Diskussion:Vergleich (Zahlen)

Review vom 17. April bis 16. Dez. 2014

Übertrag von hier:

In der Mathematik lassen sich Zahlen aus bestimmten Zahlbereichen, etwa denen der natürlichen, ganzen, rationalen oder reellen Zahlen, auf gewisse Weise vergleichen. In mathematischen Formeln werden dafür Vergleichszeichen eingesetzt.

Ein Versuch, die aus der Schule bekannten Vergleiche von Zahlen (auf Vergleiche jenseits solcher Zahlbereiche wird hier nicht eingegangen, da dafür meines Erachtens ein solcher Überblick untauglich und die entsprechenden Spezialartikel passender sind) zum einen bodenständig darzustellen, zum anderen, sie in größere mathematische Kontexte einzuordnen, sowie die algorithmische Umsetzbarkeit darzustellen. Was kann man besser machen? --Chricho ¹ ² ³ 10:57, 17. Apr. 2014 (CEST)

Hallo Chricho, ich habe mir den Artikel durchgelesen. Insgesamt ist es ein ordentlicher Artikel mit Potenzial zu lesenswert. Ich habe die folgenden Anmerkungen, die lediglich als konstruktive Verbesserungsvorschläge verstanden werden sollen:

• Lemma: als Alternativvorschlag: "Vergleich von Zahlen"
• Einleitung: Ich bin ein großer Freund von Einleitungen, die weitgehend ohne Formeln auskommen. Auch Beispiele passen meiner Meinung nach nicht so recht in eine Einleitung. Die vier Aufzählungspunkte würde ich daher in einen eigenen Abschnitt "Vergleichsrelationen" oder in den folgenden ersten Abschnitt stecken und stattdessen in der Einleitung nur die fettgedruckten Varianten evtl. mit den Zeichen in Klammern dahinter erwähnen. Weiter soll die Einleitung den Artikelinhalt zusammenfassen, da fehlen noch wichtige Punkte. "Auf gewisse Weise" sollte man konkretisieren oder weglassen.
• Verschiedene Vergleiche: In dem neuen Abschnitt oder hier sollte man als allererstes informell etwas mehr auf den Relationenbegriff eingehen. Auch der Ordnungbegriff müsste hier genauer erklärt werden (was genau heißt "die Ordnung"), wobei später dazu natürlich noch mehr kommt. Eventuell lässt man es mit der Ordnung an dieser Stelle.
• Definition: Zunächst einmal haben wir hier nicht eine, sondern mehrere Definitionen, je nach Modell und Zahlenbereich. Irgendwie sollte man das klarer herausstellen, evtl. durch bessere Unterteilung. Was eine minimale Relation ist, wird nicht erklärt. Die beiden Bedingungen "c ist Nachfolger von b" und "a ≤ b" würde ich in der Reihenfolge vertauschen, dann ist (zumindest mir) die Logik klarer. Wer mit dem von Neumann-Modell nicht vertraut ist, wird hier stolpern, zumal die Bezeichnungen überlagert werden. Vielleicht sollte man den Satz besser weglassen, als Fußnote platzieren oder ohne Formeln formulieren. Auch bei den ganzen Zahlen wird leider die Notation überlagert. Im dritten Punkt wird hier auch lediglich die Negation definiert, was formal unschön ist. Geht das nicht auch einfacher (und konsistenter mit dem davor) mit der Vorgängerfunktion? Bei den rationalen Zahlen würde ich "definiert durch" wie davor und danach durch eine genau-dann-wenn Formulierung ersetzen. "Gelte" würde ich durch "gilt" ersetzen.
• Eigenschaften: Die folgenden drei Abschnitte würde ich unter "Eigenschaften" strukturell zusammenfassen. Eventuell würde sich sogar eine weitere Untergliederung anbieten, da zumindest die ersten beiden Textblöcke sehr formellastig sind.
  • Allgemeine Ordnungseigenschaften: Allgemein würde ich streichen. Ich persönlich würde immer erst den Namen der Eigenschaft nennen und dann die Definition. Mit "Eigenschaften der Ordnung" sind die Eigenschaften der Relation gemeint, oder? Ich persönlich würde die Reihenfolge vertauschen und erst Totalordnung und dann strenge Totalordnung erklären, aber das ist Geschmackssache. Ich würde auch auf die Kursivsetzung verzichten. "In diesem Sinne ist auch > eine strenge Totalordnung" und analog mehrmals in den folgenden Zeilen: Vielleicht bin ich hier etwas pingelig, aber hier ist die Relation, nicht das Zeichen gemeint, also besser "die Relation >" o.ä. schreiben.
  • Verträglichkeit mit arithmetischer Struktur: "arithmetische Struktur" klingt etwas hochgestochen, evtl. "Verträglichkeit mit arithmetischen Operationen" oder kurz "Verträglichkeit". "In einem gewissen Sinne": das Wörtchen "gewiss" löst bei mir immer Misstrauen aus, also entweder sagen was der gewisse Sinn ist oder ganz weglassen. "solche Zahl": welche solche? "Umgekehrt folgt aus": mit diesem Beweis nicht in den natürlichen Zahlen. Genau genommen ist die Subtraktion a - b auch in den natürlichen Zahlen definiert, nur halt für a > b (frag einen Grundschüler :-) ). Im folgenden Satz fehlt ein Verb. Ich weiß nicht, ob der Vergleich zu geometrischen Spiegelungen hier hilfreich ist. Insgesamt fehlt noch der Bezug zu Äquivalenzumformungen von Ungleichungen, siehe Lösen von Ungleichungen bzw. Formelsammlung Arithmetik#Äquivalenzumformungen.
  • Spezielle Eigenschaften der jeweiligen Ordnungen: Die Überschrift gefällt mir nicht, denn es geht nicht um die Eigenschaften der Ordnungen, sondern um die der Zahlenmengen. Nachfolger hatten wir schon oben (Vorgänger evtl. auch). Was genau heißt diskrete Ordnung (Rotlink)? "d.h." sollte jeweils ausgeschrieben oder ausformuliert werden.
• Berechnung: "feste Größen" → "feste Längen", "nicht beliebige" → "nicht alle". Schöner Abschnitt, nur eventuell stärker untergliedern?
• Zusammenhang zu Arithmetik: Inhaltlich gehört dieser Abschnitt mehr zu den Eigenschaften, ich würde ihn daher vor den Berechnungsabschnitt ziehen. Ansonsten auch schön.
• Erweiterungen: Die erweiterten reellen Zahlen fehlen, denn x < ∞ und Varianten wird doch sehr oft gebraucht. Eventuell lohnt sich sogar ein eigener Abschnitt dazu.

