Diskussion:Zufallsvariable/Archiv

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[[Diskussion:Zufallsvariable/Archiv#Thema 1]]

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Mathematische Korrektheit bzgl. Abbildungen

Im Bereich der Definition wird mMn die mathematische Korrektheit etwas vernachlässigt. Beispielsweise wird hier die Zufallsvariable als Abbildung $X:\Omega \to \Omega '$ beschrieben und anschließend gesagt, dass sie nun in den Raum $(\Omega ',\Sigma ')$ abbildet. Es kann ja nur eins von beiden richtig sein! Aber auch in anderen Punkten widerspricht sich der Artikel hier. Ich würde vorschlagen, dass jemand, der sich damit auskennt das mal korrigiert ;) - Ich selbst weiß leider auch nicht, was da jetzt richtig ist, insofern lasse ich es lieber so, als es falsch zu ändern.

Verstehe ich nicht. $(\Omega ',\Sigma ')$ ist ein Messraum, also ein Menge und eine sigma-Algebra. --Scherben 15:48, 28. Jun. 2007 (CEST)

Ja, das ist nicht überall klar formuliert. $X$ ist eine Abbildung von einer Menge $\Omega$ in eine Menge $\Omega '$. Diese Mengen müssen jedoch mit einer zusätzlichen Struktur ausgestattet sein, den Mengen $\Sigma$ und $\Sigma '$ der messbaren Teilmengen von $\Omega$ bzw. $\Omega '$ (Ereignis-σ-Algebra). Eine Zufallsvariable zeichnet sich dadurch aus, dass sie mit dieser Struktur in der Weise verträglich ist, dass für jede Menge $A\in \Sigma '$ die Menge $X^{-1}(A)=\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in A\}$ in $\Sigma$ enthalten sein muss. Nur dann kann man nämlich Wahrscheinlichkeiten von der Form $P(X\in A)$ ($=P(X^{-1}(A))$) berechnen (sofern man ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $(\Omega ,\Sigma )$ gegeben hat). Um die Abhängigkeit von $\Sigma$ und $\Sigma '$ zu betonen, spricht von auch von einer Zufallsvariable von $(\Omega ,\Sigma )$ in/nach $(\Omega ',\Sigma ')$ oder von einer $\Sigma$-$\Sigma '$-messbaren Zufallsvariable $X:\Omega \to \Omega '$ oder ähnlichem. In der Praxis ist aber meistens ohnehin klar, welche Mengen man für $\Sigma$ und $\Sigma '$ verwendet (die Borelsche σ-Algebra der Standard-Topologie), so dass man sich darum nicht zu kümmern braucht. Andererseits spielt die von $X$ erzeugte σ-Algebra, die minimal gewählte Menge $\Sigma$ bei vorgegebenem $\Sigma '$, öfter eine Rolle. Mathematisch gesehen sind Zufallsvariablen einfach messbare Funktionen von einem Messraum, insbesondere einem, der mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß ausgestattet ist, in einen anderen Messraum. Grüße --RSchlicht 18:09, 28. Jun. 2007 (CEST)

Aber eigentlich steht es ja so auch jetzt schon in der Definition!? --RSchlicht 18:20, 28. Jun. 2007 (CEST)

Zumindest sind aber zwei Teile des Beispiels zur Definition nicht korrekt:
1. Der Grundraum $\Omega$ besteht nicht aus den Elementen {Kopf} und {Zahl}, sondern aus Kopf und Zahl, d.h. $\Omega$ = {Kopf,Zahl}. Die Sigma-Algebra $\Sigma$ ist in diesem Fall die Potenzmenge von $\Omega$, d.h. $\Sigma$ = { $\emptyset$ , {Kopf} , {Zahl} , $\Omega$}.
2. der Teil des Beispiels P( Kopf ) = P( Zahl ) = 1/2 so nicht richtig. Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist nämlich nicht auf der Grundmenge $\Omega$, sondern auf der Sigma-Algebra $\Sigma$ definiert. Deshalb muss es heißen P( {Kopf} ) = P( {Zahl} ) = 1/2. Man muss zwischen den Einermengen {Kopf} bzw. {Zahl}, die zur Sigma-Algebra $\Sigma$ gehören, und den Elementen Kopf bzw. Zahl, die zur Grundmenge $\Omega$ gehören, unterscheiden. --BJ --88.74.157.232 04:25, 18. Jul. 2007 (CEST)

Stimmt. Ich habe es entsprechend korrigiert. Einverstanden? --NeoUrfahraner 08:29, 18. Jul. 2007 (CEST)

Ja, danke. Ich bin neu hier und wollte nicht selbst "Hand anlegen". Ob ich mich mal anmelde, weiß ich noch nicht so genau, wenn ich mir die Art und Weise und den Ton so mancher Diskussion ansehe. Manchmal scheint es mir so, dass - wie im real live - der, der am lautesten schreit, zwar nicht immer die besseren Argumente hat, am Ende aber doch obenauf bleibt. Mal noch ein paar Bemerkungen zum Artikel "Zufallsvariable", ich rücke dazu wieder aus:

In fast allen Lehrbüchern wird bei Behandlung dieses Themas mit reellen Zv. begonnen. Das hat mindestens zwei Gründe: 1. kommen in der übergroßen Anzahl von Anwendungen gerade diese Zv. vor (danach kommen noch die mehrdimensionalen reellen Zv., dann lässt es in wirklichen Anwendungen schon rapide nach), und 2. kann man durch Beschränkung auf reelle Zv. das Thema mit wesentlich mehr Verständnis behandeln. Wenn man das Thema so wie hier im Bourbaki-Stil gleich in der größtmöglichen Allgemeinheit behandelt, kann man - insbesondere gerade bei Nicht-Mathematikern - leider nicht mit dem vollen Verständnis rechnen, außerdem entfernt man sich viel zu weit von möglichen praktischen Anwendungen. Es sollte vielleicht mal überlegt werden, ob man "back to the roots" geht, das Thema "elementar" behandelt und vielleicht am Ende darauf hinweist, dass man das alles noch allgemeiner machen kann. - Inzwischen habe ich mir den Beitrag noch einmal in aller Ruhe angesehen und habe festgestellt, dass da so einiges nicht ganz klar und sauber geschrieben ist. Leider fehlt mir im Moment etwas Zeit, aber bei nächster Gelegenheit werde ich mich noch einmal melden. --Jesi 11:50, 22. Jul. 2007 (CEST)
Das habe ich jetzt mal getan. Da es mehrere Diskussionsbeiträge betraf, habe ich mir erlaubt, einen neuen Diekussions-Absatz anzufangen. --Jesi 11:50, 22. Jul. 2007 (CEST)

Definition: Schreibweise $P(X\in A)$

Die Schreibweise $P(X\in A),P(X<Y)$, etc. sollte auf jeden Fall im Zusammenhang mit Zufallsvariablen definiert werden, da sie auf dieser Seite und in anderen Einträgen ständig verwendet wird (siehe z.B. Wahrscheinlichkeitsverteilung). Ich habe sie daher wieder eingefügt. Die andere Schreibweise $\{X\in A\}$ ist natürlich auch üblich, aber nicht ganz so häufig anzutreffen, ich habe sie jetzt erst einmal der Übersichtlichkeit halber weggelassen.

Ferner habe ich "Maßraum" in der formalen Definition wieder durch "Messraum" ersetzt ("Maßraum" ist falsch, siehe Maßtheorie).

Ein ganz anderer Punkt: Die Berechnung der Verteilungsfunktion im Abschnitt "Funktionen von Zufallsvariablen" ist unübersichtlich, und vielleicht auch eher ein Beispiel für die Seite "Verteilungsfunktionen". Abgesehen davon ist die Sache fehlerhaft -- die Verteilungsfunktion ist durch $P(...\leq y)$ definiert, nicht durch $P(...\,<y)$. Es wäre wahrscheinlich eine Verbesserung, den Bezug zu Verteilungsfunktionen ganz zu entfernen und stattdessen ein einfaches Beispiel dafür anzugeben, dass eine messbare Funktion angewendet auf eine Zufallsvariable wieder eine Zufallsvariable ist.

--133.5.161.2 02:07, 23. Aug 2005 (CEST)

Die Schreibweisen $P(X\in A),P(X<Y)$ betreffen nicht die Zufallsvariablen selbst, sondern die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsvariablen. Ich plädiere dafür, auf dieser Seite kurz vorzustellen (evtl. ein Unterkapitelchen "Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen"), dass es zu jeder Zufallsvariable eine zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt, u. die Schreibweisen dort zu klären.--JFKCom 11:42, 23. Aug 2005 (CEST)

Das ist eine gute Idee, ich habe jetzt einen Abschnitt "Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen" erstellt und auch die Anmerkung und das Beispiel aus "Weiterführendes" eingearbeitet, kann aber wahrscheinlich noch verbessert werden. --133.5.161.2 01:44, 24. Aug 2005 (CEST)

Definition: reelle Zufallsvariable

Hier sollte auf einen allzu tiefen Rückgriff auf die Maßtheorie verzichtet werden. Es ist durchaus üblich die reellen Zufallsvariablen einzuführen, ohne mehr als das aufgezeigte Wissen zur Maßtheorie vorauszusetzen.

Meine Formulierung war vielleicht etwas formal, aber richtig. Was Du über Elementarereignisse schreibst:

"Damit die Messbarkeitsbedingung erfüllt ist, wird noch folgendes verlangt $\forall x\in \mathbb {R} \ \exists A\in \Sigma :\ A=\lbrace \omega |X(\omega )\leq x\rbrace$ Das bedeutet, dass alle Elementarereignisse, deren Realisation unterhalb eines bestimmen Wertes liegt, ein Ereignis bilden müssen.", ist erstens ungeschickt, denn es soll nicht ein $A\in \Sigma$ existieren, das gleich der Urbildmenge ist, sondern die Urbildmenge selbst soll schlicht und einfach eine Teilmenge von $\Sigma$ sein. Ohne die Borel-sigma-Algebra auf $\mathbb {R}$ zu benennen, kannst Du auch dem Leser nicht klar machen, welche Messbarkeitsbedingung nun erfüllt sein soll. Es gibt auf $\mathbb {R}$ sogar Messbarkeitsbegriffe, bei denen die von Dir zitierten Elementarereignisse gar keine Ereignisse sind! Gerade deshalb finde ich auch deinen letzten Satz so ungeschickt, denn bei den Urbildmengen der halbseitig unbeschränkten Intervalle geht es überhaupt nicht um Elementarereignisse, sondern einfach um Elemente des Urbildraums $\Omega$. Ich bin auch ein Freund von einfachen Formulierungen, aber richtig sollten sie sein.--JFKCom 00:07, 10. Aug 2005 (CEST)

Antwort: Die Urbildmenge soll ein Element von Σ sein. Damit ist sie eine Teilmenge von Ω. Elemente des Urbildraums Ω sind gerade Elementartereignisse. Das $\mathbb {R}$ mit der Borelschen σ-Algebra ausgestattet sein muss, habe ich nun reingeschrieben. Ich bin der Meinung, dass die Definition jetzt korrekt ist. Was sagst du dazu? --Squizzz 20:41, 10. Aug 2005 (CEST)

Ich möchte ja unser Gesprächsklima nicht eintrüben, und dein neuer Vorschlag ist ja echt besser geworden. Was ich jetzt immer noch ein bißchen zu meckern habe, sind zwei Dinge: a) $\forall x\in \mathbb {R} \ \exists A\in \Sigma :\ A=\lbrace \omega |X(\omega )\leq x\rbrace$ würde ich immer noch durch $\forall x\in \mathbb {R} :\lbrace \omega |X(\omega )\leq x\rbrace \in \Sigma$ ersetzen, weil ich letzteres klarer finde. b) Deine Def. der reellen ZV beginnt zunächst ohne Messbarkeit, und sie ist hinsichtlich der Elementarereignisse um die Ecke gedacht. Ich versuche, das nochmal zu erklären: Eine ZV wurde allgemein bereits weiter oben erklärt. Jetzt handelt es sich nur noch darum, vom Spezialfall $\Omega '=\mathbb {R}$ mit der Borel-sigma-Algebra zu sprechen (ich bin mit dir einig, dass wir die noch formalere Schreibweise $(\Omega ',\Sigma ')=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}^{1})$ dem Leser hier ersparen können, das kann er beim Link zur Borel-sigma-Algebra je nach Lust vertiefen). Dann ist klar, dass $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\omega \mapsto X(\omega )$ zusammen mit der passenden Messbarkeitsbedingung vorliegt, die wir mit einer vereinfachten Variante nachprüfen dürfen (es gäbe übrigens auch andere Varianten als die mit den links-unbeschränkten rechts-abgeschlossenen Intervallen). Warum mir das mit den Elementarereignissen nicht gefällt: Nur im Falle einer diskreten ZV (d.h. wenn $\Omega '$ abzählbar ist) kann man jedes Element $\omega \in \Omega$ echt problemlos mit seinem entsprechenden Elementarereignis $\{\omega \}\in \Sigma$ identifizieren. Im überabzählbaren Bereich gibt es viele knifflige Aspekte die Elementarereignisse betreffend, und damit sprichst du bereits während der Definition einer reellen ZV einen Aspekt an, der eher in den Background der Hintergrund-Infos zu Meßbarkeitsfragen auf $\mathbb {R}$ gehört (denke hier z.B. an das für den Nicht-Stochastiker schwierige Paradoxon, dass jedes Elementarereignis in einem W-raum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}^{1},P)$ mit z.B. der identischen ZV $X:\omega \to \omega$ die Wahrscheinlichkeit 0 hat, und die Vereinigung aller Elementarereignisse zweifellos ganz $\mathbb {R}$ ergibt. Trotzdem ist $P(X\in \mathbb {R} )=1$. Was ich sagen will: Eine reelle ZV bildet nun mal zunächst nicht die Elementarereignisse $\{\omega \}$ (die einelementige Mengen sind), sondern die Elemente $\omega$ in reelle Zahlen ab. Wenn man später über Eigenschaften von reellen ZV (oder auch von diskreten ZV, wovon wir tatsächlich noch was nachdichten sollten) reden, dann kann diese Identifikation der $\{\omega \}$'s mit ihren Elementarereignissen sinnvoll zur Sprache kommen.--JFKCom 21:56, 10. Aug 2005 (CEST)

Antwort: Keine Angst mit mir kann man reden :-) Deine Formel bau ich gleich ein. Die ist wirklich einfacher verständlich. Das Problem bei der Definition ist, dass man in der Wahrscheinlichkeitstheorie zuerst die reellen Zufallsvariablen einführt, dann zu den mehrdimensionalen übergeht und später evtl. noch andere. Die maßtheoretischen Aspekte werden eher im Vorbeigehen behandelt. Vom Standpunkt der Maßtheorie aus ist es natürlich viel einfache alles als Spezialfall der allgemeinen Definition zu betrachten. Ich mach mir mal 'nen Kopf wie man diesen Widerspruch vielleicht auflösen kann. Kann aber bis Dienstag nächster Woche dauern. --Squizzz 23:01, 10. Aug 2005 (CEST)

Antwort: Ich habe noch einige Umstellungen vorgenommen. Auf das Problem mit der Mehrdeutigkeit des Begriffs Elementarereignis werde ich noch im entsprechenden Artikel eingehen. *gedankenblitz* In diesem Artikel werde ich jetzt noch alle Elementarereignis in Ergebnis umbenennen. --Squizzz 22:10, 16. Aug 2005 (CEST)

Eigenschaften von Zufallsvariablen

Die Eigenschaft stetig sollte drin bleiben, auch wenn die Definition simpel ist. Doch jemand der hier nachschaut will evtl. nur kurz eine Bestätigung seiner Vermutung. Warum sollten wir ihm diese Hilfestellung verweigern.

