Diskussion:Unstetigkeitsstelle

Polstellen?

Wieso soll eine Polstelle eine Unstetigkeitsstelle sein, wenn die Funktion dort überhaupt nicht definiert ist? -- 79.206.250.91 17:57, 8. Mär. 2010 (CET)

Es gibt tatsächlich Autoren, die Unstetigkeitsstellen außerhalb des Definitionsbereiches definieren. So auch in einem der Bücher im Abschnitt Literatur, ich habe aber leider vergessen in welchem. Abgesehen davon ist es keine spezielle Eigenschaft von Polstellen, im oder außerhalb des Definitionsbereiches erklärt zu sein. Die Frage stellt sich generell für Unstetigkeitsstellen. --Scholten 21:36, 8. Mär. 2010 (CET)

Ich sehe das wie die IP. Man muss zwischen Definitionslücken und Unstetigkeitsstellen unterscheiden. "Hebbar" sind nur Definitionslücken. Polstellen sind Definitionslücken. Sprünge können sowohl an Unstetigkeitsstellen als auch an Definitionslücken auftreten.

Warum ist das wichtig? Verkettungen von stetigen Funktionen sind stetig. Dies gilt insbesondere für Summen, Produkte und Quotienten stetiger Funktionen. Deshalb sind gebrochen-rationale Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. Sie haben deshalb keine Unstetigkeitsstellen (es sei denn, man definierte den Begriff in so seltsamer Weise, dass stetige Funktionen Unstetigkeitsstellen haben können), jedoch Polstellen an den Stellen, wo sie nicht definiert sind. -- Digamma 21:22, 27. Jan. 2011 (CET)

Das das Lemma ist bei der Definition von Polstellen unkorrekt, weil $\pm \infty$ implizit im Bildbereich zugelassen ist, obwohl der Bildbereich eingangs als $\mathbb {R}$ festgelegt wurde. So gesehen macht auch die Rede von Definitionslücken keinen Sinn, weil eingangs der Definitionsbereich als Intervall festgelegt wurde. An der Stelle müsste man nochmal nachbessern, allerdings würde ich vorher nochmal genau recherchieren, wer jetzt was als Polstellen definiert, was mir angesichts der Diskussion im Artikel zu Polstellen etwas umfangreicher zu werden scheint.

Hebbar sind allerdings nicht nur Definitionslücken. Rezept: Nehme eine stetige Funktion (z.B. $f\equiv 1$) und definiere sie an einem Punkt um (z.B. f(0) = 0). Dort ist dann eine hebbare Unstetigkeit. --Scholten 22:45, 11. Feb. 2011 (CET)

Die Funktion $f(x)=1/x$ ist eine stetige Funktion. Definiert man zusätzlich $f(0)=0$ ergibt sich keine hebbare Stetigkeit. Mich würde weiter interessieren, welche Autoren denn nun Unstetigkeitsstellen außerhalb des Definitionsbereiches definieren. Z.B. im Arens, Hettlich - Mathematik (2018) steht auf S.219:"Von Stetigkeit kann man nur an Stellen sprechen, an denen eine Funktion auch definiert ist". --Felix Tritschler (Diskussion) 17:41, 24. Mai 2022 (CEST)

erste abbildung ist falsch

die stelle x0 ist nicht im definitionsbereich, da die beiden kreise nicht ausgefüllt sind. ist diese stelle x0 teil des definitionsbereiches, so ist die funktion in der stelle x0 unstetig. ist x0 aber nicht teil des definitionsbereiches, so ist über die stetigkeit der funktion in dieser stelle gar keine aussage zu machen. was verwirrend scheint: die funktion ist dann in ihrem ganze definitionsbereich stetig obwohl sie einen "sprung" hat. eine ähnliche funktion hat in unserer mathevorlesung für diskussion gesorgt. (Quelle: Nachfrage bei Prof. Dr. Rudolph) (nicht signierter Beitrag von Ede1992 (Diskussion | Beiträge) 15:25, 2. Aug. 2012 (CEST))

Stimmt. --Digamma (Diskussion) 16:09, 2. Aug. 2012 (CEST)

Stimmt nicht. $x_{0}$ ist im Definitionsbereich, der Wert der Funktion ander Stelle $x_{0}$ ist durch den schwarzen Kreis gezeichnet und in allen Beispielbildern gleich 0. --Scholten (Diskussion) 10:34, 13. Mai 2013 (CEST)

Ich hatte die Abbildung so verstanden, dass mit dem schwarzen Kreis die Stelle $x_{0}$ markiert wird. Sonst hast du natürlich recht. --Digamma (Diskussion) 15:26, 13. Mai 2013 (CEST)

So wie Digamma verstehe ich die Abbildung auch. Vielleicht kann man sie überarbeiten, zumindest mal einen dieser Punkte ausfüllen.--Christian1985 (Disk) 09:01, 14. Mai 2013 (CEST)

