Geometrische Wahrscheinlichkeit

Die geometrische Wahrscheinlichkeit ist ein Begriff aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung, der im 18. Jahrhundert eingeführt wurde und im Unterschied zur Laplace-Wahrscheinlichkeit auf einer überabzählbaren Ergebnismenge $\Omega$ basiert. Diese kann üblicherweise ein Intervall $[a,b]$ auf der Zahlengeraden mit der endlichen Länge $b-a$ oder ein Flächenstück endlichen Inhalts der Zahlenebene sein.

Geometrische Wahrscheinlichkeit auf einem Intervall der Zahlengeraden

Definition

$\Omega =[a,b]$ sei ein Intervall auf der Zahlengeraden und $t=[c,d]$ ein Teilintervall von $[a,b]$. Ein Punkt aus $[a,b]$ werde zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Punkt in $[c,d]$ liegt, soll nur von den Längen und nicht von der Lage der Intervalle $[a,b]$ und $[c,d]$ abhängen. Damit ist gewährleistet, dass alle gleich langen Intervalle dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Unter diesen Voraussetzungen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Punkt in $[c,d]$ liegt

$P(t)={\frac {\left|t\right|}{\left|\Omega \right|}}$

Besonderheiten gegenüber der Laplace-Wahrscheinlichkeit

Jeder einzelne Punkt ${x}$ aus Ω lässt sich in ein Intervall beliebig kleiner Länge einbetten. Deshalb gilt $P({x})=0$ für jedes $x$ aus dem Ergebnisraum $\Omega$. Hieraus lässt sich aufgrund der Kolmogoroff-Axiome folgern, dass jedes aus endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen Punkten bestehende Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $0$ eintritt. Im Unterschied hierzu tritt bei der Laplace-Wahrscheinlichkeit nur das unmögliche Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $0$ ein.

Da jeder Kurvenzug den Flächeninhalt $0$ besitzt, ist auch dessen Wahrscheinlichkeit gleich $0$.

Geometrische Wahrscheinlichkeit auf einem Flächenstück der Zahlenebene

Definition

$\Omega =M$ sei ein Flächenstück auf der Zahlenebene und $T$ eine Teilfläche von $\Omega$. Ein Punkt aus $M$ werde zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Punkt in $T$ liegt, soll nur von den Flächeninhalten und nicht von der konkreten Form und Lage der Flächenstücke $T$ und $M$ abhängen. Damit ist gewährleistet, dass alle inhaltsgleichen Flächenstücke dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Unter diesen Voraussetzungen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Punkt in $T$ liegt

$P(t)={\frac {t}{m}}$,

wobei $t$, bzw. $m$ die Flächeninhalte von $T$, bzw. $M$ sind.

Besonderheiten gegenüber der Laplace-Wahrscheinlichkeit

Jeder einzelne Punkt ${x}$ und auch jede Linie und jeder Kurvenzug aus $\Omega$ lässt sich in ein Flächenstück beliebig kleinen Inhalts einbetten. Im Unterschied zur Laplace-Wahrscheinlichkeit haben deshalb auch solche Teilflächen und nicht nur das unmögliche Ereignis die Wahrscheinlichkeit $0$.

Beispiele

Intervall auf der Zahlengeraden

Das Intervall $\Omega =[0,6]$ auf der Zahlengeraden sei im Verhältnis $1:2:3$ in drei Teilintervalle unterteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Punkt

• auf dem ersten, bzw. zweiten, bzw. dritten Teilintervall,
• jeweils in der Mitte des Teilintervalls liegt?

Lösungsskizze:

$P([0;1])={\frac {1}{6}}$

$P([1;3])={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$

$P([3;6])={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

$P({0,5})=P({2})=P({4,5})=0$ (einzelne Punkte auf der Zahlengeraden)

Flächenstück auf der Zahlenebene

$\Omega$ sei ein Quadrat auf der Zahlenebene mit der Seitenlänge $a$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Punkt auf der

• Inkreisfläche $K$,
• Inkreislinie $k$

des Quadrats liegt?

Lösungsskizze:

$P(K)={\frac {\pi ({\frac {a}{2}})^{2}}{a^{2}}}={\frac {\pi }{4}}$

$P(k)=0$ (Linie in der Zahlenebene)

Literatur

• Johann Pfanzagl: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, Walter de Gruyter Berlin New York 1991, ISBN 3-11-013384-9 (broschiert), ISBN 3-11-013385-7 (gebunden)

Weblinks

• Geometrische Wahrscheinlichkeiten Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften der Universität Ulm, abgerufen am 23. September 2022