Äh, nochmal: Eine Zufallsvariable ist eine Funktion (wenn auch eine spezielle, weil sie die Messbarkeitsbedingung erfüllen muss). Sie ist genau dann stetig, wenn sie als Funktion stetig ist. Ob ihre Verteilungsfunktion stetig ist, ist eine ganz andere Sache und hat aber auch gar nichts mit der Stetigkeit der Zufallsvariable zu tun. Was Du hier reingeschrieben hast, ist einfach mathematisch falsch.--JFKCom 23:53, 9. Aug 2005 (CEST)

Antwort: *schäm* hast Recht. Auf das Detail habe ich gar nicht mehr geachtet. --Squizzz 23:57, 9. Aug 2005 (CEST)

Es ist allgemein üblicher Sprachgebrauch in der Stochastik, dass man eine Zufallsvariable als stetig bezeichnet, wenn ihre Verteilung eine Dichte bezüglich dem Lebesgue-Maß besitzt. Was anderes habe ich noch nie gesehen. Das ist übrigens auch in dem angegebenen Weblink zu dem Wikibook so und auch im verlinkten Wikipedia-Artikel über Varianz. Um Stetigkeit einer Zufallsvariablen als Stetigkeit der meßbaren Funktion zu definieren, müsste man übrigens erst mal eine Topologie auf dem W-Raum einführen. --Alfred_Mueller 23:57, 7. Okt. 2005 (CEST)

Dein "allgemein üblicher Sprachgebrauch" erscheint mir abstrus. Wozu hab' ich 4 Semester den großen Zyklus Wahrscheinlichkeitstheorie studiert? Zu jeder unglücklichen Sprachweise wirst Du 20 Bücher finden, die sich dummerweise auf diese einlassen. Folgendes gilt m.E. in der Stochastik:

Eine Zufallsvariable $X:\Omega \to \Omega '$ ist erstens eine Funktion (von der Grundmenge $\Omega$ eines Wahrscheinlichkeitsraumes in die Grundmenge $\Omega '$ eines Meßraumes), und sie ist stetig oder nicht stetig genau in ihrer Eigenschaft als Funktion (wenn auf beiden Räumen Topologien festgelegt sind, wie du richtig bemerkt hast). Daneben ist zweitens X meßbar, und der Urbildraum von X ist ein Wahrscheinlichkeitsraum. X induziert damit auf dem Bildraum ein Bildmaß, das ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist und die Verteilung von X heißt. Stetigkeitsbegriffe im Zusammenhang mit Zufallsvariablen gibt es nun mehrere: Erstens kann X stetig sein, zweitens kann die Verteilung von X als Maß stetig bzgl. eines anderen Maßes (z.B. des Lebesgue-Maßes) sein, und drittens kann (sofern diese überhaupt existiert!) die Dichtefunktion der Verteilung von X als Funktion stetig sein. Ist letzteres der Fall, so sagen seriöse Autoren X hat eine stetige Dichte(-funktion). Wer dazu sagt "X ist stetig", der benutzt eine irreführende unmathematische Sprechweise und sorgt für herrliche babylonische Sprachverwirrung unter Mathematikern und Anwendern.--JFKCom 01:31, 9. Okt 2005 (CEST)

Antwort: Ich will mich hier nicht rumstreiten, wer sich hier länger mit Stochastik beschäftigt hat. ;-) Vom rein formalen Standpunkt eines puristischen reinen Mathematikers hast du schon vollkommen recht. Nur ist von dem Standpunkt aus schon die Bezeichnung Zufallsvariable an sich abstrus und irreführend. Ein formaler reiner Mathematiker würde sagen, das sorgt nur für Verwirrung, das sollte man besser meßbare Funktion auf einem W-Raum nennen. Habe ich so auch schon erlebt! Ein Stochastiker nennt das trotzdem lieber Zufallsvariable, weil für ihn die Grundmenge $\Omega$ und die darauf definierte Funktion X gar keine wesentliche Rolle spielen, sondern es die zugehörige Verteilung ist, die das ihn wirklich interessierende wesentliche Objekt ist. Deshalb benützt ein Stochastiker eben üblicherweise auch den Begriff stetige Zufallsvariable für den Fall, dass die Verteilung stetig ist. Schau dich in der Literatur oder auch im Internet um: Du wirst feststellen, dass 99 % bei Zufallsvariablen stetig im Sinne von stetige Verteilung verwenden. Mich würde es tatsächlich überraschen, wenn du auch nur eine seriöse Quelle findest, die den Begriff stetige Zufallsvariable in dem von dir vorgeschlagenen Sinne von Stetigkeit von X als Funktion benützt. Wie ich schon sagte, wird auch hier bei Wikipedia beim Eintrag über Varianz die von mir als üblich bezeichnete Definition benützt, ebenso wie übrigens beim Eintrag continuous random variable in der englischen Version von Wikipedia!! Deine Definition führt also zu deutlichen Inkonsistenzen selbst innerhalb des Wikipedia-Lexikons. Ich bin halt der Meinung, man sollte bei Wikipedia auch die allgemein üblichen Definitionen verwenden, auch wenn das eine Handvoll reine Mathematiker als irreführend ansehen. --Alfred_Mueller 13:57, 12. Okt. 2005 (CEST)

Halt, halt. Ich gehöre jedenfalls nicht zu den Ober-Puristen, die anderen den Gebrauch des Wortes „ Zufallsvariable“ absprechen wollen. So unglücklich, wie oft behauptet, ist dieser Begriff gar nicht: Früher wurde generell eine Funktion als „abhängige Variable“ bezeichnet; in der Anwendung von Differentialgleichungen in den Naturwissenschaften (Physik, Chemie, Biologie...) wird auch z.B. eine Größe, die sich z.B. im Verlauf der Zeit ändert, gern als Variable bezeichnet; sie ist nämlich variabel (neudeutsch für veränderlich) in Bezug auf den Ablauf der Zeitachse. Eine Zufallsvariable ist als Funktion ebenso variabel, und zwar in Bezug auf den durch den auf $\Omega$ regierenden Zufall (der über die W-verteilung auf dem W-raum quantifiziert wird), der dieser Veränderlichen nach Zufallsgesetzen einen Urbildwert $\omega \in \Omega$ vorlegt. Insofern ist Zufallsvariable ein durchaus anschaulicher und sinnvoller Begriff.

Ich gebe dir recht, dass die Stetigkeit der Zufallsvariable als Funktion den wohl am seltensten (aber keinesfalls nie) angewandten Stetigkeitsbegriff einer Zufallsvariable bildet. Die beiden anderen von mir angesprochenen Begriffe sind viel wichtiger. Dennoch darf dies nicht zu falscher Sprechweise verleiten; will man die Stetigkeit (und damit insbesondere überhaupt die Existenz) der Verteilungsfunktion ansprechen, so ist der Begriff stetig verteilt (ist doch nur unwesentlich länger, oder?) korrekt. Wikipedia soll doch m.E. Wissen mehren und nicht etwa tonnenweise publiziertes Unwissen weiterverbreiten. Inkonsistenzen zu anderen Artikeln in der Wikipedia (insbesondere der englischen) sind sicher massenweise da; ich stimme dir hier (leider) heftigst zu. Wo wir aber alle gemeinsam unser helles Hirn einsetzen, sollte doch das Gewicht dieser Inkonsistenzen eigentlich eine monoton fallende (von der Zeit) abhängige Variable sein. :-) --JFKCom 22:11, 12. Okt 2005 (CEST)

Ich gebe euch recht, dass der Begriff „stetige Zufallsvariable“ in den meisten Fällen für Zufallsvariable mit stetiger Verteilung verwendet wird, andererseits aber stetig bei Zufallsvariablen – als Funktionen betrachtet – natürlich noch eine andere Bedeutung hat (vgl. „beschränkt“ in beschränkte Zufallsvariable). Die Stetigkeit als Funktion spielt beispielsweise bei der Definition von schwacher Konvergenz eine Rolle (dort wird daher die Bezeichnung Zufallsvariable vermieden und einfach von stetigen Funktionen gesprochen).

Ein zusätzliches Problem ist, dass der Begriff „stetige Verteilung“ ebenfalls nicht einheitlich verwendet wird. Einige Autoren definieren ihn anhand der Verteilungsfunktion (=keine Sprünge, quasi als Gegensatz zu „diskrete Verteilung“=nur Sprünge), andere verstehen darunter die Existenz einer Dichte, wofür manche den Begriff absolutstetig reservieren.

Mein Vorschlag wäre, diesen Sachverhalt im Artikel Zufallsvariable kurz zu erläutern, und in allen anderen Wikipedia-Artikeln den Begriff „stetige Zufallsvariable“ zu vermeiden und stattdessen folgende eindeutigere Bezeichnungen zu verwenden:

• wenn die Existenz einer Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes (oder des Lebesgue-Borel-Maßes) gemeint ist: „Zufallsvariable mit Dichte“ oder „Zufallsvariable mit absolutstetiger Verteilung“
• wenn die Stetigkeit der Verteilungsfunktion gemeint ist: „Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion“
• wenn die Stetigkeit der Zufallsvariable als Funktion gemeint ist: „stetige messbare Funktion“ oder (gewöhnlich dasselbe) „stetige Funktion“

--133.5.161.2 05:45, 14. Okt 2005 (CEST)

Deinen Vorschlag finde ich gut! Den Begriff „Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion“ würde ich darüber hinaus auch in der Verkürzung „stetig verteilte Zufallsvariable“ gutheißen; für „stetige messbare Funktion“ könnte ich mir auch die Alternative „als Funktion stetige Zufallsvariable“ vorstellen.--JFKCom 19:21, 14. Okt 2005 (CEST)

Ich habe den Punkt "stetige Zufallsvariable" jetzt umformuliert. --133.5.161.2 12:49, 20. Okt 2005 (CEST)

Zufallsveränderliche

Gibt es Quellen, in der das Wort Zufallsveränderliche verwendet wird? --Squizzz 12:32, 6. Jul 2006 (CEST)

Nein, vielleicht war ich da etwas vorschnell. Hab hier ein altes Statistikskriptum, dass den Begriff durchgehend verwendet. Hab aber nicht wirklich den Durchblick bekommen und deshalb dann alles auf Wikipedia nachgelesen - also wenn es sonst keine Quelle gibt die es bestätigen kann, am besten wieder rauslöschen. --Allefant 01:00, 7. Jul 2006 (CEST)

Einleitung

Nachdem heute die Einleitung stark gekürzt wurde, da sie angeblich Unfug ist, würde ich gerne genauer wissen, was daran denn Unfug ist. --Stefan Birkner 14:56, 13. Jun. 2007 (CEST)

Ich wiederhole (so war das da):

Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten Stochastische Variable) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. :Man bezeichnet damit eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte zuordnet. Diese Werte werden als Realisationen der Zufallsvariable bezeichnet.

Als einführendes Beispiel lässt sich beim Zufallsexperiment des Münzwurfs eine Zufallsvariable X definieren, indem man dem Ergebnis ω = „die Münze zeigt Kopf“ den Wert 0 und dem Ergebnis ω = „die Münze zeigt Zahl“ den Wert 1 als Realisation zuordnet.

$X(\omega )={\begin{cases}0&\mathrm {die\ M{\ddot {u}}nze\ zeigt\ Kopf} \\1&\mathrm {die\ M{\ddot {u}}nze\ zeigt\ Zahl} \end{cases}}$

Die Zufallsvariable selbst wird üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier X), während man für die Realisationen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (hier beispielsweise x = 1).

So war das also. Ich möchte festhalten: Eine Zufallsvariable hat (im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinn) nichts mit einem Zufallsexperiment, irgendeinem sonstigen Experiment, mit Würfeln, Münzwerfen oder was auch immer zu tun. Die hier definierte "Zufallsvariable" X macht keinen Sinn: Eine vernünftige Definition der entsprechenden Zufallsvariable (bitte: nicht dauernd mit den Münzen argumentieren!) wäre etwa:

$X(\omega )={\begin{cases}0&\omega <1/2\\1&\omega \geq 1/2\end{cases}}$

(das ist eine Zufallsvariable X von [0,1], Borelmengen, Lebesgue-Maß nach [0,1], Borelmengen, die je mit Wahrscheinlichkeit 1/2 die Werte 0 bzw. 1 annimmt)

mfg. --Mediocrity 15:12, 13. Jun. 2007 (CEST)

Hängt halt davon ab, wie du \Omega und die zugehörige Sigma-Algebra definierst... Das Schöne an Zufallsvariablen ist ja eigentlich, dass wir über die Verteilung aus jedem konkreten Maßraum in die reellen Zahlen kommen... --Scherben 16:41, 13. Jun. 2007 (CEST)

Mir ist klar, dass deine allgemeine Aussage richtig ist. Allerdings nicht, warum das Beispiel falsch ist. Mein Wahrscheinlichkeitsraum ist nun mal nicht $[0;1]$, sondern $\{0,1\}$. Auch wenn Zufallsvariablen unabhängig von konkreten Experimenten sind, werden sie doch zu deren Beschreibung verwendet. Warum willst du unbedingt den Hinweis auf den Bezug zu Zufallsexperimenten aus der Einleitung entfernen? --Stefan Birkner 11:36, 14. Jun. 2007 (CEST)

Das Beispiel ist nicht falsch. \Omega besteht aus den Elementen Kopf und Zahl, die Sigma-Algebra ist die Potenzmenge, und P ist die Gleichverteilung auf beiden Elementen. Ich mache die Änderung mal wieder rückgängig. --Scherben 11:41, 14. Jun. 2007 (CEST)

Mal langsam: Du brauchst einen Maßraum, einen Messraum und eine messbare Funktion. Die Elemente Kopf und Zahl liegen im Ergebnisraum, also im Messraum. Dort aber hast du kein Maß, das wird erst durch die Zufallsvariable, also eine Funktion aus dem Maßraum (welcher ist das?) in den Messraum, induziert. Ich bitte daher: Nenne mir alle drei notwendigen Teile: den Maßraum, den Messraum und die Zufallsvariable (=messbare Funktion).--Mediocrity 12:32, 14. Jun. 2007 (CEST)

