Diskussion:Unbedingt konvergente Reihe

Definition über Netze

Ich kenne unbedingte Konvergenz so, dass es sich um die Konvergenz des Netzes der endlichen Partialsummen handelt, d. h. man nimmt die gerichtete Menge der endlichen Teilmengen der Indexmenge und ordnet jeder die entsprechende Partialsumme zu. Für Banachräume (und, was jetzt aber nur meine persönliche Überlegung gerade war, A1-Räume) ist das jedenfalls äquivalent, aber wie sieht das allgemein mit topologischen Vektorräumen aus, insbesondere bei welchen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen? (wenn man eine abzählbare Umgebungsbasis von $x$ hat, kann man das Netz gut in eine Reihe umbauen, die konvergiert, und das eben auch in beliebiger Reihenfolge, ohne kann ich mir das gerade nicht vorstellen) --Chricho ¹ ² ³ 02:42, 8. Aug. 2012 (CEST)

Ok, für nicht A1-Räume ist es nicht äquivalent, wie man etwa leicht an $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ mit der Produkttopologie sieht: Betrachte die Summe aller Funktionen $f_{y}(x)=\delta _{xy}$. In der hiesigen Definition ist die Summe natürlich nicht unbedingt konvergent, in der über das Netz schon. Kann jemand einschätzen in wie weit sich die beiden verschiedenen Definitionen angewandt auf allgemeine topologische Vektorräume finden? --Chricho ¹ ² ³ 16:47, 23. Sep. 2012 (CEST)

Die Konvergenz des Netzes der endlichen Partialsummen gegen ein x nennt man gemeinhin Summierbarkeit gegen x und diese ist bei abzählbarer Indexmenge äquivalent zur unbedingten Konvergenz gegen x, sogar in beliebigen topologischen Gruppen. Der Beweis ist vergleichsweise einfach, ich habe allerdings keine Quelle dafür. Mit A1-Räumen hat das nichts zu tun, auch in nicht-A1-Räumen können Folgen konvergieren. Im Deinem Beispiel in $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ scheitert die unbedingte Konvergenz daran, dass per Definition nur abzählbar viele Elemente der Familie ungleich 0 sein dürfen. Aber auch in $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ gilt meines Wissens die Äquivalenz für abzählbare Familien. Wenn Du weitere Einzelheiten brauchst, kann ich die hier gerne noch anfügen.--FerdiBf (Diskussion) 17:39, 25. Sep. 2012 (CEST)

Hm, ich habe das schon von zwei Professoren unter dem Namen unbedingte Konvergenz gehört, aber eben nur für Banachräume, mal gucken, ob ich Literatur finde. Dass es bei abzählbarer Indexmenge äquivalent ist, ist ja klar. Und aus unbedingter Konvergenz im Sinne hier folgt stets die Netzkonvergenz. Mit A1 hat es meines Erachtens schon zu tun: Sei ein solches Netz von Partialsummen $(P_{K})_{K\subset I}$ ($K$ endlich) zu einer Familie von Punkten $(a_{i})_{i\in I}$ in einer topologischen, hausdorffschen (sonst haben wir eben „mehrere Nullen“) A1-Gruppe gegeben, das gegen $x$ konvergiert. Wähle abzählbare Umgebungsbasis $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zu $x$. Zu jedem $n$ gibt es eine endliche Teilmenge $K_{n}\subset I$, sodass für alle endlichen Obermengen von $L\supset K$ gilt $P_{L}\in U_{n}$. Dem entsprechend ist die Folge $(Q_{n}):=(P_{\bigcup \{K_{m}\mid m<n\}})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent gegen $x$ und alle $a_{i}$, für die $i$ nicht in der abzählbaren Menge $\bigcup \{K_{n}\}$ liegt, müssen $0$ sein, denn andernfalls wäre $x$ durch ein $U_{n}$ von $x+a_{i}$ getrennt (und zwar symmetrisch, also so, dass $U_{n}\cap a_{i}+U_{n}=\emptyset$), es müsste aber $P_{K_{n}\cup \{i\}}=P_{K_{n}}+a_{i}\in U_{n}$ sein, Widerspruch, also $a_{i}=0$. Ob es jetzt eine topologische nicht-A1-Gruppe gibt, in denen alle summierbaren Familien nur an abzählbar vielen Stellen ungleich $0$ sind, sei dahingestellt. --Chricho ¹ ² ³ 19:00, 25. Sep. 2012 (CEST)

Kennst du vielleicht irgendeine mehr oder minder Monographie, die den Begriff in topologischen Vektorräumen darstellt? Damit man etwas hat, an das man sich da halten kann? --Chricho ¹ ² ³ 02:28, 21. Okt. 2012 (CEST)

Ich stimme dir zu Chricho. Ich glaube auch, dass die beiden Begriffe nicht äquivalent sind in nicht A1-Räumen. Das Problem ist ja immerhin ob Folgen ausreichen die Konvergenz von Netzen zu implizieren (dazu letzter Abschnitt von Summary) --Freeze S (Diskussion) (23:30, 2. Jan. 2014 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Eindeutigkeit des Grenzwerts

