Exakte Differentialgleichung

Eine exakte (oder vollständige) Differentialgleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \ p(x,y(x))+q(x,y(x)){\frac {{\rm {d}}y(x)}{{\rm {d}}x}}=0} ,

bei der es eine stetig differenzierbare Funktion $\Phi (x,y)$ gibt, so dass gilt

${\frac {\partial \Phi (x,y)}{\partial x}}=p(x,y)$   und   ${\frac {\partial \Phi (x,y)}{\partial y}}=q(x,y)$.

Eine solche Funktion $\Phi$ heißt dann Potentialfunktion des Vektorfelds $(p,q)$.

Einführung

Die Differentialgleichung $\textstyle p(x,y)+q(x,y){\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}(x)=0$ wird durch die Trennung der Variablen gerne in der Darstellung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle p(x,y)\mathrm {d} x+q(x,y)\mathrm {d} y=0}

angegeben. Der Vorteil dieser Darstellung liegt darin begründet, dass die linke Seite der Differentialgleichung – also $p(x,y)\mathrm {d} x+q(x,y)\mathrm {d} y$ – als Bestandteil eines totalen Differentials aufgefasst werden kann, mit

$\mathrm {d} \Phi (x,y)=p(x,y)\mathrm {d} x+q(x,y)\mathrm {d} y$.

Hierbei übernimmt die Funktion $\Phi (x,y)$ die Bedeutung eines Skalarpotentials mit der Bedingung ${\frac {\partial \Phi }{\partial x}}(x,y)=p(x,y)$ sowie ${\frac {\partial \Phi }{\partial y}}(x,y)=q(x,y)$. Demnach muss es ein Vektorfeld geben, welches aus dem Gradienten des Skalarpotentials gebildet werden kann, also

${\begin{pmatrix}p(x,y)\\q(x,y)\end{pmatrix}}=\nabla \Phi (x,y)$.

Sind $p$ und $q$ stetig partiell differenzierbar und ist der Definitionsbereich von $p$ und $q$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, so gibt es genau dann ein Skalarpotential $\Phi$, wenn die sogenannte Integrabilitätsbedingung

${\frac {\partial q}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial p}{\partial y}}(x,y)$

erfüllt ist. Denn für die zweifach stetig partiell differenzierbare Funktion $\Phi (x,y)$ gilt nach dem Satz von Schwarz:

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\partial y}}(x,y)={\frac {\partial p}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial q}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\partial x}}(x,y)$.

Die Integrabilitätsbedingung kann auch so interpretiert werden, dass die Rotation des Vektorfeldes $(p,q)$ auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet verschwinden muss: Wenn das der Fall ist, dann existiert ein Skalarpotential $\Phi$.

Wird andererseits die rechte Seite der Differentialgleichung $p(x,y)\mathrm {d} x+q(x,y)\mathrm {d} y=0$ mit dem totalen Differential der Funktion $\Phi (x,y)$ verknüpft, so ergibt sich eine Pfaffsche Form in der Darstellung $\mathrm {d} \Phi (x,y)=0$ und nach einer beidseitigen Integration der Gleichung folgt

$\int \mathrm {d} \Phi (x,y)=\Phi (x,y)=C$.

Somit wird anschaulich, dass es eine Konstante $C$ geben muss, die für alle $x,y$ die Funktion $\Phi (x,y)$ erfüllt. Die Lösung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Phi (x,y)=C} ist daher die Anfangsbedingung der Differentialgleichung und stellt eine Äquipotentiallinie dar.

$\Phi (x,y)$ wird im Zusammenhang mit der exakten Differentialgleichung auch als Erstes Integral bezeichnet.

Definition

In einem einfach zusammenhängenden Gebiet $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist eine exakte Differentialgleichung gegeben durch

$p(x,y)\,\mathrm {d} x+q(x,y)\,\mathrm {d} y=0$

wenn folgende Voraussetzungen gelten:

• Die Funktionen $p,q\colon U\to \mathbb {R}$ sind stetig partiell differenzierbar.

• Die Integrabilitätsbedingung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial y}}={\frac {\partial q}{\partial x}}} ist erfüllt.

• Es existiert ein zweifach stetig partiell differenzierbares Skalarpotential $\Phi (x,y)$, so dass ${\frac {\partial \Phi }{\partial x}}(x,y)=p(x,y)$ sowie ${\frac {\partial \Phi }{\partial y}}(x,y)=q(x,y)$ gilt.

• Es ist ein Anfangswert Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Phi (x_{0},y_{0})=C} vorgegeben.