Hier ist der Maßraum: $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ mit $\Omega =\{\mathrm {Kopf} ,\mathrm {Zahl} \}$ (eine Menge mit zwei Elementen), ${\mathcal {A}}=$Potenzmenge von $\Omega$, und $P=$ Gleichverteilung. Die Zufallsvariable $X$ ist auf $\Omega$ definiert, also muss man die Werte $X(\mathrm {Kopf} )$ und $X(\mathrm {Zahl} )$ angeben. Der Messraum ist z.B. $\mathbb {R}$ mit der Borel-σ-Algebra oder $\{0,1\}$ mit der Potenzmenge. --RSchlicht 13:23, 14. Jun. 2007 (CEST)

So seh ich das auch. Grad in einer Enzyklöpädie, und noch dazu ganz am Beginn des Artikels, also bei den Definitionen, sollte man m.E. solche Dinge genau behandeln. Weiter unten im Artikel kann es durchaus sinnvoll sein das auf einen nicht-mathematischen Zusammenhang herabzubrecken. Was ich aber nicht einsehe: Dass im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitstheorie im Allgemeinen und Zufallsvariablen im Besonderen immer diese verdammten Münzen und Würfel daherkommen. Niemand käme auf die Idee Integralrechnung, Zahlentheorie oder ähnliches mit Münzen und Würfeln zu erklären. Hier in diesem Fall: Eine Zufallsvariable ist eine Funktion. Was liegt näher, als einfach nur eine ganz normale Funktion als Beispiel anzugeben? Ohne Münzen, Würfel etc. --Mediocrity 13:49, 14. Jun. 2007 (CEST)

Du hast den Hinweis von RSchlicht nicht verstanden: Der Maßraum symbolisiert das reale Experiment, der Messraum sind die gut verstandenen reellen Zahlen. Genau das ist die Stärke von Zufallsvariablen: Sie liefern die Verbindung zwischen dem konkreten Zufallsexperiment Münzwurf und der abstrakten mathematischen Behandlung (in diesem Fall als "Bernoulli-Verteilung"). Nur deshalb können wir überhaupt reale Zufallsexperimente mathematisch untersuchen. Vom rein mathematischen Standpunkt hast du insofern recht, dass dieses Beispiel genauso gut wie dein Beispiel mit [0,1], den Borelmengen und dem Lebesgue-Maß ist. Aber historisch und begriffsgeschichtlich ist dein Beispiel ungeeignet: Erst die mathematisch saubere Grundlegung der Stochastik durch die Maßtheorie hat die Untersuchung des Konkretums Münzwurf überflüssig gemacht. Und genau das gehört in die Einleitung. --Scherben 14:04, 14. Jun. 2007 (CEST)

Ich seh das völlig anders. Nicht der Maßraum, sondern die Zufallsvariable entspricht dem Experiment. Die möglichen Ausgänge (also {Kopf, Zahl}) bilden daher nicht die Menge des Maßraumes, sondern des Messraumes. Die Zufallsvariable, die dem Würfeln entspricht, ordnet den Ausgängen {Kopf} und {Zahl} Wahrscheinlichkeiten zu (induziert also ein Maß), in diesem Fall je die Wahrscheinlichkeit 1/2. Das von mir angegebene Beispiel entspricht dem Vorgang also viel eher. Jedenfalls ist es unbestritten eine Zufallsvariable, während über das andere Beispiel offensichtlich Diskussionsbedarf besteht. Ich verstehe nicht wieso man den Begriff "Zufallsvariable", also messbare Funktion, nicht genauso objektiv behandeln kann wie etwa die Begriffe "stetige Funktion" oder "differenzierbare Funktion". Niemand käme auf die Idee eine stetige Funktion so zu erklären: "Wenn ich würfle, muss der Würfel, wenn er sich im Raum bewegt, auch dazwischen einen Weg zurücklegen und kann keine Sprünge machen. Würfeln ist daher eine stetige Funktion." Das ist doch Mist, oder? Wieso muss dann "Zufallsvariable" übers Würfeln erklärt werden?--Mediocrity 14:46, 14. Jun. 2007 (CEST)

Weil es um Stochastik geht? Um angewandte[sic!] Mathematik? Weil sich das historisch so entwickelt hat? Ich bin z. B. gern Stochastiker, weil ich sowohl Analysis als auch Anwendungen mag. Und zum Inhaltlichen: Lies nochmal RSchlichts Beitrag, und schaue dir auch mal meine Artikelerweiterungen an. Vielleicht wird's dann klarer. Grüße --Scherben 14:52, 14. Jun. 2007 (CEST)

Der Begriff "Zufallsvariable" ist ein Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich glaube nicht dass Wahrscheinlichkeitstheorie eine Form der angewandten Mathematik ist (im Gegensatz zur Statstik). Wenn man aber mal bei Zufallsvariablen mit Würfeln und Münzen anfängt kommt man nie wieder davon los. Das Gesetz der großen Zahlen, stochastische Unabhängigkeit oder ähnliches kann man dann auch nur mit Münzen erklären, statt in einem schlüssigen mathematischen Kontext. Dabei ginge das auch ordentlich: im Fall von Unabhängigkeit von Zufallsvariablen könnte man (statt dem Werfen von Münzen, wie's jetzt dort steht) etwa die Rademacher-Funktionen anführen (die ein System unabhängiger Funktionen, i.e. Zufallsvariablen, darstellen).--Mediocrity 15:00, 14. Jun. 2007 (CEST)

*seufz* Der erste Teil ist Haarspalterei - und m. E. falsche Haarspalterei. Du kannst Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik nur in Bezug auf ihre Fragestellungen unterscheiden, aber nicht in Hinblick auf ihre Begründung. Die liegt nämlich in beiden Fällen in der Kolmogorovschen Axiomatik und ihrer Erfüllung in der Maßtheorie.

Der zweite Teil (also nicht die Rademacher-Funktionen, sondern das "Vom-Münzwurf-nicht-mehr-wegkommen") ist übrigens falsch. Ich versuche es noch ein letztes Mal mit einer Erklärung, ansonsten würde ich dich auf ein einführendes Werk zur Stochastik verweisen (z. B. auf den Krengel oder den Dehling/Haupt als neueres Buch): Wenn man einmal den Begriff der Zufallsvariable eingeführt hat, dann kann man den Münzwurf mathematisch als irgendeine(!) Zufallsgröße definieren, deren Verteilung eine Bernoulli-Verteilung ist. Deshalb kommt man natürlich vom konkreten Münzwurf los, indem man den zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum vergisst! Dasselbe passiert beim Begriff der Unabhängigkeit. Natürlich muss man das zunächst in der Realität (sprich: dem mathematischen Modell derselben und also auf den zu Grunde liegenden W'raum bzw. den Sigma-Algebren) definieren, aber durch den Begriff der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen können wir uns auch hier schnell wieder auf die rein mathematische Behandlung des Begriffs zurückziehen. Ich bin fast geneigt zu fragen, ob du nie eine "ordentliche" W'Theorie I gehört hast. Das muss doch drangewesen sein. --Scherben 15:16, 14. Jun. 2007 (CEST)

Natürlich kann man den Münzwurf durch irgendeine Zufallsvariable modellieren. Mein Punkt ist: Wenn in einer Enyklopädie eine Zufallsvariable als messbare Funktion von einem Maßraum auf einen Messraum definiert ist (so wie das hier der Fall ist - steht ja genauso im Artikel), dann sollte man als Beispiel für eine Zufallsvariable auch tatsächlich eine messbare Funktion von einem Maßraum auf einen Messraum hinschreiben - und zwar exakt, mit Angabe: was ist der Maßraum, was ist der Messraum, was ist die Zufallsvariable. Danach (und erst danach) kann man erklären wie damit Vorgänge aus dem realen Leben modelliert werden (können).

Den zweiten Teil versteh ich nicht: Natürlich muss man das zunächst in der Realität (sprich: dem mathematischen Modell derselben und also auf den zu Grunde liegenden W'raum bzw. den Sigma-Algebren) definieren, aber durch den Begriff der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen können wir uns auch hier schnell wieder auf die rein mathematische Behandlung des Begriffs zurückziehen.. Wenn man was sowieso mit W'räumen und sigma-Algebren definiert, wie soll man sich dann auf was mathematisches zurückziehen? Jedenfalls bezweifle ich dass du das generelle Modell stochastischer Unabhängigkeit nur anhand von Münzwürfen definieren kannst. --Mediocrity 18:06, 14. Jun. 2007 (CEST)

Ich fange mal wieder ohne Einrückung an, sonst wird's unübersichtlich:

a) Ich würde das in der Einleitung nicht machen. Es lesen ja nicht nur Mathematiker mit, sondern auch Psychologen, Sozialwissenschaftler, Ökonomen ..., die den Begriff aus ihren Statistikvorlesungen kennen. Denen gleich beim ersten Beispiel in der Einletung Sigma-Algebren von die Nase zu setzen halte ich für unglücklich. In die formale Definition gehört das natürlich (das steht's ja auch richtig), aber die Einleitung sollte eigentlich motivieren, warum man das macht. Deshalb ja auch der Münzwurf als "klassisches" Beispiel.

b) Ähm, du hattest gemeint, dass man beim Start mit dem konkreten Münzwurf davon nicht mehr wegkommt. Und das stimmt nicht, weil wir mit der Definition der Verteilung einer Zufallsgröße den Schritt ins Abstrakte machen. Mehr wollte ich nicht mitteilen. --Scherben 18:25, 14. Jun. 2007 (CEST)

ad a) Wenn man das schon nicht formal sauber machen will, dann sollte m.E. zumindest das wesentliche einer Zufallsvariable erwähnt werden: dass sie nämlich auf eine Menge von Ausgängen ein Maß, also eine Wahrscheinlichkeit, induziert, im Fall des Münzwurfs also je 1/2. Sonst ist das was hier steht nur eine Funktion die {Kopf,Zahl} auf {0,1} abbildet; das Wesen der ZV ist damit nicht erfasst, und was die ZV mit Experimenten und Wahrscheinlichkeiten zu tun hat auch nicht.

ad b) Nur über die Verteilungen kannst du die Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht erklären. Wie formuliert man denn etwa das Gesetz der großen Zahlen über die Verteilungen beim Münzwerfen? Was bedeutet denn "fast sicher" für das Werfen von Münzen? Um solche Sätze überhaupt formulieren zu können braucht man sehr wohl die Räume und Maße und nicht nur Verteilungen. Wenn dann aber wer beim Gesetz der großen Zahlen steht, das Wort "Zufallsvariable" nachschlägt und dann nur die Verteilungen beim Münzwurf vorgesetzt vorkommt wird er recht allein im Regen stehen.--Mediocrity 22:01, 14. Jun. 2007 (CEST)

Ich wiederhole: Die Erklärung Man bezeichnet damit eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte (so genannte Realisationen) zuordnet. ist m.E. nicht richtig. Eine ZV ordnet nicht den Ergebnissen Werte zu (also dem Ergbnis "Münze zeigt Kopf" den Wert 1), sondern vielmehr den Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten (also dem Ergebnis "Münze zeigt Kopf" die Wahrscheinlichkeit 1/2). Kannst du bitte dazu Stellung nehmen?--Mediocrity 10:29, 15. Jun. 2007 (CEST)

Das ist falsch, wie kommst du darauf? Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung zwischen zwei beliebigen Maß-/Messräumen, die zwar Wahrscheinlichkeiten induziert, diese aber den Werten nicht direkt zuordnet. --Scherben 10:33, 15. Jun. 2007 (CEST)

Das ist überhaupt nicht falsch. Die ZV ordnet jedem Element der sigma-Algebra des Messraums ein Maß, also eine Wahrscheinlichkeit zu. Das ist ja grad der Sinn der Sache. Wie kannst du davon reden einen Münzwurf zu modellieren, ohne von Wahrscheinlichkeiten zu reden? Das hat ja seinen Grund, dass der Begriff Zufallsvariable in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung fällt.--Mediocrity 10:55, 15. Jun. 2007 (CEST)

Sag mal, liest du überhaupt, was ich schreibe? Du schriebst, dass eine Zufallsvariable Ergebnissen (also Elementen des Maßraums) Wahrscheinlichkeiten zuordnet. Das ist falsch. Sie induzieren sie über das Bildmaß. --Scherben 11:05, 15. Jun. 2007 (CEST)

Das ist doch dasselbe, "zuordnen" und "induzieren", nur mit anderen Worten. Meinetwegen induziert die ZV also Wahrscheinlichkeiten (auf Ergebnisse). Warum aber kann das dann trotzdem nicht im Artikel stehen? Wenn du schon Münzwurf modellieren willst: Werden den möglichen Ergebnissen die Wahrscheinlichkeiten je 1/2 induziert, ja oder nein? --Mediocrity 11:16, 15. Jun. 2007 (CEST)

Verstehe ich nicht. Den Ergebnissen des konkreten Münzwurfs sind als Elementen des zu Grunde liegenden Maßraums doch schon vor Definition der Zufallsvariable Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Wir definieren Zufallsvariablen, damit man an Stelle von "Kopf" und "Zahl" 0 und 1 betrachten kann. Das heißt: Aus einer Gleichverteilung auf "Kopf" und "Zahl" wird eine Bernoulli-Verteilung auf 0 und 1. --Scherben 11:24, 15. Jun. 2007 (CEST)

Das sind zwei völlig verschiedene Sichtweisen. Was ich nicht sehe: Wie willst du in so einem Modell z.B. zwei unabhängige Münzwürfe modellieren? Das heißt: Du hast zwei Münzwürfe und willst überprüfen ob die unabhängig sind. Wie soll das gehen?--Mediocrity 11:49, 15. Jun. 2007 (CEST)

Wird das jetzt eine Prüfung? Ich habe das Modell doch nicht eingeführt, ich beschreibe es nur. :) Kennst du die Defintion von Unabhängigkeit von Zufallsvariablen? Die beantwortet deine Frage. --Scherben 11:56, 15. Jun. 2007 (CEST)

Na klar kenn ich die Definition von Unabhängigkeit. So wie du die Sache angehst wird das aber nie funktionieren: deine Räume sind zu klein. Wenn du einen, zwei, drei Münzwürfe ansiehst musst du immer auf andere Räume wechseln, und für ein LLN etwa wird die Sache noch mühsamer. Das ist viel einfacher wenn du gleich auf [0,1], B([0,1]) arbeitest, dann spart man sich eine Menge an technischen Herumtuereien. --Mediocrity 13:25, 15. Jun. 2007 (CEST)

??? --Scherben 13:53, 15. Jun. 2007 (CEST)

