Dynkin-System

Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen π-λ-Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Maßtheorie und Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz).

Definition

Eine Teilmenge ${\mathcal {D}}$ der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$ einer nichtleeren Grundmenge $\Omega$ heißt Dynkin-System über $\Omega$, falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

• Das System enthält die Grundmenge:

$\Omega \in {\mathcal {D}}$.

• Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:

$A\in {\mathcal {D}}\implies A^{c}\in {\mathcal {D}}$.

• Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen:

$\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}$ disjunkt $\implies \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {D}}$.

δ-Operator

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über $\Omega$ ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ ein Mengensystem, dann wird durch

$\delta ({\mathcal {E}}):=\bigcap _{{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {S}} \atop {\mathcal {S}}{\text{ Dynkin-System}}}{\mathcal {S}}.$

ein Dynkin-System $\delta ({\mathcal {E}})$ definiert, genannt das von ${\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches ${\mathcal {E}}$ enthält. ${\mathcal {E}}$ heißt Erzeuger von $\delta ({\mathcal {E}})$.

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als $\lambda$-System auch als $\lambda$-Operator $\lambda (\cdot )$ notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind $d({\mathcal {E}})$ oder ${\mathcal {D}}({\mathcal {E}})$.

Das Dynkin-System-Argument

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei $\alpha$ eine Aussage, die für Mengen $A\subseteq \Omega$ entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei $\Sigma$ eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger ${\mathcal {E}}$, für dessen Elemente man $\alpha$ zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem ${\mathcal {D}}:=\{A\in \Sigma \colon A{\mbox{ erfüllt }}\alpha \}$ und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von ${\mathcal {E}}$ einerseits $\delta ({\mathcal {E}})=\sigma ({\mathcal {E}})$, andererseits gilt aber auch ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}\subseteq \Sigma$ und damit wegen $\Sigma =\sigma ({\mathcal {E}})=\delta ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {D}}$ schon $\Sigma ={\mathcal {D}}$.

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

σ-Algebren

Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist

${\mathcal {M}}=\{\emptyset ,\{1,2\},\{3,4\},\{1,4\},\{2,3\},\{1,2,3,4\}\}$

auf der Grundmenge $\Omega =\{1,2,3,4\}$. Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der dynkinsche π-λ-Satz: Ist ${\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von ${\mathcal {E}}$ erzeugte σ-Algebra und das von ${\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System überein.

Monotone Klassen

Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem ${\mathcal {D}}$ ist genau dann ein Dynkin-System, wenn ${\mathcal {D}}$ eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge $\Omega$ enthält und in der für beliebige Mengen $A,B\in {\mathcal {D}}$ mit $B\subset A$ auch $A\setminus B\in {\mathcal {D}}$ gilt.

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 20–21, doi:10.1007/978-3-663-01244-3. 
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0.