Diskussion:Von-Neumann-Algebra

Unklare Formulierung

Im Artikel heisst es

Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel C([0,1]) zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen.

Was ist mit den Projektionen 0 und 1 gemeint? 92.225.47.252 00:20, 23. Mär. 2010 (CET)

Warum das nun Projektionen und nicht Projektoren heißt, weiß ich nicht. Projektoren P sind Abbildungen, die PP=P erfüllen, d.h. die zweimalige Anwendung ergibt dasselbe Bild wie die einmalige Anwendung. Da hier wohl Multiplikationsoperatoren betrachtet werden, P(f)=p*f, mit einem p aus C([0,1]), muss die zugehörige Funktion p*(p-1)=0 erfüllen, u.a. auch punktweise. Andererseits muss sie stetig sein, was nur die konstanten Funktionen 0 und 1 zuläßt.--LutzL 10:04, 23. Mär. 2010 (CET)

Ah, es sind also die Identitaet und die Nullabbildung gemeint. Die gesuchten Projektionen sind hier automatisch M-Projektionen, wenn ich das richtig sehe, der Punkt ist also, dass es keine nicht-trivialen M-Summanden in C[0,1] gibt, weil [0,1] zusammenhaengend ist. Huebsch. 92.225.46.142 16:30, 23. Mär. 2010 (CET)

Hat ein Kompaktum $K$ einen isolierten Punkt, betrachtet mal also z.B. $X=C([0,1]\cup \{2\})$, so ist $P\in L(X)$ mit $Pf=f\chi _{[0,1]}$ eine wunderbare M-Projektion, die das Gewuenschte leistet (Multiplikationsoperator mit der stetigen Fkt. $\chi _{[0,1]}$, Projektion) und dabei weder die Identitaet noch die Nullabbildung ist. Dein Argument von oben kann ich doch aber genauso anwenden, da ist doch irgendwo der Wurm... 92.225.46.142 16:47, 23. Mär. 2010 (CET)

Achso ja, klar -- punktweise muss jede derartige Funktion entweder Null oder Eins sein. Weil $[0,1]$ zusammenhaengend ist, ist eine Funktion, die nur die Werte Null und Eins annimmt, auf ihr konstant. Entsprechend gibt es zwei zugehoerige Multiplikationsoperatoren. Gibt es nichttriviale Teilmengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, bilden die zugehoerigen charakteristischen Funktionen (und ihre normierten Summen) jedoch Grund fuer weitere Projektionen. Damit ist meine Frage beantwortet. 92.225.46.142 16:55, 23. Mär. 2010 (CET)