Nachdem mich Scherben auf diese Diskussion aufmerksam gemacht hat, versuch ich einmal, ob ich als bisher neutraler Beobachter ein wenig Ordnung ins Wirrwarr bringen kann. Zunächst: Mediocrity hat damit recht, dass das Münzbeispiel so tut, alsob ein Münzwurf von sich aus eine Zufallsvariable wäre. Tatsächlich ist es aber so, dass die Zufallsvariable lediglich ein mathematisches Modell für einen Münzwurf ist. Es steht zwar irgendwie iim Satz Die besondere Bedeutung des Begriffs der Zufallsvariable liegt darin, dass durch ihn die Verbindung zwischen dem konkreten Resultat eines Experiments und seiner mathematischen Untersuchung hergestellt wird., aber wird gleich darauf wieder vergessen ... In en:Random variable wird das ein wenig besser dargestellt: A random variable can be used to describe the process of rolling a fair die. Das, was außerdem noch fehlt, ist, dass dargestellt wird, wie jetzt dieses Münzbeispiel mit der formalen Definiton zusammenpasst, also die Beschreibung des Maßraums wie von RSchlicht 13:23, 14. Jun. 2007 oder auch wie in en:Random variable für den Würfel (wo gleich die Funktion als identische Funktion genommen wird - das geht auch für die Münze, wird aber in "Random variable" interessanterweise nicht gemacht). Die restlichen Ausführungen von Mediocrity kann ich dann aber nicht mehr verstehen; klarerweise ist das Beispiel eines endlichen Maßraums sehr "primitiv", aber für n unabhängige Würfe bietet sich ja ganz natürlich das kartesische Produkt $(\Omega ^{n},{\mathcal {A}}^{n},P^{n})$ an (wobei ich $P^{n}$ im Sinnde des Produktmaßes meine). Habe ich da jeden so weit grundsätzlich verstanden? --NeoUrfahraner 14:54, 15. Jun. 2007 (CEST)

So besser? --Scherben 18:50, 15. Jun. 2007 (CEST)

Aus meiner Sicht ja, wobei ich allerdings statt "interpretieren" das Wort "modellieren" besser fände, weil es noch deutlicher macht, dass diese Darstellung mehr oder weniger willkürlich ist. --NeoUrfahraner 20:34, 15. Jun. 2007 (CEST)

Machen wir's halt so. :) --Scherben 20:41, 15. Jun. 2007 (CEST)

nochmal zu "Mathematische Attribute für Zufallsvariablen"

Zunächst noch einmal eine allgemeine Bemerkung: In der Diskussion wurde vorgeschlagen, die Begriffe Verteilung bzw. Verteilungsfunktion (Vf.) nur sparsam zu verwenden. Das halte ich für nicht richtig. Die Begriffe Zv. und Verteilung bzw. Vf. hängen so eng zusammen, dass jede Trennung eher zu Missverständnissen führt. Ich glaube auch, dass einige Ungenauigkeiten im Artikel gerade darauf zurückzuführen sind, dass Zv., Verteilung bzw. Vf. vermischt wurden. Auch in der Literatur (zumindest in der einführenden, nicht in der allgemein maßtheoretischen) wird nach Einführung des Begriffes (reelle) Zv. fast unmittelbar danach der Begriff der Vf. behandelt. In der Diskussion wurde auch schon vorgeschlagen, sich primär auf reelle Zv. zu konzentrieren. Das halte ich für sehr gut, am Ende kann man dann ja noch erwähnen, dass der Begriff der Zv. auch allgemein maßtheoretisch definiert werden kann.
Ich denke, eine der größten Verwirrungen spielt sich im Punkt "Mathematische Attribute für Zufallsvariablen" und den zugehörigen Diskussionen ab, insbesondere was die Begriffe "diskret" und "stetig" betrifft. Erst einmal sollte man sagen, dass diese Begriffe üblicherweise nicht für Zv., sondern für Vf. definiert werden (und das hat auch seinen Grund, siehe unten). Aber nun zu den hier definierten Begriffen, zuerst zu "stetig", für den drei Definitionsvarianten angeboten wurden:
1. Variante: "Eine Zv. X heißt stetig, wenn sie als Funktion stetig ist". Dazu gebe ich zu bedenken (wie auch schon andere Diskussionsteilnehmer vor mir): Die Räume ($\Omega ,\Sigma ,P$) und ($\Omega ',\Sigma '$) sind völlig beliebige messbare Räume, insbesondere können ihre Grundmengen $\Omega$ und $\Omega '$ aus Kartoffeln, Blättern, Ameisen, Menschen oder was weiß ich nicht was bestehen. Man braucht aber zur Feststellung der Stetigkeit einer Funktion X : $\Omega$ -> $\Omega '$ (das wurde schon in den Diskussionen anerkannt) irgendeine weitere Struktur in den Grundmengen, sagen wir eine Metrik. Aber welche? Hat man bei der Wahl der beiden Metriken freie Hand, heißt es dann, die Zv. X ist stetig bezüglich des Metrik-Paares ($m,m'$), ein anderer kann dann aber leicht kontern, dass sie bezüglich eines anderen Paares ($m_{1},m_{1}'$) nicht stetig sei, und wie verhält es sich, wenn man überhaupt keine Metriken findet? Schließlich kommt noch hinzu, dass die Metriken mit den wahrscheinlichkeitstheoretischen Problemen überhaupt nichts zu tun hätten und nur künstlich eingeführt worden wären, um den Begriff "stetige Zv." nach der ersten Variante zu definieren. Das wäre eine für Mathematiker nicht übliche Herangehensweise. Ich würde also diese Definitionsvariante ausschließen.
3. Variante: "Eine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige Vf. besitzt". Dazu sage ich erst einmal (jetzt wird es Proteste regnen, aber ich erkläre das gleich), dass nicht jede Zv. eine Vf. hat! Zwar hat jede Zv. eine Verteilung, die wird im Artikel erklärt. Ich würde nur vorschlagen, dort aus "Symmetriegründen" die Menge A in A' umzubenennen und die Verwendung von $X^{-1}$ zu vermeiden, d.h.: Die Verteilung $P_{X}$ der Zv. X wird als Maßfunktion auf $\Sigma '$ definiert durch $P_{X}(A')=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in A'\})$ für $A'\in \Sigma '$. Das ist soweit in Ordnung.
Und was ist nun eine Vf.? Eine Vf. ist eine Punktfunktion, die (zunächst einmal) für reelle Zv. X definiert wird durch $F_{X}(x)=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )<x\})$ für $x\in \mathbb {R}$ (es geht auch $\leqq$, das ist im Prinzip äquivalent, nur das Stetigkeitsverhalten der Vf. andert sich von links- auf rechtsstetig). Wenn man diese beiden Definitionen

Verteilung $P_{X}$ der Zv. X: $P_{X}(A')=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in A'\})$ für A' $\in \Sigma '$ als Maßfunktion auf $\Sigma '$

Vf.             $F_{X}$ der Zv. X : $F_{X}(x)=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )<x\})$ für x $\in \mathbb {R}$ als Punktfunktion auf $\mathbb {R}$

vergleicht, fällt eben auf, dass die erste immer funktioniert, die zweite aber nur, wenn die Zv. reelle Werte annimmt oder wenigstens in der Bildmenge $\Omega '$ eine Ordnung wie "kleiner" o.ä. definiert ist. Natürlich ist letzteres bei weitem nicht immer der Fall, so dass nicht jede Zv. eine Vf. hat. Ich denke auch, dass damit klar ist, dass auch die dritte Variante der "Stetigkeitsdefinition" entfällt.
2. Variante: "Eine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist)". Ja, genau das ist es. Alle vorkommenden Begriffe sind immer erklärt, egal, wie die Räume aussehen. Und so steht eindeutig fest, ob eine Zv. diese Eigenschaft hat oder nicht. Das hat übrigens auch schon --Alfred_Mueller 23:57, 7. Okt. 2005 (CEST) so zur Sprache gebracht, er ist aber nicht erhört worden. Allerdings auch hier noch eine Bemerkung: Die eventuell vorhandene Dichte muss keinesfalls stetig sein. Erstens wäre Stetigkeit für einen beliebigen Bildraum gar nicht definierbar, aber selbst bei reellen Zv. ist das nicht der Fall. Einfaches Beispiel: Eine reelle Zv. X mit gleichmäßiger Verteilung auf dem Intervall [0,1] hat die Vf.

$F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}x<0\\x&{\text{wenn }}x\epsilon [0,1]\\1&{\text{wenn }}x>1\end{cases}}$

und die Dichte

$p_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}x<0\\1&{\text{wenn }}x\epsilon [0,1]\\0&{\text{wenn }}x>1\end{cases}}$

und die ist natürlich in den Punkten x=0 und x=1 nicht stetig.
So, das war's erst einmal zu den Definitionen "stetige" Zv.
Nun aber noch zu "diskreten" Zv. Selbst wenn ihr mich prügelt: auch diese Definition ist nicht korrekt, oder eigentlich sogar falsch, das kommt ein bisschen auf den Standpunkt an! Auch dieser Begriff wird nämlich in der Regel primär für Vf. (und damit in erster Linie für reelle Zv.) definiert. Und zur Definition gibt es (mindestens zwei) verschiedene Möglichkeiten (die natürlich alle äquivalent sind):
1. Möglichkeit: Eine (reelle) Zv. heißt diskret, wenn ihre Vf. F auf einer abzählbaren borelschen Menge S $\subseteq \mathbb {R}$ konzentriert ist, d.h. wenn $P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in {\text{S}}\})=1$ ist. Diese "Auflagemenge", auf der die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse konzentriert ist, wird im englischsprachigen Rum auch als support bezeichnet.
2. Möglichkeit: Eine Vf. heißt diskret, wenn die Menge ihrer Wachstumspunkte (das sind alle reellen Zahlen x mit $F(x+\epsilon )-F(x-\epsilon )>0$ für alle $\epsilon >0$) höchstens abzählbar unendlich ist. Achtung: Wachstumspunkt darf nicht mit Sprungpunkt verwechselt werden, Sprungpunkte sind Wachstumspunkte, für die sogar $lim_{\epsilon \to 0}F(x+\epsilon )-lim_{\epsilon \to 0}F(x-\epsilon )>0$ gilt (beide Grenzwerte existieren wegen der Monotonie von F, einer der beiden Grenzwerte ist sogar gleich dem Funktionswert F(x), je nachdem, ob man mit links- oder rechtsstetigen Vf. arbeitet). Sprungpunkte gibt es ohnehin immer nur abzählbar viele.
Welche Definitionsmöglichkeit man wählt, ist Geschmackssache, wer mehr den maßtheoretischen Hintergrund beachten will, wird die 1. Möglichkeit bevorzugen, wer stärker auf Vf. orientiert, die 2. Möglichkeit. Man beachte aber wieder, das diese Definitionen nur für reelle Zv. (mit Vf.) sinnvoll sind. Und: wie viele Werte die Zv. selbst annimmt, ist dabei unerheblich.
Dazu mal noch ein Beispiel, das auf Cantor zurückgeht: Es sei $\Omega$ das Intervall [0,1] in den reellen Zahlen, $\Sigma$ die borelsche-Sigma-Algebra und P das Lebesque-Maß darauf. Auf dem Wahrscheinlichkeitraum ($\Omega ,\Sigma ,P$) sei die Zv. X definiert durch

$X(\omega )={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}\omega \in [0,1]{\text{ rational ist}}\\1,&{\text{wenn }}\omega \in [0,1]{\text{ irrational ist}}\end{cases}}$

ihr Bildraum besteht also aus der Zweiermenge {0,1} als Grundmenge und deren Potenzmenge als Sigma-Algebra. Diese Zv. nimmt nur zwei Werte an, sie ist aber nicht diskret! Die zugehörige Vf. ist die sog. Cantorsche Vf., sie gehört zu einem dritten Grundtyp von Vf., nämlich den singulären Vf. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie stetig sind (man beachte auch hier wieder die Diskrepanz zur 3. Definitionsvariante einer "stetigen" Zv.!), auf einer Menge vom Borelmaß 0 konzentriert sind und ihre Ableitung fast überall existiert und gleich 0 ist.
Nun haben wir drei Typen von Vf., nämlich absolut stetige, diskrete und singuläre. Wer will, kann (reelle) Zv. auch so nennen, wenn ihre Vf. die entsprechende Eigenschaft hat. Und dass man an diesen Definitionen nicht herumbasteln bzw. Willkürlichkeiten reinbringen kann, zeigt folgender Zerlegungsatz von Lebesgue:
Zu jeder Vf. F gibt es drei Konstanten $c_{as}>0,c_{d}>0,c_{s}>0$ mit $c_{as}+c_{d}+c_{s}=1$ sowie eine absolut stetige Vf. $F_{as}$, eine diskrete Vf. $F_{d}$ und eine singuläre Vf. $F_{S}$, so dass

$F=c_{as}\cdot F_{as}+c_{d}\cdot F_{d}+c_{s}\cdot F_{s}.$

Nun noch einmal zum Kapitel "Mathematische Attribute für Zufallsvariablen":
Die Definition "konstante" Zv. würde ich einrücken, da diese ja ein Spezialfall der diskreten sind. Hinzufügen sollte man einen anderen wichtigen Spezialfall der diskreten Zv.: Eine (reelle) Zv. heißt gitterförmig, wenn die Elemente $x_{1},x_{2},...$ der abzählbare Menge ihrer Wachstumspunkte in der Form $x_{i}=a+i\cdot d$ dargestellt werden können, die Zahl d wird Gitterweite (engl. span) genannt.
Die Definition von "unabhängig" sollte eigentlich hier raus, da sie den Zusammenhang mehrerer Zv. betrifft, wenn ich ehrlich bin, wüsste ich aber auch nicht so richtig wohin.
Bei der Definition "standardisiert" sollte man auf jeden Fall hinzufügen "... wenn der Erwartungswert und die Varianz existieren" (Varianz reicht eigentlich, da dann der Erwartungswert auch existiert, aber das weiß ja sicher auch nicht jeder auf Anhieb). Vielleicht kann man dieses Stück auch in das darunterliegende Kapitel "Kenngrößen" verschieben, da ja erst dort von Erwartungswert und Varianz gesprochen wird.
Uff, jetzt habe ich mir mal einiges von der Seele geschrieben. Ich weiß, dass ich vom Thema Zv. sehr stark zu Vf. gedriftet bin, aber das war ja meine Eingangsintention, und ich glaube auch, dass das ein bisschen in der Natur der Sache liegt. --Jesi 11:49, 22. Jul. 2007 (CEST)

Ich befürchte, dir weit meine Antwort sehr unbefriedigend vorkommen. An wesentlichen Stellen hast du Recht - die Begriffe sind mindestens unscharf definiert, manchmal sogar falsch. Andererseits vermitteln sie manchmal besser die Intuition als man das bei absoluter formaler Korrektheit könnte. (Nur zur Klärung: Von mir stammt fast nichts in diesem Artikel, ich lege selbst eher Wert auf Korrektheit als auf Interpretation.)

