Takai-Dualität, benannt nach Hiroshi Takai, ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Ist
ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe, so operiert die Dualgruppe auf
derart, dass man die C*-Algebra
bis auf Tensorierung mit den kompakten Operatoren aus
zurückgewinnen kann.
Die duale Operation
Es sei
ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe
. Dann gibt es dazu die Dualgruppe
der stetigen Gruppenhomomorphismen
, die mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine, abelsche, lokalkompakte Gruppe ist.
Weiter sei
die in
dicht liegende Faltungsalgebra der stetigen Funktionen
mit kompaktem Träger.
Für
sei
, wobei
.
Dann lässt sich
zu einem ebenso bezeichneten Automorphismus auf
ausdehnen und
ist ein Gruppenhomomorphismus von der Dualgruppe
in die Automorphismengruppe von
, der
zu einem C*-dynamischen System macht, das man das duale C*-dynamische System nennt.
Dualitätssatz von Takai
Es sei
ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe
und
sei das duale C*-dynamische System. Ist
die C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Hilbertraum
der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrierbaren Funktionen, so ist
.[1][2][3]
Bemerkungen
Dies ist eine Analogie zur auf Takesaki zurückgehenden Dualität für W*-dynamischen Systeme. Die Tensorierung mit der vollen Operatorenalgebra für Von-Neumann-Algebren ist bei der hier vorgestellten Takai-Dualität durch das Tensorieren mit der C*-Algebra der kompakten Operatoren ersetzt.
Ist
separabel, zum Beispiel wenn
abzählbar unendlich und diskret ist, so ist
isomorph zur C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Folgenraum
. Man nennt zwei C*-Algebren
und
stabil-isomorph, wenn
. Der Satz über die Takei-Dualität sagt somit, dass das Kreuzprodukt des zu
dualen C*-dynamischen Systems stabil-isomorph zu
ist.
Ist
eine endliche Gruppe der Ordnung
, so ist
und daher
. Insbesondere folgt bis auf Isomorphie
und man erhält eine handliche Realisierung des Kreuzproduktes als Unteralgebra einer Matrizenalgebra.
Ist als konkretes Beispiel
die zweielementige Gruppe, so ist
und
ein Automorphismus mit
. Man erhält mit obiger Isomorphie
.
Um dann daraus
zu erhalten, muss man nach obigem Satz die duale Operation
von
auf
betrachten.
ist natürlich die Identität auf dem Kreuzprodukt und
.
Wendet man darauf dieselbe Einbettung in die Matrizenalgebra
an, erhält man insgesamt eine Unteralgebra von
, von der man zeigen kann, dass sie zu
isomorph ist.
Einzelnachweise
- ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 10.1.2
- ↑ H. Takai: On a duality for crossed products of C*-algebras, Journal of Functional Analysis, Band 19 (1975), Seiten 25–39
- ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Satz 7.9.3