Insgesamt wird der Artikel im Verlauf immer besser lesbar. Für die ersten Abschnitte könnte man versuchen, die Formeldichte zu reduzieren, zum Beispiel indem neue Begriffe in Textform erklärt werden. Auch eine stärkere Strukturierung kann zur besseren Lesbarkeit beitragen. Außerdem sollte in den ersten Abschnitten die Belegdichte erhöht werden (zumindest ein Beleg pro Absatz). Nicht zuletzt würden dem Artikel noch ein paar nette Grafiken gut tun, ich kann hier gerne behilflich sein, wenn du Ideen hast. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:44, 18. Apr. 2014 (CEST)

Stimmt die Definition der Ordnung auf den reellen Zahlen mit Cauchyfolgen? Sie wie es im Moment dasteht, scheint es mir nicht wohldefiniert zu sein. -- HilberTraum (Diskussion) 20:41, 18. Apr. 2014 (CEST)

@HilberTraum Ist korrigiert, mit ≤ gehts so nicht. Zu dem Link zur Nachfolgerfunktion: Ich vermisse einen Artikel zu dem Thema. Ich bin mir unsicher, ob das sinnvoll in den Artikel zu Nachfolgern eingebaut werden sollte, es klafft hier jedenfalls eine Lücke in der Wikipedia, die Sukzessorfunktion auf den natürlichen Zahlen, aber auch allgemeinere Sukzessorfunktionen, sind in Logik und theoretischer Informatik viel betrachtete Objekte.

@Quartl Nur kurz zu wenigen Punkten, später mehr: Bei den ganzen Zahlen hast du recht, die Fallunterscheidung ist übertrieben, wenn man bei den natürlichen Zahlen über Nachfolge redet, kann man das bei den ganzen auch machen. Lieber so machen, und dann noch anmerken, dass die Ordnung der ganzen Zahlen durch „Dopplung und Spiegelung“ aus den natürlichen entsteht. Zum „nicht beliebige“: „Nicht alle“ scheint mir das Risiko eines Missverständnisses zu bergen, habe es nun umformuliert. --Chricho ¹ ² ³ 23:06, 18. Apr. 2014 (CEST)

Ich fürchte mit < wird’s auch nicht besser: Zum Beispiel ist 0 < 1/n für alle n, aber die Folgen (0) und (1/n) sind äquivalent. Vielleicht so wie hier?
„Nachfolgerfunktion“ könnte von mir aus auch gerne ein Rotlink oder natürlich besser ein Artikel sein, aber an dieser Stelle finde ich einen Rotlink ungünstig, vielleicht dann lieber erklärt/ausgeschrieben: „die Funktion, die jeder Zahl a ihren Nachfolger a + 1 zuordnet“, oder so. -- HilberTraum (Diskussion) 09:04, 19. Apr. 2014 (CEST)

