Erneuerungstheorie

Die Erneuerungstheorie (engl. renewal theory) ist ein Spezialgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie und befasst sich mit Prozessen, die sich nach jedem Erreichen des Ausgangszustandes wieder so verhalten wie beim Start des Experiments.

Motivation

Ein motivierendes Beispiel ist die regelmäßige Erneuerung der für den Betrieb einer Leuchte verwendeten Glühlampe, die nach jedem Ausfall zu ersetzen ist. Die Lebensdauer einer Glühlampe wird durch eine Zufallsvariable beschrieben, deren Verteilung für alle in Frage kommenden Glühlampen gleich ist, also eine bekannte, charakteristische Eigenschaft darstellt. Ferner wird angenommen, dass diese Lebensdauern voneinander unabhängig sind. Es ist nun von Interesse, wie häufig die Glühlampe durchschnittlich auszuwechseln ist; das heißt, man fragt, wie viele Erneuerungen bis zu einer vorgegebenen Betriebszeit vorzunehmen sind.

Sehr ähnliche Aufgabenstellungen erhält man für allgemeinere Wartungsarbeiten oder für Bedienzeiten von Kunden, die nach einer vorgegebenen Verteilung an einer Abfertigungsstelle erscheinen und dort eine Warteschlange bilden. Hier liefert die Erneuerungstheorie Hinweise für optimale Wartungsintervalle oder optimale Personalvorhaltung an Servicestellen. Versteht man das Eintreten eines Wartungsfalls als Schadensfall, so wird sofort verständlich, dass die Erneuerungstheorie auch in der Versicherungsmathematik von Bedeutung ist.

Definition

Bei jeder Erneuerungszeit $S_{n}$ springt $N$ um mindestens eine Einheit.

Ein Erneuerungsprozess wird durch eine Folge $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von unabhängigen, identisch verteilten nicht-negativen Zufallsgrößen mit $P(T_{n}=0)<1$ gegeben, wobei $P$ die Wahrscheinlichkeit auf dem zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum sei.

$S_{n}:=T_{1}+\ldots +T_{n}$

heißt $n$-te Erneuerungszeit, wobei zusätzlich $S_{0}$ die konstante Funktion 0 sei. Die Folge $(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Erneuerungsfolge, ein Intervall $(S_{n-1},S_{n}]$ heißt Erneuerungszyklus und hat definitionsgemäß die Länge $T_{n}$, die man daher auch Zykluszeit nennt. Schließlich setzt man für $t\in [0,\infty )$

$N(t):=|\{n\in \mathbb {N} |\,S_{n}\leq t\}|$,

die Anzahl aller $n$, für die die $n$-te Erneuerungszeit den Zeitpunkt $t$ noch nicht überschritten hat. Der so definierte stochastische Prozess $(N(t))_{t\in [0,\infty )}$ heißt der Erneuerungsprozess.

Bemerkungen

Interpretation der Definition

Diese Definitionen werden anhand obigen Glühlampenbeispiels sofort verständlich. $T_{n}$ modelliert die Betriebsdauer der $n$-ten Glühlampe, $S_{n}$ ist die durch $n$ Glühlampen hintereinander erbrachte Gesamtleuchtdauer, $N(t)$ schließlich ist die Anzahl der bis zum Zeitpunkt $t$ erforderlichen Glühlampenwechsel. Die Bedingung $P(T_{n}=0)<1$ stellt sicher, dass eine neu eingesetzte Glühlampe nicht mit Sicherheit sofort wieder ausfällt; nur dann ist die zeitliche Betrachtung regelmäßiger Erneuerungen sinnvoll. Ähnliche Interpretationen für Wartungsarbeiten, Serviceleistungen oder Schadensfälle sind naheliegend.

Verzögerter Erneuerungsprozess

Eine häufig verwendete Variante ist der sogenannte verzögerte Erneuerungsprozess, bei dem die Verteilung von $T_{1}$ von der gemeinsamen Verteilung der übrigen $T_{n},n\geq 2$, abweichen darf. Dies wird erforderlich, wenn man die Ausgangssituation nicht kennt und daher über $T_{1}$ eine andere Annahme treffen muss, oder wenn, etwa im Falle von Wartungsarbeiten, die Originalbauteile andere sind als die regelmäßig auszutauschenden Ersatzteile. Der eigentliche Erneuerungsprozess beginnt also erst nach $T_{1}$, was die Bezeichnung als verzögerten Erneuerungsprozess erklärt.

Auszahlungsprozess

In der Regel sind mit dem Eintreten einer jeden Erneuerungszeit Auszahlungen, die im Kostenfall auch negativ sein können, verbunden. Daher betrachtet man zu den in obiger Definition gegebenen Daten noch eine Folge $(R_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen, die für die Auszahlungen zum n-ten Erneuerungszeitpunkt $S_{n}$ stehen. Die Gesamtauszahlung bis zum Zeitpunkt $t$ ist dann

$R(t):=\sum _{n=1}^{N(t)}R_{n}$.

Der stochastische Prozess $R(t)_{t\in [0,\infty )}$ heißt der zum Erneuerungsprozess gehörige Auszahlungsprozess.