Deshalb: Natürlich kannst du den Artikel in deinem Sinne überarbeiten (und die jeweilige Definition ist mir recht egal), ich gebe nur aus eigener Erfahrung zu bedenken, dass es meistens nicht die ordentlichen Matheartikel sind, die dringend überarbeitungsbedürftig wären. :) --Scherben 13:38, 22. Jul. 2007 (CEST)

Danke für die Antwort, die ich eigentlich nicht unbefriedigend finde. Vielleicht hast du gesehen, dass ich neu bin (bei Wikipedia) und deshalb nehme ich auch jeden Hinweis gern entgegen. Offenbar ist meine darüberstehende "Abhandlung" nicht ganz so angekommen, wie ich mir das gedacht habe. Auch ich bin nämlich für anschauliche Erklärungen und intuitive Zugänge, möchte aber (in der Mathematik) auch mathematische Exaktheit. Und meist kann man das ganz gut verbinden. Deshalb habe ich ja z.B. auch vorgeschlagen, von der allgemeinen maßtheoretischen Behandlung von Zufallsvariablen zu den reellen Zufallsvariablen "zurückzukehren", weil man da ein viel besseres Verständnis erzielen kann. Und wenn du meinst, dass es meistens nicht die ordentlichen Matheartikel sind, die dringend überarbeitungsbedürftig wären, dann kann das ja sein, ich wollte aber mit einem Thema anfangen, von dem ich nun mal was verstehe. Nochmals Danke --Jesi 23:14, 22. Jul. 2007 (CEST)

Beispiel in der Einleitung

Ich habe mal versucht, die Einleitung etwas verständlicher zu machen. Meiner Meinung nach ist das Problem beim bisherigen Einführungsbeispiel, dass es zu einfach ist: Man sieht dann nämlich nicht so recht, was es für Vorteile hat, eine Abblidung $X\colon \{\mathrm {Kopf} ,\mathrm {Zahl} \}\to \{0,1\}$ zu verwenden. --91.13.220.115 14:44, 8. Sep. 2007 (CEST)

Och nee... Wir hatten weiter oben so lange darum gerungen, eine vernünftige Formulierung zu finden. Natürlich hat das einen Vorteil, weil man vom abstrakten W'Raum in einen bekannten Messraum kommt. Das stand doch auch da?!? Sorry, ich setze es erstmal wieder zurück. --Scherben 15:15, 8. Sep. 2007 (CEST)

Ich hab dazu mal einen Erläuterungssatz eingefügt, der zumindest erklären soll, warum man eine solche Zuordnung von reellen Zahle vornimmt. -- Jesi 16:12, 8. Sep. 2007 (CEST)

Und ich hab's leicht umformuliert. Danke - ich glaube, so hast du einen schönen Kompromiss gefunden. :) --Scherben 16:17, 8. Sep. 2007 (CEST)

Ja, so geht's auch. Mir war halt wichtig, dass in der Einleitung steht, warum Zufallsvariablen nützlich sind. Aber wieso $<$ statt $\leq$ bei der Verteilungsfunktion? In diesem Artikel (und auch in der mir bekannten Literatur) wird doch überall $\leq$ verwendet. --91.13.232.28 17:43, 8. Sep. 2007 (CEST)

Ich kenne beide Varianten. Von mir aus kannst du das gern ändern, aber dann bitte konsequent und nicht nur an machen Stellen. --Scherben 17:51, 8. Sep. 2007 (CEST)

Sorry, an das Beispiel habe ich gar nicht gedacht. Ich hoffe jetzt stimmt's. Das mit der Ableitung habe ich auch gleich noch in Dichte geändert. Verteilungsfunktionen müssen ja nicht unbedingt differenzierbar sein.--91.13.250.38 19:02, 8. Sep. 2007 (CEST)

Das Problem mit dem "kleiner" bzw. "kleiner gleich" ist schon oft diskutiert worden, z.B. auf dem Portal Mathematik. Nur zur Zusammenfassung: Beide Definitionen sind im Prinzip äquivalent, der einzige Unterschied ist, das bei "kleiner gleich" die zugehörigen Verteilungsfunktion linksstetig und ansonsten rechtsstetig ist. Auch in der Literatur wird es etwa Halbe/Halbe verwendet. Die Sache mit der Dichte ist hier tatsächlich besser, da es ja um Zufallsvariable geht. Aber: Wenn eine Zufallsvariable eine Dichte hat, dann ist die Verteilungsfunktion fast überall differenzierbar und die Dichte ist dann wirklich die Ableitung der Verteilungsfunktion. -- Jesi 22:05, 8. Sep. 2007 (CEST)

@Scherben (Änderung Wortstellung): Vermutlich hast du Recht, ich hab es geändert, weil ich beim Lesen ein bisschen gestolpert bin, könnte eher mein Problem sein. Sry, -- Jesi 22:28, 8. Sep. 2007 (CEST)

Kein Problem. Wegen der Problematik mit der Dichte: Sollten wir nicht eher dF(x) schreiben? --Scherben 22:33, 8. Sep. 2007 (CEST)

Ich würde denken, eher nein. dF(x) steht ja im Lebesgue-Integral, mit dem man den Erwartungswert für alle Fälle definiert. Spezialfälle sind dann die diskreten, in denen daraus Σ P(X = x) wird, und die absolut stetigen, da wirds dann f(x)dx. Auch in den Lehrbüchern wird es im Allgemeinen so verwendet. -- Jesi 00:16, 9. Sep. 2007 (CEST)

Okay, wobei ich mir trotzdem eine Präzisierung erlaubt habe. Gruß --Scherben 00:22, 9. Sep. 2007 (CEST)

Ja, dieses Problem habe ich ja schon vor ein paar Wochen in dem Beitrag nochmal zu "Mathematische Attribute für Zufallsvariablen", der noch unmittelbar über diesem Abschnitt steht, versucht zu behandelt. Fakt ist, dass die beiden im Artikel über deiner Ergänzung stehenden "Definitionen" zu stetige bzw. kontinuierliche Zv. nicht in Ordnung sind, das wollte ich ja in meinem obigen Beitrag erklären. Insofern ist dein Einschub ok. Aber: Ich hoffe, dass ich mich richtig erinnere, dass die Definition lautet Eine Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist). Zv. heißen also stetig, wenn die Vf. absolut stetig ist. Es ist sicher etwas blöd, dass sie Begriffe hier nicht korrespondieren, aber ich denke, dass es die verbreitetste Variante ist. Im Artikel wird es im Zusammenhang mit Dichte einmal der stetige Fall, das andere Mal der absolut stetige Fall genannt. Ich werde das jetzt mal angehen, mal sehen, wie du das siehst. -- Jesi 01:01, 9. Sep. 2007 (CEST)

Das Problem ist: Mein google-Test für "stetige zufallsvariable" -absolut deutet daraufhin, dass eben auch die beiden von dir gelöschten Bezeichnungen benutzt werden. Ich probiere mich also auch mal wieder, irgendwann konvergiert's (alternierend ist es schon. :)) --Scherben 01:08, 9. Sep. 2007 (CEST)

(Ich rück mal wieder vor) Das Dumme ist: alternierend impliziert ja leider keine Konvergenz. Zunächst: "absolut stetige Zufallsvariable" liefert nur 26 echte Treffer, ist also ziemlich ungebräuchlich (deshalb würde ich es vielleicht doch in Klammern setzen, das ist aber unbedeutend). Dein Link zeigt, dass stetige Zv. ohne absolut oft vorkommt, das ist natürlich richtig. Aber: in welcher Bedeutung? Wenn man mal so überfliegt, (hier mal ein Beispiel) kommt in der Regel der Begriff Dichte mit vor, also genau in dem Zusammenhang, der jetzt an dritter Stelle steht. Selten kommt auch der Begriff stetige Verteilungsfunktion vor, das stimmt. Aber die erste Zeile in der Definition kann eigentlich so nicht stehen bleiben, weil eine Zv. ja eine Funktion von einem beliebigen in einen beliebigen Raum ist (natürlich beide messbar), und für eine solche Funktion ist ohne weitere Struktur in den Räumen der Begriff Stetigkeit überhaupt nicht erklärt ist (ich hab das in dem oben erwähnten Diskussionsbeitrag etwas ausführlicher dargelegt, auch in anderen Beiträgen auf dieser Seite kam das schon vor). Mein Vorschlag: die erste Zeile weglassen und die beiden anderen vertauschen. Ich werde das mal im Sinne des weiteren Alternierens vornehmen. Ich hoffe, dass ich dir nicht allzusehr auf die Nerven gehe, wenn ja, dann sags mir. .. Jesi 01:41, 9. Sep. 2007 (CEST) Zusatz: unter #Eigenschaften von Zufallsvariablen stehen zwei Beiträge eines jetzt wieder roten Alfred_Müller, die in genau diese Richtung gehen. -- Jesi 01:46, 9. Sep. 2007 (CEST)

Find's so okay. --Scherben 01:50, 9. Sep. 2007 (CEST)

Zu Stetigkeit als Funktion: Die hat man im Grunde natürlich z.B. bei der Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen: Es gilt $\mu _{n}\to \mu$ genau dann, wenn die zugehörigen Erwartungswerte für jede stetige beschränkte Zufallsvariable (?) konvergieren. Obwohl man dann üblicherweise auch nicht von "Zufallsvariablen" spricht: Die Zufallsvariablen liegen eine Ebene tiefer, die $\mu _{n}$ sind nur ihre Verteilungen (=>Konvergenz in Verteilung). Zu absolutstetig (bzw. Dichte) vs. stetige Verteilungsfunktion: Das sind die mathematisch exakten Begriffe, der Begriff stetige bzw. kontinuierliche Zufallsvariable ist eher unscharf. In Anwendungsgebieten wird eine stetige Zufallsvariable manchmal als "so etwas wie die Normalverteilung" eingeführt. Da ist ein endgültige Definition schwierig.--RSchlicht 09:25, 9. Sep. 2007 (CEST)

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Ich fürchte, mit der neuen Version der Einleitung sind wir genau bei dem Problem angelangt, das Mediocrity kritisiert hat. Es stimmt eben nicht, dass Münzwürfe sozusagen die mathematische Realität sind und man Zufallsvariablen einführt, damit man mit den Ergebnissen "rechnen" kann. Zufallsvariable wäre es genauso, wenn man $X(\omega )=\omega$ setzt, obwohl das Ergebnis keine Zahl zum Rechnen, sondern einfach ohne numerischen Wert die Seite einer Münze ist. Der Witz liegt ganz wo anders, nämlich darin, dass Zufallsvariablen es erst ermöglichen, ein mathematisch exaktes Modell für etwas zu finden, dass man dann als Münzwurf interpretieren kann. Dazu nimmt man mehr oder weniger willkürlich an, dass man eine faire Münze modellieren will, bei der Kopf/Zahl gleich wahrscheinlich sind, baut sich einen Wahrscheinlichkeitsraum, den man in zwei Teilmengen mit Maß jeweils 1/2 teilt und interpretiert dann diese Teilmengen als Kopf/Zahl. Das einfachste Beispiel eines solchen Wahrscheinlichkeitsraumes ist natürlich eine zweielementige Menge, er kann aber von mir aus auch drei Elemente mit Wahrscheinlichkeiten 1/2, 1/3, 1/6 oder auch unendliche vielen Elementen enthalten. Wichtig ist, sich vor Augen zu halten, dass der Wahrscheinlichkeitsraum zunächst überhaupt nichts mit der Münze zu tun hat, sondern lediglich so konstruiert wird, dass man damit einen Münzwurf modellieren kann. Also: der Artikel vermittelt derzeit den Eindruck, dass zuerst der Münzwurf ist, und dann die Zufallsgröße; aus der Sicht der Mathematik ist aber zuerst der Maßraum, und der lässt sich später als Münzwurf interpretieren. (Historisch ist es natürlich zuerst der Münzwurf gewesen, und dann der Maßraum konstruiert worden, damit man den Münzwurf modellieren kann - aber man darf keineswegs das Modell mit der Wirklichkeit verwechseln!) Ist ungefähr klar, worauf ich hinauswill? --NeoUrfahraner 13:12, 12. Sep. 2007 (CEST)

Ja. Und du bist natürlich genauer als ich es damals bei der Einführung des Satzes war. Ich glaube jedoch nicht, dass der Witz ganz woanders liegt, denn Zufallsvariablen dienen auch dazu, die Realität a) mathematisch fassbar zu machen und b) über ihre Verteilung empirisch völlig verschiedene Dinge identisch zu behandeln. Aber du hast Recht: Die Tatsache, dass wir "extrapolieren", um einen W'Raum mit Maß (1/2, 1/2) als Grundlage des mathematischen Modells Münzwurf zu erhalten, kommt nicht richtig raus. Da wir in diesem Artikel immer work in progress betreiben: Fang' doch einfach an und überarbeite die Einleitung in deinem Sinne. Die konstruktive Kritik kommt schon früher oder später. :) --Scherben 15:32, 12. Sep. 2007 (CEST)

Ich verstehe das Problem noch nicht so ganz. Ich denke, es ist prinzipiell schon in Ordnung, für $\Omega$ die Menge der möglichen Ausgänge des Zufallsgeschehens zu wählen. Letztendlich kann man jedes Wahrscheinlichkeitsmaß als das Bildmaß einer Zufallsvariable auffassen, die auf einem noch tieferen zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist, und umgekehrt kann man immer, wenn man Zufallsvariablen hat, zum Bildmaß übergehen, um sich nicht mehr um einen zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum kümmern zu müssen. Das läuft also aufs selbe hinaus, und so oder so sind formal alle vorkommenden Funktionen messbar und auf Wahrscheinlichkeitsräumen definiert. Oder geht dir es darum, dass die wesentliche Eigenschaft von Zufallsvariablen eigentlich nur ihre (gemeinsame) Verteilung ist, aber nicht der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum, und dass dieser nur das mathematische Hilfsmittel für die Konstruktion des Modells darstellt?--RSchlicht 16:24, 12. Sep. 2007 (CEST)

Ich habe es so verstanden: Es stimmt nicht, dass die Realität uns dazu nötigt, einen W'raum mit Maß (1/2, 1/2) als Grundlage zu nehmen. Wir schließen aufgrund unserer Erfahrung, dass dies das richtige Maß auf einem solchen W'raum ist und modellieren daraus das, was wir dann einen "fairen Münzwurf" nennen. So wie es im Augenblick im Artikel steht, hat man das Gefühl, dass der W'Raum (in einem platonischen Sinn) schon immer existiert hat und wir ihn mit Hilfe von Zufallsvariablen nur mathematisch fassbarer machen. --Scherben 17:00, 12. Sep. 2007 (CEST)

