Faulhabersche Formel

Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johannes Faulhaber von D. E. Knuth, beschreibt, wie sich die Summe der ersten $n$ $k$-ten Potenzen mit einem Polynom $P_{k+1}(n)$ in $n$ vom Grad $k+1$ berechnen lässt.

$\sum _{h=1}^{n}h^{k}=1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}=P_{k+1}(n)\quad {\text{mit}}\;k,n\in \mathbb {N} _{0}$

Die Koeffizienten des Polynoms $P_{k+1}(n)$ können dabei mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen berechnet werden.

Darstellung des Polynoms mittels der Bernoulli-Zahlen

Zur Berechnung der Koeffizienten dieses Polynoms werden die Bernoulli-Zahlen benötigt. Im Folgenden bezeichne $B_{j}$ die $j$-te Bernoulli-Zahl erster Art und die ${\overline {B}}_{j}$ die Bernoulli-Zahlen zweiter Art, dann sieht die Faulhabersche Formel wie folgt aus:

${\begin{aligned}\sum _{h=1}^{n}h^{k}&={\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{k+1 \choose j}B_{j}n^{k+1-j}={\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{k+1 \choose j}{\overline {B}}_{j}n^{k+1-j}\\&={\frac {n^{k}}{2}}+{\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{\lfloor k/2\rfloor }{k+1 \choose 2i}B_{2i}n^{k+1-2i}\end{aligned}}$

Wenn man statt der ersten $n$ nur die ersten $n-1$ Potenzen betrachtet, so kann man die Faulhabersche Formel auch „ohne die Ausnahme“ für $B_{1}$ beschreiben und erhält

$\sum _{h=0}^{n-1}h^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{k+1 \choose j}B_{j}n^{k+1-j}$

Rekursive Darstellung

Betrachtet man das Polynom $P_{k+1}$ als Funktion der reellen Veränderlichen $n$ anstelle $n\in \mathbb {N} _{0}$ ergibt sich aus der Darstellung mittels Bernoulli-Zahlen auch die folgende elementar beweisbare rekursive Darstellung in aufsteigender Reihenfolge mit den Bernoulli-Zahlen zweiter Art

${\begin{aligned}P_{1}(n)&=B_{0}n=B_{0}^{*}n=n\\P_{k+1}(n)&=k\int _{0}^{n}P_{k}(n')dn'+nB_{k}^{*}\quad {\text{falls}}\;k\geq 1\end{aligned}}$

und in absteigender Folge gemäß:

$kP_{k}(n)={\frac {d}{dn}}P_{k+1}(n)-B_{k}^{*}\quad {\text{falls}}\;k\geq 1$

Explizite Darstellungen

${\begin{array}{lllr}1^{0}+2^{0}+3^{0}+\cdots +n^{0}&=n\\1^{1}+2^{1}+3^{1}+\cdots +n^{1}&={\tfrac {1}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\qquad {\text{(Gaußsche Summenformel)}}\\1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}&={\tfrac {1}{3}}n^{3}+{\tfrac {1}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{6}}n\qquad {\text{(Quadratische Pyramidalzahl)}}\\1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}&={\tfrac {1}{4}}n^{4}+{\tfrac {1}{2}}n^{3}+{\tfrac {1}{4}}n^{2}\qquad {\text{(Quadrat der Summe der ersten n Zahlen)}}\\1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={\tfrac {1}{5}}n^{5}+{\tfrac {1}{2}}n^{4}+{\tfrac {1}{3}}n^{3}-{\tfrac {1}{30}}n\\1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}&={\tfrac {1}{6}}n^{6}+{\tfrac {1}{2}}n^{5}+{\tfrac {5}{12}}n^{4}-{\tfrac {1}{12}}n^{2}\\1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}&={\tfrac {1}{7}}n^{7}+{\tfrac {1}{2}}n^{6}+{\tfrac {1}{2}}n^{5}-{\tfrac {1}{6}}n^{3}+{\tfrac {1}{42}}n\\1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}&={\tfrac {1}{8}}n^{8}+{\tfrac {1}{2}}n^{7}+{\tfrac {7}{12}}n^{6}-{\tfrac {7}{24}}n^{4}+{\tfrac {1}{12}}n^{2}\\1^{8}+2^{8}+3^{8}+\cdots +n^{8}&={\tfrac {1}{9}}n^{9}+{\tfrac {1}{2}}n^{8}+{\tfrac {2}{3}}n^{7}-{\tfrac {7}{15}}n^{5}+{\tfrac {2}{9}}n^{3}-{\tfrac {1}{30}}n\\1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots +n^{9}&={\tfrac {1}{10}}n^{10}+{\tfrac {1}{2}}n^{9}+{\tfrac {3}{4}}n^{8}-{\tfrac {7}{10}}n^{6}+{\tfrac {1}{2}}n^{4}-{\tfrac {3}{20}}n^{2}\\1^{10}+2^{10}+3^{10}+\cdots +n^{10}&={\tfrac {1}{11}}n^{11}+{\tfrac {1}{2}}n^{10}+{\tfrac {5}{6}}n^{9}-n^{7}+n^{5}-{\tfrac {1}{2}}n^{3}+{\tfrac {5}{66}}n\\1^{11}+2^{11}+3^{11}+\cdots +n^{11}&={\tfrac {1}{12}}n^{12}+{\tfrac {1}{2}}n^{11}+{\tfrac {11}{12}}n^{10}-{\tfrac {11}{8}}n^{8}+{\tfrac {11}{6}}n^{6}-{\tfrac {11}{8}}n^{4}+{\tfrac {5}{12}}n^{2}\\1^{12}+2^{12}+3^{12}+\cdots +n^{12}&={\tfrac {1}{13}}n^{13}+{\tfrac {1}{2}}n^{12}+n^{11}-{\tfrac {11}{6}}n^{9}+{\tfrac {22}{7}}n^{7}-{\tfrac {33}{10}}n^{5}+{\tfrac {5}{3}}n^{3}-{\tfrac {691}{2730}}n\\\end{array}}$