Lösungsmethode

Um die exakte Differentialgleichung zu lösen, ist es erforderlich, das Skalarpotential $\Phi (x,y)$ wie folgt zu ermitteln:

• Integrabilitätsbedingung: Die Differentialgleichung ist exakt, wenn die Integrabilitätsbedingung

${\frac {\partial p}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial q}{\partial x}}(x,y)$

erfüllt ist. Falls dies nicht der Fall ist, kann die Differentialgleichung eventuell mittels eines integrierenden Faktors gelöst werden.

• Erstes Integral: Wenn eine exakte Differentialgleichung vorliegt, wird mittels Integration aus der Beziehung

${\frac {\partial \Phi }{\partial x}}(x,y)=p(x,y)$

das Skalarpotential zu

$\Phi (x,y)=\int p(x,y)\mathrm {d} x+\varphi (y)$

bestimmt. Dabei ist $\varphi (y)$ eine von $x$ unabhängige Integrationskonstante, die jedoch bzgl. $y$ variabel ist. Insofern ist das Skalarpotential bis auf eine unbekannte Funktion $\varphi (y)$ bestimmt. Um nun die noch unbekannte Funktion $\varphi (y)$ zu ermitteln, wird die Integrabilitätsbedingung in der Integraldarstellung genutzt. Durch Integration von

${\frac {\partial p}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial q}{\partial x}}(x,y)$

erhält man

${\frac {\partial }{\partial y}}\int p(x,y)\mathrm {d} x+{\frac {\mathrm {d} \varphi (y)}{\mathrm {d} y}}={\frac {\partial }{\partial x}}\int q(x,y)\mathrm {d} x=q(x,y)\,,$

wobei die rechte Seite der Gleichung $q(x,y)$ liefert. Nach Umformen folgt

${\frac {\mathrm {d} \varphi (y)}{\mathrm {d} y}}=q(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int p(x,y)\mathrm {d} x\,.$

Durch nochmalige Integration ergibt sich

$\varphi (y)=\int \mathrm {d} \varphi (y)=\int \left(q(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int p(x,y)\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} y$

und somit lautet eine Lösung des gesuchten Skalarpotentials

${\begin{aligned}\Phi (x,y)&=\int p(x,y)\mathrm {d} x+\int \left(q(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int p(x,y)\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} y\\&=\int p(x,y)\mathrm {d} x+\varphi (y)\;.\end{aligned}}$

Die Stammfunktion $\Phi (x,y)$ wird auch als Erstes Integral der exakten Differentialgleichung bezeichnet.

• Anfangsbedingung: Bei allen zuvor durchgeführten Integrationen blieb die Integrationskonstante unberücksichtigt, da diese aus dem Anfangswert berechnet wird. Da neben der exakten Differentialgleichung für die Lösung ein Anfangswert nötig ist, kann nun mit $\Phi (x_{0},y_{0})=C$ das Skalarpotential $\Phi (x,y)$ ermittelt werden.

• Ohne Anfangswert: Ist der Anfangswert $\Phi (x_{0},y_{0})$ nicht bekannt, so ergibt die Differentialgleichung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} y}}(x,y)=0} die Lösung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Phi (x,y)=C} . Diese Anfangsbedingung liefert dann, eingesetzt in das Erste Integral, die gewünschte Lösung der exakten Differentialgleichung

$C=\int p(x,y)\mathrm {d} x+\varphi (y)\;.$

• Mit Anfangswert: Ist ein Anfangswert $\Phi (x_{0},y_{0})$ vorgegeben, so muss die Gleichung $\Phi (x,y)=\Phi (x_{0},y_{0})$ erfüllt sein. Dieser Anfangswert liefert dann, eingesetzt in das Erste Integral, die gewünschte Lösung der exakten Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Phi (x_{0},y_{0})=\int p(x,y)\mathrm {d} x+\varphi (y)\;.}

• einfach zusammenhängendes Gebiet: Schlussendlich ist zu prüfen, ob die Lösung ein einfach zusammenhängendes Gebiet abdeckt. Falls dies nicht der Fall ist, muss geprüft werden, ob durch geeignete Restriktionen die Lösung auf ein einfach zusammenhängendes Gebiet reduziert werden kann.

Beispiel

Lemniskate von Gerono: Lösungsmenge von $x^{4}-x^{2}+y^{2}=0$

Es soll die exakte Differentialgleichung der Lemniskate von Gerono berechnet werden. Es wird also die Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (4x^{3}-2x)\mathrm {d} x+2y\,\mathrm {d} y=0}

mit dem Anfangswert $\Phi (1,0)=0$ betrachtet. Demnach ist

$p(x,y)=4x^{3}-2x\qquad q(x,y)=2y$

und die Integrabilitätsbedingung ergibt

${\frac {\partial p}{\partial y}}=0\qquad \;\,{\frac {\partial q}{\partial x}}=0$.