Genau, die spezielle Wahl von $\Omega$ als "Menge der möglichen Ausgänge des Zufallsgeschehens" ist prinzipiell in Ordnung. Der Artikel erweckt momentan aber den Eindruck, dass diese Wahl irgendwie zwingend ist (weil schon immer existent im platonischen Sinn). Das kommt wohl daher, dass bei endlich vielen Elementarereignissen das Konzept der Zufallsvariable tatsächlich lediglich eine "äußerst formal erscheinenden Zuordnung" und unnötig ist (weil sowieso jede Funktion messbar ist und sich jede Zufallsvariable als identische Funktion auf einem passenden Wahrscheinlichkeitsraum definieren lässt), richtig interessant wird es erst bei unendlich vielen Elementarereignissen. Das Problem ist aber, wie man da ein passendes Beispiel in die Einleitung bringt, ohne in unverständliche Maßtheorie zu verfallen. Ich werde mir etwas dazu überlegen. --NeoUrfahraner 17:52, 12. Sep. 2007 (CEST)

Ihr werdet da ohnehin in Probleme laufen. Man kann etwa mit Edwin Jaynes sagen, dass Münzwurf viel mit Newtonscher Physik, wenig mit Aerodynamik und nichts mit echtem Zufall zu tun hat. Wenn man das vergisst, kann man beim Münzwurf leicht über den Tisch gezogen werden. Nach Leuten wie Jaynes dient Wahrscheinlichkeit dazu, mit unserer Unwissenheit umzugehen. -- ZZ 14:59, 29. Nov. 2007 (CET)

Komplizierteres Beispiel

Ich habe also jetzt ein komplizierteres Beispiel in die Einleitung genommen. Ich hoffe, dass es trotzdem verständlich bleibt; dreimaliges Würfeln kennen zumindest die meisten aus der Erfahrung. Viel einfacher geht's meines Erachtens leider nicht, wenn die wesentlichen Pointen erkennbar sein sollen. Zwei Würfe hätten es zwar auch getan, beim Punkt i.i.d. habe ich mich aber mit drei Würfen bei den Beispielen für identisch aber nicht unabhängig sowie unabhängig aber nicht identisch leichter getan. Bei lediglich zwei Würfen hätte ich wieder irgendwelche gekünstelten Zufallsgrößen einführen müssen. Kritische Kommentare sind erlaubt. --NeoUrfahraner 21:30, 15. Mär. 2008 (CET)

Meiner Meinung nach ist diese Formulierung unschön bis fehlerhaft. Eine (reelle) Zv. ist ja eine messbare Abbildung aus der Grundmenge eines Wahrscheinlichkeitsraumes in die Menge der reellen Zahlen. Es müsste also sicher besser heißen (mal ohne TeX)

X₁(ω) = ω für ω ε {1,...6} als Ergebnis des ersten Wurfes

usw. Die Definition von S wird noch etwas komplizierter, weil man hier erst den Raum mit der Grundmenge Ω₁ x Ω₂ x Ω₂ und der entsprechenden Sigma-Algebra konstruieren müsste. Irgendwie müsste es heißen

S (ω) = x₁ + x₂ + x₃ für ω := [x₁,x₂,x₃] ε {1,...,6} x {1,...,6} x {1,...,6}.

Ich weiß nicht, ob es das wert ist. -- Jesi 16:58, 16. Mär. 2008 (CET)

Mir ist nicht ganz klar, was Du meinst. Es ist nicht zwingende erforderlich, dass $\Omega '=\mathbb {R}$; ich hab jetzt aber trotzdem $\Omega '=\mathbb {R}$ gewählt, weil's damit kürzer wird. Außerdem hat man damit gleich ein Beispiel für den späteren Abswchnitt "Reelle Zufallsvariablen".

Was an meinem Modell für X₁ falsch sein soll, ist mit nicht klar. Dein Modell für X₁ ist zwar ebenfalls korrekt, aber wie willst Du dann den Unterschied zu X₂ herausstreichen? Vor allem geht es mir darum, Beispiele von Zufallsvariablen anzugeben, die sich wesentlich von der identischen Funktion unterscheiden, sonst fragt man sich, wieso man nicht gleich immer die identische Funktion nimmt.

Was das kartesische Produkt betrifft: Mir geht's darum, im Abschnitt "Mathematische Attribute für Zufallsvariablen" schöne Beispiele anzugeben. Kennst Du schöne Beispiele für i.i.d., identisch aber nicht unabhängig, unabhängig aber nicht identisch, die sich ohne Rückgriff auf das kartesische Produkt angeben lassen? --NeoUrfahraner 20:38, 16. Mär. 2008 (CET)

Nun, für falsch halte ich einfach schon die Schreibweise X₁ ε {1,2,3,4,5,6}. Wieso ist eine Zufallsvariable (als Funktion) ein Element der Sechsermenge. Möglicherweise meinst du, dass die Werte der Funktion X₁ Elemente dieser Sechsermenge sind, das kommt aber so nicht zum Ausdruck. Irgendwie wird hier einiges verwischt. Z.B. kommt nicht heraus, dass eine Zufallsvariable auf der Grundmenge eines Wahrscheinlichkeitsraumes definiert ist. Wenn ich ehrlich sein soll, war das frühere Beispiel besser aufgebaut. Aber lass mal, vielleicht will ich diesbezüglich wieder einmal zu überkorrekt sein. -- Jesi 23:21, 16. Mär. 2008 (CET)

Stimmt, nicht die Zufallsvariable ist aus dieser Menge, sondern die Realisation. Hab's korrigiert. --NeoUrfahraner 06:30, 17. Mär. 2008 (CET)

Vielleicht noch einmal eine allgemeine Bemerkung: Ich finde das jetzige Beispiel aus mehreren Gründen für nicht gelungen. Bei dem Münzbeispiel wurde wenigstens noch deutlich, dass den zunächst qualitativen Versuchsausgängen Kopf/Zahl jeweile eine reelle Zahl zugeordnet wurde, auch durch die Schreibweise X(omega)=1, wenn omega=Zahl bzw. X(omega)=0, wenn omega=Kopf war klar zu erkennen, dass es sich hier um eine Abbildung von Omega={omega_Zahl,omega_Kopf} in die reellen Zahlen handelt. Jetzt befürchte ich eine methodische Verwässerung. Erstens hat man hier das Problem, dass die Versuchsergebnisse selbst schon durch Zahlen repräsentiert werden, die Notwendigkeit bzw. Nützlichkeit einer weiteren Zuordnung auf (womöglich die selben) reellen Zahlen wird überhaupt nicht deutlich. Und es wird nur der Werttevorrat der Zv. angegeben, es ist nicht klar, wie genau die Zuordnung der einzelnen omegas zu welchen reellen Zahlen erfolgt (obwohl man es sich "denken" kann, doch wie oft trügt das in der Mathematik). Auch besteht das Problem des bzw. der passenden Wahrscheinlichkeitsräume; während man die ersten drei Zv. alle auf dem gleichen WR definieren kann, müsste man für die vierte einen anderen WR angeben. Nach der Definition wird zwar versucht, das alles etwas klar zu rücken, aber meiner persönlichen Meinung nach ist das alles (auch für die Oma) zu undurchsichtig. Allerdings weiß ich auch, dass solche methodischen Fragen immer sehr subjektiv sind, aber meine Meinung kann ich ja wenigstens ausdrücken. Ich kann mich erinnern, dass ich in der Lehre immer ganz gut gefahren bin mit der Definition von Zv. über der Menge der Karten eines Skatblattes (moderner wäre Poker, aber Skat hat Vorteile). Auf diesen 32 Elementen der Grundmenge Omega = {Schell 7, ... Eichel As} hat man gute Möglichkeiten, z.B. (ich spare mir mal die Indizes) X(omega):="Zählwert der Karte omega beim Skatspiel" oder X(omega)="Reizwert der Farbe der Karte omega beim Skatspiel" oder X(omega)="0 bzw. 1, wenn omega eine Bild- oder eine Zahlkarte ist" oder X(omega)="0 bzw. 1, wenn omega eine rote Farbe oder eine schwarze Farbe hat" usw. Da konnte man viel draus machen. Aber wie gesagt, das ganze Thema ist sehr subjektiv und das wird es wohl auch bleiben. -- Jesi 19:20, 19. Mär. 2008 (CET)

Zunächst: was Du mit "Auch besteht das Problem des bzw. der passenden Wahrscheinlichkeitsräume; während man die ersten drei Zv. alle auf dem gleichen WR definieren kann, müsste man für die vierte einen anderen WR angeben" meinst, ist mir nicht klar; alle 4 ZV sind ja auf dem selben WR (mit 216 Elementen) definiert.

Ansonsten: Die Befürchtung, dass es zu undurchsichtig ist, teile ich. Das Problem mit dem früheren Münzbeispiel ist/war für mich aber, dass es zu banal ist; da werden die Schwierigkeiten nicht erklärt, sondern einfach weggelassen. Auf die Würfel versteife ich mich nicht; wenn sich mit Spielkarten leichter verständliche Beispiele angeben lassen, soll es mir nur recht sein. Welche Beispiele würdest Du da für ZV vorschlagen, die dann die später erwähnten Eigenschaften haben, also insbesondere iid, unabhhängig aber nicht identisch verteilt, identisch aber nicht unabhängig verteilt? --NeoUrfahraner 20:16, 19. Mär. 2008 (CET)

Ja, mit meinem ersten Problem hast du Recht, ich habe von dem Beispiel vor allem die 4 Zv. angesehen und die davorstehende Bemerkung omega = (n₁, n₂, n₃) übersehen. Ich hab mal noch eine kleine Ergänzung angebracht, die dann auch die tatsächliche Zuordnung omega -> reelle Zahl sichtbar macht. Vielleicht ist das so ok. Fragen würde ich jetzt nur noch, warum es drei Würfe sein müssen, zwei dürften doch ausreichen. -- Zu meinen obigen Karten-Beispielen: Wenn man wie oben nummeriert: X₁ = Zählwert (0,2,3,4,10,11), X₂ = Reizwert (9,10,11,12), X₃ = Bildkarte/Zahlkarte (0,1) und X₄ = rote Karte/schwarze Karte (0,1), dann hat man z.B.

• nicht id. vert. und unabhängig sind (jeweils paarweise) (X₁, X₂), (X₁, X₄), (X₂, X₃)
• nicht id. vert. und abhängig sind (X₁, X₃), (X₂, X₄)
• id. vert. und unabhängig sind (X₃, X₄)
• id. vert. und abhängig habe ich im Moment (außer Trivialitäten) nicht parat, hatte ich mal, vielleicht finde ich es wieder (mit noch einer weiteren Zv.).

Ich bin mir nun aber nicht im Klaren, ob es bei dem Würfelbeispiel bleiben sollte (evtl. eben nur mit zwei Würfen). -- Jesi 00:29, 20. Mär. 2008 (CET)

Ursprünglich hatte ich zwei Würfel (vgl. auch http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Zufallsvariable&diff=43881995&oldid=43874013 ). Das Problem war dann genau das Beispiel für id. vert. und abhängig. Ich wollte nicht neue ZV (wie z.B. "ist gerade" und "ist mindestens 4" einführen und dann begründen, wieso die abhängng sind); die "überlappenden Summen" sind da meienr Meinung nach anschaulicher. Eine andere Möglichkeit, die mir einfällt, wäare allerdings zunächst mit zwei Würfeln zu starten, im Abschnitt "unabhängig" die Sache mit dem Produktmaß etwas genauer zu erklären (das ist derzeit sowieso sehr knapp) und dabei den dritten Würfel einzuführen, den man dann im Beispiel id. vert. und abhängig verwenden kann. --NeoUrfahraner 06:15, 20. Mär. 2008 (CET)

Das klingt auf jeden Fall erst einmal ganz gut. -- Jesi 17:49, 20. Mär. 2008 (CET)

Hab's jetzt probeweise umgearbeitet. Besser so? --NeoUrfahraner 21:58, 20. Mär. 2008 (CET)

Ich denke schon, dass es besser ist (nicht so überladen). Meine prinzipielle Meinung zu diesem Beispiel hat sich aber noch nicht geändert. Mir fehlt (für den "unbedarften" Leser) der Aspekt der Zuordnung "beliebiges quantitatives Versuchsergebniss" => "reelle Zahl" (da die Versuchsergebnisse eben selbst schon durch Zahlen repräsentiert werden, warum wird der Würfel-Zahl 1 die reelle Zv.-Zahl 1 zugeordnet?). Auch die Gesamtanlage des Artikel finde ich nach wie vor nicht glücklich, vor allem aus methodischer Hinsicht. Mein zweiter WP-Edit überhaupt steht hier noch darüber. Und da hat sich seitdem nicht viel verändert, ich glaube eher, dass der Aufbau noch etwas ungünstiger geworden ist. So werden unter "mathematische Attribute" sowohl Begriffe für eine als auch für mehrere Zv. behandelt, bei "Zentrierung" wird schon Erw.-wert verwendet, der erst später bei "integrierbar" und danach noch bei "Kenngrößen" näher benannt wird, und noch so einiges. Aber es ist eben ein Wiki. -- Jesi 01:18, 22. Mär. 2008 (CET)

Grundsatzfragen

Bezüglich der Gesamtanlage des Artikels stimme ich Dir zu; da ist noch einiges zu tun. Vorher aber zum ersten Teil. Ist es tatsächlich so, dass das Wesentliche bei der Zufallsvariable ist, dass es unbedngt eine reelle Zahl sein muss? In unserer Defintion steht ganz allgemein ein Messraum, vgl. http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Zufallsvariable&diff=8061269&oldid=7716246 (mit Literaturangabe, die ich aber nicht überprüft habe). Das Wesentliche dabei ist die Messbarkeit. Im Artikel wird erst später speziell je nach Messraum von reellen, komplexen oder mehrdimensionalen Zufallsvariablen gesprochen. Die Zufallsvariable könnte demnach genausogut die Karte sein, die im Skatblatt obenaufliegt (Die Projektion auf die erste Komponente der Permutation einer Menge mit 32 Elementen); Begriffe wie iid lassen sich da auch definieren (erste und zweite Karte sind identisch, aber nicht unabhängig verteilt). Die Einschränkung auf reelle Werte wird erst dann interessant, wenn man mit Begriffen wie Erwartungswert und Verteilungsfunktion beginnt. --NeoUrfahraner 07:08, 22. Mär. 2008 (CET)

ack. die definition "fern jeder realitaet" (hihi) deckt sich mit den von mir gehoerten stochastischen vorlesungen. es wird zwar meist der messraum (R^n, B^n) betrachtet/verwendet. das ist aber nicht notwendig. als quelle kann ich zwar das buch "Stochastik II" von Norbert Henze angeben, aber das ist halt bloss das skript zur vorlesung, d.h. nicht im normalen handel erhaeltlich. -- seth 12:01, 22. Mär. 2008 (CET)

Also ich sehe das etwas anders. Es stimmt, dass die jetzige Definition korrekt ist. Aber sie beschreibt den Begriff so allgemein, dass schwer nachvollziehbar ist, worum es geht. Und ich schätze mal etwas polemisch, dass 99 Prozent der Anwendungen des Begriffes Zufallsvariable reelle Zv. betreffen (Mess- und Beobachtungsgrößen wie Längen, Mengen, Gewichte usw., ja/nein-Zuordnungen wie Erfolg/Misserfolg, usw.). Verteilungsfunktionen sind in erster Linie für reelle Zv. definiert (zumindest muss im Bildraum eine Halbordnung definiert sein). Und z.B. die Theorie der Grenzwertsätze für Summen i.i.d. Zv. zielt auf reelle Zv. ab, schon weil ja eine Summe definiert sein muss. Ich finde es deshalb wenig hilfreich, die Oma und den 14-jährigen Schüler mit dieser Allgemeinheit zu konfrontieren, mit der sie sicher wenig anzufangen wissen und die sie auch nicht benötigen werden (wann sind schon mal komplexe Zv. gefragt). Meiner Meinung nach sollte man den Begriff an reellen Zv. abhandeln, dort ist alles noch einigermaßen anschaulich erklärbar. Am Ende sollte natürlich ein kleiner Abschnitt "Allgemeiner Begriff der Zv." nicht fehlen.

