Gaußsche Summenformel

Die Gaußsche Summenformel (nicht zu verwechseln mit einer Gaußschen Summe), auch kleiner Gauß genannt, ist eine Formel für die Summe der ersten $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen:

$0+1+2+3+4+\dotsb +n=\sum _{k=0}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}$

Diese Reihe ist ein Spezialfall der arithmetischen Reihe, und ihre Summen $0,1,3,6,10,\dotsc$ werden Dreieckszahlen genannt.

Veranschaulichungen

Numerische Veranschaulichung

Die Formel lässt sich folgendermaßen veranschaulichen: Man schreibt die Zahlen von 1 bis $n$ aufsteigend in eine Zeile. Darunter schreibt man die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge:

${\begin{array}{ccccc}1&2&\ldots &n-1&n\\n&n-1&\ldots &2&1\\\hline n+1&n+1&\ldots &n+1&n+1\end{array}}$

Die Summe jeder Spalte ist $n+1.$ Da es $n$ Spalten sind, ist die Summe der Zahlen beider Zeilen gleich $n\cdot (n+1).$ Um die Summe der Zahlen einer Zeile zu ermitteln, wird das Ergebnis halbiert, und es ergibt sich die obige Formel:

$1+2+3+4+\dotsb +n={\tfrac {1}{2}}\cdot n\cdot (n+1)$

Geometrische Veranschaulichung

Im Bild unten werden die einzelnen Summanden als grüne Kästchenreihen zu einem Dreieck angeordnet, das durch die weißen Kästchen zu einem Quadrat mit Seitenlänge $n$ erweitert wird. Die einfache Halbierung des Quadrats entlang einer seiner Diagonalen würde die genau auf der Diagonale liegenden Kästchen ebenfalls teilen, was unerwünscht ist. Daher wird das Quadrat rechts um eine Spalte mit $n$ blauen Kästchen zu einem Rechteck ergänzt, dessen Halbierung entlang der roten Linie wie gewünscht genau die grünen Kästchen abspaltet.

Man braucht nun nur mehr die Anzahl $n\cdot (n+1)$ aller Kästchen zu halbieren, was sofort zur gesuchten Anzahl ${\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$ der grünen Kästchen führt.

Herkunft der Bezeichnung

Diese Summenformel wie auch die Summenformel für die ersten $n$ Quadratzahlen war bereits in der vorgriechischen Mathematik bekannt.

Carl Friedrich Gauß entdeckte diese Formel als neunjähriger Schüler wieder. Die Geschichte ist durch Wolfgang Sartorius von Waltershausen überliefert:

„Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)“

– Wolfgang Sartorius von Waltershausen

Die genaue Aufgabenstellung ist nicht überliefert. Oft wird berichtet, dass Büttner die Schüler die Zahlen von 1 bis 100 (nach anderen Quellen von 1 bis 60) addieren ließ. Während nun seine Mitschüler fleißig zu addieren begannen, stellte Gauß fest, dass sich die 100 zu addierenden Zahlen zu 50 Paaren gruppieren lassen, die jeweils die Summe 101 haben: $1+100,2+99,3+98$ bis zu $50+51.$ Also musste das gesuchte Ergebnis gleich dem Produkt $50\cdot 101$ sein.

Sartorius berichtet weiter:

„Am Ende der Stunde wurden darauf die Rechentafeln umgekehrt; die von Gauss mit einer einzigen Zahl lag oben und als Büttner das Exempel prüfte, wurde das seinige zum Staunen aller Anwesenden als richtig befunden …“

– Wolfgang Sartorius von Waltershausen

Büttner erkannte bald, dass Gauß in seiner Klasse nichts mehr lernen konnte.

Beweis

Für diese Summenformel gibt es zahlreiche Beweise. Neben dem oben vorgeführten Beweis der Vorwärts- und Rückwärts-Summation ist noch das folgende allgemeine Prinzip interessant:

Um zu beweisen, dass für alle natürlichen $n$

$\sum _{k=1}^{n}f(k)=g(n)$

gilt, reicht es aus,

$g(n)-g(n-1)=f(n)$

für alle positiven $n$ und

$g(0)=0$

zu zeigen. In der Tat trifft dies hier zu:

$g(n)-g(n-1)={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {(n-1)n}{2}}={\frac {n(n+1-n+1)}{2}}={\frac {n\cdot 2}{2}}=n=f(n)$

für alle $n$ und

$g(0)={\frac {0\cdot 1}{2}}=0$

Auch ein Beweis der Gaußschen Summenformel mit vollständiger Induktion ist möglich.

Verwandte Summen

Aus der Gaußschen Summenformel ergeben sich durch Anwenden des Distributivgesetzes und anderer ähnlich elementarer Rechenregeln leicht auch Formeln für die Summe der geraden bzw. der ungeraden Zahlen.

$\sum _{k=1}^{n}2k=2\cdot \sum _{k=1}^{n}k=2\cdot {\frac {n(n+1)}{2}}=n(n+1)$

liefert die Summe der ersten $n$ aufeinanderfolgenden geraden Zahlen:

$\sum _{k=1}^{n}2k=n(n+1)$

Die Formel für die Summe der ersten $n$ aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$

ergibt sich so:

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=2\cdot \sum _{k=1}^{n}k-\sum _{k=1}^{n}1=2\cdot {\frac {n(n+1)}{2}}-n=(n^{2}+n)-n=n^{2}$

Die Summe der ersten $n$ aufeinanderfolgenden Quadratzahlen

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)$

wird als quadratische Pyramidalzahl bezeichnet. Eine Verallgemeinerung auf eine beliebige positive ganze Zahl als Exponenten ist die Faulhabersche Formel.

Literatur

• Wolfgang Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtniss. S. Hirzel, Leipzig 1856, S. 12–13 (Anekdote zu Gauss, Google-Buch).
• Otto Neugebauer: Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Erster Band. Vorgriechische Mathematik. Springer, 1969, S. 172–173.
• Brian Hayes: Gauss’s Day of Reckoning. In: American Scientist. 94, 2006, S. 200, doi:10.1511/2006.3.200.

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Gaußsche Summenformel – Lern- und Lehrmaterialien

• Herleitung der gaußschen Summenformel auf zwei Arten einfach erklärt (YouTube-Video)
• Geometrischer Beweis der gaußschen Summenformel auf Vimeo
• Versions of the Gauss Schoolroom Anecdote. (Memento vom 22. März 2014 im Internet Archive).
• Video: Die Gaußsche Summenformel (Teil 1). Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19756.
• Video: Die Gaußsche Summenformel (Teil 2). Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19757.
• Video: Die Gaußsche Summenformel (Teil 3). Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19758.