Konische Hülle

Die konische Hülle, manchmal auch positive Hülle genannt, ist ein spezieller Hüllenoperator, der jeder Teilmenge eines Vektorraumes den kleinsten konvexen Kegel zuordnet, der diese Menge enthält. Die konische Hülle findet Verwendung in der Theorie der mathematischen Optimierung, insbesondere in der linearen Optimierung.

Definition

Gegeben sei ein $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$ und $X$ eine beliebige Teilmenge von $V$. Dann heißt

$\operatorname {pos} (X):=\bigcap _{X\subseteq {\mathcal {K}} \atop {\mathcal {K}}{\text{ ist konvexer Kegel }}}{\mathcal {K}}$

die konische Hülle oder auch positive Hülle von $X$. Sie ist der kleinste konvexe Kegel, der $X$ enthält.

Äquivalent dazu ist die Definition

$\operatorname {pos} (X):=\left\{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\,|\,n\in \mathbb {N} ;x_{i}\in X;\lambda _{i}\geq 0\right\}$.

Bemerkungen

• Allgemeiner lässt sich die Kegelhülle für beliebige $\mathbb {K}$-Vektorräume definieren, solange $\mathbb {K}$ ein geordneter Körper ist.
• Die Notation $\operatorname {pos} (X)$ wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, teilweise findet sich auch die Bezeichnung $\operatorname {cone} (X)$. Diese Notation bezeichnet aber auch manchmal den kleinsten (gewöhnlichen) Kegel, der $X$ enthält und wird dann Kegelhülle genannt.

Eigenschaften

• Die konische Hülle ist die kleinste Menge, die abgeschlossen bezüglich konischen Kombinationen der Elemente von $X$ ist. Dies folgt direkt aus der zweiten Charakterisierung.
• $\operatorname {pos}$ ist ein Hüllenoperator, es gilt also für $X,Y\subset V$

• $X\subset \operatorname {pos} (X)$,
• $X\subset Y\implies \operatorname {pos} (X)\subset \operatorname {pos} (Y)$,
• $\operatorname {pos} (\operatorname {pos} (X))=\operatorname {pos} (X)$.

• Es gilt $\operatorname {pos} (X)=\operatorname {cone} (\operatorname {conv} (X))=\operatorname {conv} (\operatorname {cone} (X))$. Hierbei ist $\operatorname {cone}$ die Kegelhülle und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{conv} } die konvexe Hülle.

Endlich erzeugter Kegel

Ein Kegel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K } heißt endlich erzeugter Kegel, wenn es eine endliche Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } gibt, so dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=\operatorname{pos}(X) }

ist. Ein Kegel im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n } ist genau dann endlich erzeugt, wenn er ein polyedrischer Kegel ist.

Beispiele

Sind im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^2 } die zwei Vektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \, v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} } .

gegeben, so ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{pos}(v_1,v_2)=\{x \in \mathbb{R}^2 \, , \, x_1 \geq 0, \, x_2 \geq 0 \} } ,

da sich jedes Element dieser Menge (der erste Quadrant) als Positivkombination von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_1 } oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_2 } darstellen lässt.

Sind die Monome Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2, x,1 } gegeben, so ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{pos}(x^2,x,1)= \{\lambda_2x^2 + \lambda_1x+\lambda_0\} }

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_i \geq 0 } . Dies sind dann genau alle Polynome vom Maximalgrad 2 mit positiven Koeffizienten.

Literatur

• Peter Gritzmann Grundlagen der Mathematischen Optimierung, Springer, 2013, ISBN 978-3-528-07290-2