Beugungsintegral

Das Beugungsintegral ermöglicht es, in der Optik die Beugung von Licht durch eine beliebig geformte Blende zu berechnen. Speziell wird dabei meistens die an einem Punkt des Beobachtungsschirms auftreffende Intensität des Lichtes berechnet, ausgehend von einer einfallenden Elementarwelle und der Blendenfunktion, welche die Lichtdurchlässigkeit der Blende beschreibt. Es kann aber auch die Phase der gebeugten Wellenfront berechnet werden.

Zwei Spezialfälle des Beugungsintegrals sind die Näherungen für das Fernfeld (Fraunhofer-Beugung) und für das Nahfeld (Fresnel-Beugung). Siehe dazu die entsprechenden Teilabschnitte.

Versuchsaufbau zur Beugung von Licht an einer Blende

Die nebenstehende Skizze zeigt die experimentelle Anordnung, bestehend aus einer Lichtquelle $Q$, einer Blende $S$, an der das einfallende Licht gebeugt wird, und einem Beobachtungsschirm, auf dem die auftreffende Lichtintensität an $P$ untersucht wird. Die Form und die Eigenschaften der Blende bestimmen dabei, wie die Intensitätsverteilung auf dem Beobachtungsschirm aussieht.

Hat die Blende z. B. die Form eines Doppelspalts, so ergibt sich als Intensitätsverteilung das bekannte Interferenzmuster. Weitere Anwendungen des Beugungsintegrals sind z. B. Beugungsscheibchen und Klotoide.

Das kirchhoffsche Beugungsintegral

Skizze zur Fraunhofer-/Fresnel-Näherung des Beugungsintegrals

Das kirchhoffsche Beugungsintegral, auch fresnel-kirchhoffsches Beugungsintegral genannt, lautet

$\psi _{P}={\frac {a_{Q}\,k_{0}}{2\pi \,\mathrm {i} }}\int _{\text{Blende}}\mathrm {d} S\,f_{S}\,{\frac {e^{\mathrm {i} \,k_{0}(d+d_{1})}}{d\cdot d_{1}}}\left[{\frac {\cos \theta +\cos {\theta _{1}}}{2}}\right].$

Dabei bezeichnen

• $a_{Q}$ die Amplitude der Quelle,
• $k_{0}=2\pi /\lambda$ den Betrag des Wellenvektors,
• $\lambda$ die Wellenlänge des Lichtes,
• $\mathrm {d} S$ ein infinitesimales Flächenelement der Blende,
• $f_{S}$ die Blendenfunktion,
• $(\cos \theta +\cos \theta _{1})/2$ den Neigungsfaktor (auch als Inklinationsfaktor bezeichnet) und schließlich
• $\psi _{P}$ die Amplitude im Punkt $P$ auf dem Beobachtungsschirm.

Da die Abstände $d_{1}$ und $d$ in den meisten Anwendungen hinreichend senkrecht zur Blende sind, kann der Neigungsfaktor in diesen Fällen gleich Eins gesetzt werden. Dabei sind $\theta _{1}$ bzw. $\theta$ die Winkel zwischen den mit $d_{1}$ bzw. $d$ gekennzeichneten Linien und einem Lot auf die Blendenebene im Schnittpunkt der Linien.

Der Neigungsfaktor korrigiert eine Inkonsistenz des huygensschen Prinzips. Nach diesem Prinzip kann jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt von Elementarwellen aufgefasst werden, deren Überlagerung dann die Wellenfront an einem anderen Ort ergibt. Allerdings würde dies auch bedeuten, dass die Elementarwellen sich in alle Richtungen ausbreiten, also auch entgegen der Ausbreitungsrichtung, zurück in Richtung auf die Lichtquelle. In Richtung auf die Lichtquelle beträgt der Winkel $\theta =\pi$, und $\theta _{1}=0$. Dann ergibt sich für den Neigungsfaktor 0 und die Intensität in Richtung auf die Quelle ist ebenfalls 0 – so wie es experimentell beobachtet wird.