Oh ja, das war ein Schnellschuss, man kommt um die Behandlung der Gleichheit wohl nicht herum. Mit Dedekindschen Schnitten geht es knapper. --Chricho ¹ ² ³ 14:03, 19. Apr. 2014 (CEST)

Hast Du nicht zwei Zirkelschlüsse (Zirkeldefinitionen?) drinnen? a) Die Berechnung der Kleiner-Relation mehrstelliger Zahlen bezieht sich letztlich auf die lexikographische Ordnung einstelliger Zahlen. Letztere ergibt sich aber aus der Kleiner-Relation, die Du zu definieren versuchst. b) Im Abschnitt „Zusamenhang mit Arithmetik“ leitest Du die Nachfolgerfunktion natürlicher Zahlen aus der Ordnung ab. Weiter oben hast Du aber die Ordnung mit Hilfe der Nachfolger überhaupt erst definiert und damit als schon gegeben vorrausgesetzt. -- 79.208.31.62 13:14, 19. Apr. 2014 (CEST).

• a: Klar, das ist aber eine sinnvolle Reduktion. Man braucht nur den Vergleich einstelliger Zahlen (im Dualsystem quasi nur die Aussage 0<1), und berechnet dadurch allgemeine Vergleiche. Könnte man das klarer formulieren?
• b: Das ist schon Absicht. Die übliche Axiomatisierung der natürlichen Zahlen über die Peano-Axiome fängt mit der Nachfolgerfunktion an, deshalb gehe ich von der aus. Umgekehrt ist es aber auch eine Aussage, dass die Ordnungsstruktur bereits eine Definition der Arithmetik erlaubt, zumindest in Logik zweiter Stufe oder hinreichend starken Fragmenten. --Chricho ¹ ² ³ 14:03, 19. Apr. 2014 (CEST)

a) Verständlich ist der Absatz, aber bei sochen Sachen bin ich gerne genau. Mithilfe der genannten Vorschrift lassen sich einstellige Zahlen nicht berechnen (4 ist kleiner 9, wenn 4 kleiner 9 ist). Eine klarere Formulierung müsste den Vergleich einstelliger Zahlen als bekannt voraussetzen um damit auf alle mehrstelligen schließen zu können. b) Ja, eine Arithmetik ist natürlich etwas anderes und die soll man auch aus der Ordnung ableiten können. Mir gings speziell um den Nachfolger. Warum definiert man den Nachfolger aufbauend auf der Ordnung, wenn ihn Peaon schon vor der Ordnung frei Haus geliefert hat? Möglicherweise ist es nicht selbstverständlich, dass ich den Nachfolger wieder aus der Ordnung gewinnen/bestimmen/ausrechnen kann, aber definieren? -- 79.208.10.53 22:27, 19. Apr. 2014 (CEST).

Ich denke, definieren ist genauer. Was heißt denn gewinnen/bestimmen/ausrechnen können? Man braucht irgendeine Vorschrift. Das ist im Allgemeinen eine Formel in irgendeiner Logik, die dann das jeweilige etwas definiert. Das ist allgemeiner als berechnen, da es insb. nicht nur um endlich beschreibbare Dinge geht. Gewinnen und bestimmen sind keine in der Mathematik/Logik wohldefinierten Begriffe. --Chricho ¹ ² ³ 15:06, 28. Jul. 2014 (CEST)

Der Artikel stellt nahezu den gleichen Begriff dar, wie Ungleichung. Er bedient sich dabei zwar einer anderen Sprache. Inhaltlich dreht es sich aber um dasselbe. Solche Redundanz ist in Wikipedia bekanntlich nicht wirklich erwünscht. Bitte beide Artikel unter dem Lemma Ungleichung zusammenführen.---<)kmk(>- (Diskussion) 05:49, 4. Mai 2014 (CEST)

Wie ists hier? Review beenden? Das Interesse scheint mir recht eingeschlafen...--Druschba 4 (Diskussion) 20:20, 14. Jun. 2014 (CEST)

Ich hatte das aus den Augen verloren und würde hier gern auf ein paar Dinge eingehen. --Chricho ¹ ² ³ 15:06, 28. Jul. 2014 (CEST)

@KaiMartin: Die Redundanz zur Ungleichung sehe ich nicht. Ich sehe nicht, wie unter dem Lemma Ungleichung Eigenschaften der Ordnungen wie Dichtheit oder Vollständigkeit behandelt werden könnten oder die algorithmische Umsetzung von Vergleichen. Auf der anderen Seite geht es nicht um irgendetwas, das aus einem Vergleichszeichen und zwei Termen besteht, Terme kommen hier nicht wesentlich vor. Was meinst du? --Chricho ¹ ² ³ 01:15, 31. Jul. 2014 (CEST)

Ist das Review fertig? Nichts passiert in den letzten zwei Monaten. --mfb (Diskussion) 10:34, 29. Sep. 2014 (CEST)

Inhalte in Ordnungsrelation einarbeiten, Weiterleitung einrichten und Artikel löschen. --193.101.24.245 18:02, 30. Sep. 2014 (CEST)

-5 > -4 ?