Die niedrigen Koeffizienten in Stammbrüchen, wie man sie bei kleinem $k$ aus der Schulmathematik kennt, sind aber für den weiteren Verlauf überhaupt nicht typisch. Bereits bei $k=11$ tritt zum ersten Mal ein Koeffizient > 1 auf; bei noch höheren Potenzen wird das zur Regel. Grund dafür sind die Bernoulli-Zahlen, die nach einer Reihe von niedrigen Werten stark ansteigen, sogar stärker als jede Exponentialfunktion, und gegen Unendlich gehen. Sie selbst bilden die Koeffizienten der linearen Glieder, und da sie bei ungeraden Exponenten ungleich 1 Null werden, fehlen diese Glieder auch dementsprechend in den Summenformeln.

Allgemein gilt:

$1^{k}+2^{k}+3^{k}+\dotsb +n^{k}={\tfrac {1}{k+1}}n^{k+1}+{\tfrac {1}{2}}n^{k}+{\mathcal {O}}(n^{k-1})$

(Das ${\mathcal {O}}$ bezeichnet die O-Notation.) Hier sieht man auch den Zusammenhang mit Cavalieris Integralformel; eine Summe von Potenzen ist eine Potenz mit einem um 1 höheren Grad. Das gilt auch für den trivialen Sonderfall von $k=0$, denn das Integral einer konstanten Funktion ist eine lineare.

Bei der Erweiterung von $k$ auf $\mathbb {Z}$ erhält man zunächst bei $k=-1$ die divergente harmonische Reihe, aber bei allen $k\leq -2$ konvergente Potenzsummen. Ihre Grenzwerte sind definitionsgemäß die Funktionswerte der Riemannschen Zeta-Funktion.

All das sind Spezialfälle der allgemeinen Euler-Maclaurin-Formel angewandt auf die Funktion $x^{k}$ mit beliebigem reellem Exponenten $k$.

Zusammenhang mit Bernoulli-Polynomen

Die Summe der ersten $n$ $k$-ten Potenzen lässt sich auch mit Hilfe von Bernoulli-Polynomen ausdrücken:

$\sum _{h=0}^{n}h^{k}={\frac {{\text{B}}_{k+1}(n+1)-{\text{B}}_{k+1}(0)}{k+1}},$

Hierbei bezeichnet ${\text{B}}_{j}$ das $j$-te Bernoulli-Polynom.

Faulhaber-Polynome

Die Summen ungerader Potenzen

$\sum _{h=1}^{n}h^{2k+1}=1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+\cdots +n^{2k+1}\qquad (k,n\in \mathbb {N} _{0})$

lassen sich auch als Polynom in $m=1+2+\dotsb +n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)$ darstellen. Solche Polynome in $m$ statt in $n$ werden auch als Faulhaber-Polynome bezeichnet. Johannes Faulhaber selbst kannte nur die Formel in der folgenden beschriebenen Form, und berechnete lediglich die ungeraden Fälle $k=1,3,5,\dotsc ,17$ als Polynom in $m$ und vermutete, dass für alle ungeraden Zahlen $k$ ein entsprechendes Polynom existiere, ohne jedoch einen Beweis dafür zu geben. Das Konzept der Bernoulli-Zahlen war ihm nicht bekannt.