Auch zum Würfel-Beispiel hab ich ja schon meine Meinung gesagt; am wenigsten gefällt mir die Tatsache, dass der "Neuling" kaum verstehen wird, warum man (beim einfachen Wurf) dem Versuchsergebnis "1" die relle Zahl 1 zuordnet. Bei dem als zu einfach eingestuften Münzwurf wurde wenigstens dem qualitativen Ergebnis Kopf/Zahl eine reelle Zahl zugeordnet, und man konnte auch erklären, warum. Ich würde jedes Beispiel, bei dem die Versuchsergebnisse nicht schon selbst "zahlenähnliches" Format haben, bevorzugen. -- Jesi 04:16, 24. Mär. 2008 (CET)

Gut, bei dem Punkt, dass reelle Zufallsvariable der bei weitem wichtigste (aber nicht der einzige) Anwendungsfall ist, sind wir uns einig. Beim Würfel-Beispiel ist meiner Meinung nach das Ergebnis nicht die Zahl "1", sondern eine Würfelfläche, auf die eben jemand mehr oder weniger willkürlich eine "1" gemalt hat. Dass diese Zuordnung kein Naturgesetz ist, zeigen z.B. Pokerwürfel oder Farbwürfel. Der Neuling wird aber sicher verstehen, warum es sinnvoll ist, Mensch ärgere dich nicht mit einem normalen Zahlenwürfel und nicht mit einem Pokerwürfel zu spielen. Darüber hinaus habe ich auch die Zufallsgröße $S=X_{1}+X_{2}$ so gewählt, dass der Vorteil einer Zahlenzuordnung ersichtlich ist. Der Vorteil reeller Zufallsvariablen gehört dann aber im Artikel weiter verdeutlicht (Verteilungsfunktion, Erwartungswert etc.). Wie schon gesagt, bin ich aber durchaus für andere oder zusätzliche Beispiele offen. Skatkarten sind als Einführungsbeispiel meines Erachtens nicht wirklich ideal, da der "interessante" Wahrscheinlichkeitsraum nicht 32, sondern 32! Elemente (ganzer Kartenstapel) hat. Vielleicht ist es aber sinnvoll, weitere Beispiele im Artikel anzugeben, oder zu erwähnen, dass die Zuordnung kein Naturgesetz sondern ist, sondern vom Anwendungszweck abhängt. --NeoUrfahraner 07:53, 24. Mär. 2008 (CET)

Also dein letzter Satz ist sehr gut, der sollte irgendwie an einer passenden Stelle im Artikel erscheinen. Und genau aus diesem Grunde gefällt mir auch nach wie vor das Würfel-Beispiel nicht. Wir wissen zwar, dass das Elementarergebnis eine Würfelseite ist, auf die jemand eine eins gemalt hat, aber der allgemeine Leser sieht das nicht so und denkt immer wieder, dass hier der Würfelzahl 1 die reelle Zahl 1 zugeordnet wird und fragt sich warum. Ich sage nach wie vor, dass das Münzbeispiel in dieser Hinsicht besser war. Noch einmal zu meinem Kartenbeispiel (von dem ich mich gedanklich verabschiedet habe, u.a. auch, weil es in einer solchen kurzen schriftlichen Form wahrscheinlich nicht sehr angebracht ist): Erst einmal ist es nicht richtig, dass der zugrundeliegende WR aus 32! Elementen besteht, für das Experiment "Ziehen einer Karte" gibt es genau 32 Elementarergebnisse, nämlich die Karten von Schell 7 bis Eichel As (ich glaube, das heißt bei vielen Karo 7 bis Kreus As). Aber der Vorteil bei diesem Beispiel ist, dass man hier bei einem Experiment auf ziemlich natürliche Weise verschiedene Zv. definieren kann; man kann nämlich der gezogenen Karte als X₁ ihren Zählwert, als X₂ ihren Reizwert usw. zuordnen. Analog könnte man beim Experiment "Ziehen einer Person auf der Bevölkerung Deutschlands" (mit etwa 82 Millionen Elementarergebnissen) als X₁ die Körpergröße, als X₂ das Körpergewicht, als X₃ den Bauchumfang usw. zuordnen, so wie das ja in der Statistik dann auch gemacht wird. Und ich bin nach wie vor der Meinung, dass ein Beispiel dieser Art angebrachter wäre, aber natürlich muss es auch methodisch "praktikabel" sein. Und BTW würde ich schon gern mal ein richtiges Anwendungsbeispiel wissen, bei dem nicht reelle Zv. wirklich verwendet werden. -- Jesi 01:27, 29. Mär. 2008 (CET)

Wenn der Artikel so aufgebaut ist, dass das eine Beispiel am Anfang nicht den ganzen Artikel abdeckt, sondern durch andere Beispiele erweitert wird, dann ist es wohl wirklich am besten, wie von Dir vorgeschlagen, das Ziehen einer Karte als Einführungsbeispiel zu nehmen. Ein kleines Problem dabei ist, dass Kartenspiele stärker kulturabhängig sind (die Problematik französiches Bild oder deutsches Bild hast Du schon angedeutet; Skat ist mir nicht vertraut und meines Wissens generell in Österreich nicht so verbreitet), man muss daher ein wenig mehr erklären (was ist der Unterschied zwischen Zählwert und Reizwert?) - vielleicht macht das erstens die Sache weniger trocken und zweitens die Willkürlichkeit der Zuordnung klarer. Mach einfach einmal einen konkreten Formulierungsvorschlag hier auf der Diskussionsseite, dann können wir die Details weiter anschauen. Sind übrigens nicht die meisten Kartenspiele Anwendungsbeispiele, bei denen nicht-reelle ZV verwendet werden? --NeoUrfahraner 20:46, 30. Mär. 2008 (CEST)

Na ja, vom Kartenbeispiel hatte ich mich gedanklich schon verabschiedet, gerade zum Skat wäre das ziemlich speziell (wobei gerade hier eine solche "natürliche" unterschiedliche Zuordnung vorgenommen und verwendet wird, der Zählwert ist ja die Zahl, die die Karte am Ende wirklich zählt (Bube=2, Dame=3 usw.), der Reizwert ist die Zahl, die die Farbe der Karte beim Reizen zählt (Karo=9, Herz=10 usw.). Wird also aus dem Stapel die Herz-Dame gezogen, dann wäre X₁(ω)=3 und X₂(ω)=10.) Leider gibt es beim Poker-Blatt nicht eine solche "natürliche" unterschiedliche Zuordnung. Ich werd mal über die Sache etwas nachdenken, vielleicht finde ich auch in meinen Unterlagen noch ein Beispiel. Es wird sicher etwas dauern, aber WP ist ja für die Ewigkeit ;-)). -- Jesi 19:48, 31. Mär. 2008 (CEST)

i.d., i.i.d

In dem Artikel fehlen i.d. (identically distributed) und i.i.d. (independent and identically distributed) Zufallsvariablen. Einiges wird über den Artikel verteilt erwähnt, aber vor dem Hintergrund, dass das sowohl eine gängige Bezeichnung auch in der deutschen Literatur als auch wichtige Voraussetzungen für Beweise sind, stellt das eine Lücke dar. -- ZZ 14:59, 29. Nov. 2007 (CET)

Ich verstehe immer noch nicht genau, was du meinst. Wir definieren doch im Artikel, was unabhängige Zufallsvariablen sind - und was die Verteilung ist, erklären wir auch. Zudem: Wer nach "i.i.d." oder "u.i.v." sucht, weil er es nicht versteht, wird wohl eher nach diesen Begriffen suchen als nach "Zufallsvariable". Natürlich kannst du einen Satz ergänzen, dass man in vielen Fällen Familien von i.i.d-Zufallsvariablen betrachtet, aber deswegen musst du doch keinen "Lückenhaft"-Baustein setzen. --Scherben 20:50, 29. Nov. 2007 (CET)

Ich habe i.d. und i.i.d noch nicht unabhängig von Zufallsvariable auftauchen sehen. Deswegen wird jemand das hier suchen. Schließlich sind es Standardvoraussetzungen für Beweise. Und vor dem Hintergrund, dass sie das sind, fehlt die Erwaähnung im Artikel bzw. die Information ist zu weit verstreut. Den Baustein habe ich nicht aus Faulheit gesetzt, sondern weil ich es im allgemeinen besser finde, dass jemand den Artikel anpasst, der daran schon länger verarbeitet hat. Das vermeidet einen Kraut-und-Rüben-Effekt. -- ZZ 12:42, 4. Dez. 2007 (CET)

Aus einem Paper direkt vor mir: "We assume that X_1, ... X_n are i.i.d. normally distributed." Ansonsten: Ich wäre weiterhin dafür, dass man in den Artikeln, in denen man "i.i.d." benutzt, in Klammern erläutert, was das eigentlich bedeutet. --Scherben 17:05, 4. Dez. 2007 (CET)

Ah, ok. i.i.d. wird, soweit ich das sehe, in den existierenden Artikeln vermieden und stattdessen ausbuchstabiert. Das ist eine gute Idee, nur wird jemand, der diese Formulierung erklärt sucht, sie nicht finden. -- ZZ 17:27, 4. Dez. 2007 (CET)

Definition iid falsch?

Soweit ich weiß, folgt aus der Unabhängigkeit einer Folge von Zufallsvariablen die paarweise Unabhängigkeit - nicht aber umgekehrt -, ganz wie bei Folgen von Ereignissen. Die Definition von iid wäre dann schwächer als die mir bekannte. Gibt es mehrere oder ist sie hier einfach falsch? --Debach 20:09, 21. Apr. 2008 (CEST)

Sie ist einfach falsch. Wobei ich den Absatz sowieso für überflüssig halte, weil man "unabhängig" und "Verteilung" schon definiert hat. --Scherben 20:25, 21. Apr. 2008 (CEST)

Pluralbildung

Betrifft: die Frage, ob der Plural von "Zufallsvariable" korrekt "Zuallsvariablen" oder "Zufallsvariable" heißen muss.

Lieber User:Scherben, zu deiner letzten Rückänderung: "Korrektes Deutsch geht vor?" Was ist denn das für eine Begründung? Der Punkt ist ja grade, dass der Plural "Zufallsvariable" nicht korrekter ist als "Zufallsvariablen", und jedenfalls eniger gebräuchlich. Der Plural von "Zufallsvariable" wird genauso gebildet wie jener von "Variable", und der ist eben "Variablen". Quellen nötig? Für die Pluralbildung von "Variable" siehe Wiktionary oder Brockhaus. Hier von "fachsprachlichem Plural" zu reden is Unsinn; in der Fachsprache wird nämlich im Allgemeinen der Plural "Zufallsvariablen" verwendet, so weit ich das überblicke. Da du offenbar anderer Meinung bist, bitte ich dich Quellen oder zumindest eine verständliche Begründung anzugeben. --Mediocrity 19:59, 2. Mai 2008 (CEST)

Zur Flexionsbildung im Deutschen: http://canoo.net/services/Controller?dispatch=inflection&input=Zufallsvariable&features=%28Cat+N%29%28Gender+F%29&country=D&lookup=caseInSensitive --Scherben 20:01, 2. Mai 2008 (CEST)

Da hast du wohl lang danach suchen müssen. Wenn das richtig wäre, müsstest du aber sofort auch die Artikel Variable (Logik), Parameter (Mathematik),Variable (Programmierung) etc etc ändern - dort wird nämlich überall der Plural "Variablen" verwendet. Sogar du selbst verwendest den Plural "Variablen", wenn du nicht extra aufpasst. Siehe etwa den Satz Wir definieren doch im Artikel, was unabhängige Zufallsvariablen sind ein paar Absätze weiter oben. --Mediocrity 20:27, 2. Mai 2008 (CEST)

in den ersten beiden deutschen stochastik-buechern, die ich soeben ergriff, wurde ebenfalls der plural immer (auch in den canoo-faellen) mit "n" gebildet. ich glaube auch, dass das die haeufiger verwendete form ist. von "falsch" kann jedenfalls keine rede sein (aber vielleicht war es frueher mal anders?). da jedoch beide schreibweisen richtig zu sein scheinen, ist es mir wurscht, welche schreibung wir verwenden. innerhalb eines artikels sollte sie halt wenigstens einheitlich sein. -- seth 21:53, 2. Mai 2008 (CEST)

@Mediocrity: Ich habe doch schon auf meiner Disku gesagt, dass ich den Fehler selbst gern begehe. Ändert nichts daran, dass es ein Fehler ist. Auf canoo.net bin ich übrigens in der Wikipedia aufmerksam gemacht worden, hier gibt es ja regelrechte Puristen.