Im Spezialfall einer ebenen Welle, die senkrecht auf die Blende fällt, ist der Abstand $d_{1}$ konstant. Dann kann ${\frac {e^{ik_{0}d_{1}}}{d_{1}}}$ als konstanter Faktor ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich Eins gesetzt werden und es gilt:

$\psi _{PEB}={\frac {a_{Q}\,k_{0}}{2\pi \,\mathrm {i} }}\int _{\text{Blende}}\mathrm {d} S\,f_{S}\,{\frac {e^{\mathrm {i} \,k_{0}d}}{d}}\left[{\frac {\cos \theta +\cos {\theta _{1}}}{2}}\right].$

Die Intensität am Punkt $P$ ergibt sich als Betragsquadrat von $\psi _{P}$

$I(P)=|\psi _{P}|^{2}={\frac {a_{Q}^{2}\,k_{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}\left|\int _{\text{Blende}}\mathrm {d} S\,f_{S}\,{e^{\mathrm {i} \,k_{0}(d+d_{1})} \over d\cdot d_{1}}\left[{\frac {\cos \theta +\cos {\theta _{1}}}{2}}\right]\right|^{2}.$

Neben der Intensität kann aber auch die Phase der gebeugten Wellenfront berechnet werden:

$\phi =\arctan {\frac {\Im (\psi _{P})}{\Re (\psi _{P})}}$

wobei $\Re$ Realteil und $\Im$ Imaginärteil bedeutet. Diese Phasenberechnung wird z. B. in der digitalen Holografie angewendet.

Fraunhofer- und Fresnel-Beugung

Prinzip der Fresnelbeugung erläutert anhand einer Schlitzblende

Prinzip der Fraunhoferbeugung erläutert anhand einer Schlitzblende

Prinzip der Fraunhoferbeugung erläutert anhand eines Linsensystems und einer Schlitzblende

Die folgenden Ableitungen findet man in ähnlicher Form in verschiedenen Lehrbüchern, siehe z. B.

Für die Lichtwege $d$ und $d_{1}$ gelten die geometrischen Zusammenhänge (siehe Skizze)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=\sqrt{L^2+|\vec{s}+(-\vec{p})|^2}} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_1=\sqrt{L_1^2+|\vec{s}|^2}} .

Unter den Annahmen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_1\gg|\vec{s}|=\sqrt{x^2+y^2}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L\gg|\vec{p}|=\sqrt{x'^2+y'^2}} können die Wurzeln durch eine Taylor-Entwicklung angenähert werden.

Diese Näherung entspricht gerade dem Fall, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta\approx\theta_1\approx 0} , d. h., für diese Betrachtungen kann der Neigungsfaktor näherungsweise gleich 1 gesetzt werden. Damit lautet das Beugungsintegral

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_P = \frac{a_Q\,k_0}{2\pi\,\mathrm i}\int_\text{Blende}\mathrm dS\,f_S\,{e^{\mathrm i\,k_0(d+d_1)}\over d\cdot d_1}.}

Ferner kann wegen der Näherung im Nenner Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d\cdot d_1\approx L_1\,L} gesetzt werden. Der Exponent enthält die für die Interferenz wesentliche Phaseninformation und darf nicht auf diese Weise vereinfacht werden. Daraus folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_P = \frac{a_Q\,k_0}{2\pi\,\mathrm i}\frac{1}{L_1\,L} \int_\text{Blende}\mathrm dS\,f_S\,e^{\mathrm i\,k_0(d+d_1)}.}

Die Näherung für die Ausdrücke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_1} , explizit ausgeführt bis zur 2. Ordnung, ergibt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d = \sqrt{L^2+|\vec{s}-\vec{p}|^2}\approx L\left( 1+{|\vec{s}-\vec{p}|^2\over 2L^2}+ \ldots \right)= L\left( 1+{s^2+p^2-2\vec{s}\cdot\vec{p}\over 2L^2}+ \ldots \right)}

sowie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_1=\sqrt{L_1^2+s^2}\approx L_1\left( 1+{s^2\over 2 L_1^2}+ \ldots \right).}

