Elektromotorische Kraft

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Die elektromotorische Kraft (EMK) (engl. Electromotive Force (EMF)) und – in gleicher Bedeutung – die Urspannung sind historisch gewachsene Bezeichnungen für die Quellenspannung einer elektrischen Spannungsquelle. Auch die in den Wicklungen eines Elektromotors oder Generators durch Drehung induzierte Spannung wird EMK genannt.

Man versteht darunter die Spannung eines Systems, die dieses theoretisch ohne eingespeisten oder gelieferten Strom und ohne Leckströme erzeugt bzw. erzeugen würde.

Der Begriff wird vor allem bei galvanischen Zellen oder für die Induktionsspannung bei elektrischen Maschinen verwendet. Der Begriff beschreibt trotz seiner Bezeichnung keine Kraft im physikalischen Sinn, sondern eine elektrische Spannung.

Der Begriff elektromotorische Kraft kommt in der Liste physikalischer Größen sowie in Übersichts-Normen wie[1][2] nicht vor; in [3] wird die EMK als „abgelehnte“ und „veraltete“ Bezeichnung aufgeführt und auf die Quellenspannung weitergeleitet.

Geschichte

Der grundsätzliche Zusammenhang von chemisch geleisteter Arbeit in galvanischen Elementen zu Stromenergie, EMK und Kraft wurde durch Arbeiten von Hermann von Helmholtz und Josiah Willard Gibbs geleistet. Max Le Blanc nutzte zur Standardisierung der elektromotorischen Kraft von galvanischen Elementen die Normallösungen. Le Blanc fand weiter, dass platinierte Platinelektroden reversible Elektroden sind und zur präzisen Messung von Normalpotentialen genutzt werden können, er schlug die mit Wasserstoffgas umspülte Platinelektrode als Standardelektrode vor. Walther Nernst stellte eine Theorie zur EMK-Bestimmung bei verschiedenen Elektrolytkonzentrationen und Temperaturen auf.

Beispiele

Galvanische Zelle

Galvanische Zelle

Das Daniell-Element ist ein historisches Beispiel für eine elektrochemische Zelle. Es wird aus einem Zinkstab gebildet, der in die wässrige Lösung eines Zinksalzes taucht und einem Kupferstab, der in die wässrige Lösung eines Kupfersalzes taucht. Beide Halbzellen werden mit Hilfe eines Stromschlüssels, der die Lösung eines Elektrolyten – KCl (Kaliumchlorid) oder NH4NO3 (Ammoniumnitrat) – enthält, oder durch ein Diaphragma zu einer galvanischen Zelle kombiniert.

Werden die beiden Metalle durch einen metallischen Leiter verbunden, fließt ein elektrischer Strom durch das System. Dabei erwärmt sich der Draht. Zink löst sich an der Zink-Elektrode auf, Kupferionen aus der Lösung scheiden sich an der Kupfer-Elektrode ab. Zur Bestimmung der EMK zerteilt man den Draht und schaltet ein Spannungsmessgerät zwischen die Drahtenden.

Im Daniell-Element findet an der Anode die Oxidation des Zinks statt.

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An der Kathode wird Kupfer reduziert.

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Für jede Halbzelle berechnen sich die Halbzellenpotentiale nach der Nernst-Gleichung.

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  Aktivität der Metallionen in der Lösung
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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} Universelle oder molare Gaskonstante, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} = 8,314460 J/(mol K)
Anzahl der bei dem Potentialausgleich übertragenen Elektronen pro Atom oder Ion

Zur Berechnung der EMK für die Gesamtreaktion bildet man die Differenz der beiden Halbzellenpotentiale nach

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E = E_\mathrm{Kathode} - E_\mathrm{Anode}}

Für das Daniell-Element erhält man für Metallionenkonzentrationen von jeweils 1 mol/l

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E = E_\mathrm{Kathode} - E_\mathrm{Anode} = E_\mathrm{Kupfer} - E_\mathrm{Zink} = 1{,}10\ \mathrm V}

da unter Standardbedingungen (Temperatur 25 °C, Konzentration 1 mol/l, Druck 1013 mbar) das Halbzellenpotential dem Standard-Potential entspricht.

