt und folglich nicht anlegen kann. Jegliche Auswertung einer solchen Tangente liefert ohnehin keinen Beitrag zum Integral, weshalb ihre Betrachtung höchstens Zeit kostet, vom Thema ablenkt und das Verständnis nur kompliziert. Das gleiche gilt auch für die Betrachtung der Sehne als angenäherte Tangente. Eine Erklärung über ein Rechteck ist wesentlich plausibler. Der Unterschied ist eben nur, ob als Höhe der Wert in der Mitte oder der Mittelwert der beiden Ränder genommen wird. Dies entspricht auch exakt der handwerklichen Vorgehensweise. Eine wesentliche Erkenntnis aus Mittelpunkts- und Trapezregel ist eben, daß die Betrachtung aller ungeraden Ableitungen keinen Beitrag zur Quadratur liefert. Egal, ob die erste Ableitung als Tangent oder als Sehne angenähert wird. Siehe auch Euler-Maclaurin-Formel. --46.115.67.24 09:43, 26. Okt. 2012 (CEST)

Die Begriffe Sehnen- und Tangententrapezregel finden sich u. a. in folgenden Lehrbüchern und dienen zum besseren Vergleich der Formeln und sollen nicht die alten „liebgewordenen“ Bezeichnungen ersetzen:

Hämmerlin: Numerische Mathematik I, Bibliographisches Institut

Hämmerlin/Hoffmann: Numerische Mathematik, Springer Verlag

Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Teubner

Locher: Numerische Mathematik, Springer Lehrbuch

Stummel/Hainer: Numerische Mathematik, Teubner

Weller: Numerische Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Vieweg.

In den Artikeln „Trapezregel“ und „Mittelpunktsregel“ wurde nicht erwähnt, dass es sich bei der Tangententrapezregel und der Mittelpunktsregel um die gleiche Quadraturformel mit unterschiedlicher geometrischer Deutung handelt. Das habe ich durch die Deutung der Mittelpunktsregel als Tangentenregel mit Hilfe der Tangente in der Mitte des Intervalls nachgeholt. Natürlich stellt diese Deutung keine Berechnungsvorschrift dar.

Im Übrigen sollten fachliche Diskussionen sachlich geführt werden. Fritz Bierbaum (Diskussion) 19:01, 18. Nov. 2012 (CET)