Die Differentialgleichung ist also exakt und das Erste Integral kann sofort bestimmt werden. Dazu wird zunächst $\varphi (y)$ berechnet

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (y)&=\int \left(q-{\frac {\partial }{\partial y}}\int p\,\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} y\\&=\int 2y\,\mathrm {d} y-\int {\frac {\partial }{\partial y}}\int \left(4x^{3}-2x\right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\\\&=\int 2y\,\mathrm {d} y-\int \underbrace {{\frac {\partial }{\partial y}}\left(x^{4}-x^{2}\right)} _{=0}\mathrm {d} y\\&=y^{2}\;.\end{aligned}}}

Somit ist $\varphi (y)=y^{2}$ und das zweite Integral verschwindet, da der Integrand nicht von $y$ abhängig ist. Die Integrationskonstanten werden, wie zuvor ausgeführt, nicht berücksichtigt. Unter dieser Voraussetzung lässt sich das Erste Integral bestimmen zu

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x,y)&=\int p\,\mathrm {d} x+\varphi (y)\\&=\int \left(4x^{3}-2x\right)\mathrm {d} x+y^{2}\\&=x^{4}-x^{2}+y^{2}\;.\end{aligned}}}

Mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Phi (x,y)=C=\Phi (1,0)} und dem Anfangswert $\Phi (1,0)=0$ ergibt sich als Lösung der impliziten Kurve

$x^{4}-x^{2}+y^{2}=0$.

Integrierende Faktoren

Siehe auch: inexaktes Differential

Für eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \ p(x,y)+q(x,y){\tfrac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}=0} , welche die Integrabilitätsbedingung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\tfrac {\partial p}{\partial y}}={\tfrac {\partial q}{\partial x}}} nicht erfüllt, gibt es (unter gewissen Regularitätsbedingungen) stets eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu (x,y)\neq 0} derart, dass

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu (x,y)p(x,y)+\mu (x,y)q(x,y){\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}=0}

eine exakte Differentialgleichung wird. In diesem Fall wird $\mu$ als integrierender Faktor oder eulerscher Multiplikator bezeichnet. Da $\mu$ nach Definition niemals Null wird, hat die exakte Differentialgleichung dieselben Lösungen wie vor der Multiplikation mit $\mu .$ Dabei ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu (x,y)} genau dann ein integrierender Faktor, wenn die Integrabilitätsbedingung in der Darstellung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\partial \mu p}{\partial y}}={\frac {\partial \mu q}{\partial x}}}

erfüllt wird.

Es ist normalerweise schwierig, diese partielle Differentialgleichung allgemein zu lösen. Da man aber nur eine spezielle Lösung $\mu (x,y)$ benötigt, wird man versuchen, mit speziellen Ansätzen für $\mu (x,y)$ eine Lösung zu finden. Solche Ansätze könnten beispielsweise lauten:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu =\mu (x),\quad \mu =\mu (y),\quad \mu =\mu (x+y),\quad \mu =\mu (xy)} .

Für eine exakte Differentialform mit Potential $\Phi (x,y)$ ist jede nullstellenfreie Funktion F($\Phi$) des Potentials ein integrierender Faktor. Wenn man für eine nicht-exakte Differentialform einen integrierenden Faktor $\mu$ gefunden hat, und damit ein Potential, dann ist auch F($\Phi$)$\mu$ ebenfalls ein integrierender Faktor.

Integrierender Faktor μ(x) und μ(y)

Ein einfaches Beispiel für einen integrierenden Faktor $\mu$ ist dann gegeben, wenn dieser nur von einer Variablen $x$ oder $y$ abhängt.

Zunächst wird der Fall betrachtet, bei dem der integrierende Faktor nur von $x$ abhängig ist und infolge dessen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\tfrac {\partial \mu }{\partial y}}=0} ist. Unter dieser Voraussetzung ergibt die Integrabilitätsbedingung

${\frac {\partial \mu p}{\partial y}}={\frac {\partial \mu q}{\partial x}}$

im Zusammenhang mit der Produktregel folgende Darstellung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu {\frac {\partial p}{\partial y}}=\mu {\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial \mu }{\partial x}}}

und nach Umformen folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q \frac{\partial \mu}{\partial x} = \mu \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \, ,}

was sich auch schreiben lässt als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{\mu} \frac{\partial \mu}{\partial x} = \frac{1}{q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \, .}

Die Kettenregel für die logarithmische Ableitung liefert schließlich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial \ln \mu}{\partial x} = \frac{1}{q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \, .}