Kann mir bitte wer sagen, ob -5 > oder < -4 ist? – Fritz Jörn (Diskussion) 17:17, 3. Feb. 2015 (CET)

Für solche Fragen ist eigentlich die Auskunft da, aber schau mal hier:

Nach rechts werden die Zahlen größer, nach links kleiner. --Quartl (Diskussion) 17:46, 3. Feb. 2015 (CET)

– Dank’schön, Quartl! Hab’ ich inzwischen auch schon gefunden, eher mühsam hier. Mein Nachhilfeschüler hatte mich verwirrt. Ich finde schon, dass die Wikipedia neben Hochwissenschaftlichem – wie ein normales »Konversationslexikon« – einem auch simple Fragen rasch und klar beantworten soll. Vorschlag: Die Bildunterschrift »Die Ordnung der reellen Zahlen wird durch die Zahlengerade veranschaulicht.« erweitern zu »Die Ordnung der reellen Zahlen wird durch die Zahlengerade veranschaulicht. Nach rechts werden die Zahlen größer, auch im Negativen.« Dann wär’s gleich klar und nicht nur vage »veranschaulicht«, ? – Fritz Jörn (Diskussion) 11:14, 4. Feb. 2015 (CET)

Ist das nicht eine Binsenweisheit? MfG Harry8 11:21, 4. Feb. 2015 (CET)

(BK) Ich habe in der Bildunterschrift „Nach rechts werden die Zahlen größer, nach links kleiner.“ ergänzt, das sollte eigentlich ausreichen. --Quartl (Diskussion) 11:23, 4. Feb. 2015 (CET)

Invarianz der Kleiner-Relation bei der Addition mit einer Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung

Das weiß jedes Kind, ja schon, Harry. »Mein« Kind wusste es aber grad nicht; und ich stand blöd da. Denn es ist Definitionssache, mathematisch jedenfalls. Also: Aus welchem der vielen Formeln vorn auf der Hauptseite geht diese Defintion von größer und kleiner, speziell im Negativen, denn hervor? Beim (konkurrierenden?) Stichwort Ungleichung kann man sich das wenigstens ableiten aus dem Satz: »Es dürfen also auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleichen Terme addiert oder subtrahiert werden, ohne dass sich die Lösungsmenge der Ungleichung ändert.« Dann folgt dort ein Beispiel, beispielhaft! Allerdings stört mich da wieder der Ausdruck »Lösungsmenge«. Wie kann eine Ungleichheit à la 4 > 3 eine Lösungsmenge haben? Außer dem biblischen »Ja, ja« (Mt. 5,37). – Fritz Jörn (Diskussion) 08:23, 5. Feb. 2015 (CET)

Steht doch im Abschnitt Definition: Für ganze Zahlen ist folgende Definition von a ≤ b möglich .... Ansonsten ist eine Ungleichung erstmal nur eine Aussage über die Anordnung (<,≤,≥,>) zweier Terme. Eine Ungleichung kann also wahr oder falsch sein, z.B. 5 < 4 oder −4 ≤ −3. Hängt einer der Terme von Variablen ab, dann hat man eine Aussageform, deren Wahrheitsgehalt von den konkret eigesetzten Werten für diese Variablen abhängt, z.B. 2x ≤ 4 kann je nach x wahr oder falsch sein. Diejenigen Werte, für die die Ungleichung erfüllt ist, bilden dann die Lösungsmenge der Ungleichung, im Beispiel alle x für die x ≤ 2 gilt. Der formale Unterschied zwischen Ungleichung und Vergleich (Zahlen) ist also: ersteres ist eine Aussage bzw. eine Aussageform, zweiteres ist eine Ordnungsrelation (für Zahlen). --Quartl (Diskussion) 08:51, 5. Feb. 2015 (CET)