Ausgedrückt durch die Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,\,y)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x',\,y')} ergibt das

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d \approx L\left( 1 + \frac{x^2+y^2+x'^2+y'^2-2(x\,x'+y\,y')}{2L^2}+ \ldots \right)}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_1 \approx L_1\left( 1 + \frac{x^2+y^2}{2 L_1^2} + \ldots \right).}

Fraunhofer-Näherung

Die Fraunhofer-Näherung entspricht einer Fernfeld-Näherung, das heißt, dass nicht nur die Blendenöffnung als klein, sondern auch die Entfernung des Beobachtungsschirms Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} als groß angenommen werden. Als Beugungsintegral ergibt sich dabei im Wesentlichen gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion. Deshalb spricht man im Rahmen der Fraunhofer-Beugung auch von der Fourier-Optik.

Entsprechend diesen Annahmen werden nur Terme berücksichtigt, die linear in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} sind, das heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d\approx L\left( 1+{x'^2+y'^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L^2} \right)= L\left( 1+{|\vec{p}|^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L^2} \right),}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_1\approx L_1.}

In diesem Fall vereinfacht sich das Beugungsintegral zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_P\approx{a_Q\,k_0\over 2\pi\,\mathrm i}{e^{\mathrm i\,k_0(L_1+L+{p^2\over 2L})}\over L_1\,L}\iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{-\mathrm i\,k_0{(x\,x'+y\,y')\over L}}.}

Definiert man einen neuen Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}= {k_0\over L}\vec{p}} , so ergibt sich für das Integral

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{-\mathrm i\,k_0{(x\,x'+y\,y')\over L}}= \iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{-\mathrm i\,{k_0\over L}\vec{p}\cdot\vec{s}}= \iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{-\mathrm i\,\vec{K}\cdot\vec{s}}} .

Dies ist gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_S\,(x,y)} .

Fresnel-Näherung

Die Fresnel-Näherung entspricht einer Nahfeld-Näherung. In ihr werden auch quadratische Terme im Exponenten berücksichtigt. Das in die Form einer Fourier-Transformierten gebrachte Beugungsintegral ist dann durch einen zusätzlichen Term im Allgemeinen nicht mehr analytisch, sondern nur numerisch lösbar.

Unter Berücksichtigung quadratischer Terme in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d\approx L\left( 1+{x^2+y^2+x'^2+y'^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L^2}+ \ldots \right),}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_1\approx L_1\left( 1+{x^2+y^2\over 2 L_1^2}+ \ldots \right).}

In diesem Fall lautet das Beugungsintegral

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_P\approx{a_Q\,k_0\over 2\pi\,\mathrm i}{ e^{\mathrm i\,k_0(L+L_1+{p^2\over 2L})} \over L\,L_1} \iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{\mathrm i\,k_0({x^2+y^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L}+{x^2+y^2\over 2 L_1})}.}

Einführung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L'} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {1\over L'}={1\over L}+{1\over L_1}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{K}= {k_0\over L}\vec{p}} ergibt dann das Beugungsintegral in Nahfeld-Näherung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_P\approx{a_Q\,k_0\over 2\pi\,\mathrm i}{ e^{\mathrm i\,k_0(L+L_1+{p^2\over 2L})} \over L\,L_1} \iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{i\,k_0{x^2+y^2\over 2L'}}e^{-\mathrm i\,\vec{K}\cdot\vec{s}}.}

Die Fresnel-Näherung gilt, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d \gg \sqrt[3]{\frac{((x-\,x')^2+(y-\,y')^2)^2}{8\lambda}}}

Dazu ein praktisches Beispiel: Für eine Blendengröße von 1 cm (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x-\,x') = 1 cm} ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y-\,y') = 1 cm} ) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda = 500 nm} ergibt sich ein Mindestabstand von 22 cm. Das Attribut Nahfeld bedeutet also keineswegs, dass man die Fresnel-Näherung schon direkt hinter der Blende anwenden darf, sondern dass ein Mindestabstand eingehalten werden muss. Für noch kürzere Abstande muss das Beugungsintegral ohne Näherung verwendet werden.