Beidseitige Integration dieser Gleichung ergibt unter Auslassung der Integrationskonstanten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ln \mu = \int \frac{1}{q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \mathrm{d} x }

oder

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(x) = \exp \left( \int \frac{1}{q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \mathrm{d} x \right) = \exp \left( \int f(x) \, \mathrm{d} x \right) \, .}

Demnach ist der integrierende Faktor Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu (x)} nur von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} abhängig, wenn folgender Ausdruck nur eine Funktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ist:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {1}{q}}\left({\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)=f(x).}

Auf die gleiche Weise lässt sich zeigen, dass der integrierende Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(y)} nur von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} abhängt, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle - \frac{1}{p} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) = f(y)}

nur eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Abhängigkeit hat und der integrierende Faktor lautet dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(y) = \exp \left( -\int \frac{1}{p} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \mathrm{d} y \right) = \exp \left( \int f(y) \,\mathrm{d}y \right) \, .}

Beispiel

Ausgehend von der Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2y^2 \mathrm{d}x + 2xy \mathrm{d}y = 0 }

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(x,y)= 2y^2 \qquad q(x,y) = 2xy}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial p}{\partial y}= 4y \qquad \quad \; \; \frac{\partial q}{\partial x} = 2y}

wird erkennbar, dass die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt ist. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} nur von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} abhängt, ist es sinnvoll den integrierenden Faktor so zu wählen, dass $\mu (x)$ nur von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} abhängig ist und somit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{1}{q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) = \frac{1}{2xy}\left(4y - 2y \right) = \frac{1}{x} \; . }

Also lautet der integrierende Faktor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(x) = \exp \left( \int f(x) \, \mathrm{d} x \right) = \exp \left( \int \frac{1}{x} \,\mathrm{d} x \right) = \exp \left( \ln (x) \right) = x \; .}

Integrierender Faktor μ(x+y)

Hängt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \; \stackrel{\mathrm{def}}= \frac{1}{p-q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) } von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+y} ab, so lautet der integrierende Faktor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(x+y) = \exp \left( - \int \frac{1}{p-q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \mathrm{d} x - \int \frac{1}{p-q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \mathrm{d} y \right) \; \stackrel{\mathrm{def}}= \exp \left( - \int f(t) \mathrm{d} t \right) \bigg|_{t =x+y} \, .}

Beweis

Es ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu p}{\partial y} &= \mu \frac{\partial p}{\partial y} + p \frac{\partial \mu}{\partial y} = \exp \left( - \int f(t) \mathrm{d} t \right) \bigg|_{t =x+y}\frac{\partial p}{\partial y} - f(x+y) \exp \left( - \int f(t) \mathrm{d} t \right) \bigg|_{t =x+y} p \\ \\&= \exp \left( - \int f(t) \mathrm{d} t \right) \bigg|_{t =x+y}\left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{p}{p-q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \right) \end{align}}

und auf die gleiche Weise ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu q}{\partial x} &= \mu \frac{\partial q}{\partial x} + q \frac{\partial \mu}{\partial x} = \exp \left( - \int f(t) \mathrm{d} t \right) \bigg|_{t =x+y}\frac{\partial q}{\partial x} - f(x+y) \exp \left( - \int f(t) \mathrm{d} t \right) \bigg|_{t =x+y} q \\ \\&= \exp \left( - \int f(t) \mathrm{d} t \right) \bigg|_{t =x+y}\left( \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{q}{p-q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \right) \; . \end{align}}

Wird nun die Integrabilitätsbedingung in die Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \frac{\partial \mu p}{\partial y} - \frac{\partial \mu q}{\partial x} =0} gebracht, so folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mu p}{\partial y} - \frac{\partial \mu q}{\partial x} &= \exp \left( - \int f(t) \mathrm{d} t \right) \bigg|_{t =x+y}\left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{p}{p-q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) + \frac{q}{p-q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \right) \\ \\&= \exp \left( - \int f(t) \mathrm{d} t \right) \bigg|_{t =x+y}\left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{p-q}{p-q} \left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right) \right) \\ \\&= \exp \left( - \int f(t) \mathrm{d} t \right) \bigg|_{t =x+y}\left( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial q}{\partial x} \right) \\ \\&=0 \end{align}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Box}

Literatur

• Ludwig Bieberbach: Theorie der Differentialgleichungen Springer, reprint Berlin Heidelberg New York 1979, Seite 15–21 (gescannte Seite 31:15–37:21), uni-goettingen.de
• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), Seite 91–102, ISBN 978-3-8348-0705-2
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer-Verlag 2000, Seite 37–47, ISBN 3540676422
• Jochen Merker: Differentialgleichungen, Skript, Sommersemester 2011, Uni Rostock, Seite 19–21