(BK) Ja, man muss hier zwischen Ungleichungen (besser Vergleichen) von Zahlen und Ungleichungen mit einer Unbekannten, bei der die Lösungsmenge gesucht ist, unterscheiden. Dass -5 < -4 ist, geht aus dem Satz „Sind $a$ und $b$ beide negativ, so gilt $a\leq b$ genau dann, wenn $-b\leq -a$ gilt“ im Abschnitt „Definition“ hervor. Dabei ist mir aber eine Sache im Artikel aufgefallen, die ich etwas verwirrend finde. In „Definition“ wird $\leq$ als primärer Vergleich definiert, aber fast der ganze Rest liest sich so, als ob $<$ als grundlegender Vergleich definiert sei und sich die anderen Vergleich davon ableiten. Grüße -- HilberTraum (d, m) 09:00, 5. Feb. 2015 (CET)

Der zweite Punkt ist mir auch schon aufgefallen, eine einheitlichere Herangehensweise könnte hier den Artikel noch verbessern. Ansonsten finde ich hat meine Antwort mehr Upvotes verdient :-). --Quartl (Diskussion) 09:13, 5. Feb. 2015 (CET)

-- HilberTraum (d, m) 09:25, 5. Feb. 2015 (CET)

Zustimmung: »Sind a (z. B. -5) und b (z. B. -4) beide negativ, so gilt a < b (hier -5 < -4), wenn -b < -a (hier - -4 < - -5, also +4 < +5) ist. Mit "meiner" Definition über Absolutwerte geht das so nicht. Mir war das halt zu kompliziert gewesen, sorry. Außerdem ist’s ja nur eine "mögliche" Definition, und nur für ganze Zahlen. -π ist doch auch < -√2. (Komplexdenker wie ich kneifen ganz :–). Genug – 178.202.233.118 13:10 = Fritz Jörn (Diskussion), 5. Feb. 2015 (CET)

– Pardon, bin doch wieder da. Was mich verwirrt hat, war die Aufzählung und dann die definitorische Behandlung verschiedener Zahlensorten (laienhaft gesagt), schon ganz oben: »In der Mathematik lassen sich Zahlen aus bestimmten Zahlbereichen, etwa denen der natürlichen, ganzen, rationalen oder reellen Zahlen, auf festgelegte Weise vergleichen.« – Rationale Zahlen, ebenfalls natürliche und ganze, sind z. B. Untermengen von reellen, warum sie also extra nennen, zumal dann trotzdem eine klare, abgrenzende Aussage über »bestimmte« Zahlenbereiche fehlt? Wie wär’s mit, grob gesagt: »In der Mathematik lassen sich reele Zahlen vergleichen. Sie haben (im Gegensatz zu z. B. komplexen Zahlen oder Vektoren) nur eine Bestimmungsgröße; man kann sie sich deshalb auf einer Zahlengeraden vorstellen. Die gedachte Richtung der Zahlengeraden (immer weiter ins Positive) bestimmt (durchgehend von -∞ über 0 bis +∞), was üblicherweise als größer, gleich oder kleiner bezeichnet wird. Werte mit mehreren Bestimmungsgrößen lassen sich einfach nur in einem Teilaspekt vergleichen, etwa bezüglich ihrer absoluten Größe, der Richtung usw.« Mein Ziel: Den Vergleich möglichst klar (»randscharf«) zu definieren, auswählende Beispiele nur dorthin, wo eben kein einfacher Vergleich möglich ist. – Als nächstes sollte gleich die Defintion folgen, von mir aus mit Beispielen, die dann aber bitte auch negative Zahlen beinhalten sollten, vielleicht auch Bruchzahlen oder irrationale, wenn schon; dafür sind’s ja Beispiele. Dann kann man sich hinterher die Einzelbehandlung sparen, etwa Ausflüge wie »rationale Zahlen lassen sich als Bruch darstellen«, das hat doch alles mit Vergleichen nichts zu tun; reelle bilden hier ebenfalls keine Besonderheit usw. »Die Ordnung der natürlichen, reellen etc. Zahlen … «, schon wieder lang und schwammig, »Im Falle der Multiplikation ist eine Unterscheidung notwendig: Die Verträglichkeit gilt völlig analog für die Multiplikation mit einer positiven Zahl, insbesondere mit jeder natürlichen Zahl außer der Null«, richtig, aber warum »insbesondere mit jeder natürlichen Zahl«? Geht’s denn nicht schlicht: »Multipliziert man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, so kehrt sich die Relation um.« – Bitte versteht das nicht bloß als Kritik, sondern als Vereinfachungsvorschlag. Einfaches ist mathematisch meist richtiger, oder? – Fritz Jörn (Diskussion) 16:50, 6. Feb. 2015 (CET)