Einige Beispiele für kleinen Exponenten:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=m^{2}$     (Folge A000537 in OEIS)

$1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={\frac {4m^{3}-m^{2}}{3}}$     (Folge A000539 in OEIS)

$1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}={\frac {6m^{4}-4m^{3}+m^{2}}{3}}$     (Folge A000541 in OEIS)

$1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots +n^{9}={\frac {16m^{5}-20m^{4}+12m^{3}-3m^{2}}{5}}$     (Folge A007487 in OEIS)

$1^{11}+2^{11}+3^{11}+\cdots +n^{11}={\frac {16m^{6}-32m^{5}+34m^{4}-20m^{3}+5m^{2}}{3}}$     (Folge A123095 in OEIS)

Allgemein gilt für alle $k\in \mathbb {N}$:

$1^{2k-1}+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots +n^{2k-1}={\frac {1}{2^{2k}(2k)}}\sum _{h=0}^{k-1}B_{2h}{\binom {2k}{2h}}(2-2^{2h})\left((8m+1)^{k-h}-1\right)$

was ein Polynom vom Grad $k$ in $8m+1$ darstellt oder explizit als Polynom in $m$

$\sum _{h=1}^{n}h^{2k-1}={\frac {1}{2k}}\sum _{i=1}^{k}a_{i,k}\,m^{i}\qquad {\text{mit}}\quad a_{i,k}=(-2)^{i}\sum _{j=0}^{i}{2k \choose i-j}{i+j \choose j}{\frac {i-j}{i+j}}B_{2k-i+j}$

Historisches

Faulhaber selbst kannte die Formel in ihrer heutigen allgemeinen Form nicht, auch waren die Bernoullizahlen zu seiner Zeit noch nicht bekannt. Er kannte jedoch zumindest die ersten 17 Fälle und die Konstruktionen der nach ihm benannten Polynome. Im Jahre 1834 veröffentlichte Carl Gustav Jacob Jacobi den ersten bekannten Beweis der Faulhaberschen Formel und verwendete dazu die Euler-Maclaurin-Formel. Weitere Beweise wurden unter anderem 1923 von L. Tits und 1986 von A. W. F. Edwards publiziert. Donald Ervin Knuth untersuchte Verallgemeinerungen, Darstellungen der Summen als Polynome in $n(n+1)\cdots (n+r)$ mit festem $r$, und trug zur Popularisierung der Faulhaberschen Polynome bei.

Literatur

• Donald E. Knuth: Johann Faulhaber and Sums of Powers. Math. Comp. 61 (1993), no. 203, S. 277–294. arxiv:math/9207222.
• John H. Conway, Richard Guy: The Book of Numbers. Copernicus (Springer), New York 1996, ISBN 0-387-97993-X, S. 106, (Auszug (Google)).
• Johann Faulhaber: Academia Algebrae. Darinnen die miraculosische Inventiones, zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden. Dergleichen zwar vor 15. Jahren den Gelehrten auff allen Vniversiteten in gantzem Europa proponiert, darauff continuiert, auch allen Mathematicis inn der gantzen weiten Welt dediciert, aber bißhero, noch nie so hoch, biß auff die regulierte Zensicubiccubic Coß, durch offnen Truck publiciert worden. Welcher vorgesetzet ein kurtz Bedencken, Was einer für Authores nach ordnung gebrauchen solle, welcher die Coß fruchtbarlich, bald, auch fundamentaliter lehrnen vnd ergreiffen will. Augsburg: Johann Ulrich Schönig, 1631. (Online-Kopie (Google))
• Greg Orosi: A Simple Derivation Of Faulhaber's Formula. In: Applied Mathematics E-Notes, S. 124–126. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Faulhaber's formula. In: MathWorld (englisch).
• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Johann Faulhaber. In:
  MacTutor History of Mathematics archive.
• Helmut Richter, Bernhard Schiekel: Potenzsummen, Bernoulli-Zahlen und Eulersche Summenformel. doi:10.18725/OPARU-1819
• Tobias Krähling: Aussagenlogik. (PDF; 148 kB) – Herleitung der Potenzsummenformel/des Polynoms