In vielen Anwendungen geht es darum, die mit diesem Auszahlungsprozess verknüpften Daten zu optimieren. In einer hier nicht näher betrachteten Variante kann $R_{n}$ durch eine sich während des $n$-ten Erneuerungszyklus entwickelnde Funktion ersetzt werden, so dass obiges $R_{n}$ die während des Zyklus kumulierte Auszahlung ist. Dadurch können die zu den Erneuerungszeiten auftretenden Sprünge vermieden werden.

Grundlagen

Es liege ein wie oben beschriebener Erneuerungsprozess vor, $F$ sei die Verteilungsfunktion der Zykluszeiten $T_{n}$. Die durchschnittliche Zykluszeit $\mu =E(T_{n})$ ist positiv, da sonst $T_{n}$ fast sicher 0 wäre, was der Voraussetzung $P(T_{n}=0)<1$ widerspräche. Für den Erwartungswert des Erneuerungsprozesses gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m(t) := E(N(t)) = \sum_{n=1}^{\infty}P(S_n \le t) = \sum_{n=1}^{\infty}F^{*n}} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^{*n}} die n-fache Faltung mit sich sei. Man nennt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} in naheliegender Weise die Mittelwertsfunktion des Erneuerungsprozesses. Unter Verwendung der Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(T_n=0) < 1} kann man zeigen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m(t)} endlich und daher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N(t)} fast überall endlich ist. Daraus ergibt sich weiter das für einen sinnvollen Erneuerungsprozess erwartete Grenzwertverhalten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_n\to \infty} fast sicher für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\to\infty}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N(t)\to \infty} fast sicher für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\to\infty} .

Über das Wachstum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N(t)} kann man eine viel genauere Aussage treffen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{N(t)}{t} \to \frac{1}{\mu}} fast sicher für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\to\infty} .

Diese Aussage gilt auch unter dem Erwartungswert, das heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{m(t)}{t} \to \frac{1}{\mu}} fast sicher für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\to\infty} ,

was auch als einfaches Erneuerungstheorem bekannt ist. Dies bestätigt die Intuition, dass die langfristig erwartete Anzahl der Erneuerungen pro Zeit mit dem Kehrwert der zu erwartenden Dauer zwischen zwei Erneuerungen übereinstimmt. Entsprechende Resultate hat man für den zugehörigen Auszahlungsprozess:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{R(t)}{t} \to \frac{E(R_1)}{\mu}} fast sicher für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\to\infty} ,

das heißt im langfristigen Mittel ist die Auszahlung pro Zeit gleich der mittleren Auszahlung eines Erneuerungszyklus geteilt durch die mittlere Zykluslänge.

Der Poissonprozess als Erneuerungsprozess

Der einfachste Fall liegt vor, wenn die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_n} exponentialverteilt mit einem Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} sind. Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (N(t))_{t\in [0,\infty)}} ein Poissonprozess zum Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} , d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N(t)} ist Poisson-verteilt zum Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda t } . In diesem Fall ist daher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m(t) = E(N(t)) = \lambda t } und das Erneuerungstheorem wird trivial, denn für die mittlere Zykluszeit gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \mu = \frac{1}{\lambda}} , da dies der Erwartungswert einer Exponentialverteilung ist.

Anwendung

Zur Veranschaulichung der oben eingeführten Begriffe betrachten wir folgende Strategie für das Auswechseln von Glühlampen, deren zufällige Lebensdauern durch unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_n} mit Verteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} gegeben seien. Wir wechseln spätestens nach einer noch zu bestimmenden Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} , was zu Kosten in Höhe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} führt, und nur dann früher, wenn die Glühlampe tatsächlich ausfällt, was neben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} zusätzliche Kosten in Höhe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} verursacht. Der Erneuerungszyklus hat daher die zufällige Länge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_n = \min(X_n,T)} .

Zum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -ten Erneuerungszeitpunkt hat man dann Kosten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_n} mit Erwartungswert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(R_n) = E(R_1) = aP(X_n>T)+(a+b)P(X_n\le T) = a(1-F(T))+(a+b)F(T) = a+bF(T)} .

Die durchschnittliche Zykluszeit ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu = E(T_n) = \int_0^\infty P(T_n > t)\,\mathrm{d}t = \int_0^T P(X_n > t)\,\mathrm{d}t = \int_0^T (1-F(t))\,\mathrm{d}t} .

Langfristig entstehen daher Kosten pro Zeit in Höhe von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{t\to \infty} \frac{R(t)}{t} = \frac{E(R_1)}{\mu} = \frac{a+bF(T)}{\int_0^T (1-F(t))\,\mathrm{d}t}} .

Zur Bestimmung des optimalen Wechselintervalls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} bei bekannten Kosten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} sowie bekannter Verteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} muss man die Minimalstelle dieses Ausdrucks in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} bestimmen. Das ist besonders einfach, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} eine stetige Dichte hat, denn dann sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und das Integral als Funktion der oberen Grenze differenzierbar, das heißt, es können die Optimierungsmethoden der Analysis verwendet werden.

Siehe auch

• Erneuerungssatz von Blackwell

Literatur

• Ming Liao: Applied Stochastic Processes, CRC Press 2013, ISBN 1-4665-8933-7, Kapitel 3: Renewal Processes