Heuristische Herleitung

Bezeichnungen

Aus der Quelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} mit Amplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_Q} bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}_Q } tritt die Kugelwelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_Q} , deren Amplitude reziprok mit der Entfernung (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1/|\vec{r}|} ) abnimmt. Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} mal Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{r}|} gibt die Phasenverschiebung der Welle am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}} , Kreisfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} mal Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} die Phasenverschiebung zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} . Die Welle ist beschrieben durch die Phase am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}} zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_Q(\vec{r},t)=a_Q\, {e^{\mathrm i(k\,|\vec{r}|-\omega\,t)}\over |\vec{r}|}.}

Am Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}_S } trifft die Welle im Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_1} auf die Blende. Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_1} die Feldverteilung der Welle am Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_1(t)=\psi_Q(d_1,t)=a_Q\,{e^{\mathrm i(k\,d_1-\omega\,t)}\over d_1}}

Nach dem huygensschen Prinzip ist der Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} Ausgangspunkt einer Elementarwelle, der Sekundärwelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_S } .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_S(\vec{r},t)=a_S\, {e^{i(k\,|\vec{r}|-\omega\,t)}\over |\vec{r}|}.}

Die Amplitude von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_S } ist proportional zur Quellen-Amplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_Q} und zur Blendenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_S} . Die Blendenfunktion gibt die Durchlässigkeit der Blende an. Im einfachsten Fall ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_S=1} , wenn die Blende geöffnet ist, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_S=0} , wenn die Blende geschlossen ist. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm dS} ist das infinitesimale Flächenelement der Blendenöffnung am Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_S(t)\sim f_S\,\mathrm dS\,\psi_1(t)}

Die Sekundärwelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_S } erzeugt im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}_P} auf dem Schirm die Wellenintensität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d\psi_P(t)} . Sie ist infinitesimal, da nur der Beitrag von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm dS} und nicht aller anderen Punkte auf der Blende betrachtet wird.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d\psi_P(t)=\psi_S(\vec{d};t)=a_S\,{e^{\mathrm i(k\,d-\omega\,t)} \over d}}

Die Zeitabhängigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{-\mathrm i\,\omega\,t}} kann vernachlässigt werden, da sie später beim Rechnen mit Intensitäten ohnehin durch die zeitliche Mittelung verschwindet. Durch Einsetzen erhält man:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d\psi_P \sim f_S\,\mathrm dS\,\psi_1(t)\,\frac{e^{\mathrm i\,k\,d}}{d} = f_S\,\mathrm dS\,a_Q\,\frac{e^{\mathrm i\,k\,d_1}}{d_1}\,\frac{e^{\mathrm i\,k\,d}}{d} = f_S\,\mathrm dS\,a_Q\,\frac{e^{\mathrm i\,k\,(d_1+d)}}{d_1\,d}}

Von jedem Punkt auf der Blende geht eine Sekundärwelle aus. Die Intensität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_P} im Beobachtungspunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} wird durch die Überlagerung aller Einzelbeiträge erzeugt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_P\sim a_Q\int_\text{Blende}\mathrm dS\,f_S\, \frac{e^{\mathrm i\,k(d+d_1)}}{d \cdot d_1}.}

Diese Gleichung erinnert bereits stark an das oben gegebene Beugungsintegral. Mit dem Proportionalitätsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k/(2\pi\,\mathrm i)} ergibt sich (Neigungswinkel vernachlässigt):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_P= a_Q\,\frac{k}{2\pi\,\mathrm i}\,\int_\text{Blende}\mathrm dS\,f_S\,{e^{\mathrm i\,k(d+d_1)}\over d\cdot d_1}.}