@Seth: Wie kommst du denn darauf, dass es kein Fehler ist? Weil wir Mathematiker das so benutzen? Wenn ich dich beruhigen kann: Meine Freundin ist Historikerin, und sie lacht sich jedesmal scheckig, wenn sie sieht, wie ich zitiere. Formal völlig falsch, aber es interessiert ja doch niemanden. So ähnlich ist das auch mit unseren Wörtern und Begriffen... Frag mal einen Germanisten, was ein "Handlungsreisender" ist. Der wird dich doof angucken... --Scherben 22:45, 2. Mai 2008 (CEST)

Wenn wir schon unbedingt päpstlicher sein wollen als der Papst (und wir sind Papst, wohlgemerkt)... Aber ganz konsistent ist die Argumentation nicht. Erst hieß es, hier sei ein "fachsprachlicher Plural" am Werk, und jetzt heißt es, dass man hier nicht den gängigen Gebrauch in der Fachsprache beachten dürfe, sondern nur die puristisch-germanistische Vorgabe. Jedenfalls wird immer dann, wenn jemand anders eine Änderung am Artikel vornimmt, der gängige Plural "Zufallsvariablen" auftauchen, und dann wird das ganze entweder ein Flickwerk verschiedener Plurale oder du kannst den Rest deines irdischen Seins damit verbringen, hier wie ein Kettenhund den deiner Meinung nach korrekten Pluralgebrauch zu überwachen. Aber bitte: Wir müssen uns Sisyphos als einen glücklichen Menschen vorstellen. --Mediocrity 10:18, 3. Mai 2008 (CEST)

(BK) die entscheidung, wann in der sprache etwas ein fehler ist, ist manchmal nicht leicht zu treffen. dass sprache viel demokratischer ablaeuft als z.b. naturwissenschaften oder die mathematik zeigen beispiele wie die volksetymologischen umdeutungen, bei denen sich die regeln den sprechern beugen. die formulierung "wenn eine sehr hohe zahl an sprechern einen 'fehler' macht, ist der fehler keiner mehr." ist sicherlich zu pauschal, keineswegs allgemeingueltig. sie drueckt aber - wenn auch ueberspitzt - aus, was ich meine und was in den sprachwissenschaften nicht nur unter dem stichwort "sprachwandel" akzeptiert (und von sprachpflegern - aber die zaehlen nicht - meist abgelehnt) wird. soviel zum allgemeinen.

speziell in diesem fall bin ich mir nun nicht so sicher, wie "richtig"/"falch" das plural-n (im nom. und gen.) ist. der duden bestaetigt jedenfalls canoo.net

Va|ri|a|ble, die; -n, -n ‹Dekl. Abgeordnete›[...] (quelle: duden - duw, 6. auflage),

was darauf hindeutet, dass user:Mediocritys und meine annahme bzgl. der grossen verbreitung des plural-n vielleicht gar nicht stimmt. ohne das plural-n ist es jedenfalls nicht falsch, weshalb das wohl derzeit die geschicktere loesung ist. eine aenderung von der einen in die andere variante halte ich jedoch insg. fuer mehrwertlos (von vereinheitlichung innerhalb eines artikels abgesehen), da beides gleich-verstaendlich ist. -- seth 10:37, 3. Mai 2008 (CEST)

Ein Wort noch zum "fachsprachlichen Plural": Das kam nicht von mir. Sowieso kam die erste Änderung von "Zufallsvariablen" nach "Zufallsvariable" nicht von mir, ich habe danach nur recherchiert und das für korrekt befunden. --Scherben 10:59, 3. Mai 2008 (CEST)

Hab die Diskussion erst jetzt entdeckt: Der Begriff "fachsprachlichen Plural" kam von mir oder genauer gesagt aus dem Duden (24. Auflage). Ich hatte versucht, die Verwendung zu vereinheitlichen und mich dabei für diesen "fachsprachlichen Plural" entschieden. -- Jesi 01:39, 5. Mai 2008 (CEST)

Ich weiß nicht, was "fachsprachlicher Plural" bedeuten soll. Und: wer entscheidet, was ein fachsprachlicher Plural ist? Die Fachleute, oder der Duden? --Mediocrity 08:43, 5. Mai 2008 (CEST)

(von vorn) Der Begriff "fachsprachl." bzw. "fachspr." wird schon seit mindestens 1969 im Duden verwendet, um auf gewisse Abweichungen der – wie es der Name sagt – Fachsprache von der "üblichen" Sprache hinzuweisen. Außer dem Eintrag Variable ... Pl. -n oder (fachspr. -) fällt mir auf die Schnelle noch der Eintrag Kran ... Pl. Kräne (fachspr. Krane) ein, mit etwas Nachdenken würde ich auch noch ein paar weitere finden. Entschieden hat sich das im Sprachgebrach durch die Fachleute, der Duden hat es dann so übernommen und gekennzeichnet. Als ich die Vereinheitlichung versucht habe, standen z.B. Ausdrücke wie "Reelle Zufallsvariable", "Mehrdimensionale Zufallsvariable" oder "Komplexe Zufallsvariable" (an denen sich lange keiner gestoßen hat) einträglich neben "Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen", "alle Zufallsvariablen" usw. Und da erstere diesem "fachsprachlichen" Plural entsprechen, habe ich den weiter verwendet, was ja offenbar auch auf breitere Zustimmung gestoßen ist. -- Jesi 10:03, 5. Mai 2008 (CEST)

Doch wieder Münzen?

Zu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Zufallsvariable&diff=46235725&oldid=45583819 : Eigentlich war ja bitte: nicht dauernd mit den Münzen argumentieren! ein Wunsch von Mediocrity 15:12, 13. Jun. 2007. Nun, so wie es ausschaut, kommt man wohl mit dem Münzbeispiel aus (nicht-triviale Funktionen lassen sich damit darstellen); allerdings gehört dann der Abschnitt "Das einleitende Beispiel, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega, \Sigma, P) modellieren" auch angepasst. Was ist da jetzt am zweckmäßigsten? Auch auf Münze umstellen? Sowohl Würfel als auch Münze? Oder vielleicht doch Spielkarten? --NeoUrfahraner 17:57, 19. Mai 2008 (CEST)

Die Ruhe der letzten Wochen lag ja auch an mir, da ich nicht so richtig aus dem verlängerten Rücken gekommen bin. Und die von mir vorgeschlagenen Spielkarten (insbes. Skatkarten) eignen sich wohl für kürzere schriftliche Ausführungen nicht so gut, zumal der Wissensstand der Leser darüber unterschiedlich ist. Der jetzige Zustand ist sicher auch nicht befriedigend. Persönlich halte ich (wie auch schon oben gesagt) das Münzbeispiel zumindest als Einführung für besser, da hier die Zuordnung "qualitatives Versuchsergebnis" => "Zahl" nicht so automatisch erscheint wie beim Würfel, wo der "Würfelzahl" als Versuchsergebnis die gleiche reelle Zahl zugeordnet wird. Allerdings wirkt hier nun wieder die Zv. S als Summe ziemlich "aufgesetzt", früher stand da einmal drin, dass man mit dieser Zv. die "Anzahl der Kopf-Würfe" beschreiben kann. -- Jesi 14:49, 20. Mai 2008 (CEST)

Zufallsvariablen-Link

Hi, kann ich vielleicht etwas ausführlicheres Feedback zu [1] haben? Würde den Artikel gern verbessern, damit er hier verlinkt werden kann :) 92.225.198.227 16:31, 4. Dez. 2009 (CET)

Wenn du kollaborativ an dem Thema arbeiten möchtest, sei dir vielleicht Wikibooks (http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Wahrscheinlichkeitstheorie:_Allgemeine_Theorie:_Grundlagen) ans Herz gelegt, ich muss ehrlich zugeben, dass ich nicht darauf brenne, Texte außerhalb des Wikipedia-Kontexts zu reviewen. Aber ganz kurz: Bei der von dir vorgeschlagenen Trennung von Stochastik und Statistik versuche mal die Warteschlangentheorie einzuordnen, bei dem "einfach messen" denke mal daran, wie die Abstraktion von einem konkreten Hintergrundraum, die Modellierung von Information durch Sigma-Algebren und wie die Definition der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen jede der Maßtheorie etwas originär Wahrscheinlichkeitstheoretisches hinzufügen, und schließlich nach Leo Breiman, dass Wahrscheinlichkeitstheorie zwei Seiten hat, die rigorose technische Mathematik und das Zurückführen von allgemeinen praktischen Problemen auf Glückspiele, Münzwürfe, Brownsche Bewegungen... Viele Grüße, --Benutzer:Erzbischof 13:54, 5. Dez. 2009 (CET)

Erster Abschnitt

dort steht:

Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Der Begriff formalisiert die Vorstellung, dass eine Variable einen zufälligen Wert hat beziehungsweise dass der Wert einer Funktion vom Zufall abhängig ist. Man bezeichnet als Zufallsgröße eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte (so genannte Realisationen) zuordnet.

Die Formulierung Wert einer Funktion erscheint mir suboptimal. Richtiger ist imo:

Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Stochastik. Der Begriff formalisiert die Vorstellung, dass eine Variable einen zufälligen Wert hat beziehungsweise dass eine Funktion vom Zufall beeinflusst ist. Man bezeichnet als Zufallsgröße eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte (so genannte Realisationen) zuordnet.

--Neun-x (Diskussion) 11:59, 20. Apr. 2012 (CEST)

Hmm, bei "einer Funktion, die vom Zufall beeinflusst", wie du vorschlägst, würde ich eher an einen stochastischen Prozess denken. Ich finde die jetzige Formulierung mit "Wert einer Funktion" gar nicht so schlecht: Die Funktion $X$ als solche ist ja fest vorgegeben, nur die $\omega \in \Omega$ und damit auch die $X(\omega )$ sind "zufällig". -- HilberTraum (Diskussion) 14:34, 20. Apr. 2012 (CEST)

Einleitendes Beispiel

Das einleitende Beispiel mit dem Münzwurf incl. Funktionsdefinition halte ich für wichtig, da der Laie (für den der einleitende Abschnitt vor allem gedacht ist) eine Vorstellung von einer Zufallsvariablen bekommt. (nicht signierter Beitrag von Stefan Birkner (Diskussion | Beiträge) 23:28, 9. Aug. 2005 (CEST))

Notation

Vielleicht habe ich es auch übersehen, aber ich habe nirgends eine Erläuterung gefunden, dass

$\operatorname {P} (X^{2}\leq y)$

das gleiche ist wie

$\operatorname {P} (\{\omega |X^{2}(\omega )\leq y\})$.

Diese Vereinfachung der Notation sollte man mindestens erwähnen.--Flegmon 00:04, 20. Jan. 2012 (CET)

Ja, auch $\{X^{2}\leq y\}:=\{\omega |X^{2}(\omega )\leq y\}$. Manche (z.B. Bauer) schreiben zur Verdeutlichung auch $\operatorname {P} \{X^{2}\leq y\}$.--Erzbischof 11:41, 5. Okt. 2012 (CEST)

In der Stochastik ist eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) eine Variable

Variable sollte durch Funktion ersetzt werden. Ansonsten Widerspruch zum letzten Absatz der Einleitung:

"Während früher der von A. N. Kolmogorow eingeführte Begriff Zufallsgröße der übliche deutsche Begriff war, hat sich heute (ausgehend vom englischen random variable) der etwas irreführende Begriff Zufallsvariable durchgesetzt. Zufallsvariable sind jedoch Funktionen und dürfen nicht mit den Variablen verwechselt werden, die üblicherweise in der Mathematik eingesetzt werden.[1]" (nicht signierter Beitrag von ChrisCharma (Diskussion | Beiträge) 13:53, 30. Okt. 2012 (CET))

Im ersten Satz wird der Begriff "Variable" naiv verwendet im Sinne von abhängige Variable. LG --Erzbischof 13:02, 3. Nov. 2012 (CET)

Zusammenspiel W-Raum und Zufallsvariable(n)

Derzeit steht im Artikel "Häufig wird von einer Zufallsvariablen lediglich die Verteilungsfunktion angegeben und der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum weggelassen. Für die mathematische Untersuchung ist der modellierte Vorgang der realen Welt uninteressant; es wird lediglich die von dieser Zufallsvariablen induzierten Verteilung mathematisch untersucht". Ich bin mir unsicher, inwieweit der Hintergrund-W-Raum nicht spezifiziert wird, weil (?) dieser einen Vorgang der realen Welt modelliert. Können wir das Zusammenspiel W-Raum und Zufallsvariablen besser erfassen?

• Mathematisch ist im allgemeinen am W-Raum nur interessant, dass er reichhaltig genug ist, dass die uns interessierend Zufallsvariablen und alle interessanten gemeinsamen Verteilungen darauf definiert sind und einzelnen $\omega$'s werden keine konkreten Eigenschaften zugesprochen.
• Didaktisch werden einfache Zufallsexperimente auf W-Räumen eingeführt. Diese Modelle können natürlich mit Hilfe Zufallsvariable (zur Not die Identität) formuliert werden und einzelne $\omega$'s haben eine konkrete Interpretation. Kann man griffig formulieren, warum genau das in der W-Theorie nachdem Zufallsvariable eingeführt weitgehend vermieden wird (Ausnahme die mir spontan einfällt: der kanonische Pfadraum und das Wiener-Maß.)

--Erzbischof 21:23, 24. Mai 2013 (CEST)

Interessante Frage, ich versuche mal eine "praktische" Antwort: Man will sich bei mathematischen Aussagen den konkreten Wahrscheinlichkeitsraum möglichst offen lassen, um sie auf die unterschiedlichsten Probleme anwenden zu können. Zufallsvariable mit der gleichen Verteilung können ja in ganz verschiedenen Zusammenhängen auftreten. Eine standardnormalverteilte ZV könnte ja z.B. die identische Abbildung $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ sein oder (z.B. bei einer Simulation) die Quantilfunktion $(0,1)\to \mathbb {R}$ oder eine Projektion $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ einer mehrdimensionalen Normalverteilung oder ein Funktional $C([0,\infty ))\to \mathbb {R}$ bei einem Wiener-Prozess usw. Bei Sätzen, die nur die Verteilung der ZV verwenden, spielt das aber keine Rolle. -- HilberTraum (Diskussion) 09:16, 27. Mai 2013 (CEST)

Rechtschreibung

Im Artikel stehen folgende Saetze:

Zufallsvariable [das ist der hier verwendete fachsprachliche Plural] selbst werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier X_1, X_2, S), ….

Die Zufallsvariablen $X_{1}$ (gewürfelte Zahl des ersten Würfels), $X_{2}$ (gewürfelte Zahl des zweiten Würfels) und $S$ …

Sind beide Plurale korrekt?Nijdam (Diskussion) 09:40, 28. Jul. 2014 (CEST)

Ja, das ist beides der fachsprachliche Plural, der Unterschied liegt am „Die“. Ich weiß nicht genau, wie das in der Grammatik genannt wird, aber das Wort wird genauso dekliniert wie ein Adjektiv, also vgl. Feminimum im Nominativ Plural von z.B. „schön“

Schöne Frauen …, aber

Die schönen Frauen …

-- HilberTraum ⟨d, m⟩ 12:05, 28. Jul. 2014 (CEST)

Was heißt Größe?

Ich würde gerne das Wort Größe in der EInleitung verlinken. Ist damit Größe (Mathematik) gemeint oder Physikalische Größe? Ich verstehe den Unterschied in den beiden genannten Artikeln eh nicht. --Christian Stroppel (Diskussion) 01:00, 2. Nov. 2014 (CET)

In diesem Kontext ist „Größe“ ein Element eines Messraums (siehe Definition). Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:29, 3. Nov. 2014 (CET)

Abgrenzung Zufallsvariable und Statistische Variable

Siehe Diskussion:Statistische_Variable#Abgrenzung_Zufallsvariable_und_Statistische_Variable --MartinThoma 20:38, 17. Okt. 2011 (CEST)

Paragraphen-Überschriften

... sollten die nicht "kapitalisiert" werden - oder so umformuliert, dass kapitalisierte Titel herauskommen? Das Auge liest doch auch mit! GEEZER^{nil nisi bene} 11:54, 13. Aug. 2011 (CEST)

Zeit ist Geld, dann lies doch einfach deine Uhr ab, oder nimm die von: http://www1.deutsche-boerse.com/parkett/parkett2.jpg (nicht signierter Beitrag von 217.253.184.41 (Diskussion) 13:59, 18. Aug. 2015 (CEST))