Es gibt ja nicht „den Vergleich“, der Gegenstand dieses Artikels ist ähnlich unscharf wie der des Artikels Zahl. Wir müssen uns immer auf einen Zahlbereich beziehen und es gibt keinen Grund, dort die reellen Zahlen zu bevorzugen. In der Schulmathematik erhalten die reellen Zahlen eine Art metaphysischen Status, das müssen wir hier nicht mitmachen. Außerdem sind reelle Zahlen im Alltag ja nun recht bedeutungslos, warum den Lesenden nicht erst einmal die einfacheren und alltagspraktischen Fälle präsentieren? Was du mit „Randschärfe“ meinst, verstehe ich leider nicht. Wenn wir den Vergleich für die reellen Zahlen definieren wollen, haben wir im Wesentlichen zwei Möglichkeiten: Wir setzen die Arithmetik voraus und sagen, $a\leq b$, falls $b=a+c^{2}$ für eine reelle Zahl $c$. Oder wir definieren zunächst den Vergleich für die rationalen Zahlen, wofür wir wiederum auf ganze und natürliche Zahlen zurückgreifen. Beide Möglichkeiten werden im Artikel geleistet. In „Ordnung der reellen Zahlen“ sehe ich nichts „Schwammiges“. „insbesondere mit jeder natürlichen Zahl außer der Null“ habe ich entfernt, weiß nicht, was das da sollte, ich vermute, es war von mir. Kritik ist schon in Ordnung. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 17:35, 6. Feb. 2015 (CET)

Danke für die positive Reaktion. Für mich sind > oder < lineare Vergleiche. Solang’s um Größen geht, die skalar sind, ist ein > oder < möglich. Sonst nicht. Damit eignen sich alle reelen Zahlen für Vergleiche. Ich finde das ganz schön »scharf«. »Randscharf vs. treffend« kenne ich aus der Sprachlehre: Man kann etwas zielgenau benennen, dann umfasst der Begriff oft nicht alle Facetten, oder man füllt einen Ausdruck mit Inhalt, wobei man oft automatisch bei einem noch nicht besetzten Wort landet, siehe meinen jahrzehntealten Sprachtipp. – In der Mathematik allerdings definiert man klar und eingdeutig! Schön! Und da reicht mir hier eigentlich die Aussage: »Größer ist weiter rechts auf der Zahlengeraden«; deine Definition »a < b immer wenn man b aus a durch Addition einer positiven Zahl bekommen kann«, die definiert das ebenfalls sehr schön, wenn auch eher trickreich mit dem c² als stets positiver Größe. – In »natürlichen, reellen etc.« ist das etc. schwammig, man fragt sich: Na was denn? Welche genau? Oben: »Man schreibt etwa«. »Etwa«? Schwammig. Mir wäre am liebsten: 1. Definition 2. Schreibweise 3. Eigenschaften, ev. im Zusammanhang mit Eigenschaften von Gleichungen. 4. Erst dann aufdröseln in, wie’s bei speziellen reellen Zahlen ist, aber dgl. als verwirrend und nicht direkt zum Thema gehörig am besten weglassen. Dann kann man auch mühsame (falsche?) Aussagen wie »Durch diese jeweiligen Vergleiche erhalten jene Zahlbereiche eine Ordnungsstruktur« weglassen (Die Ordnungsstruktur – was ist das, die Struktur der Ordnung? – gibt’s für lineare Größen auch ohne »diese Vergeiche«.) Da gehört die Definition hin. Trost: Auch die Italiener eiern herum, die Engländer definieren auch nicht sauber bezw. erst weit unten, dass man auf beiden Seiten was addieren kann, und die Ungleichung bleibt gleich. – Fritz Jörn (Diskussion) 19:50, 7. Feb. 2015 (CET)

Bloß ist „rechts auf der Zahlengerade“ keine mathematische Definition. Und was hat eine Zahlengerade mit den reellen Zahlen zu tun? --Chricho ¹ ² ³ 21:10, 7. Feb. 2015 (CET)

Vergleichsrelationen gibt es übrigens nicht nur für Zahlen. Zum Beispiel sind die Namen in einem Telefonbuch gemäß der lexikographischen Ordnung sortiert ("Alfons" < "Alfred"). Auch komplexe Zahlen oder Vektoren lassen sich auf diese Weise anordnen (nur ist diese Ordnung nicht mit den arithmetischen Operationen verträglich). --Quartl (Diskussion) 09:55, 8. Feb. 2015 (CET)

Zahlengerade

»Die Menge der reellen Zahlen entspricht der Menge aller Punkte der Zahlengeraden«, Chricho. Man wird doch da noch rechts und links definieren können? Mir kommt’s schlicht darauf an, dass größer (und im Gegensatz kleiner) am Anfang ordentlich definiert wird, über die Zahlengerade oder notfalls (wenn uns nichts Direktes einfällt) über die Eigenschaft, dass rechts und links was addiert werden kann, und größer bleibt größer. Ist das zuviel verlangt? »Durch diese jeweiligen Vergleiche erhalten jene Zahlbereiche eine Ordnungsstruktur« ist m. E. keine Definition. Hernach mag man auf Telefonbücher eingehen. – Fritz Jörn (Diskussion) 11:50, 12. Feb. 2015 (CET)