Der Absatz "Eindeutigkeit des Grenzwerts" behauptet, es gäbe Reihen, bei denen jede Umordung konvergiert und es insgesamt nur zwei Grenzwerte gibt. Das ist falsch! Es gibt Reihen, deren konvergente Umordnungen nur zwei mögliche Werte haben, dazu gibt es auch divergente Umordnungen. Ganz im Gegenteil: Mit Hahn-Banach zeigt man leicht, dass wenn jede Umordnung einer Reihe in einem lokalkonvexen Raum einen Limes hat, dieser immer derselbe sein muss. Ich werde diesen Absatz daher entfernen.--FerdiBf (Diskussion) 17:54, 25. Sep. 2012 (CEST)

Könntest du das einfügen, dass die Eindeutigkeit sich automatisch aus der Konvergenz ergibt und warum? --Chricho ¹ ² ³ 19:58, 25. Sep. 2012 (CEST)

Anwendung Unterraumsummen

Die Definitionen der Unterraumsummen im Absatz "Anwendungen" sind etwas seltsam, insbesondere die Symbole oberhalb des Summenzeichens hätte ich gerne belegt. Die fast endliche Summe ist nichts weiter als die normale Untervektorrausumme, die bei endlichem I natürlich endlich ist, dazu bedarf es keiner abweichenden Schreibweise. In der dritten Definition ahne ich, was gemeint sein könnte; die Definition ist aber hinter dem "mit" unverständlich. Da mir Quellen fehlen, werde ich das nicht korrigieren, möglicherweise aber bald entfernen, wenn ich keine Quellen finden kann.--FerdiBf (Diskussion) 18:04, 25. Sep. 2012 (CEST)

Die Schreibweise erscheint mir auch seltsam, zwischen dem ersten und zweiten besteht schlicht kein Unterschied. Interessant an der Stelle wäre der Bezug zu der dritten Summe zum topologischen Abschluss der ersten und zweiten. Werd mal dem Autor schreiben, auch wenn er nicht mehr aktiv zu sein scheint. --Chricho ¹ ² ³ 20:34, 25. Sep. 2012 (CEST)

Schön dass ihr nachfragt =)! Ich habe mich zwar auch nochmal geschwind reinlesen müssen aber mir ist wieder eingefallen worauf ich hinaus will:

Im Grunde genommen ging es mir nur darum ALLES zu systematisieren. In meinen eigenen Notizen ist dies nicht nur in Bezug auf dieses Problem passiert (um eine konsequent einheitliche Charakterisierung zu erhalten).
Ich habe mir die Frage gestellt:
Welche Art von Summen kann man definieren und wie sie am besten charakterisieren.
Meines Erachtens nach bietet die "Größe" der Indexmenge einen optimalen Parameter. So kann ich Summen zunächst klassifieren nach endlich/unendlich. Im weiteren Verlauf habe ich eine Klassifizierung der Indexmenge I_0 vorgenommen in endlich und abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich. Letztere ist für den Begriff einer Summe (zunächst) ungeeignet weshalb dieser Fall nicht von Interesse erscheint. Daher die Notation:
0 entspricht |I|=n,|I_0|=n
(0) entspricht |I|=infty, |I_0|=n
infty entspricht |I|=infty, |I_0|=aleph_0

Eine strikte Unterscheidung der ersten beiden Fälle sehe ich als notwendig, da sich die endliche Summe von Vektorräumen doch von der unendlichen Summe von Vektorräumen unterscheidet in Bezug auf weitergehenden topologischen Eigenscheaften......... Verbesserungvorschläge und Anregungen natürlich super gern gesehen =) --Freeze S (Diskussion) 21:21, 19. Okt. 2012 (CEST)

Also die ganz normale Summe von Vektorräumen aus der linearen Algebra ist doch auch für unendlich viele definiert, was muss man da bitte unterscheiden? (0) ist eben die beliebige, algebraische direkte Summe, und 0 der endliche Spezialfall. Bitte beachte, dass die Wikipedianer nicht selbst irgendwelche Systematisierungen erfinden sollen, das widerspricht WP:TF. Ich gehe davon aus, dass es in der Literatur wirklich Untersuchungen von dem gibt, was du $\sum ^{\infty }$ nennst, aber auf die müsste man dann verweisen, und auch nicht eigene Notationen einführen. Wo bist du denn auf diese Art der Summe gestoßen? Weißt du noch etwas über sie? Insbesondere zum Zusammenhang mit dem Abschluss der algebraischen Summe? (im Hilbertraumfall ist es jedenfalls äquivalent) Grüße --Chricho ¹ ² ³ 21:41, 19. Okt. 2012 (CEST)

Ja du hast recht, ich werde unverzüglich die Summen korrigieren!

Das klingt recht interessant - meinst du den topologischen Abschluss der Menge der Summen von Untervektorräumen? --Freeze S (Diskussion) 15:28, 20. Okt. 2012 (CEST)

Ja den topologischen Abschluss der Summe von Untervektorräumen, das ist offensichtlich eine Obermenge deines „$\sum ^{\infty }$“, die Frage ist, wann die beiden übereinstimmen (ist im Falle von Banachräumen immer der Fall, für topologische Vektorräume weiß ich es nicht, da hab ich auch keine Literatur), da könnte man mal gucken, ob sich Literatur findet. Auf jeden Fall müssen die Notationen weg, die nicht geläufig sind, und ohnehin hat die normale Summe von Vektorräumen auch nichts mit unbedingter Konvergenz zu tun. --Chricho ¹ ² ³ 20:03, 20. Okt. 2012 (CEST)