Jede Halbzelle ist dabei getrennt zu betrachten. Man kann auch eine Halbzelle aus Zinkblech in Zinklösung nutzen, um auf elektrochemische Weise Wasserstoff herzustellen. Das Zinkblech wird mit einem Draht verbunden und in Kontakt mit einer Platinelektrode gebracht. Nun taucht man die Platinelektrode in Salzsäure. Es bildet sich Wasserstoffgas.

Zur Kalibrierung bzw. zur richtigen Einstellung von genau 1,000 V wurde in früherer Zeit das Clarkelement (Zink/Zinkpaste/Quecksilbersulfat/Quecksilber) oder das Westonelement benutzt.

Anwendungen

Aus der EMK lässt sich die molare freie Enthalpie einer Redox-Reaktion berechnen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta G_\mathrm m = -z \cdot F \cdot \Delta E}

Hat man die EMK unter Standard-Bedingungen bestimmt, lässt sich so die freie Standard-Reaktionsenthalpie berechnen.

Weiterhin kann mit einer Referenz-Wasserstoffelektrode der pH-Wert bestimmt werden, indem die EMK dazu entwickelter Sonden gemessen wird, wenn sie in die zu messende Flüssigkeit eintauchen. Siehe hierzu zum Beispiel pH-Elektrode. Die EMK ändert sich dabei um 59,16 mV je pH-Änderung um 1, d. h. je Zehnerpotenz der Wasserstoff-Ionenkonzentration, wenn die Messtemperatur von 25 °C eingehalten wird (Nernst-Neigung).[4] Andere Elektrodensysteme umgehen die schwierige Handhabung der Wasserstoffelektrode zur pH-Wert-Messung.[5]

Elektromotoren und Generatoren

Bewegt sich ein elektrischer Leiter quer durch ein Magnetfeld, wird in ihm eine elektrische Spannung induziert; sie ist umso höher, je schneller die Bewegung ist. Dementsprechend induziert der sich im Stator-Magnetfeld drehende Läufer eines Elektromotors oder der magnetische Läufer eines Generators in seinen Wicklungen eine Spannung. Diese induzierte Spannung wird bei Motoren Gegen-EMK genannt. Dabei ist es unerheblich, welche Spannung tatsächlich am Motor bzw. Generator anliegt – die Differenz der beiden Spannungen fällt am Ohmschen Widerstand der Wicklungen ab oder wird durch Leckströme verursacht.

Steigt die Drehzahl eines Gleichstrommotors soweit an, dass die EMK sich der anliegenden Spannung nähert, sinkt die Stromaufnahme und die Drehzahl erhöht sich nicht weiter. Mit Kenntnis der Gegen-EMK eines Gleichstrommotors kann man somit dessen Grenzdrehzahl für eine bestimmte Spannung errechnen.

Die Gegen-EMK eines Gleichstrommotors und auch anderer Motoren kann zu deren Steuerung und Geschwindigkeitsregelung herangezogen werden. Davon wird zum Beispiel bei kleinen permanenterregten Motoren zum Antrieb von Kassetten-Tonbandgeräten Gebrauch gemacht, aber auch bei elektronisch kommutierten Motoren sowie bei modernen Frequenzumrichtern für Asynchronmotoren.

Fremderregte Gleichstrommotoren können durch Feldschwächung in ihrer Drehzahl erhöht werden – die Gegen-EMK erfordert nun eine höhere Drehzahl, um den Wert der Betriebsspannung zu erreichen.

Auch Asynchronmotoren induzieren eine Gegen-EMK – hier induziert das mit dem Kurzschlussläufer umlaufende Magnetfeld in den Statorwicklungen eine Wechselspannung, die der Stromaufnahme entgegenwirkt, wenn der Läufer die Nenndrehzahl erreicht hat.