C, ja, die Aussage ist Unsinn, ich habe sie mal entfernt. Eine Definition über die Zahlengerade ist nicht nur nicht ordentlich, sondern eigentlich gar keine. --Chricho ¹ ² ³ 11:57, 12. Feb. 2015 (CET)

Das Bild mit der Zahlengeraden hast du im Artikel Reelle Zahl aber noch drin gelassen. Eigentlich finde ich die Anschauung reeller Zahlen als alle Punkte der Zahlengeraden gerade für Laien gar nicht so schlecht – natürlich nicht als Definition, sondern als Veranschaulichung. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:59, 13. Feb. 2015 (CET)

Jetzt mal nicht ’s Kind mim Bad ausschütten. »Die Menge der reellen Zahlen entspricht der Menge aller Punkte der Zahlengeraden« – stimmt, ist anschaulich und sauber. »Unter Zahlengerade versteht man im Mathematikunterricht die Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden.« »In mathematics, a real number is a value that represents a quantity along a continuous line.« … »Real numbers can be thought of as points on an infinitely long line called the number line or real line … .« Mag sein: »These descriptions of the real numbers are not sufficiently rigorous by the modern standards of pure mathematics.« usw., aber so »rigoros« brauch ich’s gar nicht, bin auch kein »purer« Mathematiker, wenn ich bloß auf größer und kleiner hinauswill. Statt andere Einträge zu verschlimmbessern, sollten wir uns hier kreativ überlegen, wie wir die übliche Ordnung auf der Zahlengerade stringent fassen können, immer mit dem Ziel, größer zu definieren oder wenigstens zu veranschaulichen. Es geht um eine eindimensionale Ordnung, da ist die eindimensionale Zahlengerade ideal, selbst eine Schnur oder eine Kette tät’s: »Hängt man eine Zahlengerade an der Spitze auf, dann sind Zahlen weiter oben größer als solche weiter unten.« Bitte! Und keine Nebelkerzen, sondern eine klare, verständliche Defintion von größer statt flapsige Bemerkungen (»Unsinn. Eine Definition über die Zahlengerade ist nicht nur nicht ordentlich, sondern eigentlich gar keine.«). Ich werd’ langsam emotional, sorry! — Fritz Jörn (Diskussion) 22:35, 13. Feb. 2015 (CET)

Zunächst einmal ist die Einleitung eines Artikels nicht der Ort, den Artikelgegenstand zu definieren (dafür gibt es den Abschnitt "Definition"). Vielmehr hat die Einleitung die Aufgabe, den Artikelgegenstand einzuordnen und den Artikelinhalt zusammenzufassen. Ich persönlich bin ein großer Fan von Einleitungen, die ohne Formeln auskommen, was dem unbedarfteren Leser entgegenkommen mag. Die Analogie mit der aufgehängten Schnur finde ich aber zu weit hergeholt. Größer ist, was weiter rechts auf der Zahlengeraden ist, und kleiner ist, was weiter links ist, reicht als Anschauung völlig aus. --Quartl (Diskussion) 20:26, 14. Feb. 2015 (CET)

Stimme zu. Was mich gestiert hat war, die Zahlengerade schuppdiwupp nicht mehr für die Definition zuzuziehen. Selbst für Dedekind ist die zentral, wenn er sie auch in Stücke hackt. Also sollte die Einleitung sagen: »In der Mathematik lassen sich die Zahlen auf der Zahleneraden vergleichen: Die weiter rechts werden als größer bezeichnet.« Dann die Zeichen. Dann: »Das gilt für alle reelen Zahlen.« Fertig. Was reele Zahlen umfassen, tut hier nichts zur Sache, und kann anderswo nachgelesen werden. Und dann den Abschitt »Definition« stark überarbeiten: 1. generelle Def. über die Zahlengerade, dann erst (anscheinend unvollständige) Detaildefinitionen (»Auf den natürlichen Zahlen lässt sich … « – so fängt man schon mal garnicht an, als ob es eine bunte Reihe von Größer-Definitionen gäbe!) hier so, da so usw. – das ist doch keine umfassende Definition einer trivialen Sache. Kein Mensch sieht > und < bei Dezimalzahlen anders als bei Bruchzahlen, und ob Pi dabei ist oder nicht, ist für die Ordnung egal, Dedekind hin oder her. Teildefinitionen verwirren, oder man muss vorher sagen, warum man’s nicht ohne sie schafft. Das ist ein Lexikon hier, keine Talentshow. – Fritz Jörn (Diskussion) 09:04, 15. Feb. 2015 (CET)

