Freifallzeit

Die Freifallzeit $t_{\mathrm {ff} }$ bezeichnet in der Astronomie die Zeit, die eine ausgedehnte Gaswolke oder ein Stern unter der Wirkung ihrer eigenen Gravitation zum Kollaps auf einen Punkt benötigt, wenn alle Kräfte außer der Gravitation außer Acht gelassen werden. Das Modell ist aufgrund seiner Annahmen mehr dazu geeignet, die Formierung eines Sterns aus einer Gaswolke zu beschreiben (siehe Sternentstehung) als die Formierung eines Schwarzen Lochs aus einem Stern (siehe Gravitationskollaps).

Insbesondere wird in dem Modell vernachlässigt,

• dass durch den Kollaps Bindungsenergie frei wird, die zu einem Strahlungsdruck führt,
• dass die Atome des Sterns aufgrund des Pauli-Prinzips einander nicht beliebig nahe kommen können, was zu einem Entartungsdruck führt,
• und dass die Näherung der klassischen Beschreibung der Gravitation bei hohen Materiedichten zusammenbricht und eine Beschreibung durch die Allgemeine Relativitätstheorie erforderlich wird.

Unter Vernachlässigung dieser Aspekte ergibt sich für die Freifallzeit nach einer klassischen Berechnung für eine kugelförmige, homogene Gaswolke ohne innere Energie:

$t_{\mathrm {ff} }={\sqrt {\frac {\pi ^{2}R^{3}}{8GM}}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}$

Dabei sind

• $G$ die Gravitationskonstante,
• $R$ der Radius des Sterns,
• $M$ seine Masse und
• $\rho$ seine konstante Dichte.

Herleitung

Für jede infinitesimal dünne Massenschale der Gaswolke im Abstand $r$ vom Zentrum gilt in Verbindung mit dem Newtonschen Schalentheorem das Newtonsche Gravitationsgesetz:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}=-G{\frac {M_{r}}{r^{2}}}$

Dabei ist $M_{r}:=\rho \cdot {\tfrac {4\pi }{3}}r^{3}$ die innerhalb dieser Schale befindliche Masse. Diese bleibt während des Kollapses konstant und daher gleich ihrem Anfangswert $M_{r_{0}}$ beim Radius $r_{0}$:

${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-GM_{r_{0}}\cdot r^{-2}$

Multiplikation mit $v\mathrm {d} t=\mathrm {d} r$ und anschließende Integration mit dem Anfangswert $v(r_{0})=0$ liefert

${\frac {v^{2}}{2}}=GM_{r_{0}}\cdot \left(r^{-1}-r_{0}^{-1}\right)$

${\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=-{\sqrt {2GM_{r_{0}}\cdot \left(r^{-1}-r_{0}^{-1}\right)}}$

(denn zu einem positiven $\mathrm {d} t$ gehört bei einem Kollaps natürlich ein negatives $\mathrm {d} r$). Separation der Variablen ergibt nun

$\mathrm {d} t=-{\sqrt {\frac {r_{0}}{2GM_{r_{0}}}}}\cdot {\sqrt {\frac {r}{r_{0}-r}}}\cdot \mathrm {d} r$

und die zweite Integration liefert (wie sich durch Ableiten leicht verifizieren lässt):

$t(r)={\sqrt {\frac {r_{0}^{3}}{2GM_{r_{0}}}}}\cdot \left({\sqrt {{\frac {r}{r_{0}}}\left(1-{\frac {r}{r_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {r}{r_{0}}}}\right)$

Der Klammerterm auf der rechten Seite strebt für $r\to 0$ gegen $\arccos 0={\tfrac {\pi }{2}},$ sodass sich für die Freifallzeit der Massenschale

$t_{\mathrm {ff} }=t(0)={\frac {\pi }{2}}\cdot {\sqrt {\frac {r_{0}^{3}}{2GM_{r_{0}}}}}$

ergibt. Einsetzen von $M_{r_{0}}={\tfrac {4\pi \rho r_{0}^{3}}{3}}$ zeigt, dass $t_{\mathrm {ff} }$ unabhängig von der Startposition $r_{0}$ ist, sodass alle Teilchen zugleich im Zentrum ankommen:

$t_{\mathrm {ff} }={\frac {\pi }{2}}\cdot {\sqrt {\frac {r_{0}^{3}}{2G{\frac {4\pi \rho r_{0}^{3}}{3}}}}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}$

Man darf also für $r_{0}$ auch den Sternradius $R$ setzen, womit dann $M_{R}$ zur Sternmasse $M$ wird:

$t_{\mathrm {ff} }={\frac {\pi }{2}}\cdot {\sqrt {\frac {R^{3}}{2GM}}}={\sqrt {\frac {\pi ^{2}R^{3}}{8GM}}}$

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass eine Gaswolke nicht vollständig auf einen Punkt kollabiert, bevor die stellare Kernfusion zündet, kann man (statt bis ins Zentrum $r=0$ zu integrieren) bei einem endlichen Radius $r_{f}>0$ Halt machen. Obiges $t_{\mathrm {ff} }$ bleibt trotzdem näherungsweise gültig, sofern $r_{f}\ll r_{0}$ gilt.