Prinzip der guten Mengen

Das Prinzip der guten Mengen ist eine vor allem in der Maßtheorie häufig angewendete Beweismethode.^[1]^[2] Sie kann verwendet werden, um zu beweisen, dass eine Aussage für alle Elemente einer σ-Algebra oder eines anderen Mengensystems zutrifft. Da im Allgemeinen die Elemente einer σ-Algebra, wie beispielsweise bei der borelschen σ-Algebra, nicht explizit angegeben werden können, sondern nur ein Erzeuger bekannt ist, muss für solche Beweise häufig indirekt vorgegangen werden.

Das Prinzip

Sei ${\mathcal {A}}$ eine σ-Algebra über einer Grundmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} . Um zu zeigen, dass alle Elemente von ${\mathcal {A}}$ eine gegebene Eigenschaft besitzen, wird die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{G}} aller Teilmengen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} (oder aller Elemente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{A}} ) betrachtet, für die diese Eigenschaft zutrifft, also alle „guten Mengen“. Gilt nun

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{G}} enthält einen Erzeuger von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{A}} und
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{G}} ist eine σ-Algebra,

so folgt, dass die Eigenschaft für alle $A\in {\mathcal {A}}$ gilt. Mit anderen Worten: Es ist nur zu zeigen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{A}} von gewissen „guten Mengen“ erzeugt wird und dass alle „guten Mengen“ eine σ-Algebra bilden.^[3]

Begründung: Wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{A}} von einem Mengensystem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{E}} erzeugt, so folgt wegen der Monotonie und Idempotenz des σ-Operators aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{E} \subseteq \mathcal{G}} :

{\mathcal {A}}=\sigma ({\mathcal {E}})\subseteq \sigma ({\mathcal {G}})={\mathcal {G}}.

Falls es schwierig ist, für den Punkt 2 zu zeigen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{G}} abgeschlossen gegenüber abzählbaren Vereinigungen beliebiger Elemente ist, kann das Prinzip aufgrund des Dynkinschen π-λ-Satzes mit einem Dynkin-System-Argument kombiniert werden. Ist der Erzeuger ${\mathcal {E}}$ durchschnittsstabil, so genügt es zu zeigen, dass ${\mathcal {G}}$ ein Dynkin-System ist, denn in diesem Fall gilt $\sigma ({\mathcal {E}})=\delta ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {G}}$ , wobei $\delta ({\mathcal {E}})$ das von ${\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System bezeichnet.

Beispiel

Ist $f\colon \Omega \to \Omega '$ eine Abbildung und ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega ')$ ein Mengensystem aus Teilmengen von $\Omega '$ , dann gilt^[4]

f^{-1}(\sigma ({\mathcal {E}}))=\sigma (f^{-1}({\mathcal {E}}))\,,

d. h., das Urbild der von ${\mathcal {E}}$ erzeugten σ-Algebra ist die vom Urbild von ${\mathcal {E}}$ erzeugte σ-Algebra.

Um die Inklusion $f^{-1}(\sigma ({\mathcal {E}}))\subseteq \sigma (f^{-1}({\mathcal {E}}))$ zu beweisen, kann das Prinzip der guten Mengen angewendet werden, denn dazu ist zu zeigen, dass alle $A\in {\mathcal {A}}:=\sigma ({\mathcal {E}})$ die Eigenschaft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{-1}(A) \in \sigma(f^{-1}(\mathcal{E}))} besitzen. Dazu wird also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{G} := \{ A \subseteq \Omega' \mid f^{-1}(A) \in \sigma(f^{-1}(\mathcal{E}))\}}

als Menge der guten Mengen gewählt. Die beiden obigen Bedingungen sind damit erfüllt:

Für alle $E\in {\mathcal {E}}$ gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{-1}(E) \in \sigma(f^{-1}(\mathcal{E}))} , also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E \in \mathcal{G}} .
${\mathcal {G}}$ ist eine σ-Algebra: Das prüft man direkt anhand der Definition mit Hilfe der Rechenregeln für Urbilder nach.

Damit ist die Inklusion gezeigt.

Die umgekehrte Inklusion folgt hingegen mit einem einfachen Monotonieargument. Da Urbilder von σ-Algebren wieder σ-Algebren sind, gilt

\sigma (f^{-1}({\mathcal {E}}))\subseteq \sigma (f^{-1}(\sigma ({\mathcal {E}})))=f^{-1}(\sigma ({\mathcal {E}}))\,.

Einzelnachweise

↑ Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage, Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 19.
↑ Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. Springer, Wien 2011, ISBN 978-3-7091-0684-6, S. 24.
↑ Dirk Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2. Auflage, Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-79599-5, S. 213.
↑ Jochen Wengenroth: Wahrscheinlichkeitstheorie. Walter de Gruyter, 2008, ISBN 978-3-11-020358-5, S. 11.

[1] Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage, Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 19.

[2] Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. Springer, Wien 2011, ISBN 978-3-7091-0684-6, S. 24.

[3] Dirk Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2. Auflage, Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-79599-5, S. 213.

[4] Jochen Wengenroth: Wahrscheinlichkeitstheorie. Walter de Gruyter, 2008, ISBN 978-3-11-020358-5, S. 11.

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