Ich denke, dass das so nicht funktioniert. Ob eine Zahl kleiner ist als eine andere, wird nicht über die Zahlengerade definiert, sondern nur an der Zahlengerade dargestellt. Man muss aber vorher schon wissen, welche Zahle kleiner und welche größer ist, um sie überhaupt am Zahlenstrahl darzustellen. Und da die Zahlensysteme ausgehend von den natürlichen Zahlen schreittweise über die ganzen und die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen erweitert werden, bleibt einem gar nichts anderes übrig, als die Kleiner-Relation in jedem dieser Schritte für die neueen Zahlen neu zu definieren. Erst dies ermöglicht einem, die jeweils neuen Zahlen auf der Zahlengeraden zwischen den alten Zahlen richtig einzufügen.

Alternativ kann man, wie manche Analysis-Bücher es tun, die reellen Zahlen axiomatisch als vollständigen angeordneten Körper definieren. Da ist die Anordnung implizit mit definiert. Aber allgemeinverständlicher ist dieser Zugang sicher nicht. --Digamma (Diskussion) 09:29, 15. Feb. 2015 (CET)

Danke für die klare Aussage. Nehmen wir an, du hast recht, dann muss vor den Teildefinitionen gesagt werden, warum man sie leider stückeln muss. Sonst kommt sich der Leser vor wie grundlos in einen Irrgarten geführt. Ich meine aber, du hast glücklicherweise nicht recht. Beim Definieren ist man bekanntlich frei, eine Aussage zu tun. Eine Definition über die Zahlengerade ist sehr wohl klar und umfassend. Wie eine bestimmte Zahl dort hinkommt, ob über eine Dezimalangabe, einen Bruch, die Quadratur des Kreises, ${\sqrt {2}}$ oder einen Fallschirmabwurf kann uns erst einmal egal sein. (Ist nur wichtig, wenn’s um = geht.) Ich meine, ich muss nicht alles über reele Zahlen wissen, um zwei davon vergleichen zu können. Da würde mir die Frage: Wo ist rechts? schon mehr definitorische Angst machen. Ich will’s einfach nicht einsehen, dass sowas Simples, sowas Einheitliches nur partiell definiert werden kann. Guck doch mal Zahlengerade, vorbildlich, wenn auch schüchtern einschränkend der Matheunterricht vorgeschoben wird, oder die engl Eintragung von real number. Und berücksichtige bitte, dass wir ein Lexikon sind. — Fritz Jörn (Diskussion) 20:11, 15. Feb. 2015 (CET)

So funktioniert das in der Mathematik leider nicht. Eine Definition muss wohlformuliert sein. Wenn man die Anordnungseigenschaft von Zahlen über links und rechts auf der Zahlengerade definieren wollte, müsste man erstmal definieren was eine Zahlengerade ist und was links und rechts auf so einer Zahlengerade ist. Für letzteres braucht man wiederum die Anordnungseigenschaft. Man dreht sich also definitionsmäßig im Kreis. Mathematisch korrekt ist die Definition der Anordnung über algebraische Eigenschaften von Zahlen, genau so wie es im Artikel auch gemacht wird. --Quartl (Diskussion) 08:52, 16. Feb. 2015 (CET)

Ich geb’s auf. Der Abschnitt "Definition" mag vollständig und korrekt sein, verständlich ist er nicht. Ein unbegründetes Flickwerk von Definitionen. (Und "Ist c Nachfolger von b und a <= b, so ist <= c" oder "das heißt alpha bzw. beta ist die Menge aller rationalen Zahlen kleiner als a bzw. b" - da beißt sich definitorisch ja auch was in den Schwanz.) Als ob > und < überall was anderes wär! Ordnung ist eines der wichtigsten Kriterien in der Mathematik, und die kann man im Fall von größer und kleiner gut über die jedem geläufige Zahlengerade definieren, passend für ein Lexikon. So wie jetzt vergrault ihr jeden, mich inzwischen auch. PfiatGott! – Fritz Jörn (Diskussion) 19:47, 18. Feb. 2015 (CET)

← Chricho: Sollte man hier nicht formal ein anderes Zeichen verwenden und $\leq$ als minimale Relation $R$ definieren, die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

• Ist $a=b$, so ist $a~R~b$.
• Ist $c$ Nachfolger von $b$ und $a~R~b$, so ist $a~R~c$

(Macht den Text natürlich nicht besser lesbar). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 01:39, 19. Feb. 2015 (CET)