Halbeinfache algebraische Gruppe

In der Mathematik sind halbeinfache algebraische Gruppen ein Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Definition

Eine zusammenhängende algebraische Gruppe $G$ über einem Körper $k$ heißt halbeinfach, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

• der maximale zusammenhängende auflösbare Normalteiler ist $\left\{1\right\}$
• $G$ hat keinen nichttrivialen zusammenhängenden abelschen Normalteiler.

Beispiele

• Die spezielle lineare Gruppe $SL_{n}$ ist halbeinfach.
• Die projektive lineare Gruppe $PGL_{n}$ ist halbeinfach.
• Die symplektische Gruppe $Sp_{2n}$ ist halbeinfach.
• Nicht halbeinfach sind die allgemeine lineare Gruppe, die multiplikative Gruppe und die Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.

Halbeinfache Lie-Gruppen

→ Hauptartikel: Halbeinfache Lie-Gruppe

Für eine halbeinfache algebraische Gruppe $G$ über $k=\mathbb {C}$ ist $G(\mathbb {C} )$ eine halbeinfache Lie-Gruppe.

Nicht jede halbeinfache Lie-Gruppe ist eine halbeinfache algebraische Gruppe. Ein Beispiel hierfür ist die universelle Überlagerung von $SL(2,\mathbb {R} )$.

Klassifikation

Die Klassifikation halbeinfacher algebraischer Gruppen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist analog zur Klassifikation halbeinfacher komplexer Lie-Gruppen durch Dynkin-Diagramme.

Literatur

• J.E. Humphreys, "Linear algebraic groups", Springer (1975)
• T.A. Springer, "Linear algebraic groups", Birkhäuser (1981)

Weblinks

• Semi-simple algebraic group (Encyclopedia of Mathematics)