Die EMK von Schrittmotoren begrenzt deren Dynamik bzw. das Drehmoment bei großen Drehzahlen.[6]

Die elektromotorische Kraft ist bei Generatoren nahezu gleich der Leerlaufspannung. Die erzeugte Spannung beziehungsweise die EMK von Generatoren kann durch Verändern der Drehzahl oder des Erregerfeldes verändert werden.

Galvanometer-Antriebe und Lautsprecher

Bei Galvanometer-Antrieben und elektrodynamischen Lautsprechern spielt die Gegen-EMK ebenfalls eine Rolle: sie wirken durch die Massenträgheit ihrer Spulen auf die speisende Spannungsquelle zurück. Ihre EMK wird in der Regel durch den geringen Innenwiderstand der sie treibenden Spannungsquellen kurzgeschlossen, dadurch werden sie bedämpft – ein Nachschwingen oder Überschwinger werden verringert.

Feldtheoretische Einordnung

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Elektrochemische Zelle im Entladebetrieb

Die stromtreibende elektromotorische Kraft (EMK, eingepräge Spannung, Urspannung) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ist nach ihrer Entstehung nichtelektrischer Natur (z. B. in elektrochemischen Zellen, in Photozellen, in Thermoelementen, bei Diffusionsvorgängen, in magnetfeldbasierten elektrischen Generatoren oder Motoren). Sie kann formal auf eine eingeprägte (innere, nichtelektrische) Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ^e\!\vec E} zurückgeführt werden, die nur innerhalb der Quelle existiert. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ^e\!\vec E} ist unabhängig von der Belastung der Quelle, so dass auch die EMK[7][8][9]

wie die Quellenspannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_Q} unabhängig von der Belastung ist. Der Integrationsweg Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{S}} verläuft ganz innerhalb der Quelle von einem Pol zum anderen. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ergibt sich positiv, wenn der Weg vom Minus- zum Pluspol führt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{S}=\mathcal{S}_{-+}} ).

Im Gebiet elektromotorischer Kräfte gilt das erweiterte Ohmsche Gesetz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec J=({}^e\!\vec E + \vec E)/\rho} . Die eine Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} verschiebende Kraft ist dort gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q(^e\!\vec E + \vec E)} . In der Akkumulatorzelle rechts, dargestellt ist der Entladefall, kompensieren sich im Leerlauf (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec J=0} ) die eingeprägte elektrische Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ^e\!\vec E} und die von den Polladungen erregte elektrische Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec E} gemäß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec E=-^e\!\vec E} , so dass keine Ladung in der Zelle transportiert wird. Die EMK

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V=\int_{\mathcal{S}_{-+}}\!\!\!\!{}^e\!\vec E\mathrm{d}\vec s=\int_{\mathcal{S}_{-+}}\!\!\!\!-\vec E\mathrm{d}\vec s =\int_{\mathcal{S}_{+-}}\!\!\!\!\vec E\mathrm{d}\vec s =U_Q}

ist dann an den Anschlüssen als Quellenspannung messbar.

In der zusammenfassenden Gleichungskette für die rechts skizzierte elektrochemische Zelle

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I\stackrel{\circ}{R}=I\oint\frac{\rho}{A}\mathrm{d}s=\oint\rho\vec J\mathrm{d}\vec s=\oint({}^e\!\vec E + \vec E)\mathrm{d}\vec s=\oint{}^e\!\vec E\mathrm{d}\vec s=V}

bedeutet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\circ}{R}} den Umlaufwiderstand des Stromkreises, also die Summe aus Innen- und Außenwiderstand, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} den ortsabhängigen Querschnittsflächeninhalt und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} den ortsabhängigen spezifischen elektrischen Widerstand. Der Umlaufsinn der Integrale ist wie der Weg vom Minus- zum Pluspol in der Quelle orientiert.