So wird sie auch anderswo verwendet, vergleiche Definitionslücke. --Erzbischof 20:06, 16. Mai 2013 (CEST)

Normalerweise benutzt man einen ausgefüllten Kreis beim Zeichnen, wenn der Punkt noch zum Graphen dazugehört und einen leeren Kreis, wenn der Punkt nicht mehr zum Graphen gehört. Meinst du mit 'einen dieser Punkte' die roten Kreise? Die gehören ja grade nicht zum Graphen dazu, was für Beispiel 1 notwendig und bei den anderen Beispielen eben so gewählt ist. Übrigens sind die Funktionen unten bei den Beispielen auch noch mal hingeschrieben. Das dieselbe Abbildung im Artikel Definitionslücken anders verwendet wird, stimmt. Sie wird aber dort falsch verwendet, nicht hier. Beispiele dafür geben die Artikel zu Unstetigkeitsstelle in den verschiedenen anderen Sprachen. Ich schreibe ab jetzt als van Tuile weiter, siehe Kommentar unten. --Van Tuile (Diskussion) 14:44, 25. Mai 2013 (CEST)

Hm. Der Punkt ist schwarz, also wird er als Stelle auf der schwarzen x-Achse gesehen. Wenn du willst, dass er als Funktionswert interpretiert wird, müsstest du ihn blau färben. Das Bild in Definitionslücke habe ich gefixt. Lg. --Erzbischof 13:13, 2. Jun. 2013 (CEST)

Ich habe den Autor der Bilder gebeten, sie zu ändern. Mal sehen.. --Van Tuile (Diskussion) 15:40, 4. Jun. 2013 (CEST)

Abgetrennt: Sind Definitionslücken Unstetigkeitsstellen?

Janaja, das ist ne Definitionslücke, und zwar eine die nicht stetig hebbar ist. Der Artikel ist generell nicht sonderlich präzise, eine Überarbeitung dieses Bereichs ist ja auf dem Portal schon angeschubst. --χario 03:04, 4. Aug. 2012 (CEST)

Was konkret möchtest du denn präziser haben? --Scholten (Diskussion) 10:34, 13. Mai 2013 (CEST)

Um mal weiter zu kommen: Im Moment sagt der Artikel im Grunde "Unstetigkeitsstelle = Definitionslücke". Das stimmt doch schon mal nicht, oder? Siehe das erste Beispiel, das hat hier meines Wissens nach nichts zu suchen. Unstetigkeitsstellen sind doch

1. Definitionslücken, die nicht stetig hebbar sind (obwohl die Funktion strenggenommen auf ihrem gesamten Def.-bereich stetig ist)
2. Isolierte Punkte im Def.-bereich einer Funktion, die überall bis auf an diese Stellen stetig ist (Bsp: Treppenfunktionen)

Stimmen wir da überein? Und wird Sprungstelle (Weiterleitung hierher!) wirklich synonym benutzt? --χario 01:48, 9. Aug. 2012 (CEST)

Nein, der Artikel sagt überhaupt nicht "Unstetigkeitsstelle = Definitionslücke". Wie im ursprünglichen Artikeltext erklärt war, werden allerdings manchmal (bestimmte) Definitionslücken als Unstetigkeitsstellen bezeichnet. Offensichtlich sollte im Artikel das Lemma in Beziehung gesetzt werden zu "Definitionslücke". Christian1985 hat den ursprünglichen Hinweis dazu rausgenommen(Versionsunterschied). Vielleicht wärst du damit einverstanden, ihn wieder reinzunehmen, Christian? --Scholten (Diskussion) 10:34, 13. Mai 2013 (CEST)

Wenn man (hebbare) Definitionslücken als Unstetigkeitsstellen bezeichnen würde, wäre aber die aktuelle Definition im Artikel falsch. Vielleicht wäre es ein erster Schritt, Quellen für eine ordentliche Definition zu finden?--Christian1985 (Disk) 10:58, 13. Mai 2013 (CEST)

Der Begriff Unstetigkeitsstelle wird eben nicht einheitlich verwendet. Wie ich das sehe, wird demselben Phänomen hochschulwissenschaftlich eher über den Begriff der Unstetigkeitsstelle, in der Schulmathematik eher über den Begriff der Definitionslücke begegnet. Ob dabei die Stelle im Definitionsbereich der Funktion liegt oder nicht, ist für die Untersuchung des Lemmas (Hebbar oder nicht, Sprungstelle etc.) nur formal ein Unterschied. Auf diesen Unterschied sollte aber mit einer Bezugnahme der beiden Artikel aufeinander hingewiesen werden. Man könnte die Artikel natürlich auch zusammenfassen. Zwei getrennte Artikel nutzen aber den Vorteil aus, dass das gleich Phänomen unter zwei unterschiedlichen Begriffen für zwei unterschiedliche Zielgruppen behandelt werden kann. Die verwendeten Quellen stehen mit Seitenzahlen im Abschnitt Literatur. Viele Grüße --Scholten (Diskussion) 13:04, 13. Mai 2013 (CEST)