Wenn sich der Leiterkreis in einem Magnetfeld bewegt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v \neq 0} , z. B. in elektrischen Maschinen), ist die Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v \times \vec B} der Lorentzkraft als eingeprägte elektrische Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ^e\!\vec E} zu rechnen. Der Leiterkreis wird dadurch insgesamt zur Quelle. Wenn das Magnetfeld zeitveränderlich ist (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial \vec B/\partial t\neq 0} ), ist die Zirkulation der elektrischen Feldstärke nicht mehr gleich null, wie in der Gleichungskette oben vorausgesetzt. Es gilt vielmehr

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \oint\vec E \cdot \mathrm{d}\vec s = -\int \frac{\partial \vec B}{\partial t}\mathrm{d}\vec A}

nach dem Induktionsgesetz. Die induzierte Spannung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_i = -\int\limits_{{\mathcal A}(t)}{\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}\text{d}\vec{A}+\oint_{\partial {\mathcal A}(t)}{{\vec{v}}}\times \vec{B}\ \text{d}\vec{s}}

bildet einen Teil der elektromotorischen Kraft.

Wenn man die stromtreibende Wirkung der Quellen nicht durch ihre Quellenspannung, sondern durch ihre EMK berücksichtigt, nimmt der Kirchhoffsche Maschensatz statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum U = 0} die Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum V = \sum U} an. Die anschaulichere Form mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} , die „Motor“ und „Fahrwerk“ unterscheidet, ist weniger üblich.

Die Aussage, EMK sei eine veraltete Bezeichnung für Quellenspannung, suggeriert, es handele sich um Synonyme für dieselbe physikalische Größe. Das ist nur soweit richtig, als EMK und Quellenspannung betragsgleich sind. Ihre Richtungen sind entgegengesetzt und ihre Definitionen fußen, wie oben dargestellt, auf verschiedenen Feldgrößen. In einer hydraulischen Analogie entspricht die EMK der Druckerzeugung einer Pumpe und die Quellenspannung dem (vermeintlichen) Druckabfall, den man an der Pumpe von der Druck- zur Saugseite misst.

Die EMK treibt einen elektrischen Strom in ihrer Richtung an, die Quellenspannung entgegen ihrer Richtung.

Einzelnachweise

  1. ↑ DIN 1304-1:1994 Formelzeichen – Allgemeine Formelzeichen; Kap. 3.4
  2. ↑ EN 80000-6:2008 Größen und Einheiten − Teil 6: Elektromagnetismus; Eintrag 6-11.3
  3. ↑ IEC 60050, siehe DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE: Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch Suchwort Elektromotorische Kraft
  4. ↑ http://www.orbisphere.com/index.php/hachultra/content/download/1396/10505/file/HUA%208362_al_i%20A5.pdf pH-Messung.
  5. ↑ physik.uni-greifswald.de
  6. ↑ http://www.goetz-automation.de/Schrittmotor/SchrittmotorEMK.htm EMK bei Schrittmotoren.
  7. ↑ Richard Becker, Fritz Sauter: Theorie der Elektrizität. Band 1, 21., völlig neubearb. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-23006-2, Abschn. 4.3 Eingeprägte Kräfte
  8. ↑ Adalbert Prechtl: Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik. Band 1, 2. Auflage. Springer, Wien/ New York 1994, ISBN 3-211-82553-3, S. 113, Abb. 8.11.
  9. ↑ Horst Clausert, Gunther Wiesemann: Grundgebiete der Elektrotechnik. Band 1, 9. Auflage. Oldenbourg Verlag, München/ Wien 2002, ISBN 3-486-27220-9, S. 33, Abb. 2.8.

Literatur

  • Paul B. Arthur Linker: Elektrotechnische Meßkunde. 3., völlig umgearbeitete und erweiterte Auflage. Julius Springer, Berlin 1920.
  • Max Le Blanc: Lehrbuch der Elektrochemie. 9. und 10. Auflage. Oskar Leiner, Leipzig 1922.
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