Von den unter Literatur angegebenen Quellen liegen mir die Bücher von Bronstein, Heuser und Rudin vor. Diese drei sind sich darüber einig, dass Definitionslücken keine Unstetigkeitsstellen sind. Selbst Bronstein schreibt explizit, dass f(a) definiert sein muss, damit die Funktion f in a eine Unstetigkeitsstelle hat. Die anderen beiden Bücher habe ich nicht, steht dort etwas anderes drin? --Christian1985 (Disk) 09:00, 14. Mai 2013 (CEST)

Ich habe die Bücher nicht mehr. Ich erinnere mich aber, dass die Definitionen nicht ganz einheitlich waren, bis hin zu Unstetigkeitsstellen außerhalb des Definitionsbereichs, dass aber die hier dargestellte Variante deutlich verbreiteter schien. Ich gehe davon aus, dass in einem der beiden anderen Bücher etwas in der Richtung steht. Jedenfalls überschneidet sich der Artikel Definitionslücke inhaltlich zum Teil mit diesem Artikel hier, weshalb ich eine Bezugnahme wichtig finde. --Scholten (Diskussion) 12:06, 25. Mai 2013 (CEST)

Ich habe grade gesehen, dass jemand einen Abschnitt "Verallgemeinerung" hinzugefügt hat, in dem auf Isolierte Singularität bezug genommen wird. Das ist ja so auch nicht korrekt. Vielleicht wäre es eine Idee, einen Abschnitt "Verwandte Konzepte" o.Ä. zu machen, in dem auf Isolierte Singularität und auf Definitionslücke verwiesen wird? --Scholten (Diskussion) 12:13, 25. Mai 2013 (CEST) Vor einiger Zeit habe ich mich entschieden, nicht weiter unter meinem Klarnamen 'Scholten' bei Wikipedia zu schreiben und mir einen neuen Account gemacht. Um transparent zu bleiben habe ich aber in diesem Artikel hier weiter unter Scholten diskutiert. Da ich jetzt aber unter anderem Namen auf dieselben Leute treffe, werde ich ab sofort nur noch unter van Tuile schreiben, damit allen klar ist, dass sie mit der selben Person reden :). --Van Tuile (Diskussion) 12:47, 25. Mai 2013 (CEST)

Ich verstehe nicht ganz wie sich die stetig hebbare Definitionslücke mit der Unstetigkeitsstelle überschneidet. Bei einer unstetigen Funktion ist der Funktionswert wohldefiniert. Bei einer stetig hebbaren Definitionslücke ist die Funktion an der entsprechenden Stelle gar nicht definiert und unter Berücksichtigung anderer Aspekte kann sie stetig fortgesetzt werden, weil eben an der Stelle noch nicht definiert ist.

Falls bei anderen Autoren die Definitionslücke anders definiert wurde als hier im Artikel kann dies natürlich im Artikel so aufgeführt werden, jedoch bedarf es dann, meiner Ansicht nach, einem konkreten Einzelnachweis und es müsste auch geklärt werden wie üblich diese andere Definition ist.

Einen Abschnitt zu verwandten Konzepten wie der Definitionslücke oder Singularitäten halte ich durchaus für sinnvoll. Den aktuellen Abschnitt "Verallgemeinerung" lösche ich jedoch nun, da die Aussage wohl erstmal nur für analytische Funktionen gilt.

Entschuldige bitte die späte Antwort! Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 19:20, 3. Jun. 2013 (CEST)

Unabhängig davon, ob eine Funktion an der Stelle $x$ definiert ist oder nicht, kann der Begriff 'hebbar' für die Funktion an der Stelle definiert werden. Dies geschieht mittels der links- und rechtsseitigen Grenzwerte, die unabhängig von dem Funktionswert an der Stelle sind. Das ist die Gemeinsamkeit. Analoges gilt für die Begriffe Sprungstelle und Polstelle. Die Definitionen sind eins zu eins übertragbar zwischen an der Stelle $x$ definierten oder nicht definierten Funktionen. Es handelt sich um das gleich Konzept. Ob die Funktion an der Stelle definiert ist oder nicht, ist für die Begriffsbildung von 'hebbar' etc. irrelevant. --Van Tuile (Diskussion) 15:29, 4. Jun. 2013 (CEST)

Ich werde dann bei Gelegenheit mal Einzelnachweise besorgen und den Artikel anpassen, das kann aber noch eine Weile dauern. Viele Grüße --Van Tuile (Diskussion) 15:29, 4. Jun. 2013 (CEST)